نظرية المجموعات

نظرية المجموعات هي فرع من فروع المنطق الرياضي الذي يدرس المجموعات ، والتي يمكن وصفها بشكل غير رسمي بأنها تجمعات من الأشياء. على الرغم من إمكانية تجميع أي نوع من الأشياء في مجموعة، فإن نظرية المجموعات - كفرع من فروع الرياضيات - تهتم في الغالب بتلك الأشياء ذات الصلة بالرياضيات ككل. ^{[ 1 ]}^{[ 2 ]}

بدأ العالمان الرياضيان الألمانيان ريتشارد ديديكيند وجورج كانتور الدراسة الحديثة لنظرية المجموعات في سبعينيات القرن التاسع عشر. ويُعتبر جورج كانتور، على وجه الخصوص، مؤسس نظرية المجموعات. ^{[ 3 ]} تُعرف الأنظمة غير الرسمية التي دُرست خلال هذه المرحلة المبكرة باسم نظرية المجموعات الساذجة . ^{[ 4 ]} بعد اكتشاف المفارقات ضمن نظرية المجموعات الساذجة (مثل مفارقة راسل ، ^{[ 5 ]} ومفارقة كانتور ، ^{[ 6 ]} ومفارقة بورالي-فورتي ، ^{[ 7 ]} وغيرها)، اقتُرحت أنظمة بديهية متنوعة في أوائل القرن العشرين، ولا تزال نظرية زيرميلو-فرانكل للمجموعات (مع أو بدون بديهية الاختيار ) أشهرها وأكثرها دراسة. ^{[ 8 ]}

تُستخدم نظرية المجموعات على نطاق واسع كنظام أساسي لعلم الرياضيات برمته ، ^{[ 9 ]} لا سيما في صورة نظرية زيرميلو-فرانكل للمجموعات مع بديهية الاختيار. ^{[ 10 ]} وإلى جانب دورها التأسيسي، تُوفر نظرية المجموعات أيضًا إطارًا لتطوير نظرية رياضية للانهائية ، ^{[ 11 ]} ولها تطبيقات متنوعة في علوم الحاسوب (مثل نظرية الجبر العلائقي )، ^{[ 12 ]}^{[ 13 ]} والفلسفة ، ^{[ 1 ]} والدلالات الصورية ، ^{[ 14 ]} وديناميكيات التطور . ^{[ 15 ]} وقد جعلت جاذبيتها التأسيسية، إلى جانب مفارقاتها ، وآثارها على مفهوم اللانهاية وتطبيقاتها المتعددة، من نظرية المجموعات مجالًا ذا أهمية بالغة لعلماء المنطق وفلاسفة الرياضيات . ^{[ 16 ]}^{[ 4 ]} ويغطي البحث المعاصر في نظرية المجموعات طيفًا واسعًا من المواضيع، بدءًا من بنية خط الأعداد الحقيقية وصولًا إلى دراسة اتساق الأعداد الكاردينالية الكبيرة . ^{[ 1 ]}

تاريخ

التاريخ المبكر

إن المفهوم الأساسي لتجميع الأشياء موجود منذ ظهور الأعداد على الأقل ، ومفهوم التعامل مع المجموعات ككائنات مستقلة موجود منذ شجرة بورفيريوس في القرن الثالث الميلادي على الأقل. ^{[ 17 ]} إن بساطة المجموعات وانتشارها الواسع يجعلان من الصعب تحديد أصلها كما تُستخدم اليوم في الرياضيات؛ ومع ذلك، يُعتبر كتاب برنارد بولزانو " مفارقات اللانهاية" ( Paradoxien des Unendlichen ، 1851) عمومًا أول تقديم دقيق للمجموعات في الرياضيات. في هذا العمل، قام (من بين أمور أخرى) بتوسيع مفارقة غاليليو ، وقدم مفهوم التناظر الأحادي بين المجموعات اللانهائية، على سبيل المثال بين الفترات . $[0,5]$ و $[0,12]$ عن طريق العلاقة $5y=12x$ ومع ذلك، فقد رفض القول بأن هذه المجموعات متساوية العدد ، ويُعتبر عمله عمومًا غير مؤثر في الرياضيات في عصره. ^{[ 18 ]}^{[ 19 ]}

قبل ظهور نظرية المجموعات الرياضية، كانت المفاهيم الأساسية للانهائية تُعتبر من صميم الفلسفة (انظر: اللانهاية (الفلسفة) واللانهاية § التاريخ ). منذ القرن الخامس قبل الميلاد، بدءًا من الفيلسوف اليوناني زينون الإيلي في الغرب ( والرياضيين الهنود الأوائل في الشرق)، عانى علماء الرياضيات من مفهوم اللانهاية. مع تطور حساب التفاضل والتكامل في أواخر القرن السابع عشر، بدأ الفلاسفة بالتمييز عمومًا بين اللانهاية الكامنة واللانهاية الفعلية ، حيث اقتصرت الرياضيات على الأخيرة فقط. ^{[ 20 ]} وقد صرّح كارل فريدريش غاوس قولته الشهيرة:

اللانهاية ليست سوى مجاز يساعدنا على الحديث عن النهايات. أما مفهوم اللانهاية الكاملة فلا مكان له في الرياضيات. ^{[ 21 ]}

كان لتطوير نظرية المجموعات الرياضية دوافع عديدة من علماء الرياضيات. فقد طرح برنارد ريمان في محاضرته " حول الفرضيات التي تقوم عليها أسس الهندسة " (1854) أفكارًا جديدة حول الطوبولوجيا . ^{[ 22 ]} كما قدمت محاضراته مفهوم تأسيس الرياضيات على أساس المجموعات أو المتشعبات، وذلك من خلال فئة (أطلق عليها اسم "التشعبات " ) تُعرف الآن باسم طوبولوجيا المجموعات النقطية . نُشرت المحاضرة بواسطة ريتشارد ديديكيند عام 1868، إلى جانب ورقة ريمان البحثية حول المتسلسلات المثلثية (التي عرضت تكامل ريمان ). شكلت هذه الورقة نقطة انطلاق لحركة في التحليل الحقيقي لدراسة الدوال غير المتصلة "بشكل جدي" . وقد انخرط الشاب جورج كانتور في هذا المجال، مما قاده إلى دراسة المجموعات النقطية . في حوالي عام 1871، متأثرًا بريمان، بدأ ديديكيند العمل على المجموعات في منشوراته، التي تناولت بوضوح ودقة علاقات التكافؤ ، وتقسيمات المجموعات ، والتشاكلات . وهكذا، فإن العديد من الإجراءات المعتادة في نظرية المجموعات في رياضيات القرن العشرين تعود إلى أعماله. مع ذلك، لم ينشر شرحًا رسميًا لنظرية المجموعات الخاصة به حتى عام 1888.

نظرية المجموعات الساذجة

تُعتبر نظرية المجموعات، كما يفهمها علماء الرياضيات المعاصرون، مؤسسةً على ورقة بحثية واحدة نُشرت عام ١٨٧٤ بقلم جورج كانتور بعنوان " حول خاصية لمجموعة جميع الأعداد الجبرية الحقيقية" . ^{[ ٢٣ ]}^{[ ٢٤ ]}^{[ ٢٥ ]} في ورقته البحثية، طوّر كانتور مفهوم العددية ، مُقارنًا أحجام مجموعتين من خلال وضعهما في تناظر أحادي. وكان "اكتشافه الثوري" هو أن مجموعة جميع الأعداد الحقيقية غير قابلة للعد ، أي أنه لا يمكن وضع جميع الأعداد الحقيقية في قائمة. وقد تم إثبات هذه النظرية باستخدام برهان كانتور الأول على عدم قابلية العد ، والذي يختلف عن البرهان الأكثر شيوعًا باستخدام حجته القطرية .

قدّم كانتور مفاهيم أساسية في نظرية المجموعات، مثل مجموعة القوى لمجموعة A ، وهي مجموعة جميع المجموعات الجزئية الممكنة من A. أثبت لاحقًا أن حجم مجموعة القوى لـ A أكبر من حجم A نفسها ، حتى عندما تكون A مجموعة غير منتهية؛ وسرعان ما عُرفت هذه النتيجة باسم نظرية كانتور . طوّر كانتور نظرية الأعداد المتسامية ، المسماة بالأعداد الأصلية والترتيبية ، والتي وسّعت نطاق حساب الأعداد الطبيعية. استخدم كانتور الحرف العبري للدلالة على الأعداد الأصلية . $\aleph$ ( ℵ ، ألف ) مع رمز عدد طبيعي سفلي؛ أما بالنسبة للأعداد الترتيبية فقد استخدم الحرف اليوناني $\omega$ ( ω ، أوميغا ).

بدأت نظرية المجموعات تُصبح عنصرًا أساسيًا في المنهج "الحديث" الجديد للرياضيات. في البداية، اعتُبرت نظرية كانتور للأعداد المتسامية مُخالفةً للحدس ، بل ومُثيرةً للصدمة. وقد تسبب ذلك في مُواجهة مُقاومة من مُعاصريها في الرياضيات، مثل ليوبولد كرونكر وهنري بوانكاريه ، ولاحقًا من هيرمان فايل ولي جيه براور ، بينما أثار لودفيج فيتجنشتاين اعتراضات فلسفية (انظر: الجدل حول ^نظرية^كانتور⁾ .

على الرغم من الجدل، حققت نظرية المجموعات لكانتور انتشارًا واسعًا مع مطلع القرن العشرين بفضل أعمال العديد من علماء الرياضيات والفلاسفة البارزين. في نفس الفترة تقريبًا، بدأ ريتشارد ديديكيند العمل على المجموعات في منشوراته، واشتهر ببناء الأعداد الحقيقية عام ١٨٧٢ باستخدام قطع ديديكيند . تبادل كانتور وديديكيند الرسائل حول نظرية المجموعات، لا سيما في سبعينيات القرن التاسع عشر. ^{[ ٢٦ ]} مع ذلك، لم يبدأ أسلوب ديديكيند الجبري في جذب المتابعين إلا في تسعينيات القرن التاسع عشر. كما تعاون كانتور مع جوزيبي بيانو في تطوير بديهيات بيانو ، التي صاغت حساب الأعداد الطبيعية باستخدام أفكار نظرية المجموعات، والتي قدمت أيضًا رمز إبسيلون للدلالة على انتماء المجموعة . ولعل أبرز ما في الأمر هو أن غوتلوب فريجه بدأ في تطوير كتابه "أسس الحساب" .

في أعماله، يحاول فريجه تأسيس جميع الرياضيات على أسس بديهيات منطقية باستخدام مفهوم كانتور للعددية. على سبيل المثال، تعني جملة "عدد الخيول في الحظيرة أربعة" أن أربعة أشياء تندرج تحت مفهوم الحصان في الحظيرة . وقد سعى فريجه إلى شرح فهمنا للأعداد من خلال مفهوم العددية ("عدد..."، أو $Nx:Fx$ ، بالاعتماد على مبدأ هيوم .

