ثوابت الموترات

بالنسبة لهذه الموترات، تُعطى الثوابت الرئيسية كما يلي:

${\displaystyle {\begin{aligned}I_{1}&=\operatorname {tr} \mathbf {A} =A_{11}+A_{22}+A_{33}=\lambda _{1}+\lambda _{2}+\lambda _{3}\\I_{2}&={\frac {1}{2}}\left[(\operatorname {tr} \mathbf {A} )^{2}-\operatorname {tr} (\mathbf {A} ^{2})\right]=A_{11}A_{22}+A_{22}A_{33}+A_{11}A_{33}-A_{12}A_{21}-A_{23}A_{32}-A_{13}A_{31}=\lambda _{1}\lambda _{2}+\lambda _{1}\lambda _{3}+\lambda _{2}\lambda _{3}\\I_{3}&=\det \mathbf {A} =-A_{13}A_{22}A_{31}+A_{12}A_{23}A_{31}+A_{13}A_{21}A_{32}-A_{11}A_{23}A_{32}-A_{12}A_{21}A_{33}+A_{11}A_{22}A_{33}=\lambda _{1}\lambda _{2}\lambda _{3}\end{aligned}}}$

بالنسبة للموترات المتناظرة، يتم اختزال هذه التعريفات. ^{[ 2 ]}

إن التوافق بين الثوابت الرئيسية ومتعددة الحدود المميزة للموتر، بالتزامن مع نظرية كايلي-هاميلتون، يكشف أن

${\displaystyle \ \mathbf {A} ^{3}-I_{1}\mathbf {A} ^{2}+I_{2}\mathbf {A} -I_{3}\mathbf {I} =0}$

أين${\displaystyle \mathbf {I} }$هو موتر الهوية من الدرجة الثانية.

بالإضافة إلى الثوابت الرئيسية المذكورة أعلاه، من الممكن أيضًا تقديم مفهوم الثوابت الرئيسية ^{[ 3 ] [ 4 ]}

${\displaystyle {\begin{aligned}J_{1}&=\lambda _{1}+\lambda _{2}+\lambda _{3}=I_{1}\\J_{2}&=\lambda _{1}^{2}+\lambda _{2}^{2}+\lambda _{3}^{2}=I_{1}^{2}-2I_{2}\\J_{3}&=\lambda _{1}^{3}+\lambda _{2}^{3}+\lambda _{3}^{3}=I_{1}^{3}-3I_{1}I_{2}+3I_{3}\end{aligned}}}$

وهي دوال للثوابت الرئيسية المذكورة أعلاه. هذه هي معاملات متعددة الحدود المميزة للمُنحرف${\displaystyle \mathbf {A} -(\mathrm {tr} (\mathbf {A} )/3)\mathbf {I} }$بحيث يكون عديم الأثر. يُعدّ فصل الموتر إلى مُركّبة تُساوي مُضاعفًا للمُركّبة المحايد ومُركّبة عديمة الأثر أمرًا شائعًا في ديناميكا الموائع، حيث تُسمى الأولى مُتناحية الخواص، وتُعطي الضغط المُعدّل، بينما تُسمى الثانية مُنحرفة الخواص، وتُعطي تأثيرات القص. لاحظ أن${\displaystyle J_{1}=I_{1}}$فقط بالاتفاق، لأن انحراف أي موتر له أثر صفري بحكم التعريف.

علاوة على ذلك، يمكن أيضاً تعريف الثوابت المختلطة بين أزواج من الموترات من الرتبة الثانية. ^{[ 4 ]}

يمكن استخراج هذه القيم عن طريق تقييم متعدد الحدود المميز مباشرة، باستخدام خوارزمية Faddeev-LeVerrier على سبيل المثال.

موتر حقيقي${\displaystyle \mathbf {A} }$في ثلاثة أبعاد (أي، مصفوفة مكونة من 3×3) يوجد ما يصل إلى ستة ثوابت مستقلة، ثلاثة منها ثوابت الجزء المتناظر، وثلاثة أخرى تُحدد اتجاه المتجه المحوري للجزء غير المتناظر بالنسبة للاتجاهات الرئيسية للجزء المتناظر. على سبيل المثال، إذا كانت المكونات الديكارتية لـ${\displaystyle \mathbf {A} }$نكون

${\displaystyle [A]={\begin{bmatrix}931&5480&-717\\-5120&1650&1090\\1533&-610&1169\end{bmatrix}},}$

تتمثل الخطوة الأولى في تقييم المتجه المحوري${\displaystyle \mathbf {w} }$مرتبط بالجزء المتناظر المائل. على وجه التحديد، يحتوي المتجه المحوري على مركبات

${\displaystyle {\begin{aligned}w_{1}&={\frac {A_{32}-A_{23}}{2}}=-850\\w_{2}&={\frac {A_{13}-A_{31}}{2}}=-1125\\w_{3}&={\frac {A_{21}-A_{12}}{2}}=-5300\end{aligned}}}$

الخطوة التالية هي إيجاد القيم الرئيسية للجزء المتناظر من${\displaystyle \mathbf {A} }$على الرغم من أن القيم الذاتية لموتر حقيقي غير متناظر قد تكون مركبة، فإن القيم الذاتية لجزئه المتناظر ستكون دائمًا حقيقية، وبالتالي يمكن ترتيبها من الأكبر إلى الأصغر. ويمكن تحديد اتجاهات الأساس الرئيسي المتعامد المقابل لضمان أن يكون المتجه المحوري${\displaystyle \mathbf {w} }$النقاط الواقعة ضمن الثمن الأول. وبالنظر إلى هذا الأساس الخاص، فإن مكونات${\displaystyle \mathbf {A} }$نكون

${\displaystyle [A']={\begin{bmatrix}1875&-2500&3125\\2500&1250&-3750\\-3125&3750&625\end{bmatrix}},}$

الثوابت الثلاثة الأولى لـ${\displaystyle \mathbf {A} }$هي المكونات القطرية لهذه المصفوفة:${\displaystyle a_{1}=A'_{11}=1875,a_{2}=A'_{22}=1250,a_{3}=A'_{33}=625}$(تساوي القيم الرئيسية المرتبة للجزء المتناظر من الموتر). أما الثوابت الثلاثة المتبقية فهي مركبات المتجه المحوري في هذا الأساس:${\displaystyle w'_{1}=A'_{32}=3750,w'_{2}=A'_{13}=3125,w'_{3}=A'_{21}=2500}$ملاحظة: مقدار المتجه المحوري،${\displaystyle {\sqrt {\mathbf {w} \cdot \mathbf {w} }}}$، هو الثابت الوحيد للجزء المائل من${\displaystyle \mathbf {A} }$بينما تُحدد هذه الثوابت الثلاثة المتميزة (بمعنى ما) "التوافق" بين الأجزاء المتناظرة والمائلة من${\displaystyle \mathbf {A} }$بالمناسبة، من الخرافات الشائعة أن الموتر يكون موجب التحديد إذا كانت قيمه الذاتية موجبة. في الواقع، يكون موجب التحديد إذا وفقط إذا كانت القيم الذاتية لجزئه المتناظر موجبة.