مجسم اثنا عشري منتظم

📅 آخر تحديث: ٢٤ يوليو ٢٠٢٦
✍️ نُشر في: ٢٤ يوليو ٢٠٢٦
📷 يحتوي على 33 صور
الموسوعة الحرة

المجسم الاثنا عشري المنتظم أو المجسم الاثنا عشري الخماسي [ 1 ] هو مجسم اثنا عشري ( مجسم متعدد الأوجه ذو 12 وجهًا ) يتكون من أوجه خماسية منتظمة ، تلتقي ثلاثة منها عند كل رأس . وهو أحد المجسمات الأفلاطونية ، وقد وصفه أفلاطون في حواراته بأنه شكل الكون نفسه. استخدم يوهانس كيبلر المجسم الاثنا عشري في نموذجه للنظام الشمسي عام 1596. مع ذلك، فقد وصف فلاسفة آخرون المجسم الاثنا عشري وغيره من المجسمات الأفلاطونية منذ القدم.

المجسم ذو الاثني عشر وجهًا المنتظم هو شبه منحرف مقطوع، لأنه ناتج عن قطع الرؤوس المحورية لشبه منحرف خماسي . وهو أيضًا متعدد السطوح غولدبرغ، لأنه متعدد السطوح الأولي لبناء متعددات سطوح جديدة من خلال عملية الشطف . ويرتبط بمجسمات أفلاطونية أخرى، منها المجسم العشري الوجوه المنتظم باعتباره متعدد السطوح الثنائي له . ويمكن بناء متعددات سطوح جديدة أخرى باستخدام المجسم ذي الاثني عشر وجهًا المنتظم.

ترتبط الخصائص المترية لشكل الاثني عشر المنتظم وبنيته بالنسبة الذهبية . يظهر شكل الاثني عشر المنتظم في بعض الأعمال الفنية والسردية. كما أن بعض الألعاب والتحف مصممة على شكل اثني عشر منتظم، بما في ذلك شكل الاثني عشر الروماني . يمكن أيضًا إيجاد شكل الاثني عشر المنتظم في الطبيعة والجزيئات الفائقة، بالإضافة إلى شكل الكون. يمكن تمثيل الهيكل الأساسي للاثني عشر المنتظم برسم بياني يُسمى الرسم البياني الاثني عشري ، وهو رسم بياني أفلاطوني . خاصية الهاميلتوني ، وهي مسار يمر بجميع رؤوسه مرة واحدة فقط، موجودة في لعبة تُسمى لعبة الإيكوسيان .

باعتباره جسمًا أفلاطونيًا

الأوصاف

لوحة مجسم اثني عشري منتظم بريشة يوهانس كيبلر
نموذج كبلر الأفلاطوني الصلب للنظام الشمسي

المجسم المنتظم ذو الاثني عشر وجهًا هو مجسم متعدد السطوح يتكون من اثني عشر وجهًا خماسيًا، وثلاثين ضلعًا، وعشرين رأسًا. [ 2 ] وهو أحد المجسمات الأفلاطونية ، وهي مجموعة من المجسمات متعددة السطوح التي تكون وجوهها مضلعات منتظمة متطابقة ، ويلتقي فيها العدد نفسه من الوجوه عند كل رأس. [ 3 ] سُميت هذه المجموعة من المجسمات نسبةً إلى أفلاطون . في حوار ثيائيتيتوس ، افترض أفلاطون أن العناصر الكلاسيكية تتكون من خمسة مجسمات منتظمة متجانسة. وصف أفلاطون المجسم المنتظم ذو الاثني عشر وجهًا، وأشار بشكل غامض إلى أن "الإله استخدمه لترتيب الأبراج في السماء بأكملها". يربط طيماوس ، بصفته شخصية في حوار أفلاطون، الأجسام الأفلاطونية الأربعة الأخرى - الهرم الرباعي المنتظم ، والمكعب ، والهرم الثماني المنتظم ، والهرم العشرين المنتظم - بالعناصر الكلاسيكية الأربعة ، مضيفًا أن هناك نمطًا صلبًا خامسًا، على الرغم من ارتباطه الشائع بالهرم الاثني عشري المنتظم، إلا أنه لم يُذكر صراحةً على هذا النحو؛ "هذا ما استخدمه الإله في رسم الكون". [ 4 ] كما افترض أرسطو أن السماوات مصنوعة من عنصر خامس، أطلق عليه اسم "أيثير" ( aether باللاتينية، ether بالإنجليزية الأمريكية). [ 5 ]

بعد أن نسب أفلاطون المجسمات الأفلاطونية إلى الطبيعة، رسم يوهانس كيبلر في كتابه "هارمونيسيس موندي" كل مجسم من هذه المجسمات، أحدها مجسم اثنا عشري منتظم. [ 6 ] وفي كتابه "ميستيريوم كوزموغرافيكوم" ، اقترح كيبلر أيضًا النظام الشمسي باستخدام المجسمات الأفلاطونية، حيث تداخلت هذه المجسمات في مجسم آخر، وفُصلت بست كرات تُشبه الكواكب الستة. بدأت المجسمات المرتبة من الداخل إلى الخارج: ثماني الأوجه منتظم، وعشروني الأوجه منتظم، واثنا عشري الأوجه منتظم، ورباعي الأوجه منتظم، والمكعب. [ 7 ]

