حلقة غير تبديلية

حلقة القسمة، وتُسمى أيضًا حقلًا معكوسًا، هي حلقة يمكن فيها إجراء القسمة . تحديدًا، هي حلقة غير صفرية ^{[ 2 ]} حيث لكل عنصر غير صفري a معكوس ضربي ، أي عنصر x بحيث يكون a · x = x · a = 1. بعبارة أخرى، تكون الحلقة حلقة قسمة إذا وفقط إذا كانت مجموعة عناصرها هي مجموعة جميع العناصر غير الصفرية.

تختلف حلقات القسمة عن الحقول فقط في أن عملية الضرب فيها لا تتطلب أن تكون تبديلية . مع ذلك، وبحسب نظرية ويدربورن الصغرى، فإن جميع حلقات القسمة المنتهية هي تبديلية، وبالتالي فهي حقول منتهية . تاريخيًا، كانت حلقات القسمة تُسمى أحيانًا حقولًا، بينما كانت الحقول تُسمى "حقولًا تبديلية".

يقال إن الوحدة النمطية على حلقة (ليست بالضرورة تبديلية) تحتوي على عنصر محايد هي وحدة نمطية شبه بسيطة (أو قابلة للاختزال تمامًا) إذا كانت مجموعًا مباشرًا لوحدات نمطية فرعية بسيطة (غير قابلة للاختزال).

يُقال إن الحلقة شبه بسيطة (يسارية) إذا كانت شبه بسيطة كوحدة نمطية يسارية فوق نفسها. والمثير للدهشة أن الحلقة شبه البسيطة اليسارية هي أيضاً شبه بسيطة يمينية، والعكس صحيح. لذا، فإن التمييز بين اليسار واليمين غير ضروري.

الحلقة شبه الأولية، أو حلقة جاكوبسون شبه البسيطة، أو حلقة J-شبه البسيطة، هي حلقة يكون جذر جاكوبسون الخاص بها صفرًا. وهي نوع من الحلقات أكثر عمومية من الحلقة شبه البسيطة ، حيث توفر الوحدات البسيطة معلومات كافية عنها. حلقات مثل حلقة الأعداد الصحيحة هي حلقات شبه أولية، والحلقة الأرتينية شبه الأولية هي ببساطة حلقة شبه بسيطة . يمكن فهم الحلقات شبه الأولية على أنها نواتج فرعية مباشرة لحلقات أولية ، والتي يصفها مبرهنة كثافة جاكوبسون .

الحلقة البسيطة هي حلقة غير صفرية لا تحتوي على مثالي ثنائي الجانب باستثناء المثالي الصفري ونفسها. ويمكن اعتبار الحلقة البسيطة دائمًا جبرًا بسيطًا . توجد حلقات بسيطة كحلقات ولكنها ليست بسيطة كوحدات نمطية : حلقة المصفوفات الكاملة على حقل لا تحتوي على أي مثاليات غير تافهة (لأن أي مثالي في M( n , R ) يكون على الصورة M( n , I ) حيث I مثالي في R )، ولكنها تحتوي على مثاليات يسارية غير تافهة (أي مجموعات المصفوفات التي تحتوي على بعض الأعمدة الصفرية الثابتة).

بحسب نظرية آرتين-ويدربورن ، فإن كل حلقة بسيطة، سواء كانت آرتينية يسارية أو يمينية، هي حلقة مصفوفات فوق حلقة قسمة . وبالتحديد، فإن الحلقات البسيطة الوحيدة التي تُشكّل فضاءً متجهيًا محدود الأبعاد فوق الأعداد الحقيقية هي حلقات المصفوفات فوق الأعداد الحقيقية، أو الأعداد المركبة ، أو الكواترنيونات .

أي حلقة خارج قسمة حلقة على مثالي أعظمي هي حلقة بسيطة. وعلى وجه الخصوص، الحقل هو حلقة بسيطة. الحلقة R بسيطة إذا وفقط إذا كانت حلقتها المقابلة R₀ ^بسيطة .

ومن الأمثلة على الحلقات البسيطة التي ليست حلقة مصفوفة فوق حلقة قسمة هي جبر ويل .

تنص نظرية ويدربورن الصغيرة على أن كل مجال منتهٍ هو حقل . بعبارة أخرى، بالنسبة للحلقات المنتهية ، لا يوجد فرق بين المجالات وحلقات القسمة والحقول.

تعمم نظرية آرتين -زورن النظرية لتشمل الحلقات البديلة : كل حلقة بديلة بسيطة منتهية هي حقل. ^{[ 3 ]}

تُعدّ نظرية آرتين-ويدربورن نظرية تصنيف للحلقات شبه البسيطة والجبر شبه البسيط . تنصّ النظرية على أن الحلقة شبه البسيطة (الأرتينية) R ^{[ 4 ]} متماثلة مع حاصل ضرب عدد منتهٍ من حلقات المصفوفات من الرتبة n _{_i} × n _{_i} على حلقات القسمة D _{_i}، حيث n_i عدد صحيح ، وكلاهما مُحدّد بشكل فريد حتى تبديل الدليل i . على وجه الخصوص، أي حلقة أرتينية بسيطة يسارية أو يمينية متماثلة مع حلقة مصفوفات من الرتبة n × n على حلقة قسمة D _i، حيث n و D مُحدّدان بشكل فريد. ^{[ 5 ]}

كنتيجة مباشرة، تنص نظرية آرتين-ويدربورن على أن كل حلقة بسيطة ذات بُعد منتهٍ فوق حلقة قسمة (جبر بسيط) هي حلقة مصفوفات . هذه هي النتيجة الأصلية لجوزيف ويدربورن ، وقد عممها إميل آرتين لاحقًا لتشمل حالة الحلقات الأرتينية.

