حساب التفاضل والتكامل لجونز

في علم البصريات ، يمكن وصف الضوء المستقطب باستخدام حساب جونز ^{[ 1 ]} ، الذي ابتكره آر سي جونز عام 1941. يُمثَّل الضوء المستقطب بمتجه جونز ، بينما تُمثَّل العناصر البصرية الخطية بمصفوفات جونز . عند مرور الضوء عبر عنصر بصري، يُحسب استقطاب الضوء الخارج بضرب مصفوفة جونز الخاصة بالعنصر البصري في متجه جونز الخاص بالضوء الساقط. تجدر الإشارة إلى أن حساب جونز لا ينطبق إلا على الضوء المستقطب استقطابًا كاملًا. أما الضوء المستقطب عشوائيًا، أو المستقطب جزئيًا، أو غير المتماسك، فيجب معالجته باستخدام حساب مولر .

يصف متجه جونز استقطاب الضوء في الفضاء الحر أو أي وسط متجانس متساوي الخواص وغير مُخفِّف ، حيث يمكن وصف الضوء بدقة على أنه موجات مستعرضة . لنفترض أن موجة ضوئية مستوية أحادية اللون تنتشر في الاتجاه الموجب للمحور z ، بتردد زاوي ω ومتجه موجي k = (0,0, k )، حيث العدد الموجي k = ω / c . عندئذٍ، يكون المجالين الكهربائي والمغناطيسي E و H متعامدين مع k عند كل نقطة؛ ويقع كلاهما في المستوى "المستعرض" لاتجاه الحركة. علاوة على ذلك، يُحدد H من E عن طريق دوران بزاوية 90 درجة ومعامل ثابت يعتمد على معاوقة الموجة للوسط. لذا، يمكن تحديد استقطاب الضوء بدراسة E. تُكتب السعة المركبة لـ E على النحو التالي:

$// _ {y})}\\0\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}E_{0x}e^{i\phi _{x}}\\E_{0y}e^{i\phi _{y}}\\0\end{pmatrix}}e^{i(kz-\omega t)}.}$

لاحظ أن المجال الكهربائي الفيزيائي هو الجزء الحقيقي من هذا المتجه؛ أما المضاعف المركب فيوفر معلومات الطور. هنا${\displaystyle i}$هي الوحدة التخيلية مع${\displaystyle i^{2}=-1}$.

متجه جونز هو

${\displaystyle {\begin{pmatrix}E_{0x}e^{i\phi _{x}}\\E_{0y}e^{i\phi _{y}}\end{pmatrix}}.}$

وبالتالي، يمثل متجه جونز سعة وطور المجال الكهربائي في الاتجاهين x و y .

يتناسب مجموع مربعي القيم المطلقة لمركبتي متجه جونز طرديًا مع شدة الضوء. ومن الشائع توحيده عند 1 في بداية الحساب لتبسيطه. كما يشيع أيضًا تقييد المركبة الأولى لمتجه جونز لتكون عددًا حقيقيًا . هذا يُلغي معلومات الطور الكلية اللازمة لحساب التداخل مع الحزم الضوئية الأخرى.

لاحظ أن جميع متجهات ومصفوفات جونز في هذه المقالة تستخدم الاصطلاح القائل بأن طور الموجة الضوئية يُعطى بواسطة${\displaystyle \phi =kz-\omega t}$وهو اصطلاح استخدمه يوجين هيشت . ^{[ 2 ]} وبموجب هذا الاصطلاح، فإن الزيادة في${\displaystyle \phi _{x}}$(أو${\displaystyle \phi _{y}}$يشير ) إلى تأخر (تأخير) في الطور، بينما يشير الانخفاض إلى تقدم في الطور. على سبيل المثال، أحد مكونات متجه جونز لـ${\displaystyle i}$(${\displaystyle =e^{i\pi /2}}$يشير ) إلى التباطؤ بواسطة${\displaystyle \pi /2}$(أو 90 درجة) مقارنة بـ 1 (${\displaystyle =e^{0}}$يستخدم كوليت ^{[ 3 ]} تعريفًا معاكسًا للمرحلة (${\displaystyle \phi =\omega t-kz}$كما يتبع كلٌّ من كوليت وجونز اصطلاحاتٍ مختلفةً لتعريف اتجاهية الاستقطاب الدائري. يُطلق على اصطلاح جونز اسم: "من وجهة نظر المُستقبِل"، بينما يُطلق على اصطلاح كوليت اسم: "من وجهة نظر المُرسِل". لذا، ينبغي على القارئ الانتباه إلى اختيار الاصطلاح عند الرجوع إلى المراجع المتعلقة بحساب جونز.