نموذج ثلاثي الأبعاد لمجسم اثني عشري منتظم

وصف العديد من فلاسفة العصور القديمة المجسم المنتظم ذو الاثني عشر وجهًا، بما في ذلك بقية المجسمات الأفلاطونية. وقدّم ثييتيتوس وصفًا رياضيًا للمجسمات الخمسة جميعها، وربما كان مسؤولًا عن أول برهان معروف على عدم وجود مجسمات منتظمة محدبة أخرى. وصف إقليدس المجسمات الأفلاطونية وصفًا رياضيًا كاملًا في كتاب الأصول ، الذي خُصص كتابه الأخير (الكتاب الثالث عشر) لخصائصها. وتصف القضايا من 13 إلى 17 في الكتاب الثالث عشر بناء رباعي الأوجه، وثماني الأوجه، والمكعب، وعشروني الأوجه، واثني عشري الأوجه، بهذا الترتيب. ولكل مجسم، وجد إقليدس نسبة قطر الكرة المحيطة به إلى طول ضلعها. وفي القضية 18، ​​جادل بأنه لا توجد مجسمات منتظمة محدبة أخرى. ويذكر يامبليخوس أن هيباسوس ، وهو فيثاغورسي، هلك في البحر لأنه تفاخر بأنه أول من كشف عن "الكرة ذات الاثني عشر خماسيًا". [ 8 ]

المجسم ذو الاثني عشر وجهاً المنتظم، كعائلة من المجسمات الأفلاطونية، هو متعدد السطوح منتظم . وهو متساوي الزوايا ، ومتساوي الأوجه ، ومتساوي المحاور : يمكن تحويل أي رأسين، أو وجهين، أو حافتين من المجسم ذي الاثني عشر وجهاً المنتظم عن طريق الدوران والانعكاس على التوالي تحت مدار التناظر الخاص به، مما يحافظ على المظهر.

العلاقة بالمجسم العشري الوجوه المنتظم

المجسم العشري الوجوه المنتظم داخل المجسم الاثني عشري الوجوه المنتظم

المجسم الثنائي للمجسم ذي الاثني عشر وجهًا هو المجسم العشري الوجوه المنتظم . ومن خصائص المجسم الثنائي عمومًا أن المجسم الأصلي ومجسمه الثنائي يشتركان في نفس مجموعة التناظر ثلاثية الأبعاد . في حالة المجسم ذي الاثني عشر وجهًا المنتظم، فإنه يمتلك نفس تناظر المجسم العشري الوجوه المنتظم، وهو التناظر العشري الوجوه.أناح{\displaystyle \mathrm {I} _{\mathrm {h} }}[ 9 ] يحتوي المجسم المنتظم ذو الاثني عشر وجهاً على عشرة محاور ثلاثية تمر عبر أزواج من الرؤوس المتقابلة، وستة محاور خماسية تمر عبر مراكز الأوجه المتقابلة، وخمسة عشر محوراً ثنائياً تمر عبر منتصفات الأضلاع المتقابلة. [ 10 ]

عندما يُرسم مجسم اثنا عشري منتظم داخل كرة ، فإنه يشغل حيزًا أكبر من حجم الكرة (66.49%) مقارنةً بمجسم عشريني مُرسم داخل نفس الكرة (60.55%). [ 11 ] بدأ حساب حجمي الكرتين من مسألة طرحها الإغريق القدماء لتحديد أي الشكلين له حجم أكبر: مجسم عشريني مُرسم داخل كرة، أم مجسم اثنا عشري مُرسم داخل نفس الكرة. وقد حلّ هذه المسألة كلٌ من هيرو الإسكندري ، وبابوس الإسكندري ، وفيبوناتشي ، وغيرهم. [ 12 ] اكتشف أبولونيوس البرغي نتيجةً مثيرةً للاهتمام، وهي أن نسبة حجمي هذين الشكلين هي نفسها نسبة مساحتي سطحيهما. [ 13 ] لكلا الحجمين صيغٌ تتضمن النسبة الذهبية، ولكن بقوى مختلفة. [ 2 ]

قد يرتبط المستطيل الذهبي أيضًا بكل من المجسم العشري الوجوه المنتظم والمجسم الاثني عشري الوجوه المنتظم. يمكن إنشاء المجسم العشري الوجوه المنتظم بتقاطع ثلاثة مستطيلات ذهبية عموديًا، مرتبة في شكل مربعات متعامدة اثنين في اثنين، وتوصيل كل رأس من رؤوس المستطيل الذهبي بقطعة مستقيمة. يوجد 12 رأسًا للمجسم العشري الوجوه المنتظم، تُعتبر مراكز 12 وجهًا من وجوه المجسم الاثني عشري الوجوه المنتظم. [ 14 ]

العلاقة بالهرم الرباعي المنتظم

خمسة أشكال رباعية الأوجه محصورة داخل شكل اثني عشري الأوجه. ويمكن أيضاً حصر خمسة أشكال رباعية الأوجه متقابلة (غير موضحة).

