رقم الهاتف

في الجبر ، تُعدّ الأعداد الثنائية نوعًا من الجبر التربيعي الذي طُرح لأول مرة في القرن التاسع عشر. وهي تعبيرات على الصورة a + bε ، حيث a و b عددان حقيقيان ، و ε رمز يُختار لتحقيق${\displaystyle \varepsilon ^{2}=0}$مع${\displaystyle \varepsilon \neq 0}$.

يمكن جمع الأعداد المزدوجة عنصرًا عنصرًا، وضربها بالصيغة

${\displaystyle (a+b\varepsilon )(c+d\varepsilon )=ac+(ad+bc)\varepsilon ,}$

وهذا يتبع من الخاصية ε ² = 0 وحقيقة أن الضرب عملية ثنائية الخطية .

تشكل الأعداد الثنائية جبرًا تبديليًا ثنائي الأبعاد على الأعداد الحقيقية، كما تشكل حلقة محلية أرتينية . وهي من أبسط الأمثلة على حلقة تحتوي على عناصر نيلبوتنت غير صفرية .

طُرحت الأعداد الثنائية عام 1873 على يد ويليام كليفورد ، واستُخدمت في مطلع القرن العشرين من قِبل عالم الرياضيات الألماني إدوارد ستادي ، الذي وظّفها لتمثيل الزاوية الثنائية التي تقيس الموضع النسبي لخطين متخالفين في الفضاء. عرّف ستادي الزاوية الثنائية بأنها θ + dε ، حيث θ هي الزاوية بين اتجاهي الخطين في الفضاء ثلاثي الأبعاد، و d هي المسافة بينهما. أما التعميم ذو الأبعاد n ، وهو عدد غراسمان ، فقد قدّمه هيرمان غراسمان في أواخر القرن التاسع عشر.

في الجبر الحديث ، يُعرَّف جبر الأعداد الثنائية غالبًا بأنه خارج قسمة حلقة متعددة الحدود على الأعداد الحقيقية${\displaystyle (\mathbb {R} )}$بواسطة المثالي الرئيسي الناتج ^عن مربع المتغير ، [ ^{1 ]} أي

${\displaystyle \mathbb {R} [X]/\left\langle X^{2}\right\rangle .}$

ويمكن تعريفها أيضاً بأنها الجبر الخارجي لفضاء متجهي أحادي البعد مع${\displaystyle \varepsilon }$كعنصر أساسي له.

تُعرَّف قسمة الأعداد المزدوجة عندما يكون الجزء الحقيقي من المقام ( ج في المعادلات أدناه) غير صفري . وتُشابه عملية القسمة هذه عملية القسمة المركبة ، حيث يُضرب المقام في مرافقه لحذف الأجزاء غير الحقيقية.

لذلك، لتقييم تعبير من الشكل

${\displaystyle {\frac {a+b\varepsilon }{c+d\varepsilon }}}$

نضرب البسط والمقام في مرافق المقام:

${\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {a+b\varepsilon }{c+d\varepsilon }}&={\frac {(a+b\varepsilon )(c-d\varepsilon )}{(c+d\varepsilon )(c-d\varepsilon )}}\\[5pt]&={\frac {ac-ad\varepsilon +bc\varepsilon -bd\varepsilon ^{2}}{c^{2}+cd\varepsilon -cd\varepsilon -d^{2}\varepsilon ^{2}}}\\[5pt]&={\frac {ac-ad\varepsilon +bc\varepsilon -0}{c^{2}-0}}\\[5pt]&={\frac {ac+\varepsilon (bc-ad)}{c^{2}}}\\[5pt]&={\frac {a}{c}}+{\frac {bc-ad}{c^{2}}}\varepsilon \end{aligned}}}$

أما إذا كانت قيمة c تساوي صفرًا بينما قيمة d لا تساوي صفرًا، فإن المعادلة

${\displaystyle {a+b\varepsilon =(x+y\varepsilon )d\varepsilon }={xd\varepsilon +0}}$

1. ليس له حل إذا كانت قيمة a غير صفرية
2. وإلا يتم حلها بأي عدد مزدوج من الشكل ⁠ b / d ⁠ + yε .