نظرية كثافة جاكوبسون هي نظرية تتعلق ^{بالوحدات} البسيطة على حلقة R. [ ^{6 ]}

يمكن تطبيق هذه النظرية لإثبات أن أي حلقة أولية يُمكن اعتبارها حلقة فرعية "كثيفة" من حلقة التحويلات الخطية لفضاء متجهي. ^{[ 7 ] [ 8 ]} ظهرت هذه النظرية لأول مرة في الأدبيات عام 1945، في الورقة البحثية الشهيرة "نظرية بنية الحلقات البسيطة بدون افتراضات التناهي" لناثان جاكوبسون . ^{[ 9 ]} يُمكن اعتبار ذلك تعميمًا لنتيجة نظرية آرتين-ويدربورن حول بنية حلقات آرتين البسيطة .

بصورة أكثر رسمية، يمكن صياغة النظرية على النحو التالي:

نظرية كثافة جاكوبسون. ليكن U وحدة نمطية يمينية بسيطة على R ، و D = End( U ∈ _R ) ، و X ⊂ U مجموعة منتهية ومستقلة خطيًا على D. إذا كان A تحويلًا خطيًا على D على U، ^فإنه يوجد r ∈ R بحيث يكون A ( x ) = x · r لكل x في X. ^{[ 10} ]

ليكن J( R ) الجذر الجاكوبسوني لـ R. إذا كانت U وحدة نمطية يمنى على حلقة R ، و I مثالي يميني في R ، فإن U · I تُعرَّف بأنها مجموعة جميع المجاميع (المنتهية) للعناصر من الشكل u · i ، حيث · هو ببساطة تأثير R على U. بالضرورة، U · I وحدة نمطية جزئية من U.

إذا كانت V وحدة فرعية عظمى من U ، فإن U / V بسيطة . لذا، فإن U · J( R ) هي بالضرورة مجموعة جزئية من V ، بحسب تعريف J( R ) وحقيقة أن U / V بسيطة. ^{[ 11 ]} وبالتالي، إذا احتوت U على وحدة فرعية عظمى واحدة على الأقل (حقيقية)، فإن U · J( R ) هي وحدة فرعية حقيقية من U. مع ذلك، لا يشترط أن يتحقق هذا لأي وحدات U على R ، إذ لا يشترط أن تحتوي U على أي وحدات فرعية عظمى. ^{[ 12 ]} وبطبيعة الحال، إذا كانت U وحدة نوثرية ، فإن هذا يتحقق. إذا كانت R نوثرية، وكانت U مولدة توليدًا منتهيًا ، فإن U هي وحدة نوثرية على R ، ويتحقق الاستنتاج. ^{[ 13 ]} ومن اللافت للنظر أن الافتراض الأضعف، وهو أن U مولدة توليدًا منتهيًا كوحدة R (دون افتراض محدودية R )، يكفي لضمان صحة الاستنتاج. هذا هو جوهر بيان لِمّة ناكاياما. ^{[ 14 ]}

وبالتحديد، يمتلك المرء ما يلي.

مبرهنة ناكاياما : ليكن U وحدة ^نمطية يمنى مولدة نهائياً على حلقة R. إذا كانت U وحدة نمطية غير صفرية، فإن U ·J( R ) هي وحدة نمطية جزئية فعلية من U. ^{[ 14} ]

تنطبق نسخة من اللمة على الوحدات اليمنى فوق الحلقات الوحدوية غير التبادلية R. وتُعرف النظرية الناتجة أحيانًا باسم نظرية جاكوبسون-أزوميا . ^{[ 15 ]}

التوطين هو أسلوب منهجي لإضافة المعكوسات الضربية إلى حلقة ، ويُطبق عادةً على الحلقات التبديلية. بفرض وجود حلقة R ومجموعة جزئية S ، يُراد إنشاء حلقة R * وتشاكل حلقي من R إلى R *، بحيث تتكون صورة S من عناصر قابلة للعكس في R *. كما يُراد أن تكون R * هي "أفضل طريقة ممكنة" أو "الأكثر عمومية" لتحقيق ذلك - ويُعبَّر عن ذلك عادةً بخاصية شاملة . يُرمز عادةً لتوطين R بواسطة S بالرمز S ^{− 1} R ؛ ومع ذلك، تُستخدم رموز أخرى في بعض الحالات الخاصة الهامة. إذا كانت S هي مجموعة العناصر غير الصفرية في مجال تكاملي ، فإن التوطين يكون حقل الكسور ، وبالتالي يُرمز له عادةً بالرمز Frac( R ). 

