Scattering parameters

Scattering parameters or S-parameters are the elements of a scattering matrix or S-matrix which describe the steady state response of linear electrical networks to sinusoidal signals.^[a]

The parameters are useful for several branches of electrical engineering, including electronics, communication systems design, and especially for microwave engineering.

The S-parameters are members of a family of similar parameters, other examples being: Y-parameters and Z-parameters,^[1]H-parameters, T-parameters and ABCD-parameters.^[2]^[3] They differ from these, in the sense that S-parameters do not use open or short circuit conditions to characterize a linear electrical network; instead, matched loads are used. These terminations are much easier to use at high signal frequencies than open-circuit and short-circuit terminations. Contrary to popular belief, the quantities are not measured in terms of power (except in now-obsolete six-port network analyzers). Modern vector network analyzers measure amplitude and phase of voltage traveling wave phasors using essentially the same circuit as that used for the demodulation of digitally modulated wireless signals.

يمكن التعبير عن العديد من الخصائص الكهربائية لشبكات المكونات ( المحاثات ، والمكثفات ، والمقاومات ) باستخدام معاملات التشتت (S-parameters)، مثل الكسب ، وفقدان العودة ، ونسبة الموجة الموقوفة للجهد (VSWR)، ومعامل الانعكاس ، واستقرار المُضخِّم . يُعدّ مصطلح "التشتت" أكثر شيوعًا في الهندسة البصرية منه في هندسة الترددات الراديوية، ويشير إلى التأثير الملاحظ عند سقوط موجة كهرومغناطيسية مستوية على عائق أو مرورها عبر وسط عازل مختلف . في سياق معاملات التشتت، يشير التشتت إلى كيفية تأثر التيارات والجهود المنتقلة في خط النقل عند مواجهتها لانقطاع ناتج عن إدخال شبكة في خط النقل. وهذا يُعادل مواجهة الموجة لممانعة تختلف عن الممانعة المميزة للخط .

على الرغم من إمكانية تطبيقها على أي تردد ، تُستخدم معاملات S في الغالب للشبكات العاملة بترددات الراديو (RF) والميكروويف . معاملات S الشائعة الاستخدام - معاملات S التقليدية - هي كميات خطية (وليست كميات طاقة، كما في منهج "موجات الطاقة" المذكور أدناه لكانيوكي كوروكاوا (黒川兼行)). تتغير معاملات S بتغير تردد القياس، لذا يجب تحديد التردد لأي قياسات لمعاملات S، بالإضافة إلى المعاوقة المميزة أو معاوقة النظام .

خلفية

نُشر أول وصف لمعاملات التشتت (S-parameters) في أطروحة فيتولد بيليفيتش عام 1945. ^{[ 4 ]} أطلق بيليفيتش عليها اسم مصفوفة إعادة التوزيع، واقتصرت دراستها على شبكات العناصر المجمعة. استخدم الفيزيائي والمهندس روبرت هنري ديك مصطلح مصفوفة التشتت عام 1947، والذي طور الفكرة بشكل مستقل خلال عمله على الرادار في زمن الحرب. ^[⁵^]^[⁶^] في هذه المعاملات ومصفوفات التشتت، تُعرف الموجات المتشتتة بالموجات المتحركة. ظهر نوع مختلف من معاملات التشتت في ستينيات القرن العشرين. ^[⁷^] وقد شاع استخدامه بفضل كانيوكي كوروكاوا (黒川兼行)، ^[⁸^] الذي أشار إلى الموجات المتشتتة الجديدة باسم "موجات القدرة". يتميز نوعا معاملات التشتت بخصائص مختلفة تمامًا، ويجب عدم الخلط بينهما. ^[⁹^] في ورقته البحثية الرائدة، ^[¹⁰^] يميز كوروكاوا بوضوح بين معاملات S لموجات القدرة ومعاملات S التقليدية للموجات المتنقلة. ومن بين أنواع الأخيرة معاملات S للموجات المتنقلة الزائفة. ^[¹¹^]

في منهجية معاملات التشتت (S-parameters)، تُعتبر الشبكة الكهربائية بمثابة " صندوق أسود " يحتوي على مكونات دوائر كهربائية أساسية مترابطة، أو عناصر مجمعة مثل المقاومات والمكثفات والمحاثات والترانزستورات، والتي تتفاعل مع دوائر أخرى عبر منافذ . وتتميز الشبكة بمصفوفة مربعة من الأعداد المركبة تُسمى مصفوفة معاملات التشتت، والتي يمكن استخدامها لحساب استجابتها للإشارات المُطبقة على المنافذ.