بما أنه يمكن رسم شكلين رباعيي الأوجه متقابلين داخل مكعب، ويمكن رسم خمسة مكعبات داخل مجسم ذي اثني عشر وجهًا، فإنه يمكن رسم عشرة أشكال رباعية الأوجه داخل خمسة مكعبات داخل مجسم ذي اثني عشر وجهًا: مجموعتان متقابلتان من خمسة أشكال، تغطي كل مجموعة منها جميع الرؤوس العشرين، ويغطي كل رأس شكلين رباعيي الأوجه (واحد من كل مجموعة، ولكن ليس من الزوج المقابل). كما ذكر كوكسيتر وآخرون (1938) ، [ 15 ]

كما يمكن رسم رباعي الأوجه داخل مكعب، يمكن رسم مكعب داخل مجسم ذي اثني عشر وجهًا. وبالعكس، ينتج عن ذلك ثماني أوجه محاطة بعشرين وجهًا. في الواقع، يقسم كل رأس من رؤوس العشرة أوجه الاثني عشر ضلعًا من أضلاع ثماني الأوجه وفقًا للنسبة الذهبية . وبمعرفة العشرة أوجه، يمكن اختيار ثماني الأوجه المحيطة به بخمس طرق، مما ينتج عنه مركب من خمسة ثمانيات أوجه ، وهو ما يُعرف بتعريفنا للعشرين وجهًا النجمي . (أما المركب المقابل، المكون من خمسة مكعبات تنتمي رؤوسها إلى مجسم ذي اثني عشر وجهًا، فهو ثلاثي الأضلاع النجمي ). ويمكن استنتاج عشرين وجه نجمي آخر على الفور، وذلك بتحويل كل ثماني أوجه إلى نجمة ثمانية الأضلاع ، وبالتالي تشكيل مركب من عشرة رباعيات أوجه . علاوة على ذلك، يمكننا اختيار رباعي أوجه واحد من كل نجمة ثمانية الأضلاع، لنحصل على مركب من خمسة رباعيات أوجه ، يحتفظ بجميع تناظر الدوران الخاص بالعشرين وجهًا (أي مجموعة العشرين وجهًا)، على الرغم من فقدانه للانعكاسات. بعكس هذا الشكل في أي مستوى تناظر للعشرين وجهًا، نحصل على المجموعة المكملة المكونة من خمسة رباعيات أوجه. هاتان المجموعتان من خمسة رباعيات أوجه متماثلتان عكسيًا، أي ليستا متطابقتين تمامًا، ولكنهما مرتبطتان كزوج من الأحذية. يُقال عن الشكل الذي لا يمتلك أي مستوى تناظر (بحيث يكون متماثلًا عكسيًا مع صورته المرآوية) أنه كيرالي .

مصفوفة التكوين

مصفوفة التكوين هي مصفوفة تمثل صفوفها وأعمدتها عناصر متعدد السطوح، أي رؤوسه وحوافه ووجوهه. يشير قطر المصفوفة إلى عدد مرات ظهور كل عنصر في متعدد السطوح، بينما يشير العنصر غير القطري إلى عدد مرات ظهور عناصر العمود في عنصر الصف أو عنده. يمكن تمثيل المجسم ذي الاثني عشر وجهًا المنتظم بالمصفوفة التالية [16][17]"}]],"parts":["matrix:",{"template":{"target":{"wt":"r","href":"./Template:R"},"params":{"1":{"wt":"coxeter-1973"},"2":{"wt":"coxeter-1991"}},"i":0}}]}">: [ 16 ] [ 17 ][203323025512]{\displaystyle {\begin{bmatrix}20&3&3\\2&30&2\\5&5&12\end{bmatrix}}}

العلاقة بالنسبة الذهبية

النسبة الذهبية هي النسبة بين عددين، وتساوي نسبة مجموعهما إلى العدد الأكبر منهما. [ 18 ] وهي أحد جذريّ كثيرة الحدود، وتُكتب على النحو التالي:ϕ=(1+5)/2≈1.618{\textstyle \phi =(1+{\sqrt {5}})/2\approx 1.618}[ 19 ] كما يلي ، يمكن تطبيق النسبة الذهبية على الخصائص المترية للمجسم ذي الاثني عشر وجهًا المنتظم، وكذلك على بناء المجسم ذي الاثني عشر وجهًا المنتظم.

مساحة السطحأ{\displaystyle A}والحجم​V{\displaystyle V}من مجسم اثني عشري منتظم طول ضلعهأ{\displaystyle a}هي: [ 20 ]أ=3(5ϕ)3أ2،V=5ϕ42أ3.{\displaystyle A=3{\sqrt {({\sqrt {5}}\phi )^{3}}}a^{2},\qquad V={\frac {{\sqrt {5}}\phi ^{4}}{2}}a^{3}.}

الإحداثيات الديكارتية لمجسم ذي اثني عشر وجهًا منتظمًا كما يلي:
  •  : تقع الرؤوس البرتقالية عند (±1، ±1، ±1) .
  •  : تقع الرؤوس الخضراء عند (0، ± ϕ ، ± 1 / ϕ ) وتشكل مستطيلاً على المستوى yz .
  •  : تقع الرؤوس الزرقاء عند (± 1 / ϕ , 0 , ± ϕ ) وتشكل مستطيلاً على المستوى xz .
  •  : تقع الرؤوس الوردية عند (± ϕ , ± ⁠ 1 / ϕ ⁠ , 0) وتشكل مستطيلاً على المستوى xy .

