لعبة إيكوسيان

لعبة الإيكوسيان هي لعبة رياضية ابتكرها عالم الرياضيات الأيرلندي ويليام روان هاميلتون عام 1856. تعتمد اللعبة على إيجاد دورة هاميلتونية على مجسم ذي اثني عشر وجهًا ، وهي عبارة عن مضلع يستخدم أضلاع المجسم ويمر بجميع رؤوسه . استلهم هاميلتون فكرة اللعبة من دراساته حول التناظر، ومن ابتكاره لحساب الإيكوسيان ، وهو نظام رياضي يصف تناظرات المجسم ذي الاثني عشر وجهًا.

باع هاميلتون عمله لشركة تصنيع ألعاب، وتم تسويقه في كل من المملكة المتحدة وأوروبا، لكنه حقق نجاحًا تجاريًا كبيرًا بفضل سهولة استخدامه. ولا يُعرف سوى عدد قليل من النسخ المتبقية منه في المتاحف. مع أن هاميلتون لم يكن أول من درس دورات هاميلتون، إلا أن عمله على هذه اللعبة أصبح أصل تسمية دورات هاميلتون. وقد تناولت العديد من كتب الرياضيات الترفيهية لعبته. كما تُباع ألغاز أخرى مبنية على دورات هاميلتون كتطبيقات للهواتف الذكية، ويواصل علماء الرياضيات دراسة الألعاب التوافقية القائمة على دورات هاميلتون.

دورة هاميلتونية على شكل اثني عشري الوجوه

منظر ثنائي الأبعاد لنفس الدورة

هدف اللعبة هو إيجاد مضلع ثلاثي الأبعاد مكون من حواف مجسم منتظم ذي اثني عشر وجهًا، يمر مرة واحدة فقط بكل رأس من رؤوس المجسم. يُطلق على المضلع الذي يمر بجميع الرؤوس بهذه الطريقة اسم دورة هاميلتونية . في نسخة اللعبة ثنائية اللاعبين، يبدأ أحد اللاعبين باختيار خمسة رؤوس متتالية على طول المضلع، ويتعين على اللاعب الآخر إكمال المضلع. ^{[ 1 ]}

يصف إدوارد لوكاس شكل أي حل ممكن بطريقة يسهل على اللاعبين تذكرها. يجب أن يقسم المضلع المكتمل أوجه المجسم ذي الاثني عشر وجهًا إلى شريطين، كل شريط يتكون من ستة أشكال خماسية. وعندما يمر هذا الشريط عبر كل شكل من الأشكال الخماسية الأربعة الوسطى، يتصل بدوره بضلعين غير متجاورين من كل شكل خماسي، مما يؤدي إلى انعطاف طفيف إما إلى اليسار أو إلى اليمين عبر الشكل الخماسي. وبهذه الطريقة، يقوم الشريط بانعطافين إلى اليسار ثم انعطافين إلى اليمين، أو العكس. ^{[ 2 ]}

اتخذت إحدى نسخ اللعبة شكل لوح خشبي مسطح منقوش عليه رسم بياني مستوٍ له نفس البنية التوافقية للمجسم ذي الاثني عشر وجهًا ( مخطط شليغل )، ^{[ 3 ]} مع ثقوب لأوتاد مرقمة توضع عند رؤوسه. وكان اللاعبون يشيرون إلى المضلع الذي يعثرون عليه من خلال الترقيم المتسلسل للأوتاد. ^{[ 4 ] [ 5 ]} أما نسخة أخرى فكانت على شكل "مجسم ذي اثني عشر وجهًا مسطح جزئيًا"، وهو عبارة عن قبة نصف كروية تقريبًا تنتشر عليها خماسيات المجسم ذي الاثني عشر وجهًا على سطحها المنحني، ومقبض مثبت في قاعدتها المسطحة. وكانت الرؤوس مثبتة بأوتاد. وكان يتم لف خيط منفصل، به حلقة في أحد طرفيه، عبر هذه الأوتاد للإشارة إلى المضلع. ^{[ 5 ]}

كانت اللعبة سهلة للغاية لدرجة أنها لم تحظَ بشعبية كبيرة، ^{[ 6 ] [ 7 ] [ 8 ]} على الرغم من أن هاميلتون حاول دحض هذا الانطباع من خلال إعطاء مثال لزميل أكاديمي لم يتمكن من حلها. ^{[ 8 ]} ويشير ديفيد دارلينج إلى أن هاميلتون ربما جعلها أكثر صعوبة على نفسه من غيره، باستخدام أساليبه النظرية لحلها بدلاً من التجربة والخطأ . ^{[ 6 ]}

عند ابتكاره لعبة الإيكوسيان، كان ويليام روان هاميلتون أستاذًا لعلم الفلك في كلية ترينيتي بدبلن ، وعالم فلك ملكي في أيرلندا ، وكان مشهورًا بالفعل بأعماله في ميكانيكا هاميلتون واختراعه للأعداد الرباعية . ^{[ 9 ]} كان الدافع وراء ابتكار هاميلتون هو فهم تناظرات المجسم ذي الاثني عشر وجهًا والمجسم ذي العشرين وجهًا ، وهما مجسمان ثنائيان لهما نفس التناظرات. ولهذا الغرض، ابتكر أيضًا حساب الإيكوسيان ، وهو نظام من الجبر غير التبادلي استخدمه لحساب هذه التناظرات. ^{[ 10 ]}

