البندول المقلوب

تتضمن هذه المقالة قائمة بالمراجع العامة ، لكنها تفتقر إلى الاستشهادات المضمنة الكافية . يُرجى المساعدة في تحسين هذه المقالة من خلال تقديم استشهادات أكثر دقة. ( يناير 2010 ) ( تعرف على كيفية ومتى يمكنك إزالة هذه الرسالة )

البندول المقلوب هو بندول يكون مركز كتلته أعلى من نقطة ارتكازه . وهو غير مستقر ويسقط دون مساعدة إضافية. ويمكن تعليقه بثبات في هذا الوضع المقلوب باستخدام نظام تحكم لمراقبة زاوية القطب وتحريك نقطة الارتكاز أفقيًا للخلف أسفل مركز الكتلة عندما يبدأ في السقوط، مما يحافظ على توازنه. البندول المقلوب هو مشكلة كلاسيكية في الديناميكيات ونظرية التحكم ويُستخدم كمعيار لاختبار استراتيجيات التحكم. وغالبًا ما يتم تنفيذه بنقطة الارتكاز المثبتة على عربة يمكنها التحرك أفقيًا تحت سيطرة نظام سيرفو إلكتروني كما هو موضح في الصورة؛ وهذا ما يسمى بجهاز العربة والقطب . ^[1] تحد معظم التطبيقات البندول بدرجة واحدة من الحرية عن طريق تثبيت القطب على محور الدوران . وفي حين أن البندول العادي يكون مستقرًا عند تعليقه لأسفل، فإن البندول المقلوب غير مستقر بطبيعته، ويجب أن يكون متوازنًا بنشاط من أجل البقاء منتصبًا؛ يمكن القيام بذلك إما بتطبيق عزم دوران على نقطة الارتكاز، أو بتحريك نقطة الارتكاز أفقيًا كجزء من نظام ردود الفعل ، أو تغيير معدل دوران كتلة مثبتة على البندول على محور موازٍ لمحور الارتكاز وبالتالي توليد عزم دوران صافٍ على البندول، أو باهتزاز نقطة الارتكاز رأسيًا. يتم تحقيق عرض توضيحي بسيط لتحريك نقطة الارتكاز في نظام ردود الفعل عن طريق موازنة عصا مكنسة مقلوبة على نهاية إصبع المرء.

النوع الثاني من البندول المقلوب هو مقياس الميل للهياكل الطويلة، والذي يتكون من سلك مثبت في أسفل الأساس ومتصل بعوامة في بركة من الزيت في الجزء العلوي من الهيكل والتي تحتوي على أجهزة لقياس حركة الموضع المحايد للعوامة بعيدًا عن موضعها الأصلي.

البندول الذي يتدلى ثقله مباشرة أسفل محور الدعم يكون عند نقطة توازن مستقرة ، حيث يظل ساكنًا لأنه لا يوجد عزم دوران على البندول. إذا تحرك من هذا الوضع، فإنه يتعرض لعزم دوران استعادة يعيده إلى وضع التوازن. البندول الذي يكون ثقله في وضع مقلوب، مدعومًا بقضيب صلب فوق المحور مباشرة، بزاوية 180 درجة من موضع توازنه المستقر، يكون عند نقطة توازن غير مستقرة . عند هذه النقطة مرة أخرى لا يوجد عزم دوران على البندول، ولكن أدنى إزاحة بعيدًا عن هذا الوضع تسبب عزم دوران جاذبية على البندول الذي يسرعه بعيدًا عن التوازن، مما يتسبب في سقوطه.

