نظرية مضرب التنس

📅 آخر تحديث: ٤ أغسطس ٢٠٢٦
✍️ نُشر في: ٤ أغسطس ٢٠٢٦
📷 يحتوي على 64 صور
الموسوعة الحرة

المحاور الرئيسية لمضرب التنس.
فيديو مركب لمضرب تنس يدور حول ثلاثة محاور - المحور المتوسط ​​ينقلب من الحافة الفاتحة إلى الحافة الداكنة
صفحة عنوان "Théorie Nouvelle de la Rotation des Corps"، طباعة عام 1852

نظرية مضرب التنس ، أو نظرية المحور المتوسط ، هي ظاهرة حركية في الميكانيكا الكلاسيكية تصف حركة جسم صلب بثلاثة عزمات قصور ذاتي رئيسية متميزة . وقد أُطلق عليها أيضًا اسم تأثير دزانيبيكوف ، نسبةً إلى رائد الفضاء السوفيتي فلاديمير دزانيبيكوف ، الذي لاحظ إحدى النتائج المنطقية للنظرية أثناء وجوده في الفضاء عام 1985. [ 1 ] كان هذا التأثير معروفًا منذ 150 عامًا على الأقل، حيث وصفه لويس بوينسو عام 1834 [ 2 ] [ 3 ] وأُدرج في كتب الفيزياء القياسية مثل كتاب الميكانيكا الكلاسيكية لهيربرت غولدشتاين طوال القرن العشرين.

تصف النظرية التأثير التالي: دوران الجسم حول محوره الرئيسي الأول والثالث مستقر، بينما الدوران حول محوره الرئيسي الثاني (أو المحور الوسيط) ليس كذلك.

يمكن توضيح ذلك بالتجربة التالية: أمسك مضرب تنس من مقبضه، بحيث يكون وجهه أفقيًا، ثم ارمِه في الهواء بحيث يدور دورة كاملة حول محوره الأفقي العمودي على المقبض (ê 2 في الرسم التوضيحي)، ثم أمسك المقبض. في معظم الحالات، خلال هذه الدورة، يكون وجه المضرب قد أكمل نصف دورة أيضًا، ليصبح الوجه الآخر متجهًا للأعلى. في المقابل، من السهل رمي المضرب بحيث يدور حول محور المقبض (ê 1 ) دون أن يصاحبه نصف دورة حول محور آخر؛ كما يمكن جعله يدور حول المحور الرأسي العمودي على المقبض (ê 3 ) دون أي نصف دورة مصاحبة.

يمكن إجراء التجربة باستخدام أي جسم له ثلاثة عزمات قصور ذاتي مختلفة، مثل كتاب (مستطيل)، أو جهاز تحكم عن بُعد، أو هاتف ذكي. [ 4 ] [ 5 ] يحدث هذا التأثير كلما اختلف محور الدوران - ولو اختلافًا طفيفًا - عن المحور الرئيسي الثاني للجسم؛ ولا حاجة لمقاومة الهواء أو الجاذبية. [ 6 ] [ 7 ]

نظرية

عرض توضيحي لتأثير دزانيبكوف في بيئة انعدام الجاذبية ، ناسا .

يمكن تحليل نظرية مضرب التنس نوعياً باستخدام معادلات أويلر . في ظل ظروف انعدام العزم ، تأخذ هذه المعادلات الشكل التالي:

أنا1ω˙1=-(أنا3-أنا2)ω3ω2                    (1)أنا2ω˙2=-(أنا1-أنا3)ω1ω3                    (2)أنا3ω˙3=-(أنا2-أنا1)ω2ω1                    (3){\displaystyle {\begin{aligned}I_{1}{\dot {\omega }}_{1}&=-(I_{3}-I_{2})\omega _{3}\omega _{2}~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~{\text{(1)}}\\I_{2}{\dot {\omega }}_{2}&=-(I_{1}-I_{3})\omega _{1}\omega _{3}~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~{\text{(2)}}\\I_{3}{\dot {\omega }}_{3}&=-(I_{2}-I_{1})\omega _{2}\omega _{1}~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~{\text{(3)}}\end{aligned}}}