يوضح الجدول التالي ستة أمثلة شائعة لمتجهات جونز المعيارية.

الاستقطاب	متجه جونز	تدوين الكيت النموذجي
الاستقطاب الخطي في اتجاه المحور السيني ، ويسمى عادةً "أفقي".	${\displaystyle {\begin{pmatrix}1\\0\end{pmatrix}}}$	${\displaystyle |H\rangle }$
الاستقطاب الخطي في اتجاه المحور y، ويسمى عادةً "العمودي".	${\displaystyle {\begin{pmatrix}0\\1\end{pmatrix}}}$	${\displaystyle |V\rangle }$
الاستقطاب الخطي بزاوية 45 درجة من المحور السيني ، ويُطلق عليه عادةً اسم "القطري" L+45	${\displaystyle {\frac {1}{\sqrt {2}}}{\begin{pmatrix}1\\1\end{pmatrix}}}$	${\displaystyle |D\rangle ={\frac {1}{\sqrt {2}}}{\big (}|H\rangle +|V\rangle {\big )}}$
مستقطب خطيًا بزاوية -45 درجة من المحور السيني ، ويُطلق عليه عادةً اسم "مضاد القطر" L-45	${\displaystyle {\frac {1}{\sqrt {2}}}{\begin{pmatrix}1\\-1\end{pmatrix}}}$	${\displaystyle |A\rangle ={\frac {1}{\sqrt {2}}}{\big (}|H\rangle -|V\rangle {\big )}}$
الاستقطاب الدائري الأيمن، ويسمى عادةً "RCP" أو "RHCP"	${\displaystyle {\frac {1}{\sqrt {2}}}{\begin{pmatrix}1\\-i\end{pmatrix}}}$	${\displaystyle |R\rangle ={\frac {1}{\sqrt {2}}}{\big (}|H\rangle -i|V\rangle {\big )}}$
الاستقطاب الدائري الأيسر، ويسمى عادةً "LCP" أو "LHCP"	${\displaystyle {\frac {1}{\sqrt {2}}}{\begin{pmatrix}1\\+i\end{pmatrix}}}$	${\displaystyle |L\rangle ={\frac {1}{\sqrt {2}}}{\big (}|H\rangle +i|V\rangle {\big )}}$

يُكتب المتجه العام الذي يشير إلى أي مكان على السطح على شكل متجه متجهي (ket).${\displaystyle |\psi \rangle }$عند استخدام كرة بوانكاريه (المعروفة أيضًا باسم كرة بلوخ )، فإن مجموعات الطاقة الأساسية (${\displaystyle |0\rangle }$و${\displaystyle |1\rangle }$يجب تعيين ) لأزواج متقابلة ( متقابلة ) من المتجهات المذكورة أعلاه. على سبيل المثال، يمكن للمرء أن يعين${\displaystyle |0\rangle }$=${\displaystyle |H\rangle }$و${\displaystyle |1\rangle }$=${\displaystyle |V\rangle }$هذه التعيينات اعتباطية. الأزواج المتقابلة هي

• ${\displaystyle |H\rangle }$و${\displaystyle |V\rangle }$
• ${\displaystyle |D\rangle }$و${\displaystyle |A\rangle }$
• ${\displaystyle |R\rangle }$و${\displaystyle |L\rangle }$

استقطاب أي نقطة لا يساوي${\displaystyle |R\rangle }$أو${\displaystyle |L\rangle }$وليس على الدائرة التي تمر عبر${\displaystyle |H\rangle ,|D\rangle ,|V\rangle ,|A\rangle }$يُعرف باسم الاستقطاب الإهليلجي .

