العدد التخيلي

📅 آخر تحديث: ٢٥ يوليو ٢٠٢٦
✍️ نُشر في: ٢٥ يوليو ٢٠٢٦
📷 يحتوي على 23 صور
الموسوعة الحرة

قوى العدد i دورية:
 ⋮{\displaystyle \ \vdots }
 أنا-2=-1أنا{\displaystyle \ i^{-2}=-1{\phantom {i}}}
 أنا-1=-أنا1{\displaystyle \ i^{-1}=-i{\phantom {1}}}
  أنا0 =-1أنا{\displaystyle \ \ i^{0}\ ={\phantom {-}}1{\phantom {i}}}
  أنا1 =-أنا1{\displaystyle \ \ i^{1}\ ={\phantom {-}}i{\phantom {1}}}
  أنا2 =-1أنا{\displaystyle \ \ i^{2}\ =-1{\phantom {i}}}
  أنا3 =-أنا1{\displaystyle \ \ i^{3}\ =-i{\phantom {1}}}
  أنا4 =-1أنا{\displaystyle \ \ i^{4}\ ={\phantom {-}}1{\phantom {i}}}
  أنا5 =-أنا1{\displaystyle \ \ i^{5}\ ={\phantom {-}}i{\phantom {1}}}
 ⋮{\displaystyle \ \vdots }
أنا{\displaystyle i}هو ⁠4{\displaystyle 4}الجذر النوني للوحدة

العدد التخيلي هو حاصل ضرب عدد حقيقي في الوحدة التخيلية i ، [ ملاحظة 1 ] والتي تُعرَّف بخاصيتها i² = -1 . [ 1 ] [ 2 ] مربع العدد التخيلي bi هو -b² . على سبيل المثال، 5i عدد تخيلي ، ومربعه هو -25 . يُعتبر العدد صفر عددًا حقيقيًا وتخيليًا في آنٍ واحد . [ 3 ]

صاغ رينيه ديكارت هذا المصطلح في الأصل في القرن السابع عشر [ 4 ] كمصطلح ازدرائي واعتبر وهميًا أو عديم الفائدة، واكتسب المفهوم قبولًا واسعًا بعد عمل ليونارد أويلر في القرن الثامن عشر، وأوغستين لويس كوشي وكارل فريدريش جاوس في أوائل القرن التاسع عشر.

يمكن إضافة العدد التخيلي bi إلى العدد الحقيقي a لتكوين عدد مركب على الصورة a + bi ، حيث يُطلق على العددين الحقيقيين a و b ، على التوالي، الجزء الحقيقي والجزء التخيلي من العدد المركب. [ 5 ] غالبًا ما تُسمى الأعداد التخيلية بالأعداد التخيلية البحتة لتمييزها عن الأعداد المركبة بشكل عام؛ ويُرمز أحيانًا إلى مجموعة جميع الأعداد التخيلية بـ ⁠أناR{\displaystyle i\mathbb {R} }، حيث​R{\displaystyle \mathbb {R} }يرمز إلى مجموعة الأعداد الحقيقية.

تاريخ

رسم توضيحي للمستوى المركب. الأعداد التخيلية موجودة على محور الإحداثيات الرأسي.

على الرغم من أن عالم الرياضيات والمهندس اليوناني هيرون الإسكندري يُعتبر أول من قدم عملية حسابية تتضمن الجذر التربيعي لعدد سالب، [ 6 ] [ 7 ] إلا أن رافائيل بومبيلي هو من وضع قواعد ضرب الأعداد المركبة لأول مرة عام 1572. وقد ظهر هذا المفهوم مطبوعًا في وقت سابق، كما في كتاب "آرس ماجنا " (1545) لجيرولامو كاردانو . [ 8 ] في ذلك الوقت، لم تكن الأعداد التخيلية والأعداد السالبة مفهومة جيدًا، واعتبرها البعض وهمية أو عديمة الفائدة، تمامًا كما كان يُنظر إلى الصفر في السابق. وقد تأخر العديد من علماء الرياضيات الآخرين في تبني استخدام الأعداد التخيلية، بمن فيهم رينيه ديكارت ، الذي كتب عنها في كتابه "الهندسة" حيث صاغ مصطلح "تخيلي" وكان يقصد به دلالة سلبية. [ 9 ] [ 10 ] لم يُقبل استخدام الأعداد التخيلية على نطاق واسع حتى أعمال ليونارد أويلر (1707-1783) وكارل فريدريش غاوس (1777-1855). وقد وصف كاسبار فيسل (1745-1818) لأول مرة الدلالة الهندسية للأعداد المركبة كنقاط في مستوى . [ 11 ]

في عام 1843، قام ويليام روان هاميلتون بتوسيع فكرة محور الأعداد التخيلية في المستوى إلى فضاء رباعي الأبعاد من الأعداد التخيلية الرباعية التي تكون ثلاثة من أبعادها مماثلة للأعداد التخيلية في الحقل المركب.

