التماثل التقاطعي

عُرِّفَ التماثل التقاطعي في الأصل على فضاءات مناسبة ذات طبقات ، مع أن المجموعات غالبًا ما تكون مستقلة عن اختيار الطبقات. توجد تعريفات عديدة للفضاءات الطبقية، ومن التعريفات الملائمة للتماثل التقاطعي الفضاء شبه المتشعب الطوبولوجي ذي البعد n . وهو فضاء ( شبه متراص ، هاوسدورف ) X يحتوي على ترشيح.

${\displaystyle \emptyset =X_{-1}\subset X_{0}\subset X_{1}\subset \cdots \subset X_{n}=X}$

لـ X بواسطة فضاءات جزئية مغلقة بحيث:

• لكل i ولكل نقطة x من${\displaystyle X_{i}\setminus X_{i-1}}$يوجد حي${\displaystyle U\subset X}$من x في X ، مجموعة مضغوطة${\displaystyle (ni-1)}$فضاء طبقي ذو أبعاد L ، وتماثل يحافظ على الترشيح${\displaystyle U\cong \mathbb {R} ^{i}\times CL}$. هنا${\displaystyle CL}$المخروط المفتوح على L.
• ${\displaystyle X_{n-1}=X_{n-2}}$.
• ${\displaystyle X\setminus X_{n-1}}$كثيف في X.

إذا كان X شبه متعدد الشعب طوبولوجي، فإن الطبقة ذات البعد i من X هي الفضاء${\displaystyle X_{i}\setminus X_{i-1}}$.

أمثلة:

• إذا كان X عبارة عن مجمع تبسيطي ذي أبعاد n بحيث يتم احتواء كل تبسيط في تبسيط n ويتم احتواء تبسيط n −1 في اثنين من تبسيط n بالضبط ، فإن الفضاء الأساسي لـ X هو شبه مشعب طوبولوجي.
• إذا كان X أي نوع معقد شبه إسقاطي (ربما مع نقاط تفرد) فإن الفضاء الأساسي له هو شبه متعدد الشعب طوبولوجي، مع جميع الطبقات ذات البعد الزوجي.

مجموعات التماثل التقاطعية${\displaystyle I^{\mathbf {p} }H_{i}(X)}$يعتمد على اختيار الانحراف${\displaystyle \mathbf {p} }$وهو مقياس لمدى انحراف الدورات عن التعامد. (شرح غوريسكي (2010) أصل تسمية "الانحراف") . الانحراف${\displaystyle \mathbf {p} }$هي دالة

${\displaystyle \mathbf {p} \colon \mathbb {Z} _{\geq 2}\to \mathbb {Z} }$

من الأعداد الصحيحة${\displaystyle \geq 2}$إلى الأعداد الصحيحة بحيث

• ${\displaystyle \mathbf {p} (2)=0}$.
• ${\displaystyle \mathbf {p} (k+1)-\mathbf {p} (k)\in \{0,1\}}$.

يُستخدم الشرط الثاني لإظهار ثبات مجموعات التماثل التقاطعي تحت تغيير الطبقات.

الانحراف التكميلي${\displaystyle \mathbf {q} }$ل${\displaystyle \mathbf {p} }$هو الشخص الذي لديه

${\displaystyle \mathbf {p} (ك)+\mathbf {q} (ك)=k-2}$.

مجموعات التماثل التقاطعية ذات البعد التكميلي والانحراف التكميلي يتم إقرانها بشكل مزدوج.

لنثبت شبه مشعب طوبولوجي X ذو بُعد n مع بعض التطبق، وانحراف p .

خريطة σ من المجسم i القياسي${\displaystyle \Delta ^{i}}$يُطلق على الانتقال إلى X (معقد بسيط مفرد) اسم " مسموح به" إذا

${\displaystyle \sigma ^{-1}\left(X_{nk}\setminus X_{nk-1}\right)}$

موجود في${\displaystyle i-k+p(k)}$هيكل عظمي لـ${\displaystyle \Delta ^{i}}$.

سلسلة معقدة${\displaystyle I^{p}(X)}$هو مُركّب فرعي من مُركّب السلاسل الشاذة على X، ويتألف من جميع السلاسل الشاذة التي تكون كل من السلسلة وحدودها عبارة عن تركيبات خطية من مُركّبات بسيطة شاذة مسموح بها. مجموعات التماثل للتقاطع الشاذ (مع انحراف p )

${\displaystyle I^{p}H_{i}(X)}$

هي مجموعات التماثل لهذا المركب.

إذا كان X لديه تثليث متوافق مع الطبقات، فيمكن تعريف مجموعات التماثل التقاطعي البسيط بطريقة مماثلة، وهي متماثلة بشكل طبيعي مع مجموعات التماثل التقاطعي المفردة.

مجموعات التماثل التقاطعي مستقلة عن اختيار تصنيف X.

إذا كان X متعدد الشعب الطوبولوجي ، فإن مجموعات التماثل التقاطعي (لأي انحراف) هي نفسها مجموعات التماثل المعتادة.