فيما يتعلق بتعريف معامل التشتت (S-parameter)، يُفهم أن الشبكة قد تحتوي على أي مكونات شريطة أن تتصرف الشبكة بأكملها بشكل خطي مع الإشارات الصغيرة الواردة. وقد تشمل أيضًا العديد من مكونات أنظمة الاتصالات النموذجية أو "وحداتها" مثل المضخمات والمخففات والمرشحات والمقرنات والمعادلات ، شريطة أن تعمل هذه المكونات أيضًا في ظل ظروف خطية ومحددة .

قد تحتوي الشبكة الكهربائية التي تُوصف بمعاملات S على أي عدد من المنافذ. المنافذ هي النقاط التي تدخل منها الإشارات الكهربائية إلى الشبكة أو تخرج منها. عادةً ما تكون المنافذ أزواجًا من الأطراف، مع اشتراط أن يكون التيار الداخل إلى أحد الطرفين مساويًا للتيار الخارج من الطرف الآخر. ^{[ 12 ]}^{[ 13 ]} تُستخدم معاملات S عند الترددات التي تكون فيها المنافذ غالبًا عبارة عن وصلات محورية أو وصلات موجهة .

ستكون مصفوفة معاملات S التي تصف شبكة ذات N منفذ مربعة الشكل ذات بُعد N ، وبالتالي ستحتوي على $N^{2}$ العناصر. عند تردد الاختبار، يُمثَّل كل عنصر أو مُعامل S بعدد مُركَّب عديم الأبعاد يُمثِّل المقدار والزاوية ، أي السعة والطور . يُمكن التعبير عن العدد المُركَّب إما بصيغة مستطيلة أو، وهو الأكثر شيوعًا، بصيغة قطبية . يُمكن التعبير عن مقدار مُعامل S بصيغة خطية أو لوغاريتمية . عند التعبير عنه بصيغة لوغاريتمية، تكون وحدة قياس المقدار هي الديسيبل . تُعبَّر زاوية مُعامل S غالبًا بالدرجات ، ولكن أحيانًا بالراديان . يُمكن عرض أي مُعامل S بيانيًا على مُخطط قطبي بنقطة لتردد واحد أو بمسار لنطاق من الترددات. إذا كان ينطبق على منفذ واحد فقط (بصيغة $S_{nn}$ يمكن عرضها على مخطط سميث للممانعة أو السماحية ، مُعايَرًا وفقًا لممانعة النظام. يسمح مخطط سميث بتحويل بسيط بين $S_{nn}$ المعلمة، المكافئة لمعامل انعكاس الجهد والمعاوقة (أو السماحية) المرتبطة بها (المُعَيَّرة) التي "ترى" عند ذلك المنفذ.

يجب تحديد المعلومات التالية عند تحديد مجموعة من معاملات S:

التردد
المعاوقة المميزة الاسمية (غالباً 50 أوم )
تخصيص أرقام المنافذ
الظروف التي قد تؤثر على الشبكة، مثل درجة الحرارة، وجهد التحكم، وتيار الانحياز، عند الاقتضاء.

معاملات كوروكاوا لموجة الطاقة

في شبكة عامة متعددة المنافذ، تُرقّم المنافذ من 1 إلى N ، حيث N هو العدد الإجمالي للمنافذ. بالنسبة للمنفذ i ، يكون تعريف معامل S المرتبط به بدلالة "موجات الطاقة" الساقطة والمنعكسة. $a_{i}$ و $b_{i}$ على التوالى.