هناأنا1،أنا2،أنا3{\displaystyle I_{1},I_{2},I_{3}}نرمز إلى عزم القصور الذاتي الرئيسي للجسم، ونفترضأنا1<أنا2<أنا3{\displaystyle I_{1}<I_{2}<I_{3}}السرعات الزاوية حول المحاور الرئيسية الثلاثة للجسم هيω1،ω2،ω3{\displaystyle \omega _{1},\omega _{2},\omega _{3}}ويُرمز إلى مشتقاتها الزمنية بـω˙1،ω˙2،ω˙3{\displaystyle {\dot {\omega }}_{1},{\dot {\omega }}_{2},{\dot {\omega }}_{3}}.

دوران مستقر حول المحور الرئيسي الأول والثالث

لنفترض أن الجسم يدور حول محوره بعزم القصور الذاتيأنا1{\displaystyle I_{1}}لتحديد طبيعة التوازن، افترض سرعات زاوية ابتدائية صغيرة على طول المحورين الآخرين. ونتيجة لذلك، وفقًا للمعادلة (1)، ω˙1{\displaystyle ~{\dot {\omega }}_{1}}صغير جدًا. لذلك، فإن التغير الزمني لـ ω1{\displaystyle ~\omega _{1}}قد يتم إهمالها.

الآن، باشتقاق المعادلة (2) والتعويضω˙3{\displaystyle {\dot {\omega }}_{3}}من المعادلة (3)،

أنا2ω¨2=-(أنا1-أنا3)ω1ω˙3أنا3أنا2ω¨2=(أنا1-أنا3)(أنا2-أنا1)(ω1)2ω2أي     ω¨2=(كمية سالبة)⋅ω2{\displaystyle {\begin{aligned}I_{2}{\ddot {\omega }}_{2}&=-(I_{1}-I_{3})\omega _{1}{\dot {\omega }}_{3}\\I_{3}I_{2}{\ddot {\omega }}_{2}&=(I_{1}-I_{3})(I_{2}-I_{1})(\omega _{1})^{2}\omega _{2}\\{\text{i.e. }}~~~~{\ddot {\omega }}_{2}&={\text{(negative quantity)}}\cdot \omega _{2}\end{aligned}}}

لأنأنا2-أنا1>0{\displaystyle I_{2}-I_{1}>0}وأنا1-أنا3<0{\displaystyle I_{1}-I_{3}<0}.

لاحظ أنω2{\displaystyle \omega _{2}}يتم معارضة هذا المحور، وبالتالي فإن الدوران حول هذا المحور يكون مستقرًا بالنسبة للجسم.

وبالمثل، فإن الدوران حول المحور مع عزم القصور الذاتيأنا3{\displaystyle I_{3}}وهو مستقر أيضاً.

دوران غير مستقر حول المحور الرئيسي الثاني

والآن، قم بتطبيق التحليل نفسه على المحور ذي عزم القصور الذاتيأنا2.{\displaystyle I_{2}.}هذه المرةω˙2{\displaystyle {\dot {\omega }}_{2}}صغير جدًا. لذلك، فإن التغير الزمني لـ ω2{\displaystyle ~\omega _{2}}قد يتم إهمالها.

الآن، باشتقاق المعادلة (1) والتعويضω˙3{\displaystyle {\dot {\omega }}_{3}}من المعادلة (3)،

أنا1أنا3ω¨1=(أنا3-أنا2)(أنا2-أنا1)(ω2)2ω1أي    ω¨1=(كمية موجبة)⋅ω1{\displaystyle {\begin{aligned}I_{1}I_{3}{\ddot {\omega }}_{1}&=(I_{3}-I_{2})(I_{2}-I_{1})(\omega _{2})^{2}\omega _{1}\\{\text{i.e.}}~~~~{\ddot {\omega }}_{1}&={\text{(positive quantity)}}\cdot \omega _{1}\end{aligned}}}

لاحظ أنω1{\displaystyle \omega _{1}}لا يُعارض (وبالتالي سينمو)، وبالتالي فإن الدوران حول المحور الثاني غير مستقر . لذلك، حتى اضطراب صغير، على شكل قيمة ابتدائية صغيرة جدًا لـω1{\displaystyle \omega _{1}}أوω3{\displaystyle \omega _{3}}، مما يؤدي إلى "انقلاب" الجسم.