يُعدّ تحديد مواقع الحلقات غير التبادلية أكثر صعوبة؛ إذ لا يوجد تحديد للمواقع لكل مجموعة S من الوحدات المحتملة. أحد الشروط التي تضمن وجود تحديد المواقع هو شرط أور .

من الحالات التي تبرز فيها أهمية التوطين في الحلقات غير التبادلية، حلقات المؤثرات التفاضلية. فعلى سبيل المثال، يُفسَّر التوطين بضم معكوس شكلي D ^{− 1} لمؤثر تفاضلي D. ويُستخدم هذا في العديد من سياقات طرق المعادلات التفاضلية . وقد نشأت نظرية رياضية واسعة النطاق حول هذا الموضوع، تُعرف باسم التوطين الميكروي ، وترتبط بفروع رياضية أخرى عديدة. ويرتبط مصطلح "الميكروي" تحديدًا بالصلات مع نظرية فورييه .

تكافؤ موريتا هو علاقة تُعرَّف بين الحلقات وتحافظ على العديد من خصائص نظرية الحلقات. سُمِّيَ هذا التكافؤ نسبةً إلى عالم الرياضيات الياباني كيتي موريتا الذي عرَّف التكافؤ ومفهومًا مشابهًا للازدواجية في عام 1958.

يُقال إن حلقتين R و S (تجميعيتين، مع 1) متكافئتان ( موريتا ) إذا وُجد تكافؤ بين فئة الوحدات (اليسرى) على R ، R-Mod ، وفئة الوحدات (اليسرى) على S ، S-Mod . يمكن إثبات أن فئتي الوحدات اليسرى R-Mod و S-Mod متكافئتان إذا وفقط إذا كانت فئتا الوحدات اليمنى Mod-R و Mod-S متكافئتين. علاوة على ذلك، يمكن إثبات أن أي دالة من R-Mod إلى S-Mod تُنتج تكافؤًا تكون جمعية تلقائيًا .

زمرة براور للحقل K هي زمرة تبديلية عناصرها فئات تكافؤ موريتا للجبر البسيط المركزي ذي الرتبة المحدودة على K ، ويُستحث الجمع فيها من خلال الضرب الموتري للجبر. نشأت هذه الزمرة من محاولات تصنيف جبر القسمة على حقل، وسُميت نسبةً إلى عالم الجبر ريتشارد براور . يمكن تعريف الزمرة أيضًا بدلالة تماثل غالوا . وبشكل أعم، تُعرَّف زمرة براور للمخطط بدلالة جبر أزومايا .

شرط أور هو شرطٌ وضعه أويستين أور ، في سياق مسألة توسيع نطاق بناء حقل الكسور خارج نطاق الحلقات التبديلية ، أو بشكلٍ أعم، تحديد موضع الحلقة . ينص شرط أور الأيمن لمجموعة جزئية ضربية S من حلقة R على أنه لكل a ∈ R و s ∈ S ، يكون التقاطع aS ∩ sR ≠ ∅ . ^{[ 16 ]} يُطلق على المجال الذي يحقق شرط أور الأيمن اسم مجال أور الأيمن . ويُعرَّف شرط أور الأيسر بطريقة مماثلة.

في الرياضيات ، تُعدّ نظرية غولدي نتيجة هيكلية أساسية في نظرية الحلقات ، وقد أثبتها ألفريد غولدي خلال خمسينيات القرن العشرين. ما يُطلق عليه الآن حلقة غولدي اليمنى هو حلقة R ذات بُعد منتظم محدود (يُسمى أيضًا "رتبة محدودة") كوحدة نمطية يمنى على نفسها، وتُحقق شرط السلسلة الصاعدة على العناصر المُبيدة اليمنى للمجموعات الجزئية من R.

تنص نظرية غولدي على أن حلقات غولدي اليمنى شبه الأولية هي تحديدًا تلك التي تمتلك حلقة أرتينية يمنى كلاسيكية شبه بسيطة من خارج القسمة . ويتم تحديد بنية حلقة خارج القسمة هذه بشكل كامل بواسطة نظرية أرتين-ويدربورن .

ينطبق مبدأ غولدي تحديدًا على الحلقات النويثرية اليمنى شبه الأولية ، إذ أن الحلقات النويثرية اليمنى، بحكم تعريفها، تمتلك شرط السلسلة الصاعدة على جميع المُثُل اليمنى. وهذا كافٍ لضمان أن الحلقة النويثرية اليمنى هي حلقة غولدي يمنى. أما العكس فلا يصح: فكل مجال أور يميني هو مجال غولدي يميني، وبالتالي فإن كل مجال تكاملي تبديلي هو كذلك أيضًا .

من نتائج نظرية غولدي، التي تعود أيضاً إلى غولدي نفسه، أن كل حلقة مثالية رئيسية يمنى شبه أولية متماثلة مع مجموع مباشر منتهٍ لحلقات مثالية رئيسية يمنى أولية . وكل حلقة مثالية رئيسية يمنى أولية متماثلة مع حلقة مصفوفات على مجال أور يميني.