يُعرّف كوروكاوا ^{[ 14 ]} موجة الطاقة الساقطة لكل منفذ على النحو التالي:

a_{i}={\frac {1}{2}}\,k_{i}(V_{i}+Z_{i}I_{i})

وتُعرَّف الموجة المنعكسة لكل منفذ على النحو التالي:

b_{i}={\frac {1}{2}}\,k_{i}(V_{i}-Z_{i}^{*}I_{i})

أين $Z_{i}$ هي المعاوقة للمنفذ i ، $Z_{i}^{*}$ هو المرافق المعقد لـ $Z_{i}$ ، $V_{i}$ و $I_{i}$ تمثل على التوالي السعات المركبة للجهد والتيار عند المنفذ i ، و

k_{i}=\left({\sqrt {\left|\Re \{Z_{i}\}\right|}}\right)^{-1}

أحيانًا يكون من المفيد افتراض أن المعاوقة المرجعية هي نفسها لجميع المنافذ، وفي هذه الحالة يمكن تبسيط تعريفات الموجات الساقطة والمنعكسة إلى

a_{i}={\frac {1}{2}}\,{\frac {(V_{i}+Z_{0}I_{i})}{\sqrt {\left|\Re \{Z_{0}\}\right|}}}

و

b_{i}={\frac {1}{2}}\,{\frac {(V_{i}-Z_{0}^{*}I_{i})}{\sqrt {\left|\Re \{Z_{0}\}\right|}}}

تجدر الإشارة إلى أنه كما أشار كوروكاوا نفسه، فإن التعريفات المذكورة أعلاه لـ $a_{i}$ و $b_{i}$ ليست فريدة من نوعها.

العلاقة بين المتجهين a و b ، حيث تمثل مركباتهما i موجات الطاقة $a_{i}$ و $b_{i}$ ويمكن التعبير عنها باستخدام مصفوفة المعاملات S :

\mathbf {b} =\mathbf {S} \mathbf {a}

أو باستخدام مكونات صريحة:

{\begin{pmatrix}b_{1}\\\vdots \\b_{n}\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}S_{11}&\dots &S_{1n}\\\vdots &\ddots &\vdots \\S_{n1}&\dots &S_{nn}\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}a_{1}\\\vdots \\a_{n}\end{pmatrix}}

المعاملة بالمثل

تكون الشبكة تبادلية إذا كانت سلبية وتحتوي فقط على مواد تبادلية تؤثر على الإشارة المرسلة. على سبيل المثال، المخففات والكابلات والمقسمات والمجمعات كلها شبكات تبادلية. $S_{mn}=S_{nm}$ في كلتا الحالتين، ستكون مصفوفة معاملات التشتت (S-parameters) مساويةً لمنقولها . الشبكات التي تتضمن مواد غير تبادلية في وسط النقل، مثل تلك التي تحتوي على مكونات الفريت المتحيزة مغناطيسيًا، ستكون غير تبادلية. المضخم مثال آخر على الشبكة غير التبادلية.

لكن من خصائص الشبكات ثلاثية المنافذ أنها لا يمكن أن تكون متبادلة وخالية من الفقد ومتطابقة تمامًا في الوقت نفسه. ^{[ 15 ]}

الشبكات غير المفقودة

الشبكة عديمة الفقد هي الشبكة التي لا تبدد أي طاقة، أو: $\Sigma \left|a_{n}\right|^{2}=\Sigma \left|b_{n}\right|^{2}$ مجموع القدرات الساقطة عند جميع المنافذ يساوي مجموع القدرات الخارجة (مثل القدرات المنعكسة) عند جميع المنافذ. وهذا يعني أن مصفوفة معاملات التشتت (S-parameters) هي مصفوفة أحادية ، أي $(S)^{\mathrm {H} }(S)=(I)$ ، أين $(S)^{\mathrm {H} }$ هو المنقول المترافق لـ $(S)$ و $(I)$ هي مصفوفة الوحدة .

الشبكات المفقودة

الشبكة السلبية ذات الفقد هي شبكة يكون فيها مجموع القدرات الواردة عند جميع المنافذ أكبر من مجموع القدرات الصادرة (مثل القدرات المنعكسة) عند جميع المنافذ. ولذلك فهي تبدد الطاقة. $\Sigma \left|a_{n}\right|^{2}\neq \Sigma \left|b_{n}\right|^{2}$ . هكذا $\Sigma \left|a_{n}\right|^{2}>\Sigma \left|b_{n}\right|^{2}$ ، و $(I)-(S)^{\mathrm {H} }(S)$ موجبة محددة . ^{[ 16 ]}

معاملات S ثنائية المنافذ

تُعدّ مصفوفة معاملات التشتت (S-parameters) لشبكة ثنائية المنافذ الأكثر استخدامًا على الأرجح، وتُمثّل اللبنة الأساسية لتوليد المصفوفات ذات الرتب الأعلى للشبكات الأكبر حجمًا. ^{[ 17 ]} في هذه الحالة، تُعطى العلاقة بين الموجات الخارجة (المنعكسة) والواردة ومصفوفة معاملات التشتت (S-parameters) بالمعادلة التالية:

{\begin{pmatrix}b_{1}\\b_{2}\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}S_{11}&S_{12}\\S_{21}&S_{22}\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}a_{1}\\a_{2}\end{pmatrix}}

.