مع ذلك، لم يدم عمل فريجه طويلًا، إذ اكتشف برتراند راسل أن بديهياته تؤدي إلى تناقض . تحديدًا، قانون فريجه الأساسي الخامس (المعروف الآن باسم مخطط بديهيات الفهم غير المقيد ). وفقًا للقانون الأساسي الخامس ، لأي خاصية محددة بدقة كافية ، توجد مجموعة جميع الأشياء التي تمتلك تلك الخاصية فقط. يُبين التناقض، المسمى مفارقة راسل ، على النحو التالي:

ليكن R مجموعة جميع المجموعات التي لا تنتمي إلى نفسها. (تُسمى هذه المجموعة أحيانًا "مجموعة راسل"). إذا لم تكن R مجموعةً من نفسها، فإن تعريفها يستلزم أنها مجموعة من نفسها؛ ومع ذلك، إذا كانت مجموعةً من نفسها، فهي ليست مجموعةً من نفسها، لأنها مجموعة جميع المجموعات التي لا تنتمي إلى نفسها. التناقض الناتج هو مفارقة راسل. بالرموز:
${\text{ليكن }}R=\{x\mid x\not \in x\}{\text{، إذن }}R\in R\iff R\not \in R$

جاء هذا في فترة شهدت العديد من المفارقات أو النتائج غير البديهية. على سبيل المثال، استحالة إثبات مسلمة التوازي ، ووجود كائنات رياضية لا يمكن حسابها أو وصفها بشكل صريح، ووجود نظريات حسابية لا يمكن إثباتها باستخدام حساب بيانو . وقد نتج عن ذلك أزمة تأسيسية في الرياضيات .

المفاهيم الأساسية والرموز

تبدأ نظرية المجموعات بعلاقة ثنائية أساسية بين عنصر $o$ ومجموعة $A.$ إذا كان $o$ عضوًا في $A$ ، يُستخدم الرمز $o$ $\in$ $A.$ تُوصف المجموعة بسرد عناصرها مفصولة بفواصل، أو بوصف خاصية مميزة لعناصرها، داخل أقواس معقوفة { }. ^[²⁷ ] بما أن المجموعات كائنات، فإن علاقة الانتماء ^هذه تربط المجموعات ببعضها أيضًا، أي أن المجموعات نفسها يمكن أن تكون أعضاءً في مجموعات أخرى.

العلاقة الثنائية المشتقة بين مجموعتين هي علاقة المجموعة الجزئية، وتُسمى أيضًا احتواء المجموعة . إذا كانت جميع عناصر المجموعة $A$ عناصر في المجموعة $B$ ، فإن $A$ هي مجموعة جزئية من $B$ ، ويُرمز لها بـ $A \subseteq B.$ على سبيل المثال، ${1، 2}$ هي مجموعة جزئية من ${1، 2، 3}$ ، وكذلك ${2}،$ لكن ${1، 4}$ ليست كذلك. وكما هو واضح من هذا التعريف، فإن المجموعة هي مجموعة جزئية من نفسها. في الحالات التي يكون فيها هذا الاحتمال غير مناسب أو من المنطقي رفضه، يُستخدم مصطلح المجموعة الجزئية الفعلية ، ويُرمز لها بأسماء مختلفة. $A\subset B$ ، $A\subsetneq B$ ، أو $A\subsetneqq B$ (لاحظ مع ذلك أن الترميز $A\subset B$ يُستخدم أحيانًا كمرادف لـ $A\subseteq B$ أي، مع السماح بإمكانية تساوي $A$ و $B.$ نسمي $A$ مجموعة جزئية فعلية من $B$ إذا وفقط إذا كانت $A$ مجموعة جزئية من $B$ ، ولكنها $لا$ تساوي $B.$ كذلك، فإن 1 و2 و3 عناصر في المجموعة ${1، 2، 3}$ ، ولكنها ليست مجموعات جزئية منها؛ وبالمقابل، فإن المجموعات الجزئية، مثل ${1}$ ، ليست عناصر في المجموعة ${1، 2، 3}$ . قد توجد علاقات أكثر تعقيدًا؛ على سبيل المثال، المجموعة ${1}$ هي عنصر ومجموعة جزئية فعلية من المجموعة ${1، {1}}$ .

كما تتضمن العمليات الحسابية عمليات ثنائية على الأعداد ، تتضمن نظرية المجموعات عمليات ثنائية على المجموعات. ^{[ 28 ]} فيما يلي قائمة جزئية منها:

اتحاد المجموعتين $A$ و $B$ ، ويرمز له بـ $A \cup B$ ، هو مجموعة جميع العناصر التي تنتمي إلى $A$ أو $B$ أو كليهما.^{[ 29 ]} على سبيل المثال، اتحاد ${1، 2، 3}$ و ${2، 3، 4}$ هو المجموعة ${1، 2، 3، 4}$ .
تقاطع المجموعتين $A$ و $B$ ، ويرمز له بـ^{A ∩ B، هو مجموعة جميع العناصر التي تنتمي إلى كل من A و B. [30]} $على سبيل المثال$ ، $تقاطع$ { $1$ ^{، 2} ،3 $}$ و ${2، 3، 4}$ هو المجموعة ${2، 3}$ .
الفرق بين $المجموعتين U$ و $A$ ، ويرمز له بـ^{U ∖ A، هو مجموعة جميع عناصر U التي لا تنتمي إلى A. [} $31] الفرق$ بين $المجموعتين$ { $1$ ،²^، 3 $}$ $∖$ ${2، 3، 4}$ هو ${1}$ ، بينما العكس صحيح، الفرق بين المجموعتين ${2، 3، 4}$ $∖$ ${1، 2، 3}$ هو ${4}$ . عندما $تكون A$ مجموعة جزئية من $U$ ، يُسمىالفرق بين المجموعتين $U$ $∖$ $A أيضًا$ مكمل Aفي $U.$ في هذه الحالة، إذا كان اختيار $U$ واضحًا من السياق،يُستخدم أحيانًا $الرمز A$ $∖$ $A$ $بدلًا من U$ $∖$ $A$ ، خاصةً إذاكانت $U$ مجموعة شاملة كما هو الحال في دراسة مخططات فين .^[³²^]
الفرق المتناظر بين المجموعتين $A$ و $B$ ، ويرمز له بـ $A △ B$ أو $A ⊖ B$ ، هو مجموعة جميع العناصر التي تنتمي إلى إحدى المجموعتين $A$ أو $B$ فقط (أي العناصر الموجودة في إحدى المجموعتين فقط). على سبيل المثال، بالنسبة للمجموعتين ${1، 2، 3}$ و ${2، 3، 4}$ ، فإن مجموعة الفرق المتناظر هي ${1، 4}$ . وهو الفرق بين مجموعتي الاتحاد والتقاطع، $أي (A \cup B) ∖ (A \cap B)$ أو $(A ∖ B) \cup (B ∖ A)$ .
حاصل الضرب الديكارتي للمجموعتين $A$ و $B$ ، ويرمز له بـ $A \times B$ ، هو المجموعة التي تتكون من جميع الأزواج المرتبة الممكنة $(a, b)$ ، حيث $a$ عنصر من $A$ و $b$ عنصر من $B.$ على سبيل المثال، حاصل الضرب الديكارتي للمجموعتين {1, 2} و {أحمر, أبيض} هو {(1, أحمر)، (1, أبيض)، (2, أحمر)، (2, أبيض)}. ^{[ 33 ]}

من بين المجموعات الأساسية ذات الأهمية المركزية: مجموعة الأعداد الطبيعية ، ومجموعة الأعداد الحقيقية ، والمجموعة الفارغة - وهي المجموعة الوحيدة التي لا تحتوي على أي عناصر. تُسمى المجموعة الفارغة أحيانًا بالمجموعة الصفرية ، ^{[ 34 ]} على الرغم من أن هذا الاسم غامض ويمكن أن يؤدي إلى عدة تفسيرات. يمكن الإشارة إلى المجموعة الفارغة بأقواس معقوفة فارغة. $\{\}$ "أو الرمز " $\varnothing$ " أو " $\emptyset$ ".

مجموعة القوى لمجموعة $A$ ، ويرمز لها بـ ${\mathcal {P}}(A)$ ، هي المجموعة التي تضم جميع المجموعات الجزئية الممكنة من $A.$ على سبيل المثال، مجموعة القوى للمجموعة ${1، 2}$ هي ${ {}، {1}، {2}، {1، 2} }$ . والجدير بالذكر، ${\mathcal {P}}(A)$ يحتوي على كل من المجموعة $A$ والمجموعة الفارغة.

علم الوجود

تُسمى المجموعة نقية إذا كانت جميع عناصرها مجموعات، وجميع عناصر عناصرها مجموعات، وهكذا. على سبيل المثال، المجموعة التي تحتوي على المجموعة الفارغة فقط هي مجموعة نقية غير فارغة. في نظرية المجموعات الحديثة، يشيع التركيز على عالم فون نيومان للمجموعات النقية، وقد صُممت العديد من أنظمة نظرية المجموعات البديهية لتأصيل المجموعات النقية فقط. لهذا التقييد مزايا تقنية عديدة، ولا يُفقد الكثير من العمومية، لأن جميع المفاهيم الرياضية تقريبًا يُمكن نمذجتها بواسطة المجموعات النقية. تُنظم المجموعات في عالم فون نيومان في تسلسل هرمي تراكمي ، بناءً على عمق تداخل عناصرها، وعناصر عناصرها، وما إلى ذلك. تُخصص لكل مجموعة في هذا التسلسل الهرمي (عن طريق الاستدعاء الذاتي المتسامي ) رقم ترتيبي . $\alpha$ ، والمعروفة برتبتها . رتبة المجموعة النقية $X$ يُعرَّف الترتيب بأنه أصغر عدد ترتيبي أكبر تمامًا من رتبة أي من عناصره. على سبيل المثال، تُعطى المجموعة الفارغة الرتبة 0، بينما تُعطى المجموعة التي تحتوي على المجموعة الفارغة فقط الرتبة 1. لكل عدد ترتيبي $\alpha$ المجموعة $V_{\alpha }$ يُعرَّف بأنه يتكون من جميع المجموعات النقية ذات الرتبة الأقل من $\alpha$ يُشار إلى كون فون نيومان بأكمله بـ $V$ .

نظرية المجموعات الرسمية

يمكن دراسة نظرية المجموعات الأولية بشكل غير رسمي وبديهي، ولذا يمكن تدريسها في المدارس الابتدائية باستخدام مخططات فين . يفترض النهج البديهي ضمنيًا أن المجموعة يمكن تكوينها من فئة جميع العناصر التي تحقق أي شرط تعريفي محدد. يؤدي هذا الافتراض إلى ظهور مفارقات، أبسطها وأشهرها مفارقة راسل ومفارقة بورالي-فورتي . وقد صُممت نظرية المجموعات البديهية في الأصل للتخلص من هذه المفارقات في نظرية المجموعات. ^{[ ملاحظة 1 ]}

تشير أكثر أنظمة نظرية المجموعات البديهية دراسةً إلى أن جميع المجموعات تُشكّل تسلسلاً هرمياً تراكمياً . ^{[ ب ]} وتأتي هذه الأنظمة بنوعين، أحدهما يتكون من:

المجموعات وحدها . يشمل ذلك نظرية المجموعات البديهية الأكثر شيوعًا، وهي نظرية زيرميلو - فرانكل للمجموعات مع بديهية الاختيار (ZFC). تتضمن أجزاء من ZFC ما يلي :
- نظرية زيرميلو للمجموعات ، التي تستبدل مخطط البديهيات الخاص بالاستبدال بمخطط الفصل ؛
- نظرية المجموعات العامة ، وهي جزء صغير من نظرية مجموعات زيرميلو يكفي لبديهيات بيانو والمجموعات المنتهية ؛
- نظرية مجموعات كريپكي-بلاتيك ، التي تحذف بديهيات اللانهاية، ومجموعة القوى ، والاختيار، وتضعف مخططات البديهيات الخاصة بالفصل والاستبدال .
المجموعات والفئات المناسبة . وتشمل هذه نظرية مجموعات فون نيومان-بيرنايز-غودل ، التي تتمتع بنفس قوة ZFC بالنسبة للنظريات المتعلقة بالمجموعات فقط، ونظرية مجموعات مورس-كيلي ونظرية مجموعات تارسكي-غروتينديك ، وكلاهما أقوى من ZFC.

