نظرية بورباكي-ويت

فيما يلي، القول بأن عددًا ترتيبيًا α قابل للتضمين في مجموعة X يعني القول بوجود دالة تقابلية.${\displaystyle f:U(\alpha )\hookrightarrow X}$من المجموعة الأساسية لـ α إلى X. هذا الحقن يعادل ترتيبًا جيدًا لصورة f كمجموعة جزئية من X ، مما يثبت أن تلك المجموعة الجزئية يمكن أن تكون مرتبة ترتيبًا جيدًا.

ليكن β عدد هارتوغز للمجموعة U(X) من المجموعة المرتبة جزئيًا المعطاة X. بحسب التعريف، هذه هي مجموعة جميع الأعداد الترتيبية القابلة للتضمين في U(X) ، وهي نفسها عدد ترتيبي غير قابل للتضمين في U(X)، وإلا لكان β ∈ β. (بصورة مكافئة، β هو أصغر عدد ترتيبي غير قابل للتضمين في U(X) ، وهو بالضرورة عدد أصلي ). ليكن${\displaystyle x_{0}}$شاهد عدم فراغ X ، ليكون بمثابة الأساس للبناء التكراري التالي لسلسلة في X.

لكل ترتيب${\displaystyle \alpha \in \beta }$بحيث${\displaystyle x_{\alpha }}$تم تعريفه، حدد${\displaystyle x_{\alpha +1}=f(x_{\alpha }).}$ بما أن f تضخمي،${\displaystyle x_{\alpha }\leq x_{\alpha +1}}$في المجموعة المرتبة X.

لكل ترتيب حدي${\displaystyle \lambda \in \beta }$بحيث${\displaystyle x_{\alpha }}$يتم تعريفها للجميع${\displaystyle \alpha <\lambda }$، يُعرِّف${\displaystyle x_{\lambda }=\sup\{x_{\alpha }|\alpha <\lambda \}.}$ ثم${\displaystyle x_{\alpha }\leq x_{\lambda }}$للجميع${\displaystyle \alpha <\lambda }$. ال${\displaystyle \sup }$يوجد من خلال اكتمال السلسلة للمجموعة المرتبة جزئياً X.

الآن إذا كانت f متزايدة تمامًا على كل β، فإن هذا سيشكل تضمينًا لـ β، وهو نوع الترتيب لتلك السلسلة، في X. لكن هذا مستحيل وفقًا لـ Hartogs' Lemma.

لذا يجب أن يكون هناك${\displaystyle \alpha <\beta }$بحيث${\displaystyle x_{\alpha +1}=x_{\alpha }}$مما أدى إلى توقف بناء السلسلة عند${\displaystyle x_{\alpha }}$، النقطة الثابتة الموعودة. وهو المطلوب إثباته

يمكن أيضًا إثبات النظرية بتكييف برهان نموذجي يُظهر أن بديهية الاختيار تستلزم لِمّة زورن. ^{[ 5 ]} في الواقع، ليكن${\displaystyle \operatorname {Well} (X)}$يرمز إلى مجموعة جميع المجموعات الجزئية المرتبة ترتيبًا جيدًا من${\displaystyle X}$ثم فكر

${\displaystyle g:\operatorname {Well} (X)\to X}$

مقدم من${\displaystyle g(S)=f(\sup S).}$لو${\displaystyle f}$ليس له نقطة ثابتة، إذن${\displaystyle g(S)}$يمثل حدًا أعلى صارمًا لـ${\displaystyle S}$ومن هذا، يُستنتج تناقض كما هو الحال في البرهان القياسي لفرضية زورن. ^{[ 6 ]} ولإتمام الصورة، إليكم ملخصًا للبرهان وفقًا لـ ت. تاو.

يترك${\displaystyle \operatorname {Well} }$لتكن فئة جميع المجموعات المرتبة ترتيبًا جيدًا. ثم لكل${\displaystyle A}$في${\displaystyle \operatorname {Well} }$باستخدام تكرار لـ${\displaystyle g}$، نقوم بإنشاء سلسلة${\displaystyle x_{a}}$من العناصر المتميزة في${\displaystyle X}$مفهرسة بواسطة${\displaystyle A}$على سبيل المثال، إذا${\displaystyle A=\mathbb {N} _{1}}$ثم ندع بشكل متكرر${\displaystyle x_{1}=g(\emptyset )}$و${\displaystyle x_{n}=g(x_{n-1})}$. لأي${\displaystyle A}$نستخدم الاستدعاء الذاتي العابر أو الاستقراء العابر لبناء المتتاليات بطريقة مماثلة. الآن، يحدد هذا البناء التطبيق ( دالة الفئة تحديدًا).

