Extensional and intensional definitions

In logic, extensional and intensional definitions are two key ways in which the objects, concepts, or referents a term refers to can be defined. They give meaning or denotation to a term. An intensional definition gives meaning to a term by specifying necessary and sufficient conditions for when the term should be used. An extensional definition gives meaning to a term by specifying every object that falls under the definition of the term in question.

For example, in set theory one would extensionally define the set of square numbers as {0, 1, 4, 9, 16, ${\displaystyle \dots }$}, while an intensional definition of the set of the square numbers could be {${\displaystyle x\mid x}$ is the square of an integer}.

An intensional definition gives meaning to a term by specifying necessary and sufficient conditions for when the term should be used. In the case of nouns, this is equivalent to specifying the properties that an object needs to have in order to be counted as a referent of the term.

For example, an intensional definition of the word "bachelor" is "unmarried man". This definition is valid because being an unmarried man is both a necessary condition and a sufficient condition for being a bachelor: it is necessary because one cannot be a bachelor without being an unmarried man, and it is sufficient because any unmarried man is a bachelor.^[1]

This is the opposite approach to the extensional definition, which defines by listing everything that falls under that definition – an extensional definition of bachelor would be a listing of all the unmarried men in the world.^[1]

As becomes clear, intensional definitions are best used when something has a clearly defined set of properties, and they work well for terms that have too many referents to list in an extensional definition. It is impossible to give an extensional definition for a term with an infinite set of referents, but an intensional one can often be stated concisely – there are infinitely many even numbers, impossible to list, but the term "even numbers" can be defined easily by saying that even numbers are integer multiples of two.

التعريف بالجنس والاختلاف ، حيث يُعرَّف الشيء أولاً بتحديد الفئة العامة التي ينتمي إليها ثم تمييزه بخصائص محددة، هو نوع من التعريف المقصود. وكما يوحي الاسم، يُستخدم هذا النوع من التعريف في تصنيف لينيوس لتصنيف الكائنات الحية، ولكنه لا يقتصر على علم الأحياء . لنفترض أننا نُعرّف التنورة القصيرة بأنها "تنورة يصل طولها إلى ما فوق الركبة". لقد تم تصنيفها ضمن جنس ، أو فئة أوسع من العناصر: إنها نوع من أنواع التنانير. ثم وصفنا الاختلافات ، أي الخصائص المحددة التي تجعلها نوعًا فرعيًا قائمًا بذاته: فهي تصل إلى ما فوق الركبة.

قد يتألف التعريف المقصود أيضًا من قواعد أو مجموعات من البديهيات التي تُعرّف مجموعةً ما من خلال وصف إجراء لتوليد جميع عناصرها. على سبيل المثال، يمكن تعريف العدد المربع تعريفًا مقصودًا بأنه "أي عدد يمكن التعبير عنه كعدد صحيح مضروب في نفسه". القاعدة - "خذ عددًا صحيحًا واضربه في نفسه" - تُولّد دائمًا عناصر من مجموعة الأعداد المربعة، بغض النظر عن العدد الصحيح المُختار، ولكل عدد مربع، يوجد عدد صحيح ضُرب في نفسه للحصول عليه.

وبالمثل، فإن التعريف المقصود للعبة، مثل الشطرنج ، سيكون قواعد اللعبة؛ أي لعبة تُلعب وفقًا لتلك القواعد يجب أن تكون لعبة شطرنج، وأي لعبة تسمى بشكل صحيح لعبة شطرنج يجب أن تكون قد لُعبت وفقًا لتلك القواعد.

يُعطي التعريف الامتدادي معنى للمصطلح من خلال تحديد امتداده ، أي كل كائن يندرج تحت تعريف المصطلح المعني.

على سبيل المثال، يمكن تقديم تعريف امتدادي لمصطلح "أمة العالم" من خلال سرد جميع دول العالم ، أو من خلال تقديم وسيلة أخرى للتعرف على أعضاء الفئة المقابلة. ويُعدّ السرد الصريح للامتداد، وهو أمر ممكن فقط للمجموعات المنتهية وعملي فقط للمجموعات الصغيرة نسبيًا ، نوعًا من التعريفات التعدادية .

تُستخدم التعريفات الامتدادية عندما يؤدي سرد ​​الأمثلة إلى تقديم معلومات أكثر قابلية للتطبيق من أنواع التعريفات الأخرى، وعندما يخبر سرد أعضاء مجموعة ما السائل بما يكفي عن طبيعة تلك المجموعة.

يمتلك التعريف الامتدادي تشابهاً مع التعريف الإشاري ، حيث يتم الإشارة إلى عنصر واحد أو أكثر من عناصر المجموعة (ولكن ليس بالضرورة جميعها) كأمثلة، ولكنه يتناقض بوضوح مع التعريف القصدي ، الذي يحدد من خلال سرد الخصائص التي يجب أن يمتلكها الشيء ليكون جزءاً من المجموعة التي يشملها التعريف.

تم تقديم مصطلحي " النية " و " الامتداد " قبل عام 1911 من قبل كونستانس جونز ^{[ 2 ]} وتم صياغتهما رسميًا من قبل رودولف كارناب . ^{[ 3 ]}

• الفهم (المنطق) - مجمل نوايا الشيء 
• الامتداد (منطق المسند) - مجموعة من الأزواج المرتبة في المنطق الرياضي التي تحقق مسندًا معينًا. 
• الامتداد (علم الدلالة) - في سياق علم الدلالة، هو امتداد مفهوم أو فكرة أو علامة 
• السياق الامتدادي – امتدادات ذات سياق 
• الامتدادية
• الامتدادية - مبدأ منطقي 
• القصد - الخاصية أو الصفة التي يدل عليها كلمة أو عبارة أو رمز آخر 
• المنطق القصدي – مدخل إلى منطق المسند 
• التعريف الظاهر – التعريف بالمثال