يمكن تعديل الأنظمة المذكورة أعلاه للسماح بوجود عناصر غير متجانسة ، وهي كائنات يمكن أن تكون أعضاءً في مجموعات ولكنها ليست مجموعات بحد ذاتها ولا تحتوي على أي أعضاء. وقد عُرّفت نظرية زيرميلو للمجموعات في الأصل على نطاق يتكون من كل من المجموعات والعناصر غير المتجانسة.

لا تستند أنظمة الأسس الجديدة، NFU (التي تسمح بالعناصر الأولية) وNF (التي تفتقر إليها)، والمرتبطة بويلارد فان أورمان كواين، إلى تسلسل هرمي تراكمي. يتضمن كل من NF وNFU "مجموعة كل شيء"، ولكل مجموعة مكمل بالنسبة لها. في هذه الأنظمة، تُعد العناصر الأولية مهمة، لأن NF، وليس NFU، تُنتج مجموعات لا ينطبق عليها بديهية الاختيار . على الرغم من أن أنطولوجيا NF لا تعكس التسلسل الهرمي التراكمي التقليدي وتخالف مبدأ التأسيس الجيد، فقد جادل توماس فورستر بأنها تعكس مفهومًا تكراريًا للمجموعة . ^{[ 35 ]}

تُضمّن أنظمة نظرية المجموعات البنّاءة ، مثل CST وCZF وIZF، بديهيات مجموعاتها في منطق حدسي بدلاً من المنطق الكلاسيكي . بينما تقبل أنظمة أخرى المنطق الكلاسيكي ، لكنها تتميز بعلاقة انتماء غير قياسية. تشمل هذه الأنظمة نظرية المجموعات التقريبية ونظرية المجموعات الضبابية ، حيث لا تكون قيمة الصيغة الذرية التي تُجسّد علاقة الانتماء صحيحة أو خاطئة ببساطة . وتُعدّ نماذج ZFC ذات القيم المنطقية موضوعًا ذا صلة.

اقترح إدوارد نيلسون في عام 1977 إثراءً لنظرية ZFC يسمى نظرية المجموعة الداخلية. ^[³⁶^]

التطبيقات

يمكن تعريف العديد من المفاهيم الرياضية بدقة باستخدام مفاهيم نظرية المجموعات فقط. على سبيل المثال، يمكن تعريف البنى الرياضية المتنوعة ، كالمخططات ، والمتشعبات ، والحلقات ، والفضاءات المتجهة ، والجبر العلائقي ، على أنها مجموعات تحقق خصائص (بديهية) مختلفة. علاقات التكافؤ والترتيب شائعة في الرياضيات، ويمكن وصف نظرية العلاقات الرياضية في نظرية المجموعات. ^[³⁷^]^[³⁸^]

تُعدّ نظرية المجموعات نظامًا تأسيسيًا واعدًا للعديد من فروع الرياضيات. فمنذ نشر المجلد الأول من كتاب " مبادئ الرياضيات" ، زُعم أنه يُمكن اشتقاق معظم (أو حتى جميع) النظريات الرياضية باستخدام مجموعة مُصممة بعناية من البديهيات لنظرية المجموعات، مُدعّمة بالعديد من التعريفات، باستخدام منطق الرتبة الأولى أو الثانية . على سبيل المثال، يُمكن اشتقاق خصائص الأعداد الطبيعية والحقيقية ضمن نظرية المجموعات، حيث يُمكن تعريف كل نظام من هذه الأنظمة العددية بتمثيل عناصره كمجموعات ذات أشكال مُحددة. ^[³⁹^]

تُعدّ نظرية المجموعات أساسًا للتحليل الرياضي ، والطوبولوجيا ، والجبر المجرد ، والرياضيات المتقطعة ، وهي أساسٌ لا جدال فيه؛ إذ يقبل الرياضيون (من حيث المبدأ) إمكانية اشتقاق النظريات في هذه المجالات من التعريفات والمسلمات ذات الصلة في نظرية المجموعات. ومع ذلك، لا يزال عدد الاشتقاقات الكاملة لنظريات رياضية معقدة من نظرية المجموعات التي تم التحقق منها رسميًا قليلًا، نظرًا لأن هذه الاشتقاقات الرسمية غالبًا ما تكون أطول بكثير من البراهين المكتوبة باللغة الطبيعية التي يقدمها الرياضيون عادةً. يتضمن أحد مشاريع التحقق، وهو مشروع Metamath ، اشتقاقات مكتوبة يدويًا ومُدققة حاسوبيًا لأكثر من 12000 نظرية، انطلاقًا من نظرية مجموعات ZFC ، ومنطق الرتبة الأولى ، ومنطق القضايا . ^{[ 40 ]}

مجالات الدراسة

تُعد نظرية المجموعات مجالاً رئيسياً للبحث في الرياضيات، ولها العديد من المجالات الفرعية المترابطة:

نظرية المجموعات الوصفية

تُعنى نظرية المجموعات الوصفية بدراسة المجموعات الجزئية من خط الأعداد الحقيقية ، وبشكل أعم، المجموعات الجزئية من الفضاءات البولندية . تبدأ هذه النظرية بدراسة فئات النقاط في التسلسل الهرمي لبوريل ، وتمتد لتشمل دراسة تسلسلات هرمية أكثر تعقيدًا، مثل التسلسل الهرمي الإسقاطي وتسلسل وادج الهرمي . يمكن إثبات العديد من خصائص مجموعات بوريل في إطار ZFC، ولكن إثبات صحة هذه الخصائص لمجموعات أكثر تعقيدًا يتطلب بديهيات إضافية تتعلق بالحتمية والأعداد الكبيرة.

يقع مجال نظرية المجموعات الوصفية الفعّالة بين نظرية المجموعات ونظرية الاستدعاء الذاتي . ويشمل دراسة فئات النقاط ذات الوجوه المضيئة ، ويرتبط ارتباطًا وثيقًا بنظرية الحساب الفائق . في كثير من الحالات، توجد نسخ فعّالة من نتائج نظرية المجموعات الوصفية الكلاسيكية؛ وفي بعض الحالات، تُستخلص نتائج جديدة من خلال إثبات النسخة الفعّالة أولًا، ثم توسيعها (نسبتها) لجعلها أكثر قابلية للتطبيق على نطاق أوسع.

يتناول أحد مجالات البحث الحديثة علاقات التكافؤ البوريلية وعلاقات التكافؤ القابلة للتعريف الأكثر تعقيدًا . ولهذا تطبيقات مهمة في دراسة الثوابت في العديد من فروع الرياضيات.

نظرية المجموعات الضبابية

في نظرية المجموعات، كما عرّفها كانتور ووضعها زيرميلو وفرينكل، يكون العنصر إما عضوًا في مجموعة أو لا. في نظرية المجموعات الضبابية، خفف لطفي زاده هذا الشرط ، فأصبح للعنصر درجة انتماء إلى مجموعة، وهي قيمة بين 0 و1. على سبيل المثال، درجة انتماء شخص ما إلى مجموعة "الأشخاص طوال القامة" أكثر مرونة من مجرد إجابة بنعم أو لا، ويمكن أن تكون عددًا حقيقيًا مثل 0.75.

نظرية النموذج الداخلي

النموذج الداخلي لنظرية زيرميلو-فرانكل للمجموعات (ZF) هو فئة متعدية تشمل جميع الأعداد الترتيبية وتُحقق جميع بديهيات ZF. المثال النموذجي هو الكون القابل للبناء L الذي طوره غودل. أحد أسباب أهمية دراسة النماذج الداخلية هو إمكانية استخدامها لإثبات نتائج الاتساق. على سبيل المثال، يمكن إثبات أنه بغض النظر عما إذا كان النموذج V من ZF يُحقق فرضية الاستمرارية أو بديهية الاختيار ، فإن النموذج الداخلي L المُنشأ داخل النموذج الأصلي سيُحقق كلاً من فرضية الاستمرارية المعممة وبديهية الاختيار. وبالتالي، فإن افتراض أن ZF متسقة (أي تحتوي على نموذج واحد على الأقل) يستلزم أن ZF مع هذين المبدأين متسقة.

يُعدّ دراسة النماذج الداخلية شائعًا في دراسة الحتمية والأعداد الكبيرة ، لا سيما عند النظر في بديهيات مثل بديهية الحتمية التي تتعارض مع بديهية الاختيار. حتى لو حقق نموذج ثابت لنظرية المجموعات بديهية الاختيار، فمن الممكن أن يفشل نموذج داخلي في تحقيقها. على سبيل المثال، وجود أعداد كبيرة بما يكفي يستلزم وجود نموذج داخلي يحقق بديهية الحتمية (وبالتالي لا يحقق بديهية الاختيار). ^{[ 41 ]}

طيور الكاردينال الكبيرة

العدد الكاردينالي الكبير هو عدد كاردينالي يتميز بخاصية إضافية. وقد دُرست العديد من هذه الخصائص، بما في ذلك الأعداد الكاردينالية غير القابلة للوصول ، والأعداد الكاردينالية القابلة للقياس ، وغيرها الكثير. وتشير هذه الخصائص عادةً إلى أن العدد الكاردينالي يجب أن يكون كبيرًا جدًا، مع استحالة إثبات وجود عدد كاردينالي بهذه الخاصية في نظرية زيرميلو-فرانكل للمجموعات .

الحتمية

يشير مفهوم الحتمية إلى حقيقة أنه، في ظل افتراضات مناسبة، تكون بعض ألعاب اللاعبين ذات المعلومات الكاملة محددة مسبقًا، بمعنى أن أحد اللاعبين يجب أن يمتلك استراتيجية رابحة. ولوجود هذه الاستراتيجيات تبعات مهمة في نظرية المجموعات الوصفية، إذ أن افتراض تحديد فئة أوسع من الألعاب غالبًا ما يعني أن فئة أوسع من المجموعات ستتمتع بخاصية طوبولوجية. وتُعدّ بديهية الحتمية موضوعًا مهمًا للدراسة؛ فعلى الرغم من تعارضها مع بديهية الاختيار، إلا أنها تعني أن جميع المجموعات الجزئية من خط الأعداد الحقيقية تتمتع بسلوك جيد (وخاصة أنها قابلة للقياس وتتمتع بخاصية المجموعة الكاملة). ويمكن استخدام بديهية الحتمية لإثبات أن درجات وادج لها بنية أنيقة.

الإجبار

ابتكر بول كوهين طريقة الإجبار أثناء بحثه عن نموذج لنظرية ZFC لا تنطبق عليه فرضية الاستمرارية ، أو نموذج لنظرية ZF لا تنطبق عليه بديهية الاختيار . تعتمد طريقة الإجبار على إضافة مجموعات إضافية إلى نموذج معين لنظرية المجموعات، وذلك لإنشاء نموذج أكبر بخصائص محددة (أي "مُجبرة") من خلال عملية البناء والنموذج الأصلي. على سبيل المثال، تُضيف طريقة كوهين مجموعات فرعية إضافية من الأعداد الطبيعية دون تغيير أي من الأعداد الأصلية في النموذج الأصلي. كما تُعد طريقة الإجبار إحدى طريقتين لإثبات الاتساق النسبي باستخدام الطرق المحدودة، والطريقة الأخرى هي النماذج ذات القيم المنطقية .