تحدد الإحداثيات الديكارتية التالية الرؤوس العشرين لمجسم منتظم ذي اثني عشر وجهًا متمركزًا عند نقطة الأصل ومُقاسًا وموجهًا بشكل مناسب: [ 21 ](±1،±1،±1)،(0،±ϕ،±1/ϕ)،(±1/ϕ،0،±ϕ)،(±ϕ،±1/ϕ،0).{\displaystyle {\begin{aligned}(\pm 1,\pm 1,\pm 1),&\qquad (0,\pm \phi ,\pm 1/\phi ),\\(\pm 1/\phi ,0,\pm \phi ),&\qquad (\pm \phi ,\pm 1/\phi ,0).\end{aligned}}}

إذا كان طول ضلع المجسم الاثني عشري المنتظم هوأ{\displaystyle a}، نصف قطر الكرة المحيطةرج{\displaystyle r_{c}}(الذي يلامس المجسم الاثني عشري المنتظم عند جميع رؤوسه)، نصف قطر الكرة المحيطة بهرأنا{\displaystyle r_{i}}( مماس لكل وجه من وجوه المجسم الاثني عشري المنتظم)، ونصف القطر الأوسطرم{\displaystyle r_{m}}(واحد يلامس منتصف كل حافة) هي: [ 22 ]رج=ϕ32أ≈1.401أ،رأنا=5ϕ520أ≈1.114أ،رم=ϕ22أ≈1.309أ.{\displaystyle {\begin{aligned}r_{c}&={\frac {\phi {\sqrt {3}}}{2}}a\approx 1.401a,\\r_{i}&={\sqrt {\frac {{\sqrt {5}}\phi ^{5}}{20}}}a\approx 1.114a,\\r_{m}&={\frac {\phi ^{2}}{2}}a\approx 1.309a.\end{aligned}}} بفرض وجود مجسم منتظم ذي اثني عشر وجهاً طول ضلعه واحد،رج{\displaystyle r_{c}}نصف قطر كرة محيطة بمكعب طول ضلعهϕ{\displaystyle \phi }، ورأنا{\displaystyle r_{i}}هو عمود خماسي منتظم طول ضلعهϕ{\displaystyle \phi }.

الزاوية ثنائية السطوح لمجسم اثنا عشري منتظم بين كل وجهين خماسيين متجاورين هي2دالة الظل العكسي⁡(ϕ){\displaystyle 2\arctan(\phi )}، حوالي 116.565 درجة.

يمكن تفسير المجسم الاثني عشري المنتظم على أنه متعدد السطوح غولدبرغ . وهو مجموعة من متعددات السطوح التي تحتوي على أوجه سداسية وخماسية. باستثناء المجسمين الأفلاطونيين - رباعي الأوجه والمكعب - يُعد المجسم الاثني عشري المنتظم هو المجسم الأولي في بناء متعدد السطوح غولدبرغ، ويتم الحصول على متعدد السطوح التالي عن طريق قطع جميع حوافه، وهي عملية تُسمى الشطف . يمكن تكرار هذه العملية باستمرار، مما ينتج عنه المزيد من متعددات السطوح غولدبرغ الجديدة. تُصنف هذه متعددات السطوح على أنها الفئة الأولى من متعددات السطوح غولدبرغ. [ 23 ]

مجسم نجمي صغير ذو اثني عشر وجهاً وشبه منحرف

تُشكّل التنميطات النجمية للمجسم الاثني عشري المنتظم ثلاثة من أصل أربعة مجسمات كبلر-بوانسو . يُبنى التنميط النجمي الأول للمجسم الاثني عشري المنتظم عن طريق ربط طبقته بأهرامات خماسية، مُشكّلاً مجسمًا اثني عشريًا نجميًا صغيرًا . أما التنميط النجمي الثاني فيُبنى عن طريق ربط المجسم الاثني عشري النجمي الصغير بأوتاد ، مُشكّلاً مجسمًا اثني عشريًا كبيرًا . ويُبنى التنميط النجمي الثالث عن طريق ربط المجسم الاثني عشري الكبير بأهرامات مثلثة حادة، مُشكّلاً مجسمًا اثني عشريًا نجميًا كبيرًا . [ 24 ]

ومن الأشكال متعددة السطوح الأخرى ذات الصلة ما يلي:

المظاهر

مجسم روماني ذو اثني عشر وجهًا
لعبة ميغامينكس ذات ستة ألوان محلولة

استُخدمت المجسمات الاثني عشرية المنتظمة كأحجار نرد، وربما استُخدمت أيضًا كأدوات للتنبؤ. عُثر على مجسمات رومانية صغيرة مجوفة من البرونز الاثني عشري في الأجزاء الشمالية من الإمبراطورية الرومانية؛ ولا يزال الغرض منها غير مؤكد. [ 29 ] [ 30 ]