من أجل تثبيت البندول في هذا الوضع المقلوب، يمكن استخدام نظام التحكم بالتغذية الراجعة ، والذي يراقب زاوية البندول ويحرك موضع نقطة الارتكاز جانبيًا عندما يبدأ البندول في السقوط، للحفاظ على توازنه. البندول المقلوب هو مشكلة كلاسيكية في الديناميكيات ونظرية التحكم ويُستخدم على نطاق واسع كمعيار لاختبار خوارزميات التحكم ( وحدات تحكم PID ، وتمثيل مساحة الحالة ، والشبكات العصبية ، والتحكم الضبابي ، والخوارزميات الجينية ، وما إلى ذلك). تتضمن الاختلافات في هذه المشكلة روابط متعددة، مما يسمح بالتحكم في حركة العربة مع الحفاظ على البندول، وموازنة نظام العربة والبندول على أرجوحة. يرتبط البندول المقلوب بتوجيه الصواريخ أو القذائف، حيث يقع مركز الثقل خلف مركز السحب مما يتسبب في عدم الاستقرار الديناميكي الهوائي. ^[2] يمكن إظهار فهم مشكلة مماثلة من خلال الروبوتات البسيطة في شكل عربة موازنة. إن موازنة عصا مكنسة مقلوبة على نهاية الإصبع هو عرض توضيحي بسيط، ويتم حل المشكلة عن طريق ناقلات شخصية ذاتية التوازن مثل Segway PT ، ولوح التوازن الذاتي ، والدراجة أحادية العجلة ذاتية التوازن .

هناك طريقة أخرى يمكن من خلالها تثبيت البندول المقلوب، دون أي ردود فعل أو آلية تحكم، وهي عن طريق اهتزاز المحور بسرعة لأعلى ولأسفل. وهذا ما يسمى ببندول كابيتزا . إذا كان التذبذب قويًا بدرجة كافية (من حيث تسارعه وسعته)، فيمكن للبندول المقلوب التعافي من الاضطرابات بطريقة تتعارض مع الحدس بشكل لافت للنظر. إذا تحركت نقطة القيادة في حركة توافقية بسيطة ، فإن حركة البندول توصف بمعادلة ماثيو . ^[3]

تعتمد معادلات حركة البندولات المقلوبة على القيود المفروضة على حركة البندول. يمكن إنشاء البندولات المقلوبة في تكوينات مختلفة مما يؤدي إلى عدد من معادلات الحركة التي تصف سلوك البندول.

في التكوين حيث تكون نقطة ارتكاز البندول ثابتة في الفضاء، تكون معادلة الحركة مماثلة لمعادلة البندول غير المقلوب . تفترض معادلة الحركة أدناه عدم وجود احتكاك أو أي مقاومة أخرى للحركة، وقضيب صلب عديم الكتلة، والتقييد بالحركة ثنائية الأبعاد .

${\displaystyle {\ddot {\theta }}-{g \over \ell }\sin \theta =0}$

أين هو التسارع الزاوي للبندول، هو الجاذبية القياسية على سطح الأرض، هو طول البندول، و هو الإزاحة الزاوية المقاسة من موضع التوازن. ${\displaystyle {\ddot {\theta }}}$${\displaystyle g}$${\displaystyle \ell }$${\displaystyle \theta }$

عندما يتم إضافته إلى كلا الجانبين، يكون له نفس إشارة مصطلح التسارع الزاوي: ${\displaystyle {\ddot {\theta }}}$

${\displaystyle {\ddot {\theta }}={g \over \ell }\sin \theta }$

وبالتالي، يتسارع البندول المقلوب بعيدًا عن التوازن الرأسي غير المستقر في الاتجاه الذي انزاح فيه في البداية، ويتناسب التسارع عكسيًا مع الطول. تسقط البندولات الطويلة بشكل أبطأ من البندولات القصيرة.

الاشتقاق باستخدام عزم الدوران وعزم القصور الذاتي:

يُفترض أن البندول يتكون من كتلة نقطية، ذات كتلة ، مثبتة في نهاية قضيب صلب عديم الكتلة، بطول ، مثبتة بنقطة محورية في الطرف المقابل للكتلة النقطية. ${\displaystyle م}$${\displaystyle \ell }$

يجب أن يساوي عزم الدوران الصافي للنظام عزم القصور الذاتي مضروبًا في التسارع الزاوي:

${\displaystyle {\boldsymbol {\tau}} _ {\mathrm {net} }=I{\ddot {\theta }}}$

عزم الدوران الناتج عن الجاذبية الأرضية والذي يوفر عزم الدوران الصافي:

