مجموعة داخلية

في المنطق الرياضي ، وخاصة في نظرية النموذج والتحليل غير القياسي ، فإن المجموعة الداخلية هي مجموعة تنتمي إلى نموذج.

يُعدّ مفهوم المجموعات الداخلية أداةً في صياغة مبدأ النقل ، الذي يُعنى بالعلاقة المنطقية بين خصائص الأعداد الحقيقية R وخصائص حقل أكبر يُرمز له بـ * R ويُسمى الأعداد الفائقة الحقيقية . يشمل الحقل * R ، على وجه الخصوص، الأعداد المتناهية الصغر ("الصغيرة إلى ما لا نهاية")، مما يُوفر تبريرًا رياضيًا دقيقًا لاستخدامها. باختصار، تكمن الفكرة في التعبير عن التحليل على R بلغة مناسبة من المنطق الرياضي، ثم الإشارة إلى أن هذه اللغة تنطبق بنفس القدر على * R . وقد تبيّن أن هذا ممكن لأن القضايا في هذه اللغة، على المستوى النظري للمجموعات ، تُفسَّر على أنها تنطبق فقط على المجموعات الداخلية وليس على جميع المجموعات (لاحظ أن مصطلح "لغة" يُستخدم هنا بمعنى واسع).

تُعدّ نظرية المجموعات الداخلية لإدوارد نيلسون منهجًا بديهيًا للتحليل غير القياسي (انظر أيضًا بالمغرين في التحليل غير القياسي البنّاء ). كما تستخدم التفسيرات التقليدية اللانهائية للتحليل غير القياسي مفهوم المجموعات الداخلية.

بالنسبة إلى البناء الفائق القوة للأعداد الحقيقية الفائقة كفئات تكافؤ للمتتاليات${\displaystyle \langle u_{n}\rangle }$بالنسبة للأعداد الحقيقية، فإن المجموعة الفرعية الداخلية [ A _n ] من * R هي مجموعة معرفة بواسطة متتالية من المجموعات الحقيقية${\displaystyle \langle A_{n}\rangle }$، حيث الواقعية المفرطة${\displaystyle [u_{n}]}$يقال إنه ينتمي إلى المجموعة${\displaystyle [A_{n}]\subseteq \;^{*}\!{\mathbb {R} }}$إذا وفقط إذا كانت مجموعة المؤشرات n التي تحقق${\displaystyle u_{n}\in A_{n}}$، هو أحد أعضاء المرشح الفائق المستخدم في بناء * R .

بشكل أعم، الكيان الداخلي هو عنصر من الامتداد الطبيعي لكيان حقيقي. وبالتالي، كل عنصر من عناصر * R هو عنصر داخلي؛ وتكون المجموعة الجزئية من * R داخلية إذا وفقط إذا كانت عنصرًا من الامتداد الطبيعي.${\displaystyle {}^{*}{\mathcal {P}}(\mathbb {R} )}$من مجموعة الطاقة${\displaystyle {\mathcal {P}}(\mathbb {R} )}$من R ؛ إلخ.

كل مجموعة جزئية داخلية من * R تُشكّل مجموعة جزئية من (النسخة المُضمّنة من) R هي بالضرورة مجموعة منتهية (انظر النظرية 3.9.1، غولدبلات، 1998). بعبارة أخرى، كل مجموعة جزئية داخلية غير منتهية من الأعداد الفائقة الحقيقية تحتوي بالضرورة على عناصر غير قياسية.

• وظيفة الجزء القياسية
• البنية الفوقية (الرياضيات)

• غولدبلات، روبرت . محاضرات في الأعداد الفائقة الحقيقية . مقدمة في التحليل غير القياسي. نصوص الدراسات العليا في الرياضيات ، 188. سبرينغر-فيرلاغ، نيويورك، 1998.
• أبراهام روبنسون (1996)، التحليل غير القياسي ، معالم برينستون في الرياضيات والفيزياء، مطبعة جامعة برينستون، رقم ISBN 978-0-691-04490-3