حساب جونز هو حساب مصفوفات طُوِّر عام 1941 على يد هنري هورويتز الابن و ر. كلارك جونز ونُشر في مجلة الجمعية البصرية الأمريكية . ^{[ 4 ] [ 5 ] [ 6 ] [ 7 ]}

مصفوفات جونز هي مؤثرات تعمل على متجهات جونز المحددة أعلاه. تُنفذ هذه المصفوفات بواسطة عناصر بصرية متنوعة مثل العدسات، ومقسمات الحزم الضوئية، والمرايا، وما إلى ذلك. تمثل كل مصفوفة إسقاطًا على فضاء فرعي مركب أحادي البعد لمتجهات جونز. يوضح الجدول التالي أمثلة على مصفوفات جونز للمستقطبات:

عنصر بصري	مصفوفة جونز
مستقطب خطي مع محور نقل أفقي [ 8 ]	${\displaystyle {\begin{pmatrix}1&0\\0&0\end{pmatrix}}}$
مستقطب خطي مع محور نقل رأسي [ 8 ]	${\displaystyle {\begin{pmatrix}0&0\\0&1\end{pmatrix}}}$
مستقطب خطي مع محور نقل عند ±45 درجة مع الأفقي [ 8 ]	${\displaystyle {\frac {1}{2}}{\begin{pmatrix}1&\pm 1\\\pm 1&1\end{pmatrix}}}$
مستقطب خطي ذو محور زاوية نقل${\displaystyle \theta }$من الوضع الأفقي [ 8 ]	${\displaystyle {\begin{pmatrix}\cos ^{2}(\theta )&\cos(\theta )\sin(\theta )\\\cos(\theta )\sin(\theta )&\sin ^{2}(\theta )\end{pmatrix}}}$
مستقطب دائري أيمن [ 8 ]	${\displaystyle {\frac {1}{2}}{\begin{pmatrix}1&i\\-i&1\end{pmatrix}}}$
مستقطب دائري يساري [ 8 ]	${\displaystyle {\frac {1}{2}}{\begin{pmatrix}1&-i\\i&1\end{pmatrix}}}$

مُؤخِّر الطور هو عنصر بصري يُحدث فرقًا في الطور بين مُركِّبتي استقطاب متعامدتين لشعاع ضوئي أحادي اللون مُستقطب. ^{[ 9 ]} رياضيًا، باستخدام متجهات جونز لتمثيل متجهات الاستقطاب، فإن هذا يعني أن عمل مُؤخِّر الطور هو تحويل الضوء المُستقطب.

${\displaystyle |P\rangle =c_{1}|1\rangle +c_{2}|2\rangle }$

ل

${\displaystyle |P'\rangle =c_{1}{\rm {e}}^{i\eta /2}|1\rangle +c_{2}{\rm {e}}^{-i\eta /2}|2\rangle }$

أين${\displaystyle |1\rangle ,|2\rangle }$هي مكونات الاستقطاب المتعامدة (أي${\displaystyle \langle 1|2\rangle =0}$والتي تُحددها الطبيعة الفيزيائية لمؤخر الطور. بشكل عام، يمكن أن تكون المكونات المتعامدة أي متجهين أساسيين. على سبيل المثال، يكون تأثير مؤخر الطور الدائري على النحو التالي:

${\displaystyle |1\rangle ={\frac {1}{\sqrt {2}}}{\begin{pmatrix}1\\-i\end{pmatrix}}\qquad {\text{ and }}\qquad |2\rangle ={\frac {1}{\sqrt {2}}}{\begin{pmatrix}1\\i\end{pmatrix}}}$

ومع ذلك، فإن مؤخرات الطور الخطية ، التي من أجلها${\displaystyle |1\rangle ,|2\rangle }$تُعدّ الاستقطابات الخطية أكثر شيوعًا في النقاشات والتطبيقات العملية. في الواقع، يُستخدم مصطلح "مؤخر الطور" أحيانًا للإشارة تحديدًا إلى مؤخرات الطور الخطية.