${\displaystyle {\boldsymbol {\tau }}_{\mathrm {net} }=mg\ell \sin \theta \,\!}$

أين الزاوية المقاسة من موضع التوازن المقلوب؟ ${\displaystyle \theta \ }$

المعادلة الناتجة:

${\displaystyle I\ddot {\theta }}=mg\ell \sin \theta \,\!}$

عزم القصور الذاتي لكتلة نقطية:

${\displaystyle I=mR^{2}}$

في حالة البندول المقلوب يكون نصف القطر هو طول القضيب، . ${\displaystyle \ell }$

استبدال في${\displaystyle I=m\ell ^{2}}$

${\displaystyle m\ell ^{2}{\ddot {\theta }}=mg\ell \sin \theta \,\!}$

يتم تقسيم الكتلة من كل جانب مما ينتج عنه: ${\displaystyle \ell ^{2}}$

${\displaystyle {\ddot {\theta }}={g \over \ell }\sin \theta }$

يتكون البندول المقلوب على عربة من كتلة في أعلى عمود بطول محوري على قاعدة متحركة أفقيًا كما هو موضح في الصورة المجاورة. تقتصر العربة على الحركة الخطية وتخضع لقوى تؤدي إلى الحركة أو تعيقها. ${\displaystyle م}$${\displaystyle \ell }$

يمكن تلخيص أساسيات تثبيت البندول المقلوب نوعيًا في ثلاث خطوات.

1. إذا كانت زاوية الميل إلى اليمين، فيجب على العربة أن تتسارع إلى اليمين والعكس صحيح. ${\displaystyle \theta }$

2. يتم تثبيت موضع العربة بالنسبة لمركز المسار عن طريق تعديل زاوية الصفر قليلاً (خطأ الزاوية الذي يحاول نظام التحكم إبطاله) بواسطة موضع العربة، أي زاوية الصفر حيث تكون صغيرة. وهذا يجعل العمود يميل قليلاً نحو مركز المسار ويستقر عند مركز المسار حيث تكون زاوية الميل رأسية تمامًا. أي إزاحة في مستشعر الميل أو منحدر المسار والتي من شأنها أن تسبب عدم الاستقرار تترجم إلى إزاحة موضع مستقرة. ويمنح الإزاحة الإضافية التحكم في الموضع. ${\displaystyle x}$${\displaystyle =\theta +kx}$${\displaystyle k}$

3. البندول العادي الذي يخضع لنقطة ارتكاز متحركة مثل الحمل المرفوع بواسطة رافعة، يكون له استجابة قصوى عند التردد الشعاعي للبندول . ولمنع التأرجح غير المنضبط، يجب قمع طيف التردد لحركة المحور بالقرب من . ويتطلب البندول المقلوب نفس مرشح القمع لتحقيق الاستقرار. ${\displaystyle \omega _{p}={\sqrt {g/\ell}}}$${\displaystyle \omega _{p}}$

كنتيجة لاستراتيجية تعديل الزاوية الصفرية، فإن ردود الفعل الموضعية تكون إيجابية، أي أن الأمر المفاجئ بالتحرك إلى اليمين ينتج حركة أولية للعربة إلى اليسار تليها حركة إلى اليمين لإعادة توازن البندول. إن تفاعل عدم استقرار البندول وعدم استقرار ردود الفعل الموضعية الإيجابية لإنتاج نظام مستقر هو سمة تجعل التحليل الرياضي مشكلة مثيرة للاهتمام وتحديًا.