${\displaystyle \rho$ :\operatorname {Well} \to \operatorname {Well} (X)}

بواسطة

${\displaystyle \rho (A)=\{x_{a}\mid a\in A\}}$.

ليس من الصعب رؤية عدم التماثل${\displaystyle A}$تُنتج تسلسلات مختلفة؛ أي${\displaystyle \rho }$هي حقنية بتردد التشاكل. لكن${\displaystyle \operatorname {Well} }$تحتوي على جميع الأعداد الترتيبية على وجه الخصوص، ومن المعروف ( مفارقة بورالي-فورتي ) أن فئة جميع الأعداد الترتيبية هي فئة حقيقية ؛ أي أنها ليست مجموعة، وهو ما يناقض ذلك.${\displaystyle \operatorname {Well} (X)}$هي مجموعة.${\displaystyle \square }$

لاحظ أن الحجة السابقة لا تعتمد على بديهية الاختيار. (في حالة برهان لِمّة زورن، تُستخدم بديهية الاختيار لتعريف دالة تضخمية). كما أننا نحتاج${\displaystyle \sup S}$فقط للمجموعات الفرعية المرتبة جيدًا${\displaystyle S}$ل${\displaystyle P}$وبالتالي، فإن الحجة تثبت ما يلي.

كما يمكن إثبات مبرهنة زورن دون استخدام الاستقراء المتسامي أو نظرية الترتيب الجيد والأعداد الترتيبية، فمن الممكن تقديم برهان لهذه المبرهنة باستخدام نظرية مجموعات أساسية فقط. وتتلخص الفكرة هنا في إثبات مبرهنة عامة مذكورة أدناه، ^{[ 7 ]} والتي استُخدمت ضمنيًا في برهان تقليدي لمبدأ هاوسدورف الأقصى ، كما أشار إليها كنيسر ^{[ 8 ]} وغييرمو إل. إنكاتاسياتو وبيدرو سانشيز تيراف بشكل مستقل. ^{[ 9 ]}

تُستنتج نظرية بورباكي-ويت من الدالة${\displaystyle g(C)=f(\sup C)}$إذا كان يمتلك الخاصية المذكورة في اللمة${\displaystyle f}$ليس له نقطة ثابتة.

برهان اللمة : للاطلاع على برهانٍ نموذجي، انظر مبدأ هاوسدورف الأقصى#البرهان 1. هنا، نتبع إنكاتاسياتو وتيراف (في حالة الترتيب الجيد، يكون برهانهما مطابقًا لبرهان كنيسر؛ انظر الملاحظة أدناه). بافتراض ذلك${\displaystyle g}$موجود، دع${\displaystyle C^{+}=C\cup \{g(C)\}}$لكل${\displaystyle C}$في${\displaystyle F}$نكتب${\displaystyle S\trianglelefteq C}$لو${\displaystyle S}$هو جزء أولي من${\displaystyle C}$[ ^{10 ]} المعنى^​${\displaystyle S}$هي مجموعة جزئية و${\displaystyle y\leq x\in S,\,y\in C\Rightarrow y\in S}$واكتب أيضًا${\displaystyle S\triangleleft C}$لو${\displaystyle S\trianglelefteq C,\,S\neq C}$.

وباتباع المؤلفين، نقول سلسلة${\displaystyle C\subset P}$جيد إذا كان لكل${\displaystyle S\trianglelefteq C}$لدينا إما${\displaystyle S=C}$أو${\displaystyle S^{+}\trianglelefteq C}$. يترك${\displaystyle \Gamma }$كن مجموعة جميع السلاسل الجيدة في${\displaystyle P}$نحن ندعي

1. ${\displaystyle \Gamma }$يتم ترتيبها بالكامل فيما يتعلق بـ${\displaystyle \trianglelefteq }$أي أن السلاسل الجيدة قابلة للمقارنة.
2. على${\displaystyle \Gamma }$،${\displaystyle \trianglelefteq }$هو نفسه مصطلح "احتواء المجموعة".
3. لو${\displaystyle C}$سلسلة جيدة في${\displaystyle P}$، ثم${\displaystyle C^{+}}$سلسلة جيدة في${\displaystyle P}$.