تُصنع مُؤخرات الطور الخطية عادةً من بلورات أحادية المحور ثنائية الانكسار ، مثل الكالسيت أو _فلوريد المغنيسيوم أو الكوارتز . وتُسمى الألواح المصنوعة من هذه المواد لهذا الغرض بألواح الموجة . تتميز البلورات أحادية المحور بوجود محور بلوري واحد يختلف عن المحورين الآخرين (أي n _{_i} ≠ n_{_j} = n_{_k} ). يُسمى هذا المحور الفريد بالمحور غير العادي، ويُشار إليه أيضًا بالمحور البصري . يمكن أن يكون المحور البصري هو المحور السريع أو المحور البطيء للبلورة، وذلك حسب نوع البلورة. ينتقل الضوء بسرعة طور أعلى على طول المحور ذي معامل الانكسار الأصغر ، ويُسمى هذا المحور بالمحور السريع. وبالمثل، يُسمى المحور ذو معامل الانكسار الأكبر بالمحور البطيء، لأن سرعة طور الضوء تكون في أدنى مستوياتها على طول هذا المحور. تتميز البلورات أحادية المحور "السالبة" (مثل الكالسيت CaCO₃ والياقوت Al₂O₃ ) بأن _{معامل انكسارها} غير العادي ( _ne ) أقل _{من معامل انكسارها البصري (} no ) ، لذا يكون المحور غير العادي (المحور البصري) هو المحور السريع في هذه البلورات. أما في البلورات أحادية المحور "الموجبة" (مثل الكوارتز SiO₂ وفلوريد المغنيسيوم MgF₂ والروتيل TiO₂ )، فإن معامل _{انكسارها} غير العادي ( ne ) أكبر _من معامل انكسارها البصري (no _{) ، وبالتالي يكون} المحور غير العادي (المحور البصري) هو المحور البطيء. توجد أيضًا مُؤخرات طور خطية أخرى متوفرة تجاريًا، وتُستخدم في تطبيقات أكثر تخصصًا. معينات فريسنل هي أحد هذه البدائل.

أي مُؤخِّر طور خطي يُعرَّف محوره السريع على أنه المحور السيني أو الصادي، يكون له حدود غير قطرية معدومة، وبالتالي يمكن التعبير عنه بسهولة على النحو التالي:

${\displaystyle {\begin{pmatrix}{\rm {e}}^{i\phi _{x}}&0\\0&{\rm {e}}^{i\phi _{y}}\end{pmatrix}}}$

أين${\displaystyle \phi _{x}}$و${\displaystyle \phi _{y}}$تمثل هذه الإزاحات الطورية للحقول الكهربائية في${\displaystyle x}$و${\displaystyle y}$الاتجاهات على التوالي. في اصطلاح الطور${\displaystyle \phi =kz-\omega t}$عرّف الطور النسبي بين الموجتين على النحو التالي:${\displaystyle \epsilon =\phi _{y}-\phi _{x}}$ثم نتيجة إيجابية${\displaystyle \epsilon }$(أي${\displaystyle \phi _{y}}$>${\displaystyle \phi _{x}}$) يعني أن${\displaystyle E_{y}}$لا يحقق نفس القيمة مثل${\displaystyle E_{x}}$إلى وقت لاحق، أي${\displaystyle E_{x}}$الرصاص${\displaystyle E_{y}}$وبالمثل، إذا${\displaystyle \epsilon <0}$، ثم${\displaystyle E_{y}}$الرصاص${\displaystyle E_{x}}$.

على سبيل المثال، إذا كان المحور السريع للوحة ربع الموجة أفقيًا، فإن سرعة الطور على طول الاتجاه الأفقي تتقدم على الاتجاه الرأسي، أي${\displaystyle E_{x}}$الرصاص${\displaystyle E_{y}}$. هكذا،${\displaystyle \phi _{x}<\phi _{y}}$وهو ما ينتج عنه بالنسبة للوحة ربع موجة${\displaystyle \phi _{y}=\phi _{x}+\pi /2}$.

في الاتفاقية المعاكسة${\displaystyle \phi =\omega t-kz}$عرّف الطور النسبي على النحو التالي:${\displaystyle \epsilon =\phi _{x}-\phi _{y}}$. ثم ${\displaystyle \epsilon >0}$هذا يعني أن${\displaystyle E_{y}}$لا يحقق نفس القيمة مثل${\displaystyle E_{x}}$إلى وقت لاحق، أي${\displaystyle E_{x}}$الرصاص${\displaystyle E_{y}}$.