يُستمد اسم لعبة الإيكوسيان من حقيقة أن المجسم ذي العشرين وجهًا له عشرون وجهًا، والمجسم ذي الاثني عشر وجهًا له عشرون رأسًا، وأي مضلع يمر بجميع رؤوس المجسم ذي الاثني عشر وجهًا له عشرون ضلعًا. كلمة "إيكوسيان" أصل يوناني يعني عشرين. ^{[ 7 ] [ 11 ]} في المجسم ذي الاثني عشر وجهًا ذي الرؤوس المُعَلَّمة، توجد 30 طريقة مختلفة لربط هذه الرؤوس ببعضها لتشكيل دورة هاميلتونية. مع ذلك، بدون التسميات، تكون جميع الدورات الهاميلتونية متناظرة فيما بينها عند دوران المجسم ذي الاثني عشر وجهًا وانعكاسه. ^{[ 12 ]}

قدّم هاميلتون شرحًا موجزًا ​​لكلٍّ من حساب الإيكوسيان ولعبة الإيكوسيان في سلسلة من الرسائل إلى صديقه جون تي. غريفز في أواخر عام 1856. ^{[ 10 ]} ثم عرض هاميلتون اللعبة في اجتماع دبلن عام 1857 للجمعية البريطانية لتقدّم العلوم . ^{[ 13 ] [ 14 ]} وبناءً على اقتراح غريفز، ^{[ 3 ]} باع هاميلتون حقوق نشرها لشركة جاك وأبنائه ، وهي شركة لتصنيع الألعاب مقرها لندن. ^{[ 10 ] [ 13 ]}

بدأت هذه الشركة بتسويق لعبة هاميلتون في عام 1859، ^{[ 4 ]} في كل من شكليها الصلب والمسطح المحمولين باليد، ^{[ 5 ]} تحت العنوانين الطويلين The Travellers Dodecahedron, or a voyage around the world ، و(على التوالي) The Icosian Game، التي اخترعها السير ويليام روان هاميلتون، الفلكي الملكي لأيرلندا؛ مما شكل لعبة جديدة ومسلية للغاية لغرفة الرسم، ذات أهمية خاصة لطلاب الرياضيات لتوضيح مبادئ حساب التفاضل والتكامل الإيكوسياني . ^{[ 4 ]}

بِيعَتْ عدةُ نسخٍ من اللعبة في أوروبا. ^{[ 12 ]} إلا أنها لم تُحقِّق نجاحًا تجاريًا. ^{[ 6 ] [ 7 ] [ 10 ]} لم يحصل هاميلتون إلا على رسوم ترخيص قدرها 25 جنيهًا إسترلينيًا من شركة جاك وأبنائه مقابل اختراعه (القيمة الحالية 2700 جنيه إسترليني ). ^{[ 12 ]} من المعروف أن عددًا قليلًا من النسخ الأصلية للعبة قد نجا، ^{[ 15 ]} ولكن إحداها محفوظة في مكتبة الأكاديمية الملكية الأيرلندية في دبلن، ^{[ 4 ]} وأخرى ضمن مجموعة المعهد الوطني للفنون والحرف في باريس، ^{[ 3 ]} وكلاهما في شكل اللعبة المسطح. ^{[ 3 ] [ 4 ]}

على الرغم من أن هاميلتون ابتكر لعبة الإيكوسيان بشكل مستقل، إلا أنه لم يكن أول من درس دورات هاميلتون. تعود جولات الفرسان على رقعة الشطرنج ، وهي لغز آخر قائم على دورات هاميلتون، إلى القرن التاسع، سواء في الهند أو في الرياضيات في العالم الإسلامي في العصور الوسطى . ^{[ 16 ]} في نفس الوقت تقريبًا الذي كان فيه هاميلتون، كان توماس كيركمان في إنجلترا يدرس أيضًا دورات هاميلتون على المجسمات متعددة الأوجه. ^{[ 17 ]} زار هاميلتون كيركمان عام 1861، وقدم له نسخة من لعبة الإيكوسيان. ^{[ 10 ]} على الرغم من هذه الأعمال ذات الصلة، والتي يعود بعضها إلى فترة أقدم بكثير، فقد سُميت دورات هاميلتون نسبةً إلى هاميلتون وعمله على لعبة الإيكوسيان. ^{[ 1 ]}

كانت لعبة الإيكوسيان موضوعًا للعديد من الأعمال في مجال الرياضيات الترفيهية ، كتبها مؤلفون بارزون في هذا المجال، من بينهم إدوارد لوكاس ^{[ 2 ]} ، وويلهلم أهرنز ^{[ 18 ]} ، ومارتن غاردنر ^{[ 12 ]} . ولا تزال ألغاز مثل لعبة هاميلتون الإيكوسيان، القائمة على إيجاد دورات هاميلتونية في الرسوم البيانية المستوية، تُباع كتطبيقات للهواتف الذكية ^{[ 19 ]} . وقد أُدخلت ألعاب الصانع-الكاسر، القائمة على دورات هاميلتونية، إلى نظرية الألعاب التوافقية في ورقة بحثية عام 1978 من تأليف فاتسلاف تشفاتال وبول إردوش [ ^{20 ] [ 21 ] ،} ولا تزال تُدرس في الرياضيات ^{[ 21 ] .}

• لعبة "مطاردة الوومبوس" ، وهي لعبة أخرى تُلعب على رسم بياني لمجسم ذي اثني عشر وجهًا.
• جسور كونيغسبرغ السبعة ، لغز يتمثل في إيجاد دورة تمر عبر جميع حواف الرسم البياني

• أنتونيك، غاري (6 أكتوبر 2014)، "لعبة هاميلتون الإيكوسية" ، صحيفة نيويورك تايمز، بما في ذلك أداة حل تفاعلية لإيجاد مسارات هاميلتونية على مجسم ذي اثني عشر وجهًا
• وايسشتاين، إريك دبليو ، "لعبة إيكوسيان" ، عالم الرياضيات، مع عرض الحلول الثلاثين على اللوحة المستوية