يؤدي توسيع المصفوفات إلى معادلات إلى:

b_{1}=S_{11}a_{1}+S_{12}a_{2}

و

b_{2}=S_{21}a_{1}+S_{22}a_{2}

.

Each equation gives the relationship between the outgoing (e.g. reflected) and incident waves at each of the network ports, 1 and 2, in terms of the network's individual S-parameters, $S_{11}$ , $S_{12}$ , $S_{21}$ and $S_{22}$ . If one considers an incident wave at port 1 ( $a_{1}$ ) there may result from it waves exiting from either port 1 itself ( $b_{1}$ ) or port 2 ( $b_{2}$ ). However, if, according to the definition of S-parameters, port 2 is terminated in a load identical to the system impedance ( $Z_{0}$ ) then, by the maximum power transfer theorem, $b_{2}$ will be totally absorbed making $a_{2}$ equal to zero. Therefore, defining the incident voltage waves as $a_{1}=V_{1}^{+}$ and $a_{2}=V_{2}^{+}$ with the outgoing/reflected waves being $b_{1}=V_{1}^{-}$ and $b_{2}=V_{2}^{-}$ ,

S_{11}={\frac {b_{1}}{a_{1}}}={\frac {V_{1}^{-}}{V_{1}^{+}}}

and

S_{21}={\frac {b_{2}}{a_{1}}}={\frac {V_{2}^{-}}{V_{1}^{+}}}

.

Similarly, if port 1 is terminated in the system impedance then $a_{1}$ becomes zero, giving

S_{12}={\frac {b_{1}}{a_{2}}}={\frac {V_{1}^{-}}{V_{2}^{+}}}

and

S_{22}={\frac {b_{2}}{a_{2}}}={\frac {V_{2}^{-}}{V_{2}^{+}}}

The 2-port S-parameters have the following generic descriptions:

S_{11}

is the input port voltage reflection coefficient

S_{12}

is the reverse voltage gain

S_{21}

is the forward voltage gain

S_{22}

is the output port voltage reflection coefficient.

If, instead of defining the voltage wave direction relative to each port, they are defined by their absolute direction as forward $V^{+}$ and reverse $V^{-}$ waves then $b_{2}=V_{2}^{+}$ and $a_{1}=V_{1}^{+}$ . The S-parameters then take on a more intuitive meaning such as the forward voltage gain being defined by the ratio of the forward voltages $S_{21}=V_{2}^{+}/V_{1}^{+}$ .

Using these definitions, the above matrix may be expanded to give the reflected waves $V_{1}^{-}$ and $V_{2}^{+}$ in terms of the incident waves $V_{1}^{+}$ and $V_{2}^{-}$ as

V_{1}^{-}=S_{11}V_{1}^{+}+S_{12}V_{2}^{-}

V_{2}^{+}=S_{21}V_{1}^{+}+S_{22}V_{2}^{-}

S-parameter properties of 2-port networks

An amplifier operating under linear (small signal) conditions is a good example of a non-reciprocal network and a matched attenuator is an example of a reciprocal network. In the following cases we will assume that the input and output connections are to ports 1 and 2 respectively which is the most common convention. The nominal system impedance, frequency and any other factors which may influence the device, such as temperature, must also be specified.

Complex linear gain

The complex linear gain G is given by

G=S_{21}={\frac {b_{2}}{a_{1}}}

.

That is the linear ratio of the output reflected power wave divided by the input incident power wave, all values expressed as complex quantities. For lossy networks it is sub-unitary, for active networks $|G|>1$ . It will be equal to the voltage gain only when the device has equal input and output impedances.

Scalar linear gain

The scalar linear gain (or linear gain magnitude) is given by

\left|G\right|=\left|S_{21}\right|

.

This represents the gain magnitude (absolute value), the ratio of the output power-wave to the input power-wave, and it equals the square-root of the power gain. This is a real-value (or scalar) quantity, the phase information being dropped.