التفسير الهندسي

دوران بزاوية 90 درجة في المستوى المركب

هندسيًا، توجد الأعداد التخيلية على المحور الرأسي لمستوى الأعداد المركبة ، مما يسمح بتمثيلها عموديًا على المحور الحقيقي. إحدى طرق فهم الأعداد التخيلية هي: أولًا، اعتبار خط الأعداد القياسي ، أي محور أفقي ( س ) تتزايد عليه الأعداد الحقيقية الموجبة كلما اتجهنا يمينًا، والأعداد الحقيقية السالبة كلما اتجهنا يسارًا. ثانيًا، عند الصفر على المحور (س) ، اعتبار محور رأسي (ص ) باتجاه موجب للأعلى؛ عندها تتزايد الأعداد التخيلية الموجبة كلما اتجهنا للأعلى، والأعداد التخيلية السالبة كلما اتجهنا للأسفل. يُطلق على هذا المحور الرأسي غالبًا اسم "المحور التخيلي". [ 12 ]

في هذا التمثيل، يُقابل الضرب في i دورانًا عكس عقارب الساعة بمقدار 90 درجة حول نقطة الأصل، أي ربع دورة. بينما يُقابل الضرب في -i دورانًا مع عقارب الساعة بمقدار 90 درجة حول نقطة الأصل. وبالمثل، فإن الضرب في عدد تخيلي بحت bi ، حيث b عدد حقيقي موجب، يُؤدي إلى دوران عكس عقارب الساعة حول نقطة الأصل بمقدار 90 درجة ، ويُغيّر الناتج بمعامل b . عندما يكون b < 0 ، يُمكن وصف ذلك بدوران مع عقارب الساعة بمقدار 90 درجة وتغيير في المقياس بمقدار | b | . [ 13 ]  

الجذور التربيعية للأعداد السالبة

ℕ ⊊ ℤ ⊊ ℚ ⊊ ℝ ⊊ ℂ
المجموعات المضمنة بين الأعداد الطبيعية (شمال{\displaystyle \mathbb {N} }), الأعداد الصحيحة (Z{\displaystyle \mathbb {Z} })، الأعداد النسبية (سؤال{\displaystyle \mathbb {Q} }), الأعداد الحقيقية (R{\displaystyle \mathbb {R} })، والأعداد المركبة (ج{\displaystyle \mathbb {C} })

يجب توخي الحذر عند التعامل مع الأعداد التخيلية التي تُعبَّر عنها بالقيم الرئيسية للجذور التربيعية للأعداد السالبة . [ 14 ] على سبيل المثال، المساواة الثانية في

6=(-2)⋅(-3)= (غير صالح) -2⋅-3=أنا2⋅أنا3=-6{\displaystyle \textstyle {\sqrt {6}}={\sqrt {(-2)\cdot (-3)}}\mathrel {\stackrel {\text{ (غير صالح) }}{=}} {\sqrt {-2}}\cdot {\sqrt {-3}}=i{\sqrt {2}}\cdot i{\sqrt {3}}=-{\sqrt {6}}\,}

غير صالحة: الهويةxy=xy{\displaystyle {\sqrt {xy}}={\sqrt {x}}{\sqrt {y}}}لا ينطبق هذا الشرط دائمًا على الفرع الرئيسي لدالة الجذر التربيعي المركب بالنسبة للأعداد الحقيقية غير السالبة.

انظر أيضاً

ملحوظات

  1. ↑ يُستخدم j عادةً في السياقات الهندسية حيث يكون لـ i معانٍ أخرى (مثل التيار الكهربائي).