تحليل المصفوفات

إذا كان الجسم يدور في الغالب حول محوره الثالث، فـ|ω3|≫|ω1|،|ω2|{\displaystyle |\omega _{3}|\gg |\omega _{1}|,|\omega _{2}|}، يمكننا أن نفترضω3{\displaystyle \omega _{3}}لا يختلف كثيراً، واكتب معادلات الحركة كمعادلة مصفوفية:ددت[ω1ω2]=[0-ω3(أنا3-أنا2)/أنا1-ω3(أنا1-أنا3)/أنا20][ω1ω2]{\displaystyle {\frac {d}{dt}}{\begin{bmatrix}\omega _{1}\\\omega _{2}\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}0&-\omega _{3}(I_{3}-I_{2})/I_{1}\\-\omega _{3}(I_{1}-I_{3})/I_{2}&0\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}\omega _{1}\\\omega _{2}\end{bmatrix}}}والتي لها أثر صفري ومحدد موجب ، مما يعني حركة(ω1،ω2){\displaystyle (\omega _{1},\omega _{2})}هو دوران مستقر حول نقطة الأصل، وبالتالي(0،0،ω3){\displaystyle (0,0,\omega _{3})}هي نقطة توازن محايدة. وبالمثل، النقطة(ω1،0،0){\displaystyle (\omega _{1},0,0)}هي نقطة توازن محايدة، لكن(0،ω2،0){\displaystyle (0,\omega _{2},0)}هي نقطة سرجية.

التحليل الهندسي

تمثيل مرئي لعدم استقرار المحور الوسيط. يُحفظ كل من مقدار الزخم الزاوي والطاقة الحركية لجسم دوار. ونتيجة لذلك، يبقى متجه السرعة الزاوية عند نقطة تقاطع قطعين ناقصين. هنا، يمثل القطع الناقص الأصفر قطع الزخم الزاوي، بينما يمثل القطع الناقص الأزرق المتمدد قطع الطاقة.

أثناء الحركة، يتم الحفاظ على كل من الطاقة ومربع الزخم الزاوي، وبالتالي لدينا كميتان محفوظتان:{2هـ=∑أناأناأناωأنا2ل2=∑أناأناأنا2ωأنا2{\displaystyle {\begin{cases}2E=\sum _{i}I_{i}\omega _{i}^{2}\\L^{2}=\sum _{i}I_{i}^{2}\omega _{i}^{2}\end{cases}}}وبالتالي لأي شرط ابتدائيω(0){\displaystyle \omega (0)}مسارω(ت){\displaystyle \omega (t)}يجب أن يبقى على منحنى التقاطع بين قطعين ناقصين محددين بواسطة{∑أناأناأناωأنا2=∑أناأناأناωأنا(0)2∑أناأناأنا2ωأنا2=∑أناأناأنا2ωأنا(0)2{\displaystyle {\begin{cases}\sum _{i}I_{i}\omega _{i}^{2}=\sum _{i}I_{i}\omega _{i}(0)^{2}\\\sum _{i}I_{i}^{2}\omega _{i}^{2}=\sum _{i}I_{i}^{2}\omega _{i}(0)^{2}\end{cases}}}يظهر هذا في الرسوم المتحركة على اليمين.

من خلال فحص معادلات أويلر، نرى أنω˙(ت)=0{\displaystyle {\dot {\omega }}(t)=0}يشير ذلك إلى أن مكونين منω(ت){\displaystyle \omega (t)}تكون قيمها صفرًا، أي أن الجسم يدور تمامًا حول أحد المحاور الرئيسية. في جميع الحالات الأخرى،ω(ت){\displaystyle \omega (t)}يجب أن تبقى في حالة حركة.

بحسب معادلات أويلر، إذاω(ت){\displaystyle \omega (t)}إذا كان حلاً، فإن كذلكجω(جت){\displaystyle c\omega (ct)}لأي ثابتج>0{\displaystyle c>0}وعلى وجه الخصوص، حركة الجسم في الفضاء الحر (التي يتم الحصول عليها عن طريق التكامل)جω(جت)دت{\displaystyle c\omega (ct)dt}) هو نفسه تمامًا ، لكنه يُنجز بشكل أسرع بنسبةج{\displaystyle c}.