Scalar logarithmic gain

The scalar logarithmic (decibel or dB) expression for gain (g) is:

g=20\log _{10}\left|S_{21}\right|

dB.

This is more commonly used than scalar linear gain and a positive quantity is normally understood as simply a "gain", while a negative quantity is a "negative gain" (a "loss"), equivalent to its magnitude in dB. For example, at 100 MHz, a 10 m length of cable may have a gain of −1 dB, equal to a loss of 1 dB.

Insertion loss

In case the two measurement ports use the same reference impedance, the insertion loss ( $IL$ ) is the reciprocal of the magnitude of the transmission coefficient $| S 21 |$ expressed in decibels. It is thus given by:^[18]

IL=10\log _{10}\left|{\frac {1}{{S_{21}}^{2}}}\right|=-20\log _{10}\left|S_{21}\right|

dB.

It is the extra loss produced by the introduction of the device under test (DUT) between the 2 reference planes of the measurement. The extra loss may be due to intrinsic loss in the DUT and/or mismatch. In case of extra loss the insertion loss is defined to be positive. The negative of insertion loss expressed in decibels is defined as insertion gain and is equal to the scalar logarithmic gain (see: definition above).

Input return loss

Input return loss ( $RL in$ ) can be thought of as a measure of how close the actual input impedance of the network is to the nominal system impedance value. Input return loss expressed in decibels is given by

RL_{\mathrm {in} }=10\log _{10}\left|{\frac {1}{{S_{11}}^{2}}}\right|=-20\log _{10}\left|S_{11}\right|

dB.

Note that for passive two-port networks in which $| S 11 | \leq 1$ , it follows that return loss is a non-negative quantity: $RL in \geq 0$ . Also note that somewhat confusingly, return loss is sometimes used as the negative of the quantity defined above, but this usage is, strictly speaking, incorrect based on the definition of loss.^[19]

Output return loss

The output return loss ( $RL out$ ) has a similar definition to the input return loss but applies to the output port (port 2) instead of the input port. It is given by

RL_{\mathrm {out} }=-20\log _{10}\left|S_{22}\right|

dB.

Reverse gain and reverse isolation

The scalar logarithmic (decibel or dB) expression for reverse gain ( $g_{\mathrm {rev} }$ ) is:

g_{\mathrm {rev} }=20\log _{10}\left|S_{12}\right|

dB.

Often this will be expressed as reverse isolation ( $I_{\mathrm {rev} }$ ) in which case it becomes a positive quantity equal to the magnitude of $g_{\mathrm {rev} }$ and the expression becomes:

I_{\mathrm {rev} }=\left|g_{\mathrm {rev} }\right|=\left|20\log _{10}\left|S_{12}\right|\right|

dB.

Reflection coefficients

Assuming the network is perfectly matched at both ports, the reflection coefficient at the input port, $\Gamma _{\mathrm {in} }$ , or at the output port, $\Gamma _{\mathrm {out} }$ , are equivalent to $S_{11}$ and $S_{22}$ respectively, so

\Gamma _{\mathrm {in} }=S_{11}

and

\Gamma _{\mathrm {out} }=S_{22}

As $S_{11}$ and $S_{22}$ are complex quantities, so are $\Gamma _{\mathrm {in} }$ and $\Gamma _{\mathrm {out} }$ .

If the source and/or load are not perfectly matched with the network, then the reflections off the load back into the output, $\Gamma _{L}$ , can affect the reflections seen at the input, and similarly the reflections off the source back into the input, $\Gamma _{S}$ , can affect the reflections seen at the output. In this case, the input and output reflection coefficients are given by:^[20]

|\Gamma _{\mathrm {in} }|=\left|S_{11}+{\frac {S_{12}S_{21}\Gamma _{L}}{1-S_{22}\Gamma _{L}}}\right|

and

|\Gamma _{\mathrm {out} }|=\left|S_{22}+{\frac {S_{12}S_{21}\Gamma _{S}}{1-S_{11}\Gamma _{S}}}\right|

We can see that for the perfectly matched case, where $\Gamma _{L}=\Gamma _{S}=0$ , these equations collapse down as expected to give $S_{11}$ and $S_{22}$ respectively.

Voltage standing wave ratio

The voltage standing wave ratio (VSWR) at a port, represented by the lower case 's', is a similar measure of port match to return loss but is a scalar linear quantity, the ratio of the standing wave maximum voltage to the standing wave minimum voltage. It therefore relates to the magnitude of the voltage reflection coefficient and hence to the magnitude of either $S_{11}$ for the input port or $S_{22}$ for the output port.