يمكن اشتقاق معادلات الحركة باستخدام معادلات لاغرانج . نشير إلى الرسم الموجود على اليمين حيث تكون زاوية البندول الطولية بالنسبة للاتجاه الرأسي والقوى المؤثرة هي الجاذبية والقوة الخارجية F في اتجاه x. يتم تعريفها على أنها موضع العربة. ${\displaystyle \theta(t)}$${\displaystyle l}$${\displaystyle x(t)}$

الطاقة الحركية للنظام هي: ${\displaystyle T}$

${\displaystyle T={\frac {1}{2}}Mv_{1}^{2}+{\frac {1}{2}}mv_{2}^{2},}$

حيث هي سرعة العربة و هي سرعة كتلة النقطة . ويمكن التعبير عنها من حيث x و عن طريق كتابة السرعة كمشتقة أولى للموضع؛ ${\displaystyle v_{1}}$${\displaystyle v_{2}}$${\displaystyle م}$${\displaystyle v_{1}}$${\displaystyle v_{2}}$${\displaystyle \theta }$

${\displaystyle v_{1}^{2}={\dot {x}}^{2},}$

${\displaystyle v_{2}^{2}=\left({\frac {\rm {d}}{{\rm {d}}t}}{\left(x-\ell \sin \theta \right)}\right)^{2}+\left({\frac {\rm {d}}{{\rm {d}}t}}{\left(\ell \cos \theta \right)}\right)^{2}.}$

يؤدي تبسيط التعبير إلى: ${\displaystyle v_{2}}$

${\displaystyle v_{2}^{2}={\dot {x}}^{2}-2\ell {\dot {x}}{\dot {\theta }}\cos \theta +\ell ^ {2}{\نقطة {\ثيتا}}^{2}.}$

الطاقة الحركية تعطى الآن بواسطة:

${\displaystyle T={\frac {1}{2}}\left(M+m\right){\dot {x}}^{2}-m\ell {\dot {x}}{\dot {\theta }}\cos \theta +{\frac {1}{2}}m\ell ^{2}{\dot {\theta }}^{2}.}$

الإحداثيات المعممة للنظام هي و ، ولكل منهما قوة معممة. على المحور، يمكن حساب القوة المعممة من خلال عملها الافتراضي ${\displaystyle \theta }$${\displaystyle x}$${\displaystyle x}$${\displaystyle Q_{x}}$

${\displaystyle Q_{x}\delta x=F\delta x,\quad Q_{x}=F,}$

على المحور، يمكن أيضًا حساب القوة المعممة من خلال عملها الافتراضي${\displaystyle \theta }$${\displaystyle Q_{\theta }}$

${\displaystyle Q_{\theta }\delta \theta =mgl\sin \theta \delta \theta ,\quad Q_{\theta }=mgl\sin \theta .}$

وفقًا لمعادلات لاغرانج ، معادلات الحركة هي:

${\displaystyle {\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} t}}{\partial {T} \over \partial {\dot {x}}}-{\partial {T} \over \partial x}=F,}$

${\displaystyle {\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} t}}{\partial {T} \over \partial {\dot {\theta }}}-{\partial {T} \over \partial \theta }=mgl\sin \theta ,}$

يؤدي الاستبدال في هذه المعادلات وتبسيطها إلى المعادلات التي تصف حركة البندول المقلوب: ${\displaystyle T}$

${\displaystyle \left(M+m\right){\ddot {x}}-m\ell {\ddot {\theta }}\cos \theta +m\ell {\dot {\theta }}^{2}\sin \theta =F,}$

${\displaystyle \ell {\ddot {\theta }}-g\sin \theta ={\ddot {x}}\cos \theta .}$

هذه المعادلات غير خطية، ولكن بما أن هدف نظام التحكم هو إبقاء البندول في وضع مستقيم، فيمكن أن تكون المعادلات خطية حول . ${\displaystyle \theta \approx 0}$

يمكن كتابة القوى المعممة على هيئة طاقة كامنة و ، ${\displaystyle V_{x}}$${\displaystyle V_{\theta }}$

القوات المعممة	الطاقة الكامنة
${\displaystyle Q_{x}=F}$	${\displaystyle V_{x}=\int _{t_{0}}^{t}F{\dot {x}}\ {\rm {d}}t}$
${\displaystyle Q_{\theta }=mgl\sin \theta }$	${\displaystyle V_{\theta }=mgl\cos \theta }$

وفقًا لمبدأ دالمبيرت ، فإن القوى المعممة والطاقة الكامنة مرتبطة:

${\displaystyle Q_{j}={\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} t}}{\frac {\partial V}{\partial {\dot {q}}_{j}}}-{\frac {\partial V}{\partial q_{j}}}\,,}$

ومع ذلك، في ظل ظروف معينة، لا يمكن الوصول إلى الطاقة الكامنة، بل تتوفر فقط القوى المعممة.