في فن القرن العشرين ، تظهر الأشكال الاثني عشرية المنتظمة في أعمال إم سي إيشر ، مثل مطبوعاته الحجرية "الزواحف " [ 31 ] ، ولوحة سلفادور دالي "سر العشاء الأخير " التي تُصوّر الغرفة على شكل مجسم اثني عشري منتظم مجوّف [ 32 ] . وقد بنى جيرارد كاريس مجمل أعماله الفنية على المجسم الاثني عشري المنتظم والخماسي، مُقدّماً إياه كحركة فنية جديدة أُطلق عليها اسم "الخماسية" [ 33 ] .

في ألعاب تقمص الأدوار الحديثة ، يُستخدم المجسم ذو الاثني عشر وجهًا بشكل شائع كبديل للنرد ذي الاثني عشر وجهًا، وهو أحد أنواع النرد متعدد الأوجه الأكثر شيوعًا . أما لعبة ميغامينكس فهي لغز معقد يشبه مكعب روبيك، لكن شكله ذو اثني عشر وجهًا خماسي الأضلاع. [ 34 ]

في رواية الأطفال "كشك الرسوم الوهمي" ، يظهر المجسم ذو الاثني عشر وجهاً كشخصية في عالم الرياضيات. يصف كل وجه من أوجه المجسم ذي الاثني عشر وجهاً تعابير الوجه المختلفة ، ويدور إلى الأمام حسب الحاجة ليتناسب مع مزاجه. [ 35 ]

في قصة برتراند راسل القصيرة " كابوس عالم الرياضيات: رؤية البروفيسور سكويربونت" التي نُشرت عام 1954 ، قال الرقم 5: "أنا عدد أصابع اليد. أصنع الأشكال الخماسية والنجوم الخماسية. ولولا وجودي، لما وُجدت الأشكال ذات الاثني عشر وجهًا؛ وكما يعلم الجميع، فإن الكون عبارة عن شكل ذي اثني عشر وجهًا. لذا، لولا وجودي، لما كان هناك كون." [ 36 ]

في الطبيعة

Braarudosphera bigelowii في قذيفة ثنائية السطوح
تم تغطية الكوكوليثوفور Braarudosphaera bigelowii بغلاف كوكوسي مكون من اثني عشر بنتاليث
مجسم ذو اثني عشر وجهًا من الهولميوم والمغنيسيوم والزنك، شبه بلورة حقيقية
إن أوجه شبه البلورة الهولميوم-المغنيسيوم-الزنك (Ho-Mg-Zn) هي أشكال خماسية منتظمة حقيقية .

يمكن أن تنتج الطحالب وحيدة الخلية من العوالق النباتية الساحلية ، والتي تُعرف باسم براارودوسفايرا بيجيلوي ، غلافًا من كربونات الكالسيوم ذو بنية منتظمة ذات اثني عشر وجهًا يبلغ قطرها حوالي 10 ميكرومترات. [ 37 ]

تتخذ البلورات شبه الدورية ، مثل بلورات الهولميوم-المغنيسيوم-الزنك شبه الدورية، شكلاً اثني عشري الوجوه (انظر الشكل). [ 38 ] ويُقال أيضاً إن بعض البلورات المنتظمة، مثل العقيق والماس ، تُظهر شكلاً "اثني عشري الوجوه" ، ولكن هذا الوصف يشير في الواقع إلى شكل المعين الاثني عشري الوجوه .

طُرحت نماذج مختلفة للهندسة الكونية الشاملة. من بين هذه النماذج فضاء بوانكاريه ذو الاثني عشر وجهًا ، وهو فضاء ذو ​​انحناء موجب يتكون من مجسم منتظم ذي اثني عشر وجهًا تتطابق أوجهه المتقابلة (مع التواء طفيف). وقد اقترح هذا النموذج جان بيير لومينيه وزملاؤه عام 2003، [ 39 ] وتم تقدير التوجيه الأمثل له في السماء عام 2008. [ 40 ]

رسم بياني ذو اثني عشر وجهًا

خاصية هاميلتون للرسم البياني ذي الاثني عشر وجهًا ولعبة الإيكوسيان الرياضية

وفقًا لنظرية شتاينيتز ، يمكن تمثيل الرسم البياني كهيكل متعدد السطوح؛ أو بعبارة أخرى، إطار متعدد السطوح. يتميز هذا الرسم البياني بخاصيتين: فهو مستوٍ ، أي أن حواف الرسم البياني متصلة بكل رأس دون أن تتقاطع مع حواف أخرى. وهو أيضًا رسم بياني ثلاثي الاتصال : فعندما يُزال رأسان من رؤوس الرسم البياني، تبقى الحواف متصلة. [ 41 ] [ 42 ] يمكن تمثيل هيكل المجسم الاثني عشري المنتظم كرسم بياني، ويُسمى الرسم البياني الاثني عشري ، وهو رسم بياني أفلاطوني . [ 43 ]

يمكن أيضًا إنشاء هذا الرسم البياني كرسم بياني بيترسن المعممجي(10،2){\displaystyle G(10,2)}حيث تتصل رؤوس المضلع العشاري برؤوس مضلعين خماسيين، أحدهما متصل بالرؤوس الفردية للمضلع العشاري والآخر بالرؤوس الزوجية. [ 44 ] هندسيًا، يمكن تصور ذلك على أنه الحزام الاستوائي ذو الرؤوس العشرة للمجسم ذي الاثني عشر وجهًا، والمتصل بالمنطقتين القطبيتين ذواتي الرؤوس الخمسة، واحدة على كل جانب.