هذا يعني أن الجزء غير الحقيقي من "الناتج" اختياري، وبالتالي فإن القسمة غير مُعرَّفة للأعداد الثنائية غير الحقيقية البحتة. في الواقع، هي قواسم للصفر (بشكل بديهي) ، وتشكل بوضوح مثالًا للجبر الترابطي (وبالتالي حلقة ) للأعداد الثنائية.

الرقم المزدوج${\displaystyle a+b\varepsilon }$يمكن تمثيلها بواسطة المصفوفة المربعة${\displaystyle {\begin{pmatrix}a&b\\0&a\end{pmatrix}}}$في هذا التمثيل، المصفوفة${\displaystyle {\begin{pmatrix}0&1\\0&0\end{pmatrix}}}$مربعات المصفوفة الصفرية، المقابلة للعدد الثنائي${\displaystyle \varepsilon }$.

عموماً، إذا${\displaystyle \varepsilon }$إذا كانت مصفوفة عديمة القوة ، فإن B = { x I + y${\displaystyle \varepsilon }${ x, y حقيقي} هو جبر جزئي متماثل مع جبر الأعداد الثنائية. في حالة المصفوفات الحقيقية 2×2، M(2, R )،${\displaystyle \varepsilon }$يمكن اعتبارها أي مصفوفة من الشكل${\displaystyle {\begin{pmatrix}a&b\\c&-a\end{pmatrix}}}$حيث p = a ² + bc = 0.

الأعداد الثنائية هي إحدى فئات التشاكل الثلاث للجبر الحقيقي ثنائي الأبعاد في M(2, R ). عندما يكون p > 0 يكون الجبر الجزئي B متماثلاً مع الأعداد المركبة المنقسمة ، وعندما يكون p < 0، يكون B متماثلاً مع المستوى المركب .

أحد تطبيقات الأعداد الثنائية هو التفاضل التلقائي . أي متعددة حدود

${\displaystyle P(x)=p_{0}+p_{1}x+p_{2}x^{2}+\cdots +p_{n}x^{n}}$

يمكن توسيع الدالة ذات المعاملات الحقيقية لتشمل دالة ذات وسيط ذي قيم عددية مزدوجة.

${\displaystyle {\begin{aligned}P(a+b\varepsilon )&=p_{0}+p_{1}(a+b\varepsilon )+\cdots +p_{n}(a+b\varepsilon )^{n}\\[2mu]&=p_{0}+p_{1}a+p_{2}a^{2}+\cdots +p_{n}a^{n}+p_{1}b\varepsilon +2p_{2}ab\varepsilon +\cdots +np_{n}a^{n-1}b\varepsilon \\[5mu]&=P(a)+bP'(a)\varepsilon ,\end{aligned}}}$

أين${\displaystyle P'}$هو مشتق من${\displaystyle P.}$

وبشكل أعم، يمكن تمديد أي دالة حقيقية (تحليلية) إلى الأعداد الثنائية عبر متسلسلة تايلور الخاصة بها :

${\displaystyle f(a+b\varepsilon )=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {f^{(n)}(a)b^{n}\varepsilon ^{n}}{n!}}=f(a)+bf'(a)\varepsilon ,}$

بما أن جميع الحدود التي تتضمن قوى ε ² أو أكبر هي صفر بشكل بديهي بحسب تعريف ε .

من خلال حساب تركيبات هذه الدوال على الأعداد الثنائية وفحص معامل ε في النتيجة، نجد أننا قمنا تلقائيًا بحساب مشتق التركيب.

وتعمل طريقة مماثلة مع كثيرات الحدود ذات n متغيرات، باستخدام الجبر الخارجي لفضاء متجهي ذي n بُعد.