الثوابت الأساسية

الثابت الأساسي هو خاصية لخط الأعداد الحقيقية تُقاس بعدد أساسي. على سبيل المثال، الثابت المدروس جيدًا هو أصغر عدد أساسي لمجموعة من مجموعات الأعداد الحقيقية الصغيرة التي يكون اتحادها هو خط الأعداد الحقيقية بأكمله. هذه ثوابت بمعنى أن أي نموذجين متماثلين لنظرية المجموعات يجب أن يعطيا نفس العدد الأساسي لكل ثابت. دُرست العديد من الثوابت الأساسية، وغالبًا ما تكون العلاقات بينها معقدة وترتبط بمسلمات نظرية المجموعات.

العلاقات مع مجالات أخرى في الرياضيات

الطوبولوجيا القائمة على نظرية المجموعات

يدرس علم الطوبولوجيا القائم على نظرية المجموعات مسائل الطوبولوجيا العامة ذات الطبيعة النظرية للمجموعات أو التي تتطلب أساليب متقدمة في نظرية المجموعات لحلها. العديد من هذه النظريات مستقلة عن نظرية ZFC، مما يستلزم بديهيات أقوى لإثباتها. من أشهر هذه المسائل مسألة فضاء مور الطبيعي ، وهي مسألة في الطوبولوجيا العامة كانت موضوعًا لبحوث مكثفة. وقد ثبت في النهاية أن حل مسألة فضاء مور الطبيعي مستقل عن نظرية ZFC.

نظرية المجموعات التوافقية

تهتم نظرية المجموعات التوافقية بتوسيع نطاق التوافقية المنتهية لتشمل المجموعات غير المنتهية. ويشمل ذلك دراسة الحساب الأساسي ودراسة امتدادات نظرية رامزي مثل نظرية إردوش-رادو .

نظرية الفئات

تُعدّ نظرية المجموعات ونظرية الفئات مجالين متميزين في الرياضيات، لكنهما مترابطان ترابطًا وثيقًا. تُشكّل نظرية المجموعات الأساس لوصف مجموعات الكائنات الرياضية ، بينما تستند نظرية الفئات غالبًا إلى هذا الأساس لوصف العلاقات بين هذه الكائنات. ونظرًا للعلاقة الوثيقة بين نظرية المجموعات ونظرية الفئات، فإنّ هذين المجالين يُثريان بعضهما البعض باستمرار. ^{[ 42 ]} تسعى كلتا النظريتين إلى توفير أساس للرياضيات، إلا أنهما تتبنيان مناهج مختلفة لتحقيق هذا الهدف. تبدأ نظرية المجموعات بفكرة "المجموعة" ومعايير الانتماء إليها، بينما تبدأ نظرية الفئات بالكائنات الرياضية والعلاقات بينها، مُعاملةً المجموعات كنوعٍ مُحدد من البنية ضمن هذا الإطار الأوسع. ^{[ 43 ]}

الجدل

منذ نشأة نظرية المجموعات، اعترض بعض الرياضيين عليها كأساس للرياضيات . وينطلق الاعتراض الأكثر شيوعًا، والذي طرحه كرونكر في بدايات نظرية المجموعات، من وجهة النظر البنائية التي ترى أن الرياضيات مرتبطة ارتباطًا ضعيفًا بالحساب. فإذا ما سُلِّم بهذه الوجهة، فإن معالجة المجموعات اللانهائية، سواء في نظرية المجموعات البسيطة أو البديهية، تُدخل إلى الرياضيات أساليب ومفاهيم غير قابلة للحساب من حيث المبدأ. وقد تعززت جدوى البنائية كأساس بديل للرياضيات بشكل كبير بفضل كتاب إيريت بيشوب المؤثر " أسس التحليل البنائي" . ^{[ 44 ]}

ثمة اعتراض آخر طرحه هنري بوانكاريه، وهو أن تعريف المجموعات باستخدام مخططات بديهيات التحديد والاستبدال ، بالإضافة إلى بديهية مجموعة القوى ، يُدخل عدم القدرة على التنبؤ ، وهو نوع من الدائرية ، في تعريفات الكائنات الرياضية. ورغم أن نطاق الرياضيات القائمة على التنبؤ أقل من نطاق نظرية زيرميلو-فرانكل المقبولة عمومًا، إلا أنه أوسع بكثير من نطاق الرياضيات البنائية، لدرجة أن سولومون فيفرمان قال: "يمكن تطوير جميع التحليلات العلمية القابلة للتطبيق [باستخدام الأساليب التنبؤية]". ^[⁴⁵^]

أدان لودفيج فيتجنشتاين نظرية المجموعات فلسفيًا لما تحمله من دلالات على الأفلاطونية الرياضية . ^{[ 46 ]} كتب أن "نظرية المجموعات خاطئة"، لأنها مبنية على "هراء" الرموز الوهمية، وتحتوي على "مصطلحات ضارة"، وأنه من غير المنطقي الحديث عن "جميع الأعداد". ^{[ 47 ]} ربط فيتجنشتاين الرياضيات بالاستنتاج البشري الخوارزمي؛ ^{[ 48 ]} وبدا له أن الحاجة إلى أساس متين للرياضيات أمر غير منطقي. ^{[ 49 ]} علاوة على ذلك، ولأن الجهد البشري محدود بالضرورة، فقد تطلبت فلسفة فيتجنشتاين التزامًا وجوديًا بالبنائية الجذرية والمحدودية . إن العبارات ما وراء الرياضية - التي شملت، بالنسبة لفيتجنشتاين، أي عبارة تُكمّم على نطاقات لا نهائية ، وبالتالي جميع نظريات المجموعات الحديثة تقريبًا - ليست رياضيات. ^{[ ٥٠ ]} لم يتبنَّ سوى عدد قليل من الفلاسفة المعاصرين آراء فيتغنشتاين بعد خطأ فادح ارتكبه في كتابه "ملاحظات حول أسس الرياضيات" : إذ حاول فيتغنشتاين دحض نظريات عدم الاكتمال لغودل بعد أن قرأ الملخص فقط. وكما أشار المراجعون كرايزل ، وبرنايز ، ودوميت ، وجودستين ، فإن العديد من انتقاداته لم تنطبق على البحث بكامله. ولم يبدأ فلاسفة مثل كريسبين رايت في إعادة الاعتبار لحجج فيتغنشتاين إلا مؤخرًا. ^{[ ٥١ ]}

اقترح علماء نظرية الفئات نظرية التوبوس كبديل لنظرية المجموعات البديهية التقليدية. تستطيع نظرية التوبوس تفسير بدائل مختلفة لتلك النظرية، مثل البنائية ، ونظرية المجموعات المنتهية، ونظرية المجموعات القابلة للحساب . ^{[ 52 ]}^{[ 53 ]} كما توفر التوبوس إطارًا طبيعيًا للفرض ومناقشات استقلال الاختيار عن نظرية ZF، بالإضافة إلى توفيرها إطارًا لطوبولوجيا اللا معنى وفضاءات ستون . ^{[ 54 ]}

يُعدّ مجال الأسس أحادية القيمة ، وما يرتبط بها من نظرية أنواع التماثل، مجالًا بحثيًا نشطًا . في نظرية أنواع التماثل، يُمكن اعتبار المجموعة نوعًا تماثليًا من النوع صفر، حيث تنشأ الخصائص العامة للمجموعات من الخصائص الاستقرائية والتكرارية للأنواع الاستقرائية العليا . يُمكن صياغة مبادئ مثل بديهية الاختيار وقانون الوسط المرفوع بطريقة تُطابق الصياغة الكلاسيكية في نظرية المجموعات، أو ربما ضمن طيف واسع من الطرق المتميزة الخاصة بنظرية الأنواع. قد يُثبت أن بعض هذه المبادئ هي نتيجة لمبادئ أخرى. يُتيح تنوّع صياغات هذه المبادئ البديهية تحليلًا مُفصّلًا للصياغات المطلوبة لاستخلاص نتائج رياضية مُختلفة. ^{[ 55 ]}^{[ 56 ]}

التعليم الرياضي

مع ازدياد شعبية نظرية المجموعات كأساس للرياضيات الحديثة، كان هناك دعم لفكرة تقديم أساسيات نظرية المجموعات البسيطة في وقت مبكر من تعليم الرياضيات .

في الولايات المتحدة خلال ستينيات القرن العشرين، هدفت تجربة الرياضيات الجديدة إلى تعليم نظرية المجموعات الأساسية، إلى جانب مفاهيم مجردة أخرى، لطلاب المرحلة الابتدائية ، لكنها قوبلت بانتقادات واسعة. ^{[ 57 ]} وقد حذا منهج الرياضيات في المدارس الأوروبية حذو هذا التوجه، ويشمل حاليًا هذا الموضوع بمستويات مختلفة في جميع المراحل الدراسية. وتُستخدم مخططات فين على نطاق واسع لشرح العلاقات الأساسية في نظرية المجموعات لطلاب المرحلة الابتدائية (مع أن جون فين هو من ابتكرها في الأصل كجزء من إجراء لتقييم صحة الاستدلالات في منطق المصطلحات ) .

تُستخدم نظرية المجموعات لتعريف الطلاب بالمعاملات المنطقية (ليس، و، أو)، والوصف الدلالي أو وصف القواعد ( التعريف القصدي تقنيًا ) ^{[ 58 ]} للمجموعات (مثل "الأشهر التي تبدأ بالحرف أ ")، وهو ما قد يكون مفيدًا عند تعلم برمجة الحاسوب ، نظرًا لاستخدام المنطق البولياني في لغات برمجة متنوعة . وبالمثل، تُعد المجموعات وغيرها من الكائنات الشبيهة بالمجموعات، مثل المجموعات المتعددة والقوائم ، من أنواع البيانات الشائعة في علوم الحاسوب والبرمجة. ^[⁵⁹^]

بالإضافة إلى ذلك، تُستخدم مجموعات معينة بشكل شائع في تدريس الرياضيات (مثل المجموعات $\mathbb {N}$ من الأعداد الطبيعية ، $\mathbb {Z}$ من الأعداد الصحيحة ، $\mathbb {R}$ (من الأعداد الحقيقية ، إلخ). تُستخدم هذه عادةً عند تعريف دالة رياضية كعلاقة من مجموعة ( المجال ) إلى مجموعة أخرى ( المدى ). ^{[ 60 ]}

فهرس

بول هالموس ، نظرية المجموعة الساذجة ، 1960، دار سبرينغر.
توماس جيتش ، نظرية المجموعات، طبعة الألفية الثالثة ، منقحة وموسعة. سبرينغر ، 2006، 772 صفحة، رقم ISBN 978-3-540-44085-7نظرية المجموعات على كتب جوجل
ماثيو فورمان وأكيهيرو كاناموري (المحررين)، دليل نظرية المجموعات ، 2010، 2196 صفحة ISBN 978-1-4020-4843-2(مطبوع) رقم الكتاب المعياري الدولي 978-1-4020-5764-9(متصل)

انظر أيضاً

الفئة (نظرية المجموعات)
النظرية الأولية لفئة المجموعات
مسرد مصطلحات نظرية المجموعات
قائمة بمواضيع نظرية المجموعات
النموذج العلائقي – يستعير من نظرية المجموعات
نظرية المجموعات الهيكلية
مخطط فين

ملحوظات

في بحثه المنشور عام ١٩٢٥ بعنوان "صياغة بديهيات نظرية المجموعات"، لاحظ جون فون نيومان أن "نظرية المجموعات في نسختها الأولى، "الساذجة"، التي وضعها كانتور، أدت إلى تناقضات. وهذه التناقضات هي التناقضات المعروفةلمجموعة جميع المجموعات التي لا تحتوي على نفسها (راسل)، ومجموعة جميع الأعداد الترتيبية المتسامية (بورالي-فورتي)، ومجموعة جميع الأعداد الحقيقية القابلة للتعريف المحدود (ريتشارد)". ويتابع ملاحظة أن اتجاهين كانا يحاولان "إعادة تأهيل" نظرية المجموعات. وفيما يتعلق بالجهد الأول، الذي مثّله برتراند راسل ، ويوليوس كونيغ ، وهيرمان فايل ،وإل إي جيه بروير ، وصف فون نيومان "الأثر الإجمالي لنشاطهم... "مدمر". وفيما يتعلق بالمنهج البديهي الذي استخدمته المجموعة الثانية المؤلفة من زيرميلو وفرينكل وشونفليس، أعرب فون نيومان عن قلقه من أن "ما نراه هو فشل أنماط الاستدلال المعروفة المؤدية إلى التناقضات، ولكن من يدري أين لا توجد أنماط أخرى؟"، فشرع في مهمة، "بروح المجموعة الثانية"، تتمثل في "إنتاج، عن طريق عدد محدود من العمليات الشكلية البحتة... جميع المجموعات التي نريد رؤيتها تتشكل" دون السماح بوجود التناقضات. (جميع الاقتباسات من فون نيومان 1925، أعيد طبعها في: فان هيجينورت، جان (1967، الطبعة الثالثة 1976)، من فريجه إلى غودل: كتاب مرجعي في المنطق الرياضي، 1879-1931 ، مطبعة جامعة هارفارد، كامبريدج، ماساتشوستس، ISBN 1976). 0-674-32449-8(غلاف ورقي). يمكن العثور على ملخص للتاريخ، كتبه فان هيجينورت، في التعليقات التي تسبق ورقة فون نيومان لعام 1925.