بعد الحصول على لاجرانج ، يمكننا أيضًا استخدام معادلة أويلر-لاجرانج لحل معادلات الحركة: ${\displaystyle L=T-V}$

${\displaystyle {\frac {\partial L}{\partial x}}-{\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} t}}\left({\frac {\partial L}{\partial {\dot {x}}}}\right)=0}$,

${\displaystyle {\frac {\partial L}{\partial \theta }}-{\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} t}}\left({\frac {\partial L}{\partial {\dot {\theta }}}}\right)=0}$.

الفرق الوحيد هو ما إذا كان يجب دمج القوى المعممة في الطاقة الكامنة أو كتابتها صراحةً كما في الجانب الأيمن، وكلها تؤدي إلى نفس المعادلات في النهاية. ${\displaystyle V_{j}}$${\displaystyle Q_{j}}$

في كثير من الأحيان يكون من المفيد استخدام قانون نيوتن الثاني بدلاً من معادلات لاغرانج لأن معادلات نيوتن تعطي قوى رد الفعل عند المفصل بين البندول والعربة. تؤدي هذه المعادلات إلى معادلتين لكل جسم؛ واحدة في اتجاه x والأخرى في اتجاه y. تظهر معادلات حركة العربة أدناه حيث يمثل الجانب الأيسر مجموع القوى المؤثرة على الجسم ويمثل الجانب الأيمن التسارع.

${\displaystyle F-R_{x}=M{\ddot {x}}}$

${\displaystyle F_{N}-R_{y}-Mg=0}$

في المعادلات أعلاه و هي قوى رد فعل عند المفصل. هي القوة العمودية المطبقة على العربة. تعتمد هذه المعادلة الثانية فقط على قوة رد الفعل الرأسية، وبالتالي يمكن استخدام المعادلة لحل القوة العمودية. يمكن استخدام المعادلة الأولى لحل قوة رد الفعل الأفقية. لإكمال معادلات الحركة، يجب حساب تسارع الكتلة النقطية المتصلة بالبندول. يمكن إعطاء موضع الكتلة النقطية في إحداثيات بالقصور الذاتي مثل ${\displaystyle R_{x}}$${\displaystyle R_{y}}$${\displaystyle F_{N}}$

${\displaystyle {\vec {r}}_{P}=(x-\ell \sin \theta ){\hat {x}}_{I}+\ell \cos \theta {\hat {y}}_{I}}$

يؤدي أخذ مشتقتين إلى الحصول على متجه التسارع في إطار المرجع بالقصور الذاتي.

${\displaystyle {\vec {a}}_{P/I}=({\ddot {x}}+\ell {\dot {\theta }}^{2}\sin \theta -\ell {\ddot {\theta }}\cos \theta ){\hat {x}}_{I}+(-\ell {\dot {\theta }}^{2}\cos \theta -\ell {\ddot {\theta }}\sin \theta ){\hat {y}}_{I}}$

وبعد ذلك، باستخدام قانون نيوتن الثاني، يمكن كتابة معادلتين في اتجاه x واتجاه y. لاحظ أن قوى رد الفعل تكون موجبة عند تطبيقها على البندول وسالبة عند تطبيقها على العربة. ويرجع هذا إلى قانون نيوتن الثالث.