تتكون "دائرة الوحدة" للأعداد الثنائية من تلك التي تحقق a = ±1، لأنها تحقق zz * = 1 حيث z * = a − bε . ومع ذلك، لاحظ أن

${\displaystyle e^{b\varepsilon }=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {\left(b\varepsilon \right)^{n}}{n!}}=1+b\varepsilon ,}$

لذا فإن الخريطة الأسية المطبقة على المحور ε تغطي نصف "الدائرة" فقط.

ليكن z = a + bε . إذا كان a ≠ 0 و m = b / a، فإن z = a ( 1 + mε ) هو التحليل القطبي للعدد الثنائي z ، والميل m هو الجزء الزاوي منه . مفهوم الدوران في مستوى العدد الثنائي مكافئ لتطبيق القص الرأسي، حيث أن (1 + pε )(1 + qε ) = 1 + ( p + q ) ε .

في المكان والزمان المطلقين ، التحويل الجاليلي

${\displaystyle \left(t',x'\right)=(t,x){\begin{pmatrix}1&v\\0&1\end{pmatrix}}\,,}$

إنه

${\displaystyle t'=t,\quad x'=vt+x,}$

يربط نظام الإحداثيات الساكنة بإطار مرجعي متحرك بسرعة v . مع الأرقام المزدوجة t + xε التي تمثل الأحداث على طول بُعد مكاني واحد وزمن واحد، يتم إجراء نفس التحويل بالضرب في 1 + vε .

تُستخدم الأعداد الثنائية في الميكانيكا ، لا سيما في التركيب الحركي. على سبيل المثال، تُتيح الأعداد الثنائية تحويل معادلات الإدخال/الإخراج لوصلة كروية رباعية القضبان، والتي تتضمن مفاصل دوارة فقط، إلى آلية فضائية رباعية القضبان (دوارة، دوارة، دوارة، أسطوانية). تتكون الزوايا الثنائية من جزء أساسي، وهو الزوايا، وجزء ثنائي بوحدات طول. ^{[ 3 ]} انظر نظرية اللولب لمزيد من المعلومات.

في الهندسة الجبرية الحديثة ، الأعداد الثنائية على حقل${\displaystyle k}$(ونعني بذلك الخاتم)${\displaystyle k[\varepsilon ]/(\varepsilon ^{2})}$يمكن استخدام ) لتحديد متجهات المماس لنقاط a${\displaystyle k}$- مخطط . ^{[ 4 ]} منذ المجال${\displaystyle k}$يمكن اختيارها بشكل جوهري، ومن الممكن ببساطة الحديث عن متجهات المماس للمخطط. وهذا يسمح باستيراد مفاهيم من الهندسة التفاضلية إلى الهندسة الجبرية.

بالتفصيل: يمكن اعتبار حلقة الأعداد الثنائية بمثابة حلقة الدوال على "الجوار من الدرجة الأولى لنقطة ما" - أي${\displaystyle k}$- مخطط${\displaystyle \operatorname {Spec} (k[\varepsilon ]/(\varepsilon ^{2}))}$[ ^{4 ] ثم ،} بالنظر إلى${\displaystyle k}$-مخطط${\displaystyle X}$،${\displaystyle k}$تتطابق نقاط المخطط مع الخرائط بنسبة 1:1${\displaystyle \operatorname {Spec} k\to X}$بينما تكون متجهات المماس متناظرة تناظرًا تامًا مع الخرائط${\displaystyle \operatorname {Spec} (k[\varepsilon ]/(\varepsilon ^{2}))\to X}$.

المجال${\displaystyle k}$يمكن اختيار ما سبق ليكون حقلًا متبقيًا بشكل جوهري . بمعنى آخر: بالنظر إلى نقطة${\displaystyle x}$في إطار مخطط${\displaystyle S}$انظر إلى الساق${\displaystyle S_{x}}$لاحظ أن${\displaystyle S_{x}}$هي حلقة محلية ذات مثالي أعظمي فريد ، ويرمز لها بـ${\displaystyle {\mathfrak {m}}_{x}}$ثم ببساطة دع${\displaystyle k=S_{x}/{\mathfrak {m}}_{x}}$.