مُؤخرات الطور	مصفوفة جونز المقابلة
صفيحة ربع موجة ذات محور سريع رأسي [ 2 ] [ ملاحظة 1 ]	${\displaystyle {\rm {e}}^{\frac {i\pi }{4}}{\begin{pmatrix}1&0\\0&-i\end{pmatrix}}}$
صفيحة ربع موجة ذات محور سريع أفقي [ 2 ]	${\displaystyle {\rm {e}}^{-{\frac {i\pi }{4}}}{\begin{pmatrix}1&0\\0&i\end{pmatrix}}}$
صفيحة ربع موجة ذات محور سريع بزاوية${\displaystyle \theta }$بالنسبة للمحور الأفقي	${\displaystyle {\rm {e}}^{-{\frac {i\pi }{4}}}{\begin{pmatrix}\cos ^{2}\theta +i\sin ^{2}\theta &(1-i)\sin \theta \cos \theta \\(1-i)\sin \theta \cos \theta &\sin ^{2}\theta +i\cos ^{2}\theta \end{pmatrix}}}$
صفيحة نصف موجة تدور بواسطة${\displaystyle \theta }$[ 1 ]	${\displaystyle {\begin{pmatrix}\cos 2\theta &\sin 2\theta \\\sin 2\theta &-\cos 2\theta \end{pmatrix}}}$
صفيحة نصف موجة ذات محور سريع بزاوية${\displaystyle \theta }$بالنسبة للمحور الأفقي [ 11 ]	${\displaystyle {\rm {e}}^{-{\frac {i\pi }{2}}}{\begin{pmatrix}\cos ^{2}\theta -\sin ^{2}\theta &2\cos \theta \sin \theta \\2\cos \theta \sin \theta &\sin ^{2}\theta -\cos ^{2}\theta \end{pmatrix}}}$
لوحة الموجة العامة (مؤخر الطور الخطي) [ 9 ]	${\displaystyle {\rm {e}}^{-{\frac {i\eta }{2}}}{\begin{pmatrix}\cos ^{2}\theta +{\rm {e}}^{i\eta }\sin ^{2}\theta &\left(1-{\rm {e}}^{i\eta }\right)\cos \theta \sin \theta \\\left(1-{\rm {e}}^{i\eta }\right)\cos \theta \sin \theta &\sin ^{2}\theta +{\rm {e}}^{i\eta }\cos ^{2}\theta \end{pmatrix}}}$
مادة ثنائية الانكسار عشوائية (مؤخر الطور الإهليلجي) [ 9 ] [ 12 ]	${\displaystyle {\rm {e}}^{-{\frac {i\eta }{2}}}{\begin{pmatrix}\cos ^{2}\theta +{\rm {e}}^{i\eta }\sin ^{2}\theta &\left(1-{\rm {e}}^{i\eta }\right){\rm {e}}^{-i\phi }\cos \theta \sin \theta \\\left(1-{\rm {e}}^{i\eta }\right){\rm {e}}^{i\phi }\cos \theta \sin \theta &\sin ^{2}\theta +{\rm {e}}^{i\eta }\cos ^{2}\theta \end{pmatrix}}}$

تُعدّ مصفوفة جونز لمادة ثنائية الانكسار عشوائية الشكل الأكثر عمومية لتحويل الاستقطاب في حساب جونز؛ إذ يمكنها تمثيل أي تحويل استقطاب. ولإثبات ذلك، يمكن للمرء أن يُبيّن

${\displaystyle {\begin{aligned}&{\rm {e}}^{-{\frac {i\eta }{2}}}{\begin{pmatrix}\cos ^{2}\theta +{\rm {e}}^{i\eta }\sin ^{2}\theta &\left(1-{\rm {e}}^{i\eta }\right){\rm {e}}^{-i\phi }\cos \theta \sin \theta \\\left(1-{\rm {e}}^{i\eta }\right){\rm {e}}^{i\phi }\cos \theta \sin \theta &\sin ^{2}\theta +{\rm {e}}^{i\eta }\cos ^{2}\theta \end{pmatrix}}\\&={\begin{pmatrix}\cos(\eta /2)-i\sin(\eta /2)\cos(2\theta )&-\sin(\eta /2)\sin(\phi )\sin(2\theta )-i\sin(\eta /2)\cos(\phi )\sin(2\theta )\\\sin(\eta /2)\sin(\phi )\sin(2\theta )-i\sin(\eta /2)\cos(\phi )\sin(2\theta )&\cos(\eta /2)+i\sin(\eta /2)\cos(2\theta )\end{pmatrix}}\end{aligned}}}$

المصفوفة أعلاه هي تمثيل عام لعناصر SU(2) ، باستخدام الاصطلاح

${\displaystyle \operatorname {SU} (2)=\left\{{\begin{pmatrix}\alpha &-{\overline {\beta }}\\\beta &{\overline {\alpha }}\end{pmatrix}}:\ \ \alpha ,\beta \in \mathbb {C} ,\ \ |\alpha |^{2}+|\beta |^{2}=1\right\}~}$

حيث يشير الخط العلوي إلى الاقتران المركب .