${\displaystyle R_{x}=m({\ddot {x}}+\ell {\dot {\theta }}^{2}\sin \theta -\ell {\ddot {\theta }}\cos \theta )}$

${\displaystyle R_{y}-mg=m(-\ell {\dot {\theta }}^{2}\cos \theta -\ell {\ddot {\theta }}\sin \theta )}$

تسمح المعادلة الأولى بطريقة أخرى لحساب قوة رد الفعل الأفقية في حالة عدم معرفة القوة المطبقة. يمكن استخدام المعادلة الثانية لحل قوة رد الفعل الرأسية. يتم اشتقاق معادلة الحركة الأولى عن طريق التعويض في ، مما ينتج عنه ${\displaystyle F}$${\displaystyle F-R_{x}=M{\ddot {x}}}$${\displaystyle R_{x}=m({\ddot {x}}+\ell {\dot {\theta }}^{2}\sin \theta -\ell {\ddot {\theta }}\cos \theta )}$

${\displaystyle \left(M+m\right){\ddot {x}}-m\ell {\ddot {\theta }}\cos \theta +m\ell {\dot {\theta }}^{2}\sin \theta =F}$

بالفحص، تكون هذه المعادلة مطابقة للنتيجة من طريقة لاغرانج. للحصول على المعادلة الثانية، يجب أن تكون معادلة حركة البندول منقطة بمتجه وحدة يمتد عموديًا على البندول في جميع الأوقات ويُشار إليه عادةً بإحداثيات x لإطار الجسم. في الإحداثيات بالقصور الذاتي، يمكن كتابة هذا المتجه باستخدام تحويل إحداثي بسيط ثنائي الأبعاد

${\displaystyle {\hat {x}}_{B}=\cos \theta {\hat {x}}_{I}+\sin \theta {\hat {y}}_{I}}$

معادلة حركة البندول المكتوبة في شكل متجه هي . يؤدي وضع النقاط على كلا الجانبين إلى ما يلي على الجانب الأيسر (لاحظ أن النقل هو نفس حاصل الضرب النقطي ) ${\displaystyle \sum {\vec {F}}=m{\vec {a}}_{P/I}}$${\displaystyle {\hat {x}}_{B}}$

${\displaystyle ({\hat {x}}_{B})^{T}\sum {\vec {F}}=({\hat {x}}_{B})^{T}(R_{x}{\hat {x}}_{I}+R_{y}{\hat {y}}_{I}-mg{\hat {y}}_{I})=({\hat {x}}_{B})^{T}(R_{p}{\hat {y}}_{B}-mg{\hat {y}}_{I})=-mg\sin \theta }$

في المعادلة أعلاه، يتم استخدام العلاقة بين مكونات إطار الجسم لقوى رد الفعل ومكونات الإطار بالقصور الذاتي لقوى رد الفعل. إن افتراض أن القضيب الذي يربط الكتلة النقطية بالعربة عديم الكتلة يعني أن هذا القضيب لا يمكنه نقل أي حمل بشكل عمودي على القضيب. وبالتالي، يمكن كتابة مكونات الإطار بالقصور الذاتي لقوى رد الفعل ببساطة على النحو التالي ، مما يعني أن القضيب يمكنه نقل الأحمال فقط على طول محور القضيب نفسه. يؤدي هذا إلى نشوء معادلة أخرى يمكن استخدامها لحل الشد في القضيب نفسه: ${\displaystyle R_{p}{\hat {y}}_{B}}$

${\displaystyle R_{p}={\sqrt {R_{x}^{2}+R_{y}^{2}}}}$

يتم حساب الطرف الأيمن للمعادلة بنفس الطريقة عن طريق وضع النقاط على تسارع البندول. تظهر النتيجة (بعد بعض التبسيط) أدناه. ${\displaystyle {\hat {x}}_{B}}$

${\displaystyle m({\hat {x}}_{B})^{T}({\vec {a}}_{P/I})=m({\ddot {x}}\cos \theta -\ell {\ddot {\theta }})}$

يؤدي الجمع بين الجانب الأيسر والأيمن والقسمة على m إلى الحصول على

${\displaystyle \ell {\ddot {\theta }}-g\sin \theta ={\ddot {x}}\cos \theta }$

وهذا مماثل مرة أخرى لنتيجة طريقة لاجرانج. وتكمن فائدة استخدام طريقة نيوتن في الكشف عن جميع قوى رد الفعل لضمان عدم تعرض أي شيء للتلف.