وبالتالي، يمكننا تحليل هندسة الحركة بقيمة ثابتة لـل2{\displaystyle L^{2}}وتختلفω(0){\displaystyle \omega (0)}على سطح بيضاوي ثابت ذي زخم زاوي تربيعي ثابت. كماω(0){\displaystyle \omega (0)}تختلف قيمة2هـ{\displaystyle 2E}يتغير أيضًا، مما ينتج عنه شكل بيضاوي متغير ذو طاقة ثابتة. يظهر هذا في الرسوم المتحركة على شكل شكل بيضاوي برتقالي ثابت وشكل بيضاوي أزرق متزايد.

وللتوضيح، انظرأنا1=1،أنا2=2،أنا3=3{\displaystyle I_{1}=1,I_{2}=2,I_{3}=3}إذن، تكون المحاور الرئيسية لقطع ناقص الزخم الزاوي بنسب1:1/2:1/3{\displaystyle 1:1/2:1/3}وتكون المحاور الرئيسية لقطع ناقص الطاقة بنسب1:1/2:1/3{\displaystyle 1:1/{\sqrt {2}}:1/{\sqrt {3}}}وبالتالي، يكون شكل القطع الناقص للزخم الزاوي أكثر تسطحًا ووضوحًا، كما هو واضح في الرسوم المتحركة. وبشكل عام، يكون شكل القطع الناقص للزخم الزاوي دائمًا أكثر وضوحًا من شكل القطع الناقص للطاقة.

الآن ارسم على سطح بيضاوي ثابت منل2{\displaystyle L^{2}}منحنيات تقاطعها مع القطع الناقص لـ2هـ{\displaystyle 2E}، مثل2هـ{\displaystyle 2E}تزداد القيمة من الصفر إلى ما لا نهاية. يمكننا أن نرى أن المنحنيات تتطور على النحو التالي:

جميع منحنيات تقاطع القطع الناقص للزخم الزاوي مع القطع الناقص للطاقة (غير موضح).
  • بالنسبة للطاقة الصغيرة، لا يوجد تقاطع، لأننا نحتاج إلى حد أدنى من الطاقة للبقاء على القطع الناقص للزخم الزاوي.
  • يتقاطع شكل الطاقة الإهليلجي مع شكل الزخم الإهليلجي لأول مرة عندما2هـ=ل2/أنا3{\displaystyle 2E=L^{2}/I_{3}}، عند النقاط(0،0،±ل/أنا3){\displaystyle (0,0,\pm L/I_{3})}يحدث هذا عندما يدور الجسم حول محوره بأكبر عزم قصور ذاتي.
  • يتقاطعان عند دورتين حول النقاط(0،0،±ل/أنا3){\displaystyle (0,0,\pm L/I_{3})}بما أن كل دورة لا تحتوي على نقطة يكون فيهاω˙=0{\displaystyle {\dot {\omega }}=0}حركةω(ت){\displaystyle \omega (t)}يجب أن تكون حركة دورية حول كل دورة.
  • يتقاطعان عند منحنيين "قطريين" يتقاطعان عند النقاط(0،±ل/أنا2،0){\displaystyle (0,\pm L/I_{2},0)}، متى2هـ=ل2/أنا2{\displaystyle 2E=L^{2}/I_{2}}. لوω(ت){\displaystyle \omega (t)}إذا بدأ المسار من أي نقطة على المنحنيات القطرية، فإنه سيقترب من إحدى النقاط، متناقصًا المسافة بشكل أُسّي، ولكنه لن يصل إليها أبدًا. بعبارة أخرى، لدينا أربعة مدارات غير متجانسة بين نقطتي السرج.
  • يتقاطعان عند دورتين حول النقاط(±ل/أنا1،0،0){\displaystyle (\pm L/I_{1},0,0)}بما أن كل دورة لا تحتوي على نقطة يكون فيهاω˙=0{\displaystyle {\dot {\omega }}=0}حركةω(ت){\displaystyle \omega (t)}يجب أن تكون حركة دورية حول كل دورة.
  • يتقاطع شكل الطاقة الإهليلجي مع شكل الزخم الإهليلجي آخر مرة عندما2هـ=ل2/أنا1{\displaystyle 2E=L^{2}/I_{1}}، عند النقاط(±ل/أنا1،0،0){\displaystyle (\pm L/I_{1},0,0)}يحدث هذا عندما يدور الجسم حول محوره بأقل عزم قصور ذاتي.