تنعكس درجة التناظر العالية للمضلع في خصائص هذا الرسم البياني، وهي: التعدي على المسافة ، [ 45 ] وانتظام المسافة ، والتناظر . رتبة زمرة التشاكل الذاتي هي 120. يمكن تلوين الرؤوس بثلاثة ألوان، وكذلك الحواف، وقطرها خمسة . [ 46 ]

الرسم البياني ذو الاثني عشر وجهًا هو رسم بياني هاميلتوني ، أي أن المسار يمر بجميع رؤوسه مرة واحدة فقط. سُميت هذه الخاصية نسبةً إلى ويليام روان هاميلتون ، مخترع لعبة رياضية تُعرف باسم لعبة الإيكوسيان . كان هدف اللعبة هو إيجاد دورة هاميلتونية على طول حواف المجسم ذي الاثني عشر وجهًا. [ 47 ]

انظر أيضاً

مراجع

  1. ↑ ساتيانارايانا، دي إن (2004). التحليل الطيفي الاهتزازي: النظرية والتطبيقات . نيودلهي: دار نشر نيو إيج إنترناشونال. ص  103. ISBN 978-81-224-1517-9.
  2. 1 2 ساتون، داود (2002). الأجسام الأفلاطونية والأرخميدية . كتب خشبية. دار بلومزبري للنشر، الولايات المتحدة الأمريكية. ص 55. ISBN  978-0-8027-1386-5.
  3. ↑ هيرمان، ديان ل.؛ سالي، بول ج. (2013). العدد والشكل والتناظر: مقدمة في نظرية الأعداد والهندسة ونظرية الزمر . تايلور وفرانسيس. ص 252. ISBN  978-1-4665-5464-1.
  4. ↑ أفلاطون، طيماوس ، ترجمة جويت [السطر 1317-8]؛ الكلمة اليونانية المترجمة إلى delineation هي diazographein ، الرسم في صورة الحياة.
  5. ^ ويلدبيرج ، كريستيان (1988). نقد جون فيلوبونوس لنظرية أرسطو في الأثير . والتر دي جرويتر . ص 11 – 12. رقم ISBN  978-3-11-010446-2.
  6. ↑ كرومويل، بيتر ر. (1997). متعددات السطوح . مطبعة جامعة كامبريدج. ص 57. ISBN  978-0-521-55432-9.
  7. ↑ ليفيو (2003) ، ص 147 . 
  8. ↑ فلوريان كاجوري ، تاريخ الرياضيات (1893)
  9. ↑ إريكسون، مارتن (2011). الرياضيات الجميلة . الجمعية الرياضية الأمريكية . ص 62. ISBN  978-1-61444-509-8.
  10. ↑ ويلز ، ديفيد (1991). قاموس بنغوين للهندسة الغريبة والمثيرة للاهتمام . كتب بنغوين. ص 57-58 . ISBN  978-0-14-011813-1.
  11. ↑ بوكر، دبليو إي؛ إيغلتون، آر بي (1969). "الأجسام الأفلاطونية (حل المسألة E2053)". المجلة الرياضية الأمريكية الشهرية . 76 (2): 192. doi : 10.2307/2317282 . JSTOR 2317282 . 
  12. ↑ هيرتز-فيشلر، روجر (2013). تاريخ رياضي للعدد الذهبي . منشورات كوريير دوفر. الصفحات 138-140 . ISBN  978-0-486-15232-5.
  13. ↑ سيمونز، جورج ف. (2007). جواهر التفاضل والتكامل: حياة موجزة ورياضيات لا تُنسى . الجمعية الرياضية الأمريكية. ص 50. ISBN  978-0-88385-561-4.
  14. ↑ مارار، تون (2022). رحلة مرحة في الطوبولوجيا الهندسية . تشام: سبرينغر. ص 23. doi : 10.1007/978-3-031-07442-4 . ISBN  978-3-031-07442-4.
  15. ↑ كوكسيتر، إتش إس إم ؛ دو فال، باتريك ؛ فلاثر، إتش تي؛ بيتري، جيه إف (1938). المجسمات العشرية الوجوه التسعة والخمسون . المجلد 6. دراسات جامعة تورنتو (السلسلة الرياضية). ص 4.  
  16. ↑ كوكسيتر، إتش إس إم (1973) [1948]. "§1.8 التكوينات". متعددات الوجوه المنتظمة ( الطبعة الثالثة). نيويورك: منشورات دوفر . 
  17. ↑ كوكسيتر، إتش إس إم (1991). متعددات الوجوه المعقدة المنتظمة ( الطبعة الثانية). كامبريدج: مطبعة جامعة كامبريدج . ص 117.  
  18. ↑ شيلاك، فينسنت ب. (1987). "متتالية فيبوناتشي والنسبة الذهبية". مُعلّم الرياضيات . 80 (5): 357-358 . doi : 10.5951/MT.80.5.0357 . JSTOR 27965402 . يحتوي هذا المصدر على اشتقاق أولي لقيمة النسبة الذهبية.