أصبح تحقيق استقرار البندول المقلوب تحديًا هندسيًا شائعًا للباحثين. ^[4] هناك اختلافات مختلفة في البندول المقلوب على عربة تتراوح من قضيب على عربة إلى بندول مقلوب متعدد الأجزاء على عربة. يضع اختلاف آخر قضيب البندول المقلوب أو القضيب المجزأ على نهاية مجموعة دوارة. في كليهما (العربة والنظام الدوار) يمكن للبندول المقلوب أن يسقط فقط في مستوى. يمكن أن تكون البندولات المقلوبة في هذه المشاريع مطلوبة إما للحفاظ على التوازن فقط بعد تحقيق وضع التوازن، أو يمكنها تحقيق التوازن من تلقاء نفسها. منصة أخرى هي بندول مقلوب متوازن ذو عجلتين. تتمتع المنصة ذات العجلتين بالقدرة على الدوران في مكانها مما يوفر قدرًا كبيرًا من القدرة على المناورة. ^[5] يوجد اختلاف آخر يوازن على نقطة واحدة. تتوازن القمة الدوارة ، أو الدراجة أحادية العجلة ، أو البندول المقلوب فوق كرة كروية على نقطة واحدة.

يمكن أن يكون البندول المقلوب الذي يتأرجح فيه المحور بسرعة لأعلى ولأسفل مستقرًا في الوضع المقلوب. يُطلق على هذا البندول اسم بندول كابيتزا ، نسبةً إلى الفيزيائي الروسي بيوتر كابيتزا الذي قام بتحليله لأول مرة. يتم استنباط معادلة الحركة للبندول المتصل بقاعدة متذبذبة عديمة الكتلة بنفس الطريقة كما هو الحال مع البندول الموجود على العربة. يُعطى موضع كتلة النقطة الآن بواسطة:

${\displaystyle \left(-\ell \sin \theta ,y+\ell \cos \theta \right)}$

ويتم إيجاد السرعة عن طريق أخذ المشتقة الأولى للموضع:

${\displaystyle v^{2}={\dot {y}}^{2}-2\ell {\dot {y}}{\dot {\theta }}\sin \theta +\ell ^{2}{\dot {\theta }}^{2}.}$

يمكن كتابة لاجرانج لهذا النظام على النحو التالي :

${\displaystyle L={\frac {1}{2}}m\left({\dot {y}}^{2}-2\ell {\dot {y}}{\dot {\theta }}\sin \theta +\ell ^{2}{\dot {\theta }}^{2}\right)-mg\left(y+\ell \cos \theta \right)}$

ومعادلة الحركة تتبع من:

${\displaystyle {\mathrm {d} \over \mathrm {d} t}{\partial {L} \over \partial {\dot {\theta }}}-{\partial {L} \over \partial \theta }=0}$

مما أدى إلى:

${\displaystyle \ell {\ddot {\theta }}-{\ddot {y}}\sin \theta =g\sin \theta .}$

إذا كان y يمثل حركة توافقية بسيطة ، فإن المعادلة التفاضلية التالية هي: ${\displaystyle y=A\sin \omega t}$

${\displaystyle {\ddot {\theta }}-{g \over \ell }\sin \theta =-{A \over \ell }\omega ^{2}\sin \omega t\sin \theta .}$

لا تحتوي هذه المعادلة على حلول أولية مغلقة الشكل، ولكن يمكن استكشافها بعدة طرق. يتم تقريبها عن كثب بواسطة معادلة ماتيو ، على سبيل المثال، عندما تكون سعة التذبذبات صغيرة. تُظهر التحليلات أن البندول يظل منتصبًا للتذبذبات السريعة. يُظهر الرسم البياني الأول أنه عندما تكون التذبذبات بطيئة، فإن البندول يسقط بسرعة عند إزعاجه من الوضع المستقيم. تتجاوز الزاوية 90 درجة بعد وقت قصير، مما يعني أن البندول قد سقط على الأرض. إذا كانت التذبذبات سريعة، فيمكن إبقاء البندول مستقرًا حول الوضع الرأسي. يُظهر الرسم البياني الثاني أنه عند إزعاجه من الوضع الرأسي، يبدأ البندول الآن في التذبذب حول الوضع الرأسي ( ). يظل الانحراف عن الوضع الرأسي صغيرًا، ولا يسقط البندول. ${\displaystyle y}$${\displaystyle \theta }$${\displaystyle y}$${\displaystyle \theta =0}$