وأخيرًا، مع إدراك أن مجموعة التحويلات الوحدوية على${\displaystyle \mathbb {C} ^{2}}$يمكن التعبير عنها على النحو التالي

${\displaystyle \left\{{\rm {e}}^{i\gamma }{\begin{pmatrix}\alpha &-{\overline {\beta }}\\\beta &{\overline {\alpha }}\end{pmatrix}}:\ \ \alpha ,\beta \in \mathbb {C} ,\ \ |\alpha |^{2}+|\beta |^{2}=1,\ \ \gamma \in [0,2\pi ]\right\}}$

يتضح أن مصفوفة جونز لمادة ذات انكسار مزدوج عشوائية تمثل أي تحويل وحدوي، حتى عامل الطور${\displaystyle {\rm {e}}^{i\gamma }}$لذلك، من أجل الاختيار المناسب لـ${\displaystyle \eta }$،${\displaystyle \theta }$، و${\displaystyle \phi }$يمكن إيجاد تحويل بين أي متجهين من متجهات جونز، حتى عامل الطور.${\displaystyle {\rm {e}}^{i\gamma }}$ومع ذلك، في حساب جونز، فإن عوامل الطور هذه لا تغير الاستقطاب الممثل لمتجه جونز، لذلك يتم اعتبارها إما اعتباطية أو فرضها بشكل مخصص للتوافق مع اتفاقية مجموعة.

يمكن الحصول على الصيغ الخاصة بمؤخرات الطور بأخذ قيم مناسبة للمعاملات في الصيغة العامة لمادة ثنائية الانكسار. ^{[ 12 ]} في الصيغة العامة:

• يُعطى تأخر الطور النسبي الناتج بين المحور السريع والمحور البطيء بالعلاقة التالية:${\displaystyle \eta =\phi _{y}-\phi _{x}}$
• ${\displaystyle \theta }$يمثل اتجاه المحور السريع بالنسبة للمحور السيني.
• ${\displaystyle \phi }$إنها الدائرية.

لاحظ أنه بالنسبة للمؤخرات الخطية،${\displaystyle \phi }$= 0 وبالنسبة للمؤخرات الدائرية،${\displaystyle \phi }$= ±${\displaystyle \pi }$/2,${\displaystyle \theta }$=${\displaystyle \pi }$/4. بشكل عام بالنسبة للمؤخرات الإهليلجية،${\displaystyle \phi }$تأخذ قيمًا بين -${\displaystyle \pi }$/2 و${\displaystyle \pi }$/2.

لنفترض أن عنصرًا بصريًا محوره البصري عمودي على متجه السطح لمستوى السقوط ، ويدور حول هذا المتجه بزاوية θ/2 (أي أن المستوى الرئيسي الذي يمر به المحور البصري يصنع زاوية θ/2 مع مستوى استقطاب المجال الكهربائي للموجة TE الساقطة). تذكر أن صفيحة نصف موجة تدور الاستقطاب بمقدار ضعف الزاوية بين الاستقطاب الساقط والمحور البصري (المستوى الرئيسي). لذلك، فإن مصفوفة جونز لحالة الاستقطاب بعد الدوران، M( θ )، هي

${\displaystyle M(\theta )=R(-\theta )\,M\,R(\theta ),}$

أين${\displaystyle R(\theta )={\begin{pmatrix}\cos \theta &\sin \theta \\-\sin \theta &\cos \theta \end{pmatrix}}.}$

يتوافق هذا مع معادلة صفيحة نصف الموجة في الجدول أعلاه. هذه الدورانات مطابقة لتحويل مقسم الحزمة الوحدوي في الفيزياء البصرية الموضح في المعادلة التالية:

${\displaystyle R(\theta )={\begin{pmatrix}r&t'\\t&r'\end{pmatrix}}}$

حيث يمثل المعاملان ذو العلامة (') وغير ذو العلامة (') الحزمتين الساقطتين من جهتين متقابلتين لمقسم _الحزمة . وتكتسب المكونات المنعكسة والمنقولة طورًا مقداره θr و θt على التوالي. وتوجد متطلبات التمثيل الصحيح للعنصر في المرجع ^{[ 13 ]} _.