↑ كانت الاعتراضات على أعمال كانتور شديدة في بعض الأحيان: فقد شملت معارضة ليوبولد كرونكر العلنية وهجماته الشخصية وصفه لكانتور بأنه "دجال علمي" و"منشق" و"مفسد للشباب". اعترض كرونكر على براهين كانتور التي تثبت أن الأعداد الجبرية قابلة للعد، وأن الأعداد المتسامية غير قابلة للعد، وهي نتائج تُدرج الآن في مناهج الرياضيات القياسية. بعد عقود من وفاة كانتور، أعرب فيتغنشتاين عن أسفه لأن الرياضيات "مليئة بمصطلحات نظرية المجموعات الضارة"، والتي وصفها بأنها "هراء محض" و"مضحكة" و"خاطئة".
↑ هذا هو عكس ZFC؛ V هو نموذج لـ ZFC.

الاقتباسات

1 2 3 باجاريا، جوان (31 يناير 2023) [8 أكتوبر 2014]، زالتا، إدوارد ن.؛ نودلمان ، أوري (محرران)، “نظرية المجموعة” ، موسوعة ستانفورد للفلسفة ، مختبر أبحاث الميتافيزيقا، جامعة ستانفورد ، تم استرجاعه في 9 مايو 2026
^ فيريروس، خوسيه (3 ديسمبر 2025) [10 أبريل 2007]، زالتا، إدوارد ن.؛ نودلمان ، أوري (محرران)، “التطور المبكر لنظرية المجموعة” ، موسوعة ستانفورد للفلسفة ، مختبر أبحاث الميتافيزيقا، جامعة ستانفورد ، تم استرجاعه في 9 مايو 2026
↑ داوبن، جوزيف وارين (1990)، جورج كانتور: رياضياته وفلسفته عن اللانهائي ، برينستون: مطبعة جامعة برينستون
1 2 كاناموري، أكيهيرو (1996)، “التطور الرياضي لنظرية المجموعات من كانتور إلى كوهين”، نشرة المنطق الرمزي ، 2 (1): 1–71 ، دوى : 10.2307/421046
↑ رانج، ب.؛ توماس، و. (1981)، "اكتشاف زيرميلو لـ "مفارقة راسل""، هيستوريا ماثيماتيكا ، 8 (1): 15-22 ، دوى : 10.1016 / 0315-0860(81)90002-1
↑ رو، ديفيد إي. (2024)، "حول أصول مفارقة كانتور"، مجلة الرياضيات الذكية ، 46 (2): 102-116 ، doi : 10.1007/s00283-022-10259-x
↑ مور، غريغوري هـ؛ غارسيا دييغو، أليخاندرو (1981)، "مفارقة بورالي فورتي: إعادة تقييم لأصولها"، هيستوريا ماثيماتيكا ، 8 (3): 319-350 ، doi : 10.1016/0315-0860(81)90070-7
^ كاناموري ، أكيهيرو (2004)، “زيرميلو ونظرية المجموعات”، نشرة المنطق الرمزي ، 10 (4): 487–553 ، دوى : 10.2178/bsl/1102083759
↑ دزامونيا، ميرنا (2017)، "نظرية المجموعات ومكانتها في أسس الرياضيات: نظرة جديدة على سؤال قديم"، مجلة المجلس الهندي للبحوث الفلسفية ، 34 (2): 415-424 ، doi : 10.1007/s40961-016-0082-6
↑ فيفرمان، سولومون؛ فريدمان، هارفي م.؛ مادي، بينيلوب؛ ستيل، جون ر. (2000)، "هل تحتاج الرياضيات إلى بديهيات جديدة؟"، نشرة المنطق الرمزي ، 6 (4): 401-446 ، doi : 10.2307/420965
^ فيريروس، خوسيه (1995)، “"ما تخمّر في داخلي لسنوات: اكتشاف كانتور للأعداد المتسامية"، Historia Mathematica ، 22 (1): 33-42 ، doi : 10.1006/hmat.1995.1003
↑ كود، إي إف (1970)، "نموذج علائقي للبيانات لبنوك البيانات المشتركة الكبيرة"، اتصالات رابطة مكائن الحوسبة ، 13 (6): 377-387 ، doi : 10.1145/362384.362685
↑ كود، إي إف ( 1972)، "الاكتمال العلائقي للغات الفرعية لقواعد البيانات"، في راستين، راندال (محرر)، أنظمة قواعد البيانات: سلسلة ندوات كورانت لعلوم الحاسوب 6 ، برنتيس هول، ص 65-98
↑ مونتاج، ريتشارد (1970)، "القواعد النحوية العالمية"، ثيوريا ، 36 (3): 373-398 ، doi : 10.1111/j.1755-2567.1970.tb00434.x
↑ تارنيتا، كورينا إي.؛ أنتال، تيبور؛ أوتسوكي، هيساشي؛ نواك، مارتن أ. (2009)، "الديناميات التطورية في التجمعات السكانية ذات البنية المحددة"، وقائع الأكاديمية الوطنية للعلوم ، 106 (21): 8601-8604 ، doi : 10.1073/pnas.0903019106
↑ مادي، بينيلوبي (1988)، "الإيمان بالبديهيات. (جزآن)"، مجلة المنطق الرمزي ، 53 (2، 3): 481-511 ، 736-764 ، doi : 10.2307/2274520
^ إيفانجيليو، كريستوس (1985)، “عقيدة أرسطو في التنبؤات وإيساغوجي لبورفيري”، مجلة تاريخ الفلسفة ، 23 (1): 15– 34، دوى : 10.1353/hph.1985.0004
↑ فيريروس، خوسيه (2024)، "التطور المبكر لنظرية المجموعات" ، في زالتا، إدوارد ن.؛ نودلمان، أوري (محرران)، موسوعة ستانفورد للفلسفة ( طبعة شتاء 2024)، مختبر أبحاث الميتافيزيقا، جامعة ستانفورد ، تاريخ الاطلاع 2025-01-04 {{citation}}: CS1 maint: deprecated archiveal service ( link )
^ بولزانو، برنارد (1975)، بيرج، جان (محرر)، Einleitung zur Größenlehre und erste Begriffe der allgemeinen Größenlehre ، Bernard-Bolzano-Gesamtausgabe، الذي حرره إدوارد وينتر وآخرون، المجلد. II، أ، 7، شتوتغارت، باد كانشتات: فريدريش فرومان فيرلاغ، ص. 152، ردمك 3-7728-0466-7
↑ زينكين، ألكسندر (2004)، "منطق اللانهاية الفعلية وبرهان كانتور القطري على عدم قابلية عد المتصل" ، مجلة مراجعة المنطق الحديث ، المجلد 9، العدد 30، الصفحات 27-80 ، مؤرشف من الأصل بتاريخ 22-09-2020 ، تم استرجاعه بتاريخ 04-01-2025
↑ دونهام، ويليام (1991)، رحلة عبر العبقرية: النظريات العظيمة في الرياضيات ، دار بنغوين للنشر، ص 254 ، رقم ISBN 9780140147391
^ ريمان، بيرنهارد (1854)، “Über die Hypothesen, welche der Geometrie zu Grunde liegen” [ حول الفرضيات التي تكمن في أسس الهندسة ] (PDF)
^ كانتور، جورج (1874)، “Ueber eine Eigenschaft des Inbegriffes aller reellen algebraischen Zahlen” ، Journal für die reine und angewandte Mathematik (بالألمانية)، 1874 (77): 258–262 ، دوى : 10.1515/crll.1874.77.258 ، S2CID 199545885 ، تم استرجاعه بتاريخ 31/01/2013 {{citation}}: CS1 maint: deprecated archiveal service ( link )
↑ جونسون، فيليب (1972)، تاريخ نظرية المجموعات ، بريندل، ويبر وشميدت، رقم ISBN 0-87150-154-6
↑ داوبن، جوزيف (1979)، جورج كانتور: رياضياته وفلسفته عن اللانهائي ، مطبعة جامعة هارفارد، ص 30-54 ، ISBN 0-674-34871-0.
↑ التطور الرياضي لنظرية المجموعات من كانتور إلى كوهين، الصفحة 3
↑ "مقدمة في المجموعات" ، www.mathsisfun.com ، مؤرشف من الأصل بتاريخ 16-07-2006 ، تم الاطلاع عليه بتاريخ 20-08-2020
↑ كولموغوروف، أ.ن .؛ فومين، س.ف. (1970)، مقدمة في التحليل الحقيقي ( طبعة إنجليزية منقحة)، نيويورك: منشورات دوفر، ص 2-3 ، رقم ISBN 0486612260، OCLC 1527264
↑ "نظرية المجموعات | الأساسيات والأمثلة والصيغ" ، موسوعة بريتانيكا ، مؤرشفة من الأصل بتاريخ 20 أغسطس 2020 ، تم الاطلاع عليها بتاريخ 20 أغسطس 2020
↑ كابلانسكي، إيرفينغ (1972)، دي بريما، تشارلز (محرر)، نظرية المجموعات والفضاءات المترية ، بوسطن: ألين وبيكون، ص 4
↑ كابلانسكي، إيرفينغ (1972)، دي بريما، تشارلز (محرر)، نظرية المجموعات والفضاءات المترية ، بوسطن: ألين وبيكون، ص 5-6
↑ كابلانسكي، إيرفينغ (1972)، دي بريما، تشارلز (محرر)، نظرية المجموعات والفضاءات المترية ، بوسطن: ألين وبيكون، ص 5-6
↑ كابلانسكي، إيرفينغ (1972)، دي بريما، تشارلز (محرر)، نظرية المجموعات والفضاءات المترية ، بوسطن: ألين وبيكون، ص 19
↑ باجاريا، جوان (2020)، "نظرية المجموعات" ، في زالتا، إدوارد ن. (محرر)، موسوعة ستانفورد للفلسفة ( طبعة ربيع 2020)، مختبر أبحاث الميتافيزيقا، جامعة ستانفورد ، تاريخ الاسترجاع 2020-08-20
↑ فورستر، تي إي (2008)، "المفهوم التكراري للمجموعة" (ملف PDF) ، مراجعة المنطق الرمزي ، 1 : 97-110 ، doi : 10.1017/S1755020308080064 ، S2CID 15231169
↑ نيلسون، إدوارد (نوفمبر 1977)، "نظرية المجموعات الداخلية: منهج جديد للتحليل غير القياسي" ، نشرة الجمعية الرياضية الأمريكية ، 83 (6): 1165، doi : 10.1090/S0002-9904-1977-14398-X
↑ "6.3: علاقات التكافؤ والتقسيمات" ، نصوص الرياضيات الحرة ، 25-11-2019، مؤرشف من الأصل في 16-08-2022 ، تم استرجاعه في 27-07-2022
↑ "علاقات الترتيب والدوال" (ملف PDF) ، Web.stanford.edu ، مؤرشف (ملف PDF) من الأصل بتاريخ 27-07-2022 ، تم استرجاعه بتاريخ 29-07-2022
↑ مندلسون، إليوت (1973)، أنظمة الأعداد وأسس التحليل ، دار النشر الأكاديمية، MR 0357694 ، Zbl 0268.26001
↑ "حساب التقسيم في نظرية المجموعات" (ملف PDF) ، Ams.org ، تاريخ الاطلاع : 29 يوليو 2022
↑ جيتش، توماس (2003)، نظرية المجموعات ، سلسلة دراسات سبرينغر في الرياضيات ( طبعة الألفية الثالثة)، برلين، نيويورك: سبرينغر-فيرلاغ ، ص 642، ISBN 978-3-540-44085-7، Zbl 1007.03002
↑ ماركيز، جان بيير (29 أغسطس 2019) [نُشر لأول مرة في 6 ديسمبر 1996]، زالتا، إدوارد ن.؛ نودلمان، أوري (محرران)، "نظرية الفئات" ، موسوعة ستانفورد للفلسفة ، مختبر أبحاث الميتافيزيقا، جامعة ستانفورد ، تم الاطلاع عليه في 9 مايو 2026
↑ أوودي، ستيف (2011)، "من المجموعات إلى الأنواع، إلى الفئات، إلى المجموعات" ، في سوماروغا، جيوفاني (محرر)، النظريات التأسيسية للرياضيات الكلاسيكية والبنائية ، سلسلة غرب أونتاريو في فلسفة العلوم، المجلد 76، دوردريخت: سبرينغر، الصفحات 113-125 ، doi : 10.1007/978-94-007-0431-2_5 ، ISBN 978-94-007-0430-5
↑ بيشوب، إيريت (1967)، أسس التحليل البنّاء ، نيويورك: أكاديميك برس، رقم ISBN 4-87187-714-0
↑ فيفرمان، سولومون (1998)، في ضوء المنطق ، نيويورك: مطبعة جامعة أكسفورد، الصفحات 280-283 ، 293-294 ، رقم ISBN 0-195-08030-0
↑ روديتش، فيكتور (31 يناير 2018)، "فلسفة فيتجنشتاين للرياضيات" ، في زالتا، إدوارد ن . (محرر)، موسوعة ستانفورد للفلسفة ( طبعة ربيع 2018)، الرقم الدولي الموحد للدوريات 1095-5054 ، رقم OCLC 429049174
↑ فيتغنشتاين، لودفيغ (1975)، ملاحظات فلسفية، §129، §174 ، أكسفورد: باسل بلاكويل، ISBN 0-631-19130-5{{citation}}: CS1 maint: publisher location ( link )
↑ روديتش 2018 ، §2.1 : "عندما نُثبت نظريةً أو نُقرر قضيةً، فإننا نعمل بطريقةٍ شكليةٍ ونحويةٍ بحتة. في الرياضيات، لا نكتشف حقائقَ موجودةً مسبقًا كانت "موجودةً بالفعل دون علمٍ" (PG 481) - بل نبتكر الرياضيات، شيئًا فشيئًا." مع ذلك، تجدر الإشارة إلى أن فيتغنشتاين لا يُساوي بين هذا الاستنتاج والمنطق الفلسفي ؛ انظر روديتش §1 ، الفقرات 7-12.
↑ روديتش 2018 ، §3.4 : "بما أن الرياضيات عبارة عن " مجموعة متنوعة من أساليب البرهان" (RFM III، §46)، فإنها لا تتطلب أساسًا (RFM VII، §16)، ولا يمكن إعطاؤها أساسًا بديهيًا (PR §160؛ WVC 34 و62؛ RFM IV، §3). ولأن نظرية المجموعات قد وُضعت لتزويد الرياضيات بأساس، فهي، على الأقل، غير ضرورية."
↑ روديتش 2018 ، §2.2 : "إن التعبير الذي يحدد الكمية على نطاق لانهائي ليس أبدًا قضية ذات معنى، ولا حتى عندما أثبتنا، على سبيل المثال، أن عددًا معينًا $n$ له خاصية معينة."
↑ روديتش 2018 ، §3.6 .
↑ فيرو، ألفريدو؛ أوموديو، يوجينيو ج.؛ شوارتز، جاكوب ت. (سبتمبر 1980)، "إجراءات اتخاذ القرار للغات الفرعية الأولية لنظرية المجموعات. الجزء الأول: القياس متعدد المستويات وبعض التوسعات"، مجلة الاتصالات في الرياضيات البحتة والتطبيقية ، 33 (5): 599-608 ، doi : 10.1002/cpa.3160330503
↑ كانتوني، دومينيكو؛ فيرو، ألفريدو؛ أوموديو، يوجينيو ج. (1989)، نظرية المجموعات القابلة للحساب ، سلسلة الدراسات الدولية في علوم الحاسوب، منشورات أكسفورد للعلوم، أكسفورد، المملكة المتحدة: مطبعة كلارندون ، الصفحات 12، 347 ، رقم ISBN 0-198-53807-3
↑ ماك لين، سوندرز ؛ مورديك، ليك (1992)، الحزم في الهندسة والمنطق: مقدمة أولية لنظرية التوبوس ، سبرينغر-فيرلاغ، ISBN 978-0-387-97710-2
↑ نظرية نوع التماثل في مختبر ن
↑ نظرية نوع التماثل: الأسس الأحادية للرياضيات. مؤرشفة بتاريخ 22 يناير 2021 في أرشيف الإنترنت . برنامج الأسس الأحادية. معهد الدراسات المتقدمة .
↑ تايلور، ميليسا أوغست، هارييت باروفيك، ميشيل ديرو، تام غراي، دانيال إس. ليفي، لينا لوفارو، ديفيد سبيتز، جويل شتاين وكريس (14 يونيو 1999)، "أسوأ 100 فكرة في القرن" ، مجلة تايم ، مؤرشفة من الأصل في 12 أبريل 2025 ، تم استرجاعها في 12 أبريل 2025{{cite magazine}}: صيانة CS1: أسماء متعددة: قائمة المؤلفين ( رابط )
↑ فرانك رودا (6 أكتوبر 2011)، رعاع هيجل: بحث في فلسفة هيجل للحق ، دار بلومزبري للنشر، ص 151، رقم ISBN 978-1-4411-7413-0
↑ آدامز، ستيفن (أكتوبر 1993)، "اللآلئ الوظيفية: المجموعات الفعالة - عملية موازنة" ، مجلة البرمجة الوظيفية ، 3 (4): 553-561 ، doi : 10.1017/S0956796800000885 ، ISSN 1469-7653 ، تم الاطلاع عليه في 12 أبريل 2025
↑ أبوت، ستيفن (2015)، فهم التحليل ( الطبعة الثانية)، نيويورك: سبرينغر، ص 3، ISBN 978-1-4939-2711-1