يمكن القول إن المثال الأكثر شيوعًا للبندول المقلوب المستقر هو الإنسان . يعمل الشخص الواقف منتصبًا كبندول مقلوب بقدميه كمحور، وبدون تعديلات عضلية صغيرة مستمرة فإنه سيسقط. يحتوي الجهاز العصبي البشري على نظام تحكم في ردود الفعل اللاواعي ، وهو الإحساس بالتوازن أو رد الفعل التقويمي ، والذي يستخدم المدخلات الحسية العميقة من العينين والعضلات والمفاصل، ومدخلات التوجيه من الجهاز الدهليزي المكون من ثلاث قنوات نصف دائرية في الأذن الداخلية ، وعضوين من حصوات الأذن ، لإجراء تعديلات صغيرة مستمرة على العضلات الهيكلية لإبقائنا واقفين منتصبين. يفرض المشي أو الجري أو التوازن على ساق واحدة مطالب إضافية على هذا النظام. يمكن أن تتداخل بعض الأمراض والتسمم بالكحول أو المخدرات مع هذا المنعكس، مما يسبب الدوخة وعدم التوازن ، وعدم القدرة على الوقوف منتصبًا. اختبار الرصانة الميداني الذي تستخدمه الشرطة لاختبار السائقين لمعرفة تأثير الكحول أو المخدرات، يختبر هذا المنعكس بحثًا عن الضعف.

تتضمن بعض الأمثلة البسيطة موازنة المكانس أو العصي المترية باليد.

تم استخدام البندول المقلوب في أجهزة مختلفة، ومحاولة موازنة البندول المقلوب تمثل مشكلة هندسية فريدة للباحثين. ^[6] كان البندول المقلوب مكونًا أساسيًا في تصميم العديد من أجهزة قياس الزلازل المبكرة بسبب عدم استقراره المتأصل مما أدى إلى استجابة قابلة للقياس لأي اضطراب. ^[7]

تم استخدام نموذج البندول المقلوب في بعض وسائل النقل الشخصية الحديثة، مثل الدراجات البخارية ذاتية التوازن ذات العجلتين والدراجات الأحادية العجلة الكهربائية ذات العجلة الواحدة . هذه الأجهزة غير مستقرة حركيًا وتستخدم نظام سيرفو إلكترونيًا لإبقائها في وضع مستقيم.

يُعتبر تأرجح البندول على عربة إلى حالته المقلوبة مشكلة/معيارًا تقليديًا للتحكم الأمثل . ^{[8] [9]}

• البندول المقلوب المزدوج
• بندول عجلة القصور الذاتي
• بندول فوروتا
• ايبوت
• روبوت على شكل إنسان
• الكرة

• د. ليبيرزون، التبديل في الأنظمة والتحكم (سبرينغر 2003) ص 89 وما يليها

• فرانكلين؛ وآخرون (2005). التحكم في التغذية الراجعة للأنظمة الديناميكية، 5، برنتيس هول. ISBN 0-13-149930-0 

• يوتيوب - البندول المقلوب - العرض التوضيحي رقم 3
• يوتيوب - البندول المقلوب
• يوتيوب - بندول مزدوج على عربة
• يوتيوب - البندول الثلاثي على عربة
• محاكاة ديناميكية لبندول معكوس على قاعدة متذبذبة محفوظ في 2019-09-13 على موقع Wayback Machine
• البندول المقلوب: التحليل والتصميم والتنفيذ
• التحكم غير الخطي في التأرجح لأعلى وتثبيت نظام البندول المقلوب
• التحكم الضبابي في استقرار أنظمة البندول المقلوب ^{[ رابط ميت دائم ]}
• تدوينة عن البندول المقلوب باستخدام كود بايثون
• معادلات الحركة لمهمة التحكم بالعربة والعمود