${\displaystyle \theta _{\text{t}}-\theta _{\text{r}}+\theta _{\text{t'}}-\theta _{\text{r'}}=\pm \pi }$

و ${\displaystyle r^{*}t'+t^{*}r'=0.}$

كلا هذين التمثيلين عبارة عن مصفوفات وحدوية تفي بهذه المتطلبات؛ وعلى هذا النحو، كلاهما صحيح.

يتطلب إيجاد مصفوفة جونز، J( α , β , γ )، لأي دوران، مصفوفة دوران ثلاثية الأبعاد . في الترميز التالي ، تمثل α و β و γ زوايا الانحراف والميل والدوران (الدوران حول المحاور z و y و x، حيث x هو اتجاه الانتشار)، على التوالي. التركيبة الكاملة لمصفوفات الدوران ثلاثية الأبعاد هي كما يلي:

${\displaystyle R_{3D}(\theta )={\begin{bmatrix}\cos \alpha \cos \beta &\cos \alpha \sin \beta \sin \gamma -\sin \alpha \cos \gamma &\cos \alpha \sin \beta \cos \gamma +\sin \alpha \sin \gamma \\\sin \alpha \cos \beta &\sin \alpha \sin \beta \sin \gamma +\cos \alpha \cos \gamma &\sin \alpha \sin \beta \cos \gamma -\cos \alpha \sin \gamma \\-\sin \beta &\cos \beta \sin \gamma &\cos \beta \cos \gamma \\\end{bmatrix}}}$

باستخدام ما سبق، لأي مصفوفة جونز أساسية J، يمكنك إيجاد الحالة المدورة J( α , β , γ ) باستخدام:

${\displaystyle J(\alpha ,\beta ,\gamma )=R_{3D}(-\alpha ,-\beta ,-\gamma )\cdot J\cdot R_{3D}(\alpha ,\beta ,\gamma )}$^{[ 1 ]}

أما الحالة الأبسط، حيث تكون مصفوفة جونز لمستقطب خطي أفقي مثالي، فتختزل إلى:

${\displaystyle J(\alpha ,\beta ,\gamma )={\begin{bmatrix}c_{\alpha }^{2}c_{\beta }^{2}&c_{\alpha }c_{\beta }[c_{\alpha }s_{\beta }s_{\gamma }-s_{\alpha }c_{\gamma }]&c_{\alpha }c_{\beta }[c_{\alpha }s_{\beta }c_{\gamma }+s_{\alpha }s_{\gamma }]\\s_{\alpha }c_{\alpha }c_{\beta }^{2}&s_{\alpha }c_{\beta }[c_{\alpha }s_{\beta }s_{\gamma }-s_{\alpha }c_{\gamma }]&s_{\alpha }c_{\beta }[c_{\alpha }s_{\beta }c_{\gamma }+s_{\alpha }s_{\gamma }]\\-c_{\alpha }s_{\beta }c_{\beta }&-s_{\beta }[c_{\alpha }s_{\beta }s_{\gamma }-s_{\alpha }c_{\gamma }]&-s_{\beta }[c_{\alpha }s_{\beta }c_{\gamma }+s_{\alpha }s_{\gamma }]\\\end{bmatrix}}}$

حيث يمثل c _i و s _i جيب التمام أو جيب الزاوية المعطاة "i" على التوالي.