  19. ↑ بيترز، جيه إم إتش (1978). "علاقة تقريبية بين π والنسبة الذهبية". المجلة الرياضية . 62 (421): 197-198 . doi : 10.2307/3616690 . JSTOR 3616690. S2CID 125919525 .  
  20. ↑ ليفيو، ماريو (2003) [2002]. النسبة الذهبية: قصة فاي، الرقم الأكثر إثارة للدهشة في العالم (الطبعة الأولى بغلاف ورقي ). مدينة نيويورك: برودواي بوكس . الصفحات 70-71 . ISBN   0-7679-0816-3.
  21. ↑ بايث، آلان و. (1991). "مقياس ثنائي السطوح دقيق للأشكال متعددة السطوح الشائعة" . في: أرفو، جيمس (محرر). جواهر الرسومات II . دار النشر الأكاديمية . ص 177. رمز Bibcode : 1991grge.book.....A . 
  22. ↑ كوكسيتر (1973) الجدول الأول (أ)، الصفحات 292-293. انظر الأعمدة المسماة0R/ℓ{\displaystyle {}_{0}\!\mathrm {R} /\ell }،1R/ℓ{\displaystyle {}_{1}\!\mathrm {R} /\ell }، و2R/ℓ{\displaystyle {}_{2}\!\mathrm {R} /\ell }، وتدوين كوكسيتر لنصف القطر المحيطي، ونصف القطر الأوسط، ونصف القطر الداخلي، على التوالي، مع ملاحظة أن كوكسيتر يستخدم2ℓ{\displaystyle 2\ell }كطول الحافة (انظر الصفحة 2).
  23. ↑ هارت، جورج (2012). "مجسمات غولدبيرغ" . في سينشال، مارجوري (محررة). تشكيل الفضاء (الطبعة الثانية ). سبرينغر. ص 127. doi : 10.1007/978-0-387-92714-5_9 . ISBN   978-0-387-92713-8.
  24. ↑ كرومويل (1997) ، ص 265 . 
  25. ↑ مونترول، جون (2002). وفرة من المجسمات متعددة الأوجه في فن الأوريغامي . منشورات دوفر . ص 105. ISBN  978-0-486-42271-8.
  26. ↑ كابراف، جاي (2001). الروابط: الجسر الهندسي بين الفن والعلم . جون وايلي وأولاده . ص 474. ISBN  978-981-02-4586-3.
  27. ^ جولاك، زينب؛ جيليشجين، أوزجان (2015). "مقاييس جديدة للمسطحات الدالية السداسية والثنائية الخماسية" . مجلة جامعة سكاريا للعلوم . 19 (3): 353–360 . دوى : 10.16984/saufenbilder.03497 (غير نشط في 1 يوليو 2025).{{cite journal}}: صيانة CS1: رقم التعريف الرقمي غير نشط اعتبارًا من يوليو 2025 ( رابط )
  28. ↑ بيرمان، مارتن (1971). "مجسمات محدبة منتظمة الأوجه". مجلة معهد فرانكلين . 291 (5): 329-352 . doi : 10.1016/0016-0032(71)90071-8 . MR 0290245 . 
  29. ↑ غوغنبرغر، مايكل (2013). "المجسم ذو الاثني عشر وجهًا في العصر الروماني الغالي". مجلة الرياضيات الذكية . 35 (4). سبرينغر ساينس آند بيزنس ميديا ​​ذ.م.م: 56-60 . doi : 10.1007/s00283-013-9403-7 . ISSN 0343-6993 . S2CID 122337773 .  
  30. ↑ هيل، كريستوفر ( 1994). "المجسمات الاثني عشرية الرومانية الغالية: تقرير مرحلي". مجلة الآثار . 74. مطبعة جامعة كامبريدج : 289-292 . doi : 10.1017/s0003581500024458 . ISSN 0003-5815 . S2CID 161691752 .  
  31. ↑ دانلاب، ر. أ. (1992). هارغيتاي، إستفان (محرر). التناظر الخماسي . وورلد ساينتيفيك. ص 493. ISBN  978-981-4522-40-3.
  32. ↑ ليفيو (2003) ، ص. 9 . 
  33. ↑ ليوبولد، سي. (2018). "الهياكل الخماسية كمصدر إلهام للفن" . في: إيمر، ميشيل؛ أباتي، ماركو (محرران). تخيل الرياضيات 6: بين الثقافة والرياضيات . تشام: سبرينغر. ص 220-222 . doi : 10.1007/978-3-319-93949-0 . ISBN  978-3-319-93949-0.
  34. ↑ جوينر، ديفيد (2008). مغامرات في نظرية الزمر: مكعب روبيك، وآلة ميرلين، وأدوات رياضية أخرى ( الطبعة الثانية). مطبعة جامعة جونز هوبكنز. ص 79. ISBN   978-0-8018-9012-3.