بفرض منحنى إهليلجي أملس${\displaystyle X\subset \mathbb {CP} ^{2}}$مُعرَّف بواسطة متعددة حدود متجانسة من الدرجة الثالثة${\displaystyle f}$، ^{[ 2 ]} مثل${\displaystyle x^{3}+y^{3}+z^{3}}$المخروط الأفيني${\displaystyle \mathbb {V} (f)\subset \mathbb {C} ^{3}}$توجد نقطة تفرد معزولة عند الأصل لأن${\displaystyle f(0)=0}$وجميع المشتقات الجزئية${\displaystyle \partial _{i}f(0)=0}$يختفي. وذلك لأنه متجانس من حيث الدرجة${\displaystyle 3}$والمشتقات متجانسة من الدرجة الثانية.${\displaystyle U=\mathbb {V} (f)-\{0\}}$و${\displaystyle i:U\hookrightarrow X}$خريطة التضمين ، مجمع التقاطع${\displaystyle IC_{\mathbb {V} (f)}}$يُعطى على النحو التالي$${\displaystyle \tau _{\leq 1}\mathbf {R} i_{*}\mathbb {Q} _{U}}$$ يمكن حساب ذلك بشكل صريح من خلال النظر إلى جذور علم التماثل.${\displaystyle p\in \mathbb {V} (f)}$أين${\displaystyle p\neq 0}$الدالة المشتقة هي دالة التطابق على نقطة ملساء، وبالتالي فإن علم التماثل الوحيد الممكن يتركز في الدرجة${\displaystyle 0}$. ل${\displaystyle p=0}$علم التماثل أكثر إثارة للاهتمام لأن $${\displaystyle \mathbf {R} ^{k}i_{*}\mathbb {Q} _{U}|_{p=0}=\mathop {\underset {V\subset U}{\text{colim}}} H^{k}(V;\mathbb {Q} )}$$ ل${\displaystyle V}$حيث إغلاق${\displaystyle i(V)}$يحتوي على الأصل${\displaystyle p=0}$بما أن أي شيء من هذا القبيل${\displaystyle V}$يمكن تحسينها من خلال النظر في تقاطع قرص مفتوح في${\displaystyle \mathbb {C} ^{3}}$مع${\displaystyle U}$يمكننا ببساطة حساب علم التماثل${\displaystyle H^{k}(U;\mathbb {Q} )}$ويمكن القيام بذلك عن طريق المراقبة${\displaystyle U}$هو${\displaystyle \mathbb {C} ^{*}}$حزمة فوق المنحنى الإهليلجي${\displaystyle X}$، وحزمة المستوى الفائق ، ومتتالية وانغ تعطي مجموعات التماثل$${\displaystyle {\begin{aligned}H^{0}(U;\mathbb {Q} )&\cong H^{0}(X;\mathbb {Q} )=\mathbb {Q} \\H^{1}(U;\mathbb {Q} )&\cong H^{1}(X;\mathbb {Q} )=\mathbb {Q} ^{\oplus 2}\\H^{2}(U;\mathbb {Q} )&\cong H^{1}(X;\mathbb {Q} )=\mathbb {Q} ^{\oplus 2}\\H^{3}(U;\mathbb {Q} )&\cong H^{2}(X;\mathbb {Q} )=\mathbb {Q} \\\end{aligned}}}$$وبالتالي فإن حزم التماثل عند الساق${\displaystyle p=0}$نكون$${\displaystyle {\begin{matrix}{\mathcal {H}}^{2}\left(\mathbf {R} i_{*}\mathbb {Q} _{U}|_{p=0}\right)&=&\mathbb {Q} _{p=0}\\{\mathcal {H}}^{1}\left(\mathbf {R} i_{*}\mathbb {Q} _{U}|_{p=0}\right)&=&\mathbb {Q} _{p=0}^{\oplus 2}\\{\mathcal {H}}^{0}\left(\mathbf {R} i_{*}\mathbb {Q} _{U}|_{p=0}\right)&=&\mathbb {Q} _{p=0}\end{matrix}}}$$ يؤدي اقتطاع هذا إلى حزم التماثل غير التافهة${\displaystyle {\mathcal {H}}^{0},{\mathcal {H}}^{1}}$ومن هنا جاء مصطلح مجمع التقاطع${\displaystyle IC_{\mathbb {V} (f)}}$تحتوي على حزم متماثلة $${\displaystyle {\begin{matrix}{\mathcal {H}}^{0}(IC_{\mathbb {V} (f)})&=&\mathbb {Q} _{\mathbb {V} (f)}\\{\mathcal {H}}^{1}(IC_{\mathbb {V} (f)})&=&\mathbb {Q} _{p=0}^{\oplus 2}\\{\mathcal {H}}^{i}(IC_{\mathbb {V} (f)})&=&0&{\text{for }}i\neq 0,1\end{matrix}}}$$