للاطلاع على المزيد من الأعمال التي أُجريت بناءً على هذا، يُرجى مراجعة أعمال راسل أ. تشيبمان وجارام يون. ^{[ 14 ] [ 15 ] [ 16 ] [ 17 ] [ 18 ]}

• الاستقطاب
• معاملات التشتت
• معلمات ستوكس
• حساب مولر
• استقطاب الفوتون

• بروسو، كريستيان؛ جيفنز، كلارك ر.؛ كوستينسكي، ألكسندر ب. (1993). "شرط الأثر المعمم على مصفوفة استقطاب مولر-جونز". مجلة الجمعية البصرية الأمريكية أ . 10 (10): 2248-2251 . رمز Bibcode : 1993JOSAA..10.2248B . doi : 10.1364/JOSAA.10.002248 .
• فايمات، أ. ل. (1971). "تمثيل جونز المصفوفي للأجهزة البصرية. 1: مقسمات الحزم". البصريات التطبيقية . 10 (11): 2499-2505 . رمز Bibcode : 1971ApOpt..10.2499F . doi : 10.1364/AO.10.002499 . PMID 20111363 . 
• فايمات، أ. ل. (1971). "تمثيل جونز المصفوفي للأجهزة البصرية. 2: مقاييس التداخل فورييه (مقياس الطيف ومقياس الاستقطاب الطيفي)". البصريات التطبيقية . 10 (12): 2711-2716 . رمز Bibcode : 1971ApOpt..10.2711F . doi : 10.1364/AO.10.002711 . PMID 20111418 . 
• فيمات، أ. ل. (1972). "تأثيرات الاستقطاب في مطيافية فورييه. الجزء الأول: تمثيل مصفوفة التماسك". البصريات التطبيقية . 11 (1): 160-173 . Bibcode : 1972ApOpt..11..160F . doi : 10.1364/AO.11.000160 . PMID : 20111472 . 
• جيرالد، أ.؛ بيرش، ج.م. (1975). مقدمة في طرق المصفوفات في البصريات (  الطبعة الأولى). جون وايلي وأولاده. ISBN 0-471-29685-6.
• جيل، خوسيه خورخي؛ برنابيو، يوسيبو (1987). "استخلاص معلمات الاستقطاب والتأخير لنظام بصري غير مزيل للاستقطاب من التحليل القطبي لمصفوفة مولر الخاصة به". أوبتيك . 76 : 67-71 .
• جولدشتاين، د.؛ كوليت، إ. (2003). الضوء المستقطب (  الطبعة الثانية). مطبعة سي آر سي . رقم ISBN 0-8247-4053-X.
• هيشت، إي. (1987). البصريات (  الطبعة الثانية). أديسون-ويسلي. ISBN 0-201-11609-X.
• ماكغواير، جيمس ب.؛ تشيبمان، راسل أ. (1994). "انحرافات الاستقطاب. 1. الأنظمة البصرية المتناظرة دورانيًا". البصريات التطبيقية . 33 (22): 5080-5100 . Bibcode : 1994ApOpt..33.5080M . doi : 10.1364/AO.33.005080 . PMID 20935891. S2CID 3805982 .  
• مورينو، إغناسيو؛ يزويل، ماريا ج .؛ كامبوس، خوان؛ فارغاس، أستيسيو (2004). "معالجة مصفوفة جونز لبصريات فورييه الاستقطابية". مجلة البصريات الحديثة . 51 (14): 2031-2038 . Bibcode : 2004JMOp...51.2031M . doi : 10.1080/09500340408232511 . hdl : 10533/175322 . S2CID 120169144 . 
• مورينو، إيفان (2004). " مصفوفة جونز لموشورات دوران الصورة". البصريات التطبيقية . 43 (17): 3373-3381 . Bibcode : 2004ApOpt..43.3373M . doi : 10.1364/AO.43.003373 . PMID 15219016. S2CID 24268298 .  
• شيل، رايف؛ ماكناب، إيان (2024). مقدمة بيدروتيس في علم البصريات (الطبعة الرابعة  ). المملكة المتحدة: مطبعة جامعة كامبريدج. ISBN 978-1316518625.
• بيستوني، ناتالي سي. (1995). "نهج مبسط لحساب جونز في إعادة تتبع الدوائر البصرية". البصريات التطبيقية . 34 (34): 7870-7876 . Bibcode : 1995ApOpt..34.7870P . doi : 10.1364/AO.34.007870 . PMID 2106888 . 
• شوركليف، ويليام (1966). "الفصل الثامن: حساب مولر وحساب جونز". الضوء المستقطب: إنتاجه واستخدامه . مطبعة جامعة هارفارد . ص  109.