يحدث تأثير مضرب التنس عندماω(0){\displaystyle \omega (0)}تقع هذه النقطة بالقرب من نقطة السرج. سيبقى الجسم بالقرب من نقطة السرج، ثم ينتقل بسرعة إلى نقطة السرج الأخرى، بالقرب منω(تي/2){\displaystyle \omega (T/2)}ثم تتوقف لفترة طويلة، وهكذا دواليك. تتكرر الحركة بدورة زمنية.تي{\displaystyle T}.

تم إجراء التحليل أعلاه بالكامل من منظور مراقب يدور مع الجسم. سيرى المراقب الذي يراقب حركة الجسم في الفضاء الحر متجه الزخم الزاوي الخاص به.ل→=أناω→{\displaystyle {\vec {L}}=I{\vec {\omega }}}محفوظ، بينما متجه السرعة الزاويةω→(ت){\displaystyle {\vec {\omega }}(t)}وعزم قصوره الذاتيأنا(ت){\displaystyle I(t)}تخضع لحركات معقدة في الفضاء. في البداية، سيرى المراقب كلاω→(0)،ل→{\displaystyle {\vec {\omega }}(0),{\vec {L}}}يتماشى في الغالب مع المحور الرئيسي الثاني لـأنا(0){\displaystyle I(0)}بعد فترة، يقوم الجسم بحركة معقدة وينتهي به الأمر إلىأنا(تي/2)،ω→(تي/2){\displaystyle I(T/2),{\vec {\omega }}(T/2)}ومرة أخرى كلاهمال→،ω→(تي/2){\displaystyle {\vec {L}},{\vec {\omega }}(T/2)}تتماشى في الغالب مع المحور الرئيسي الثاني لـأنا(تي/2){\displaystyle I(T/2)}.

وبالتالي، هناك احتمالان: إما أن يكون المحور الرئيسي الثاني للجسم الصلب في نفس الاتجاه، أو أنه قد عكس اتجاهه. إذا كان لا يزال في نفس الاتجاه، فـω→(0)،ω→(تي/2){\displaystyle {\vec {\omega }}(0),{\vec {\omega }}(T/2)}عند النظر إليها من إطار مرجعي للجسم الصلب، تكون في الغالب في نفس الاتجاه. ومع ذلك، فقد رأينا للتو أنω(0){\displaystyle \omega (0)}وω(تي/2){\displaystyle \omega (T/2)}تقع بالقرب من نقاط السرج المتقابلة(0،±ل/أنا2،0){\displaystyle (0,\pm L/I_{2},0)}تناقض.

إذن، من الناحية النوعية، هذا ما سيلاحظه مراقب يشاهد في الفضاء الحر:

  • يدور الجسم حول محوره الرئيسي الثاني لفترة من الوقت.
  • يخضع الجسم لحركة معقدة بسرعة، حتى ينعكس اتجاه محوره الرئيسي الثاني.
  • يدور الجسم حول محوره الرئيسي الثاني مرة أخرى لفترة من الوقت. كرر ذلك.

يمكن ملاحظة ذلك بسهولة في العرض التوضيحي بالفيديو في بيئة انعدام الجاذبية.

مع التبديد

عندما لا يكون الجسم صلبًا تمامًا، بل يتمتع بالمرونة والانثناء أو يحتوي على سائل يتحرك داخله، فإنه يُبدد الطاقة عبر درجات حريته الداخلية. في هذه الحالة، يظل للجسم زخم زاوي ثابت، لكن طاقته تتناقص حتى تصل إلى أدنى قيمة لها. وكما تم تحليله هندسيًا سابقًا، يحدث هذا عندما تتطابق السرعة الزاوية للجسم تمامًا مع محور عزم القصور الذاتي الأقصى.