  35. ↑ غرين، سارة فرانشيسكا (2017). "التفكير في انتشار الأشكال الهندسية والكسور والأجزاء: خاتمة وملخص لأعمال مارلين ستراثيرن". في: ليبنر، أ. (محرر). إعادة وصف العلاقات: حوارات ستراثيرن حول الإثنوغرافيا والمعرفة والسياسة . نيويورك: بيرغاهن. ص 197-207 . hdl : 10138/232164 . 
  36. ↑ راسل، برتراند. "كوابيس الشخصيات البارزة وقصص أخرى" . أرشيف الإنترنت . تم الاطلاع عليه بتاريخ 10 نوفمبر 2024 .
  37. ^ هاجينو، ك. أونوما، ر.؛ كاواتشي، م.؛ هوريجوتشي، ت. (2013). "اكتشاف البكتيريا الزرقاء المثبتة للنيتروجين الداخلي UCYN-A في Braarudosphaera bigelowii (Prymnesiophyceae)" . بلوس واحد . 8 (12) e81749. بيب كود : 2013PLoSO...881749H . دوى : 10.1371/journal.pone.0081749 . بمك 3852252 . بميد 24324722 .  
  38. ↑ كانفيلد، بول سي .؛ فيشر، إيان آر. (2001). "نمو البلورات الأحادية والبلورات شبه الدورية بين الفلزية في محاليل ذات درجات حرارة عالية". مجلة نمو البلورات . 225 ( 2-4 ). إلسيفير بي في: 155-161 . رمز Bibcode : 2001JCrGr.225..155C . doi : 10.1016/s0022-0248(01)00827-2 . ISSN 0022-0248 . 
  39. ↑ لومينيه، جان بيير ؛ ويكس، جيف؛ ريازويلو، آلان؛ ليهوك، رولان؛ أوزان، جان فيليب (9 أكتوبر 2003). "طوبولوجيا الفضاء ذي الاثني عشر وجهًا كتفسير للارتباطات الحرارية الضعيفة واسعة الزاوية في إشعاع الخلفية الكونية الميكروي". مجلة نيتشر . 425 (6958): 593-595 . arXiv : astro-ph/0310253 . Bibcode : 2003Natur.425..593L . doi : 10.1038/nature01944 . PMID: 14534579. S2CID : 4380713 .  
  40. ^ روكيما، بودوين؛ بولينسكي، زبيغنيو؛ سزانيوسكا، أغنيسكا؛ جودين، نيكولاس إي. (2008). “اختبار فرضية طوبولوجيا الفضاء Dodecahedral Poincaré مع بيانات WMAP CMB”. علم الفلك والفيزياء الفلكية . 482 (3): 747. أرخايف : 0801.0006 . بيب كود : 2008A & A...482..747L . دوى : 10.1051/0004-6361:20078777 . S2CID 1616362 . 
  41. ^ غرونباوم ، برانكو (2003). “13.1 نظرية شتاينتز”. بوليتوبس محدبة . نصوص الدراسات العليا في الرياضيات . المجلد. 221 ( الطبعة الثانية). سبرينغر-فيرلاغ. ص 235 – 244. ISBN    0-387-40409-0.
  42. ↑ زيغلر، غونتر م. (1995). "الفصل 4: نظرية شتاينيتز للمضلعات ثلاثية الأبعاد". محاضرات في المضلعات . نصوص الدراسات العليا في الرياضيات . المجلد 152. سبرينغر-فيرلاغ. الصفحات 103-126 . ISBN   0-387-94365-X.
  43. ↑ رودولف، مايكل (2022). رياضيات الشبكات المحدودة: مقدمة في نظرية الرسم البياني للمؤثرات . مطبعة جامعة كامبريدج . ص 25. doi : 10.1007/9781316466919 (غير نشط في 8 يوليو 2025). ISBN  978-1-316-46691-9.{{cite book}}: صيانة CS1: رقم التعريف الرقمي غير نشط اعتبارًا من يوليو 2025 ( رابط )
  44. ↑ بيسانسكي، توماز؛ سيرفاتيوس، بريجيت (2013). التكوين من وجهة نظر رسومية . سبرينغر. ص 81. doi : 10.1007/978-0-8176-8364-1 . ISBN  978-0-8176-8363-4.
  45. ↑ جودسيل، كريس؛ رويل، جوردون ف. (2001). نظرية الرسم البياني الجبرية . ص 67. doi : 10.1007/978-1-4613-0163-9 . ISBN  978-1-4613-0163-9.
  46. ↑ وايسشتاين، إريك دبليو. "الرسم البياني ذو الاثني عشر وجهًا" . عالم الرياضيات .
  47. ↑ بوندي، جيه إيه ؛ مورتي، يو إس آر (1976)، نظرية الرسم البياني مع التطبيقات ، نورث هولاند، ص 53، ISBN  0-444-19451-7.