بالنسبة للفقرة (1)، بالنظر إلى سلسلتين جيدتين${\displaystyle C,D}$، يترك${\displaystyle S}$أن يكون اتحاد جميع السلاسل التي تمثل الأجزاء الأولية لـ${\displaystyle C}$و${\displaystyle D.}$بوضوح،${\displaystyle S}$هي نفسها جزء أولي من الجزأين؛ أي أنها أكبر جزء أولي مشترك. إذا${\displaystyle S^{+}\trianglelefteq C,D}$إذاً، فإن ذلك سيتناقض مع كون ذلك أكبر${\displaystyle S}$وبالتالي، إما${\displaystyle S=C}$أو${\displaystyle D}$بالنسبة للفقرة (2)، افترض${\displaystyle C\subsetneq D}$. بحسب (1)، إما${\displaystyle C\triangleleft D}$أو${\displaystyle D\triangleleft C}$لكن هذا الأخير غير ممكن. وأخيرًا، (3) واضح.

يمكننا الآن أن ننهي. فلنبدأ.${\displaystyle U}$كن اتحاد${\displaystyle \Gamma }$(1)${\displaystyle U}$هي سلسلة. لإثبات أنها جيدة، افترض${\displaystyle S\triangleleft U}$. يترك${\displaystyle x}$كن في${\displaystyle US}$اختر سلسلة جيدة${\displaystyle C}$يحتوي على${\displaystyle x}$ثم لدينا

${\displaystyle S\triangleleft C}$.

في الواقع، إذا${\displaystyle y}$هو في${\displaystyle S}$، ثم${\displaystyle y}$ضمن سلسلة جيدة${\displaystyle D}$. لو${\displaystyle D\trianglelefteq C}$، ثم${\displaystyle y}$هو في${\displaystyle C}$وإلا، بحسب (1)،${\displaystyle C\trianglelefteq D}$لدينا${\displaystyle y\leq x}$بواسطة${\displaystyle S\triangleleft U}$وهكذا مرة أخرى${\displaystyle y}$هو في${\displaystyle C}$. لذلك،${\displaystyle S\subset C}$وهذا يعني${\displaystyle S\triangleleft C}$مثل${\displaystyle S}$وهي بالفعل جزء أولي من${\displaystyle U}$. أخيراً،${\displaystyle S^{+}\trianglelefteq C}$وبحسب (2)،${\displaystyle S^{+}\trianglelefteq U}$وبهذا يكتمل إثبات حقيقة أن${\displaystyle U}$جيد. لأن${\displaystyle U^{+}=U}$إذن، هذا تناقض.${\displaystyle \square }$

ملاحظة : في المثال أعلاه، كان بإمكاننا استخدام مجموعات جزئية مرتبة جيدًا بدلًا من السلاسل. أي، ليكن${\displaystyle U}$ليكن اتحاد جميع المجموعات الجزئية الجيدة والمرتبة جيدًا من${\displaystyle P}$جميع الادعاءات صحيحة مع المجموعات الفرعية المرتبة جيدًا بدلًا من السلاسل. ملاحظة${\displaystyle U}$هي مرتبة ترتيبًا جيدًا، وليست مرتبة ترتيبًا كليًا فقط وفقًا للمعادلة (2). وبالتالي، تُظهر الحجة السابقة أيضًا الصيغة المرتبة ترتيبًا جيدًا للنظرية المذكورة في القسم  2 من البرهان . علاوة على ذلك، بالنسبة لمجموعة مرتبة ترتيبًا جيدًا،${\displaystyle C}$بما أن الجزء الأولي يكون على شكل${\displaystyle S_{x}=\{y\mid y<x\}}$بشكل صريح،${\displaystyle C}$يكون جيدًا إذا وفقط إذا، لكل${\displaystyle x}$في${\displaystyle C}$لدينا:

${\displaystyle x=g(S_{x})}$.

وبالتالي، فإن المجموعة الجيدة المرتبة جيدًا هي نفسها تمامًا ما يسميه كنيسر Kette (وبالتالي فإن البرهان أعلاه يختزل إلى برهان كنيسر).