مراجع

كونين، كينيث (1980)، نظرية المجموعات: مقدمة في براهين الاستقلال ، نورث هولاند، رقم ISBN 0-444-85401-0
جونسون، فيليب (1972)، تاريخ نظرية المجموعات ، بريندل، ويبر وشميدت، رقم ISBN 0-87150-154-6

ديفلين، كيث (1993)، متعة المجموعات: أساسيات نظرية المجموعات المعاصرة ، نصوص جامعية في الرياضيات ( الطبعة الثانية)، سبرينغر فيرلاغ، doi : 10.1007/978-1-4612-0903-4 ، ISBN 0-387-94094-4
فيريروس، خوسيه (2001)، متاهة الفكر: تاريخ نظرية المجموعات ودورها في الرياضيات الحديثة ، برلين: سبرينغر، ISBN 978-3-7643-5749-8
مونك، ج. دونالد (1969)، مقدمة في نظرية المجموعات ، شركة ماكجرو هيل للنشر، رقم ISBN 978-0-898-74006-6
بوتر، مايكل (2004)، نظرية المجموعات وفلسفتها: مقدمة نقدية ، مطبعة جامعة أكسفورد ، رقم ISBN 978-0-191-55643-2
سموليان، ريموند م .؛ فيتينغ، ملفين (2010)، نظرية المجموعات ومسألة الاستمرارية ، منشورات دوفر ، رقم ISBN 978-0-486-47484-7
تايلز، ماري (2004)، فلسفة نظرية المجموعات: مقدمة تاريخية لفردوس كانتور ، منشورات دوفر ، رقم ISBN 978-0-486-43520-6
داوبن، جوزيف و. (1977)، "جورج كانتور والبابا ليو الثالث عشر: الرياضيات، اللاهوت، واللامتناهي"، مجلة تاريخ الأفكار ، 38 (1): 85-108 ، doi : 10.2307/2708842 ، JSTOR 2708842
داوبن، جوزيف و. (1979)، [ غير متوفر على archive.org ] جورج كانتور: رياضياته وفلسفته عن اللانهائية ، بوسطن: مطبعة جامعة هارفارد، ISBN 978-0-691-02447-9
كاناموري ، أكيهيرو (2003)، اللانهائي الأعلى ( الطبعة الثانية)، Springer-Verlag ، ISBN 978-3-540-88866-6

روابط خارجية

"نظرية المجموعات البديهية" ، موسوعة الرياضيات ، دار نشر EMS ، تاريخ الاطلاع : 12 مايو 2026
باجاريا، جوان، زالتا، إدوارد ن. (محرران)، "نظرية المجموعات" ، موسوعة ستانفورد للفلسفة ، مختبر أبحاث الميتافيزيقا، جامعة ستانفورد ، تاريخ الاسترجاع : 12 مايو 2026
بيل، جون ل.، زالتا، إدوارد ن. (محرران)، "مبدأ الاختيار" ، موسوعة ستانفورد للفلسفة ، مختبر أبحاث الميتافيزيقا، جامعة ستانفورد ، تاريخ الاسترجاع : 12 مايو 2026
كانينغهام، دانيال، "نظرية المجموعات" ، موسوعة الإنترنت للفلسفة ، تاريخ الاسترجاع : 12 مايو 2026
فيريروس، خوسيه (2007) [1999]، متاهة الفكر: تاريخ نظرية المجموعات ودورها في الرياضيات الحديثة (الطبعة الثانية )، بازل: بيركهاوزر، ISBN 978-3-7643-8349-7
فورمان، ماثيو ؛ كاناموري، أكيهيرو (محرران)، "دليل نظرية المجموعات" ، handbook.assafrinot.com ، فهرس غير رسمي من إعداد أساف رينوت ، تاريخ الاسترجاع : 12 مايو 2026
كينيدي، جولييت، زالتا، إدوارد ن. (محرران)، "كورت غودل" ، موسوعة ستانفورد للفلسفة ، مختبر أبحاث الميتافيزيقا، جامعة ستانفورد ، تاريخ الاسترجاع : 12 مايو 2026
كويلنر، بيتر، زالتا، إدوارد ن. (محرران)، "فرضية الاستمرارية" ، موسوعة ستانفورد للفلسفة ، مختبر أبحاث الميتافيزيقا، جامعة ستانفورد ، تاريخ الاسترجاع : 12 مايو 2026
كويلنر، بيتر، زالتا، إدوارد ن. (محرران)، "الأعداد الكبيرة والحتمية" ، موسوعة ستانفورد للفلسفة ، مختبر أبحاث الميتافيزيقا، جامعة ستانفورد ، تاريخ الاسترجاع : 12 مايو 2026
"نظرية المجموعات" ، موسوعة الرياضيات ، دار نشر EMS ، تاريخ الاطلاع : 12 مايو 2026
"نظرية المجموعات" ، nLab ، تم الاطلاع عليه بتاريخ 12-05-2026
وايسشتاين، إريك دبليو ، "نظرية المجموعات" ، ماث وورلد ، وولفرام ريسيرش ، تم الاطلاع عليه بتاريخ 12 مايو 2026
"نظرية زيرميلو-فرانكل للمجموعات" ، موسوعة الرياضيات ، دار نشر EMS ، تاريخ الاطلاع : 12 مايو 2026