مراجع

  1. ↑ أونو إنجارد، ك. (1988). "الفصل 2" . أساسيات الموجات والتذبذبات . مطبعة جامعة كامبريدج. ص 38. ISBN  0-521-33957-X.
  2. ↑ وايسشتاين، إريك و. "العدد التخيلي" . mathworld.wolfram.com . تم الاطلاع عليه بتاريخ 10 أغسطس 2020 .
  3. ↑ سينها، ك. س. (2008). كتاب مدرسي في الرياضيات للصف الحادي عشر ( الطبعة الثانية). منشورات راستوجي. ص 11.2. ISBN   978-81-7133-912-9.
  4. ↑ جياكوينتا، ماريانو؛ موديكا، جوزيبي (2004). التحليل الرياضي: التقريب والعمليات المنفصلة ( طبعة مصورة). سبرينغر ساينس آند بيزنس ميديا. ص 121. ISBN   978-0-8176-4337-9.مقتطف من الصفحة 121
  5. ↑ أوفمان، ريتشارد؛ باركر، فيرنون سي؛ نيشن، ريتشارد (2009). الجبر الجامعي: طبعة مُحسّنة ( الطبعة السادسة). سينجايج ليرنينج. ص 66. ISBN   978-1-4390-4379-0.
  6. ^ هارجيتاي، إستفان (1992). التماثل الخماسي (2 ed.). العلمية العالمية. ص. 153. ردمك   981-02-0600-3.
  7. ↑ روي، ستيفن كامبل (2007). الأعداد المركبة: محاكاة الشبكة وتطبيقات دالة زيتا . هوروود. ص 1. ISBN  978-1-904275-25-1.
  8. ↑ كوري، ليو (24 أبريل 2026). "كاردانو وحل المعادلات التكعيبية والرباعية" . www.britannica.com . تاريخ الاسترجاع: 22 مايو 2026 .{{cite web}}: CS1 maint: url-status ( link )
  9. ^ ديكارت، رينيه ، Discours de la méthode (ليدن، (هولندا): جان مير، 1637)، الكتاب الملحق: La Géométrie ، الكتاب الثالث، ص. 380. من الصفحة 380: “Au Reste tant les vrayes racines que les fasses ne sont pas tos jours reelles; mais quelquefois selement تخيلات; quelquefois aucune quantité، التي تتوافق مع الخلايا التي تتخيلها، كظهور ما يمكن أن تتخيله ثلاث مرات في الخلية cy، x 3 – 6xx + 13x – 10 = 0، لا يوجد في كل بكرة، والتي هي 2، & من أجل اثنين آخرين، quy qu'on les تزيد، أو تقلل، أو تتضاعف la façon que je viens d'expliquer, on ne sçauroit les rendre autres qu'imaginaires.” (علاوة على ذلك، فإن الجذور الحقيقية وكذلك الجذور الزائفة ليست دائمًا حقيقية؛ بل أحيانًا تكون كميات تخيلية فقط؛ أي أنه يمكن للمرء دائمًا تخيل العدد الذي ذكرته منها في كل معادلة؛ ولكن في بعض الأحيان لا توجد كمية تتوافق مع ما يتخيله المرء، تمامًا كما أنه على الرغم من أنه يمكن للمرء تخيل ثلاثة منها في هذه المعادلة، x 3 – 6xx + 13x – 10 = 0، إلا أن واحدًا منها فقط حقيقي، وهو 2، وبالنسبة للاثنين الآخرين، حتى لو قام المرء بزيادتهما أو إنقاصهما أو ضربهما بالطريقة التي شرحتها للتو، فلن يتمكن من جعلهما إلا كميات تخيلية.)
  10. ↑ مارتينيز، ألبرت أ. (2006)، الرياضيات السلبية: كيف يمكن ثني القواعد الرياضية بشكل إيجابي ، برينستون: مطبعة جامعة برينستون، ISBN 0-691-12309-8يناقش هذا البحث غموض المعنى في التعبيرات الخيالية في سياقها التاريخي.
  11. ↑ روزنفيلد، بوريس أبراموفيتش (1988). "الفصل 10" . تاريخ الهندسة غير الإقليدية: تطور مفهوم الفضاء الهندسي . سبرينغر. ص 382. ISBN  0-387-96458-4.
  12. ↑ فون ماير، ألكسندرا (2006). أنظمة الطاقة الكهربائية - مقدمة مفاهيمية . جون وايلي وأولاده . ص 61-62 . ISBN  0-471-17859-4تم الاطلاع عليه بتاريخ 13 يناير 2022 .
  13. ↑ كويبرز، ج. ب. (1999). الرباعيات ومتواليات الدوران: مدخل مع تطبيقات على المدارات والفضاء والواقع الافتراضي . مطبعة جامعة برينستون . الصفحات 10-11 . ISBN  0-691-10298-8تم الاطلاع عليه بتاريخ 13 يناير 2022 .
  14. ↑ ناهين، بول ج. (2010). حكاية خيالية: قصة "i" [ الجذر التربيعي لسالب واحد ] . مطبعة جامعة برينستون. ص 12. ISBN  978-1-4008-3029-9.مقتطف من الصفحة 12

فهرس