حدث هذا مع إكسبلورر 1 ، أول قمر صناعي أطلقته الولايات المتحدة عام 1958. صُمم جسم المركبة الفضائية المطول ليدور حول محوره الطولي (الأقل قصورًا ذاتيًا )، لكنه لم يفعل ذلك، وبدأ بدلًا من ذلك بالترنح نتيجة تبديد الطاقة من العناصر الهيكلية المرنة. كما لعب هذا دورًا في حادثة كادت أن تودي بمرصد ناسا-وكالة الفضاء الأوروبية المشترك للشمس والغلاف الشمسي عام 1998، عندما أدى دوران غير مقصود حول محور المركبة الفضائية-الشمس إلى زعزعة قوانين التحكم، مما أدى إلى انقلاب المركبة الفضائية حتى تسبب التبديد الداخلي (في خزانات الهيدرازين السائل) في استقرارها حول محور عزمها الأقصى، بحيث بقيت الشمس في مستوى المصفوفة الشمسية.

بشكل عام، تميل الأجرام السماوية، كبيرة كانت أم صغيرة، إلى الدوران حول محورها ذي عزم القصور الذاتي الأقصى. وعندما يُعثر على جرم سماوي في حالة دوران معقدة، فذلك إما نتيجة اصطدام حديث أو تفاعل مدّي، أو كونه شظية من جرم أصلي تفكك حديثًا. [ 8 ]

انظر أيضاً

مراجع

  1. ^ تأثير جانيبيكوفا (гайка جانيبيكوفا) ، 23 يوليو 2009 (بالروسية) . يمكن تنزيل البرنامج من هنا أرشفة 2020-11-13 في آلة Wayback .
  2. ^ بوينسو (1834) Theorie Nouvelle de la Rotation des Corps ، باشيليه، باريس
  3. ↑ بليندر، إس إم (2011). "الدوران الحر لجسم صلب: إنشاءات بوينسو" . wolfram.com . مشروع عروض وولفرام . تم الاسترجاع في 28 ديسمبر 2025. اقترح بوينسو أيضًا في عام 1834 إنشاءً هندسيًا يوفر تمثيلًا بصريًا أنيقًا لحركة الجسم الصلب. يتدحرج مجسم بوينسو الإهليلجي على المستوى الثابت العمودي على متجه الزخم الزاوي الثابت.
  4. ↑ موروا، خوسيبا؛ بالاسيوس، رافائيل؛ غراهام، ج. مايكل ر. (2012). "تطبيقات طريقة الشبكة الدوامية غير المستقرة في المرونة الهوائية للطائرات وديناميكيات الطيران". التقدم في علوم الفضاء الجوي . 55 : 46-72 . doi : 10.1016/j.paerosci.2012.06.001 .
  5. ^ ويتلاند، مايكل س. ميرفي، تارا؛ نعومينكو، دانيال؛ شيجندل، دان فان؛ كاتسيفيس ، جورجيو (أبريل 2021). “الهاتف المحمول كمختبر للتناوب الحر”. المجلة الأمريكية للفيزياء . 89 (4): 342– 348. أرخايف : 2011.02024 . دوى : 10.1119/10.0003380 .
  6. ↑ ليفي، مارك (2014). الميكانيكا الكلاسيكية مع حساب التفاضل والتكامل والتحكم الأمثل: مقدمة بديهية . الجمعية الأمريكية للرياضيات. ص 151-152 . ISBN  9781470414443.
  7. ↑ أبرامز، جوليا (2020-09-01). "لماذا تتدحرج مضارب التنس؟ شرح تأثير دزانيبيكوف..." . comsol.com . شركة كومسول إيه بي . تم الاطلاع عليه بتاريخ 28-12-2025 .
  8. ↑ إفرويمسكي، مايكل (مارس 2002). "أويلر، جاكوبي، والبعثات إلى المذنبات والكويكبات". التقدم في أبحاث الفضاء . 29 (5): 725-734 . arXiv : astro-ph/0112054 . Bibcode : 2002AdSpR..29..725E . doi : 10.1016/S0273-1177(02)00017-0 . S2CID 1110286 .