[36] في بحثه المنشور عام ١٩٢٥ بعنوان "صياغة بديهيات نظرية المجموعات"، لاحظ جون فون نيومان أن "نظرية المجموعات في نسختها الأولى، "الساذجة"، التي وضعها كانتور، أدت إلى تناقضات. وهذه التناقضات هي التناقضات المعروفةلمجموعة جميع المجموعات التي لا تحتوي على نفسها (راسل)، ومجموعة جميع الأعداد الترتيبية المتسامية (بورالي-فورتي)، ومجموعة جميع الأعداد الحقيقية القابلة للتعريف المحدود (ريتشارد)". ويتابع ملاحظة أن اتجاهين كانا يحاولان "إعادة تأهيل" نظرية المجموعات. وفيما يتعلق بالجهد الأول، الذي مثّله برتراند راسل ، ويوليوس كونيغ ، وهيرمان فايل ،وإل إي جيه بروير ، وصف فون نيومان "الأثر الإجمالي لنشاطهم... "مدمر". وفيما يتعلق بالمنهج البديهي الذي استخدمته المجموعة الثانية المؤلفة من زيرميلو وفرينكل وشونفليس، أعرب فون نيومان عن قلقه من أن "ما نراه هو فشل أنماط الاستدلال المعروفة المؤدية إلى التناقضات، ولكن من يدري أين لا توجد أنماط أخرى؟"، فشرع في مهمة، "بروح المجموعة الثانية"، تتمثل في "إنتاج، عن طريق عدد محدود من العمليات الشكلية البحتة... جميع المجموعات التي نريد رؤيتها تتشكل" دون السماح بوجود التناقضات. (جميع الاقتباسات من فون نيومان 1925، أعيد طبعها في: فان هيجينورت، جان (1967، الطبعة الثالثة 1976)، من فريجه إلى غودل: كتاب مرجعي في المنطق الرياضي، 1879-1931 ، مطبعة جامعة هارفارد، كامبريدج، ماساتشوستس، ISBN 1976). 0-674-32449-8(غلاف ورقي). يمكن العثور على ملخص للتاريخ، كتبه فان هيجينورت، في التعليقات التي تسبق ورقة فون نيومان لعام 1925.

[26] كانت الاعتراضات على أعمال كانتور شديدة في بعض الأحيان: فقد شملت معارضة ليوبولد كرونكر العلنية وهجماته الشخصية وصفه لكانتور بأنه "دجال علمي" و"منشق" و"مفسد للشباب". اعترض كرونكر على براهين كانتور التي تثبت أن الأعداد الجبرية قابلة للعد، وأن الأعداد المتسامية غير قابلة للعد، وهي نتائج تُدرج الآن في مناهج الرياضيات القياسية. بعد عقود من وفاة كانتور، أعرب فيتغنشتاين عن أسفه لأن الرياضيات "مليئة بمصطلحات نظرية المجموعات الضارة"، والتي وصفها بأنها "هراء محض" و"مضحكة" و"خاطئة".

[37] هذا هو عكس ZFC؛ V هو نموذج لـ ZFC.

[bagaria1-1] 1 2 3 باجاريا، جوان (31 يناير 2023) [8 أكتوبر 2014]، زالتا، إدوارد ن.؛ نودلمان ، أوري (محرران)، “نظرية المجموعة” ، موسوعة ستانفورد للفلسفة ، مختبر أبحاث الميتافيزيقا، جامعة ستانفورد ، تم استرجاعه في 9 مايو 2026

[ferreiros1-2] فيريروس، خوسيه (3 ديسمبر 2025) [10 أبريل 2007]، زالتا، إدوارد ن.؛ نودلمان ، أوري (محرران)، “التطور المبكر لنظرية المجموعة” ، موسوعة ستانفورد للفلسفة ، مختبر أبحاث الميتافيزيقا، جامعة ستانفورد ، تم استرجاعه في 9 مايو 2026

[dauben1-3] داوبن، جوزيف وارين (1990)، جورج كانتور: رياضياته وفلسفته عن اللانهائي ، برينستون: مطبعة جامعة برينستون

[kanamori1-4] 1 2 كاناموري، أكيهيرو (1996)، “التطور الرياضي لنظرية المجموعات من كانتور إلى كوهين”، نشرة المنطق الرمزي ، 2 (1): 1–71 ، دوى : 10.2307/421046

[5] رانج، ب.؛ توماس، و. (1981)، "اكتشاف زيرميلو لـ "مفارقة راسل""، هيستوريا ماثيماتيكا ، 8 (1): 15-22 ، دوى : 10.1016 / 0315-0860(81)90002-1

[6] رو، ديفيد إي. (2024)، "حول أصول مفارقة كانتور"، مجلة الرياضيات الذكية ، 46 (2): 102-116 ، doi : 10.1007/s00283-022-10259-x

[moore1-7] مور، غريغوري هـ؛ غارسيا دييغو، أليخاندرو (1981)، "مفارقة بورالي فورتي: إعادة تقييم لأصولها"، هيستوريا ماثيماتيكا ، 8 (3): 319-350 ، doi : 10.1016/0315-0860(81)90070-7

[8] كاناموري ، أكيهيرو (2004)، “زيرميلو ونظرية المجموعات”، نشرة المنطق الرمزي ، 10 (4): 487–553 ، دوى : 10.2178/bsl/1102083759

[dzamonja1-9] دزامونيا، ميرنا (2017)، "نظرية المجموعات ومكانتها في أسس الرياضيات: نظرة جديدة على سؤال قديم"، مجلة المجلس الهندي للبحوث الفلسفية ، 34 (2): 415-424 ، doi : 10.1007/s40961-016-0082-6

[feferman1-10] فيفرمان، سولومون؛ فريدمان، هارفي م.؛ مادي، بينيلوب؛ ستيل، جون ر. (2000)، "هل تحتاج الرياضيات إلى بديهيات جديدة؟"، نشرة المنطق الرمزي ، 6 (4): 401-446 ، doi : 10.2307/420965

[ferreiros2-11] فيريروس، خوسيه (1995)، “"ما تخمّر في داخلي لسنوات: اكتشاف كانتور للأعداد المتسامية"، Historia Mathematica ، 22 (1): 33-42 ، doi : 10.1006/hmat.1995.1003

[codd1-12] كود، إي إف (1970)، "نموذج علائقي للبيانات لبنوك البيانات المشتركة الكبيرة"، اتصالات رابطة مكائن الحوسبة ، 13 (6): 377-387 ، doi : 10.1145/362384.362685

[Codd2-13] كود، إي إف ( 1972)، "الاكتمال العلائقي للغات الفرعية لقواعد البيانات"، في راستين، راندال (محرر)، أنظمة قواعد البيانات: سلسلة ندوات كورانت لعلوم الحاسوب 6 ، برنتيس هول، ص 65-98

[montague1-14] مونتاج، ريتشارد (1970)، "القواعد النحوية العالمية"، ثيوريا ، 36 (3): 373-398 ، doi : 10.1111/j.1755-2567.1970.tb00434.x

[Tarnita1-15] تارنيتا، كورينا إي.؛ أنتال، تيبور؛ أوتسوكي، هيساشي؛ نواك، مارتن أ. (2009)، "الديناميات التطورية في التجمعات السكانية ذات البنية المحددة"، وقائع الأكاديمية الوطنية للعلوم ، 106 (21): 8601-8604 ، doi : 10.1073/pnas.0903019106

[maddy1-16] مادي، بينيلوبي (1988)، "الإيمان بالبديهيات. (جزآن)"، مجلة المنطق الرمزي ، 53 (2، 3): 481-511 ، 736-764 ، doi : 10.2307/2274520

[17] إيفانجيليو، كريستوس (1985)، “عقيدة أرسطو في التنبؤات وإيساغوجي لبورفيري”، مجلة تاريخ الفلسفة ، 23 (1): 15– 34، دوى : 10.1353/hph.1985.0004

[18] فيريروس، خوسيه (2024)، "التطور المبكر لنظرية المجموعات" ، في زالتا، إدوارد ن.؛ نودلمان، أوري (محرران)، موسوعة ستانفورد للفلسفة ( طبعة شتاء 2024)، مختبر أبحاث الميتافيزيقا، جامعة ستانفورد ، تاريخ الاطلاع 2025-01-04 {{citation}}: CS1 maint: deprecated archiveal service ( link )

[19] بولزانو، برنارد (1975)، بيرج، جان (محرر)، Einleitung zur Größenlehre und erste Begriffe der allgemeinen Größenlehre ، Bernard-Bolzano-Gesamtausgabe، الذي حرره إدوارد وينتر وآخرون، المجلد. II، أ، 7، شتوتغارت، باد كانشتات: فريدريش فرومان فيرلاغ، ص. 152، ردمك 3-7728-0466-7

[20] زينكين، ألكسندر (2004)، "منطق اللانهاية الفعلية وبرهان كانتور القطري على عدم قابلية عد المتصل" ، مجلة مراجعة المنطق الحديث ، المجلد 9، العدد 30، الصفحات 27-80 ، مؤرشف من الأصل بتاريخ 22-09-2020 ، تم استرجاعه بتاريخ 04-01-2025

[21] دونهام، ويليام (1991)، رحلة عبر العبقرية: النظريات العظيمة في الرياضيات ، دار بنغوين للنشر، ص 254 ، رقم ISBN 9780140147391

[22] ريمان، بيرنهارد (1854)، “Über die Hypothesen, welche der Geometrie zu Grunde liegen” [ حول الفرضيات التي تكمن في أسس الهندسة ] (PDF)

[cantor1874-23] كانتور، جورج (1874)، “Ueber eine Eigenschaft des Inbegriffes aller reellen algebraischen Zahlen” ، Journal für die reine und angewandte Mathematik (بالألمانية)، 1874 (77): 258–262 ، دوى : 10.1515/crll.1874.77.258 ، S2CID 199545885 ، تم استرجاعه بتاريخ 31/01/2013 {{citation}}: CS1 maint: deprecated archiveal service ( link )

[24] جونسون، فيليب (1972)، تاريخ نظرية المجموعات ، بريندل، ويبر وشميدت، رقم ISBN 0-87150-154-6

[25] داوبن، جوزيف (1979)، جورج كانتور: رياضياته وفلسفته عن اللانهائي ، مطبعة جامعة هارفارد، ص 30-54 ، ISBN 0-674-34871-0.