يمكن تنفيذ هذا البناء بشكل أكثر عمومية: بالنسبة للحلقة التبادلية R، يمكن تعريف الأعداد الثنائية على R على أنها خارج قسمة حلقة كثير الحدود R [ X ] على المثالي ( X ² ) : صورة X عندئذٍ مربع يساوي صفرًا ويتوافق مع العنصر ε من الأعلى.

تُستخدم الأعداد الثنائية في الفيزياء ، حيث تُعدّ من أبسط الأمثلة غير التافهة للفضاء الفائق . وبصورة مكافئة، هي أعداد فائقة ذات مولد واحد فقط؛ تُعمّم الأعداد الفائقة المفهوم إلى n مولدًا مختلفًا ε ، كل منها مضاد للتبادل، وقد يصل n إلى ما لا نهاية. يُعمّم الفضاء الفائق الأعداد الفائقة بشكل طفيف، إذ يسمح بأبعاد تبادلية متعددة.

ينبع الدافع وراء إدخال الأعداد المزدوجة في الفيزياء من مبدأ استبعاد باولي للفيرميونات. يُطلق على الاتجاه على طول ε اسم الاتجاه "الفيرميوني"، ويُطلق على المكون الحقيقي اسم الاتجاه "البوزوني". يكتسب الاتجاه الفيرميوني هذه التسمية من حقيقة أن الفيرميونات تخضع لمبدأ استبعاد باولي: عند تبادل الإحداثيات، تتغير إشارة الدالة الموجية في ميكانيكا الكم، وبالتالي تتلاشى إذا تم تقريب إحداثيين من بعضهما البعض؛ وتُجسد هذه الفكرة الفيزيائية بالعلاقة الجبرية ε² = ⁰ . 

تم طرح فكرة الخط الإسقاطي فوق الأعداد الثنائية بواسطة غرونوالد ^{[ 5 ]} وكورادو سيغري ^{[ 6 ]} .

كما تحتاج كرة ريمان إلى نقطة قطب شمالي عند اللانهاية لإغلاق الخط الإسقاطي المركب ، كذلك ينجح خط عند اللانهاية في إغلاق مستوى الأعداد الثنائية إلى أسطوانة . ^{[ 2 ] : 149-153}

لنفترض أن D هي حلقة الأعداد الثنائية x + yε ، وأن U هي المجموعة الجزئية التي x ≠ 0 فيها . إذن، U هي زمرة الوحدات في D. ولتكن B = {( a , b ) ∈ D × D  : a ∈ U أو b ∈ U} . تُعرَّف علاقة على B كما يلي: ( a , b ) ~ ( c , d ) عندما يوجد u في U بحيث ua = c و ub = d . هذه العلاقة هي في الواقع علاقة تكافؤ . نقاط الخط الإسقاطي فوق D هي فئات تكافؤ في B وفقًا لهذه العلاقة: P ( D ) = B /~ . ويتم تمثيلها بإحداثيات إسقاطية [ a , b ] .

لنفترض التضمين D → P ( D ) بواسطة z → [ z , 1] . عندئذٍ، تقع النقاط [1, n ] ، حيث n ^≥ 0 ، في P ( D ) ولكنها ليست صورة أي نقطة تحت التضمين. يُسقط P(D) على أسطوانة بالإسقاط : نأخذ أسطوانة مماسية لمستوى الأعداد الثنائية على الخط { yε : y ∈ R } ، حيث ε ^≥ 0. ثم نأخذ الخط المقابل على الأسطوانة لمحور حزمة من المستويات. توفر المستويات المتقاطعة مع مستوى الأعداد الثنائية والأسطوانة تطابقًا للنقاط بين هذين السطحين. يتوافق المستوى الموازي لمستوى الأعداد الثنائية مع النقاط [1, n ] ، حيث n ^≥ 0، على خط الإسقاط فوق الأعداد الثنائية. 

• تحليل متناهي الصغر سلس
• نظرية الاضطراب
• متناهي الصغر
• نظرية اللولب
• عدد مركب مزدوج
• تحولات لاغير
• رقم غراسمان
• التفاضل التلقائي