[27] التطور الرياضي لنظرية المجموعات من كانتور إلى كوهين، الصفحة 3

[28] "مقدمة في المجموعات" ، www.mathsisfun.com ، مؤرشف من الأصل بتاريخ 16-07-2006 ، تم الاطلاع عليه بتاريخ 20-08-2020

[29] كولموغوروف، أ.ن .؛ فومين، س.ف. (1970)، مقدمة في التحليل الحقيقي ( طبعة إنجليزية منقحة)، نيويورك: منشورات دوفر، ص 2-3 ، رقم ISBN 0486612260، OCLC 1527264

[30] "نظرية المجموعات | الأساسيات والأمثلة والصيغ" ، موسوعة بريتانيكا ، مؤرشفة من الأصل بتاريخ 20 أغسطس 2020 ، تم الاطلاع عليها بتاريخ 20 أغسطس 2020

[31] كابلانسكي، إيرفينغ (1972)، دي بريما، تشارلز (محرر)، نظرية المجموعات والفضاءات المترية ، بوسطن: ألين وبيكون، ص 4

[32] كابلانسكي، إيرفينغ (1972)، دي بريما، تشارلز (محرر)، نظرية المجموعات والفضاءات المترية ، بوسطن: ألين وبيكون، ص 5-6

[33] كابلانسكي، إيرفينغ (1972)، دي بريما، تشارلز (محرر)، نظرية المجموعات والفضاءات المترية ، بوسطن: ألين وبيكون، ص 5-6

[34] كابلانسكي، إيرفينغ (1972)، دي بريما، تشارلز (محرر)، نظرية المجموعات والفضاءات المترية ، بوسطن: ألين وبيكون، ص 19

[35] باجاريا، جوان (2020)، "نظرية المجموعات" ، في زالتا، إدوارد ن. (محرر)، موسوعة ستانفورد للفلسفة ( طبعة ربيع 2020)، مختبر أبحاث الميتافيزيقا، جامعة ستانفورد ، تاريخ الاسترجاع 2020-08-20

[38] فورستر، تي إي (2008)، "المفهوم التكراري للمجموعة" (ملف PDF) ، مراجعة المنطق الرمزي ، 1 : 97-110 ، doi : 10.1017/S1755020308080064 ، S2CID 15231169

[39] نيلسون، إدوارد (نوفمبر 1977)، "نظرية المجموعات الداخلية: منهج جديد للتحليل غير القياسي" ، نشرة الجمعية الرياضية الأمريكية ، 83 (6): 1165، doi : 10.1090/S0002-9904-1977-14398-X

[40] "6.3: علاقات التكافؤ والتقسيمات" ، نصوص الرياضيات الحرة ، 25-11-2019، مؤرشف من الأصل في 16-08-2022 ، تم استرجاعه في 27-07-2022

[41] "علاقات الترتيب والدوال" (ملف PDF) ، Web.stanford.edu ، مؤرشف (ملف PDF) من الأصل بتاريخ 27-07-2022 ، تم استرجاعه بتاريخ 29-07-2022

[42] مندلسون، إليوت (1973)، أنظمة الأعداد وأسس التحليل ، دار النشر الأكاديمية، MR 0357694 ، Zbl 0268.26001

[43] "حساب التقسيم في نظرية المجموعات" (ملف PDF) ، Ams.org ، تاريخ الاطلاع : 29 يوليو 2022

[44] جيتش، توماس (2003)، نظرية المجموعات ، سلسلة دراسات سبرينغر في الرياضيات ( طبعة الألفية الثالثة)، برلين، نيويورك: سبرينغر-فيرلاغ ، ص 642، ISBN 978-3-540-44085-7، Zbl 1007.03002

[45] ماركيز، جان بيير (29 أغسطس 2019) [نُشر لأول مرة في 6 ديسمبر 1996]، زالتا، إدوارد ن.؛ نودلمان، أوري (محرران)، "نظرية الفئات" ، موسوعة ستانفورد للفلسفة ، مختبر أبحاث الميتافيزيقا، جامعة ستانفورد ، تم الاطلاع عليه في 9 مايو 2026

[46] أوودي، ستيف (2011)، "من المجموعات إلى الأنواع، إلى الفئات، إلى المجموعات" ، في سوماروغا، جيوفاني (محرر)، النظريات التأسيسية للرياضيات الكلاسيكية والبنائية ، سلسلة غرب أونتاريو في فلسفة العلوم، المجلد 76، دوردريخت: سبرينغر، الصفحات 113-125 ، doi : 10.1007/978-94-007-0431-2_5 ، ISBN 978-94-007-0430-5

[47] بيشوب، إيريت (1967)، أسس التحليل البنّاء ، نيويورك: أكاديميك برس، رقم ISBN 4-87187-714-0

[48] فيفرمان، سولومون (1998)، في ضوء المنطق ، نيويورك: مطبعة جامعة أكسفورد، الصفحات 280-283 ، 293-294 ، رقم ISBN 0-195-08030-0

[49] روديتش، فيكتور (31 يناير 2018)، "فلسفة فيتجنشتاين للرياضيات" ، في زالتا، إدوارد ن . (محرر)، موسوعة ستانفورد للفلسفة ( طبعة ربيع 2018)، الرقم الدولي الموحد للدوريات 1095-5054 ، رقم OCLC 429049174

[50] فيتغنشتاين، لودفيغ (1975)، ملاحظات فلسفية، §129، §174 ، أكسفورد: باسل بلاكويل، ISBN 0-631-19130-5{{citation}}: CS1 maint: publisher location ( link )

[FOOTNOTERodych2018[httpsplatostanfordeduentrieswittgenstein-mathematicsWittInteConsForm_§2.1]-51] روديتش 2018 ، §2.1 : "عندما نُثبت نظريةً أو نُقرر قضيةً، فإننا نعمل بطريقةٍ شكليةٍ ونحويةٍ بحتة. في الرياضيات، لا نكتشف حقائقَ موجودةً مسبقًا كانت "موجودةً بالفعل دون علمٍ" (PG 481) - بل نبتكر الرياضيات، شيئًا فشيئًا." مع ذلك، تجدر الإشارة إلى أن فيتغنشتاين لا يُساوي بين هذا الاستنتاج والمنطق الفلسفي ؛ انظر روديتش §1 ، الفقرات 7-12.

[FOOTNOTERodych2018[httpsplatostanfordeduentrieswittgenstein-mathematicsWittLateCritSetTheoNonEnumVsNonDenu_§3.4]-52] روديتش 2018 ، §3.4 : "بما أن الرياضيات عبارة عن " مجموعة متنوعة من أساليب البرهان" (RFM III، §46)، فإنها لا تتطلب أساسًا (RFM VII، §16)، ولا يمكن إعطاؤها أساسًا بديهيًا (PR §160؛ WVC 34 و62؛ RFM IV، §3). ولأن نظرية المجموعات قد وُضعت لتزويد الرياضيات بأساس، فهي، على الأقل، غير ضرورية."

[FOOTNOTERodych2018[httpsplatostanfordeduentrieswittgenstein-mathematicsWittInteFini_§2.2]-53] روديتش 2018 ، §2.2 : "إن التعبير الذي يحدد الكمية على نطاق لانهائي ليس أبدًا قضية ذات معنى، ولا حتى عندما أثبتنا، على سبيل المثال، أن عددًا معينًا $n$ له خاصية معينة."

[FOOTNOTERodych2018[httpsplatostanfordeduentrieswittgenstein-mathematicsWittGodeUndeMathProp_§3.6]-54] روديتش 2018 ، §3.6 .

[55] فيرو، ألفريدو؛ أوموديو، يوجينيو ج.؛ شوارتز، جاكوب ت. (سبتمبر 1980)، "إجراءات اتخاذ القرار للغات الفرعية الأولية لنظرية المجموعات. الجزء الأول: القياس متعدد المستويات وبعض التوسعات"، مجلة الاتصالات في الرياضيات البحتة والتطبيقية ، 33 (5): 599-608 ، doi : 10.1002/cpa.3160330503

[56] كانتوني، دومينيكو؛ فيرو، ألفريدو؛ أوموديو، يوجينيو ج. (1989)، نظرية المجموعات القابلة للحساب ، سلسلة الدراسات الدولية في علوم الحاسوب، منشورات أكسفورد للعلوم، أكسفورد، المملكة المتحدة: مطبعة كلارندون ، الصفحات 12، 347 ، رقم ISBN 0-198-53807-3

[57] ماك لين، سوندرز ؛ مورديك، ليك (1992)، الحزم في الهندسة والمنطق: مقدمة أولية لنظرية التوبوس ، سبرينغر-فيرلاغ، ISBN 978-0-387-97710-2

[58] نظرية نوع التماثل في مختبر ن

[59] نظرية نوع التماثل: الأسس الأحادية للرياضيات. مؤرشفة بتاريخ 22 يناير 2021 في أرشيف الإنترنت . برنامج الأسس الأحادية. معهد الدراسات المتقدمة .

[60] تايلور، ميليسا أوغست، هارييت باروفيك، ميشيل ديرو، تام غراي، دانيال إس. ليفي، لينا لوفارو، ديفيد سبيتز، جويل شتاين وكريس (14 يونيو 1999)، "أسوأ 100 فكرة في القرن" ، مجلة تايم ، مؤرشفة من الأصل في 12 أبريل 2025 ، تم استرجاعها في 12 أبريل 2025{{cite magazine}}: صيانة CS1: أسماء متعددة: قائمة المؤلفين ( رابط )

[Ruda2011-61] فرانك رودا (6 أكتوبر 2011)، رعاع هيجل: بحث في فلسفة هيجل للحق ، دار بلومزبري للنشر، ص 151، رقم ISBN 978-1-4411-7413-0

[62] آدامز، ستيفن (أكتوبر 1993)، "اللآلئ الوظيفية: المجموعات الفعالة - عملية موازنة" ، مجلة البرمجة الوظيفية ، 3 (4): 553-561 ، doi : 10.1017/S0956796800000885 ، ISSN 1469-7653 ، تم الاطلاع عليه في 12 أبريل 2025

[63] أبوت، ستيفن (2015)، فهم التحليل ( الطبعة الثانية)، نيويورك: سبرينغر، ص 3، ISBN 978-1-4939-2711-1

[ 1 ]

[ 2 ]

[ 3 ]

[ 4 ]

[ 5 ]

[ 6 ]

[ 7 ]

[ 8 ]

[ 9 ]

[ 10 ]

[ 11 ]

[ 12 ]

[ 13 ]

[ 14 ]

[ 15 ]

[ 16 ]

[ 17 ]

[ 18 ]

[ 19 ]

[ 20 ]

[ 21 ]

[ 22 ]

[ ٢٣ ]

[ ٢٤ ]

[ ٢٥ ]

نظرية

[ ٢٦ ]

[

[ 28 ]

[ 29 ]

A ∩ B، هو مجموعة جميع العناصر التي تنتمي إلى كل من A و B. [30]

U ∖ A، هو مجموعة جميع عناصر U التي لا تنتمي إلى A. [

[

[ 33 ]

[ 34 ]

[ ملاحظة 1 ]

[ ب ]

[ 35 ]

[

[

[

[

[ 40 ]

[ 41 ]

[ 42 ]

[ 43 ]

[ 44 ]

[

[ 46 ]

[ 47 ]

[ 48 ]

[ 49 ]

[ ٥٠ ]

[ ٥١ ]

[ 52 ]

[ 53 ]

[ 54 ]

[ 55 ]

[ 56 ]

[ 57 ]

[ 58 ]

[

[ 60 ]

اللغة	العربية (RTL)
روابط موسوعية	30 رابطاً
المصدر الأصلي	ويكيبيديا ↗