At the input port, the VSWR, $s_{\mathrm {in} }$ , is given by

s_{\mathrm {in} }={\frac {1+\left|S_{11}\right|}{1-\left|S_{11}\right|}}

At the output port, the VSWR, $s_{\mathrm {out} }$ , is given by

s_{\mathrm {out} }={\frac {1+\left|S_{22}\right|}{1-\left|S_{22}\right|}}

This is correct for reflection coefficients with a magnitude no greater than unity, which is usually the case. A reflection coefficient with a magnitude greater than unity, such as in a tunnel diode amplifier, will result in a negative value for this expression. VSWR, however, from its definition, is always positive. A more correct expression for port k of a multiport is:

s_{k}={\frac {1+\left|S_{kk}\right|}{|1-\left|S_{kk}\right||}}

4-port S-parameters

4-port S-parameters are used to characterize 4-port networks. They include information regarding the reflected and incident power waves between the four ports of the network.

{\begin{pmatrix}S_{11}&S_{12}&S_{13}&S_{14}\\S_{21}&S_{22}&S_{23}&S_{24}\\S_{31}&S_{32}&S_{33}&S_{34}\\S_{41}&S_{42}&S_{43}&S_{44}\end{pmatrix}}

They are commonly used to analyze a pair of coupled transmission lines to determine the amount of cross-talk between them, if they are driven by two separate single ended signals, or the reflected and incident power of a differential signal driven across them. Many specifications of high speed differential signals define a communication channel in terms of the 4-port S-parameters, for example the 10-Gigabit Attachment Unit Interface (XAUI), SATA, PCI-X, and InfiniBand systems.

4-port mixed-mode S-parameters

4-port mixed-mode S-parameters characterize a 4-port network in terms of the response of the network to common mode and differential stimulus signals. The following table displays the 4-port mixed-mode S-parameters.

4-port mixed-mode S-parameters
			Differential		Common-mode
			Stimulus
			Port 1	Port 2	Port 1	Port 2
Response	Differential	Port 1	SDD11	SDD12	SDC11	SDC12
	Differential	Port 2	SDD21	SDD22	SDC21	SDC22
	Common-mode	Port 1	SCD11	SCD12	SCC11	SCC12
	Common-mode	Port 2	SCD21	SCD22	SCC21	SCC22

Note the format of the parameter notation SXYab, where "S" stands for scattering parameter or S-parameter, "X" is the response mode (differential or common), "Y" is the stimulus mode (differential or common), "a" is the response (output) port and b is the stimulus (input) port. This is the typical nomenclature for scattering parameters.

The first quadrant is defined as the upper left 4 parameters describing the differential stimulus and differential response characteristics of the device under test. This is the actual mode of operation for most high-speed differential interconnects and is the quadrant that receives the most attention. It includes input differential return loss (SDD11), input differential insertion loss (SDD21), output differential return loss (SDD22) and output differential insertion loss (SDD12). Some benefits of differential signal processing are;

reduced electromagnetic interference susceptibility
reduction in electromagnetic radiation from balanced differential circuit
even order differential distortion products transformed to common mode signals
factor of two increase in voltage level relative to single-ended
rejection to common mode supply and ground noise encoding onto differential signal

The second and third quadrants are the upper right and lower left 4 parameters respectively. These are also referred to as the cross-mode quadrants. This is because they fully characterize any mode conversion occurring in the device under test, whether it is common-to-differential SDCab conversion (EMI susceptibility for an intended differential signal SDD transmission application) or differential-to-common SCDab conversion (EMI radiation for a differential application). Understanding mode conversion is very helpful when trying to optimize the design of interconnects for gigabit data throughput.

The fourth quadrant is the lower right 4 parameters and describes the performance characteristics of the common-mode signal SCCab propagating through the device under test. For a properly designed SDDab differential device there should be minimal common-mode output SCCab. However, the fourth quadrant common-mode response data is a measure of common-mode transmission response and used in a ratio with the differential transmission response to determine the network common-mode rejection. This common mode rejection is an important benefit of differential signal processing and can be reduced to one in some differential circuit implementations.^[21]^[22]

S-parameters in amplifier design

The reverse isolation parameter $S_{12}$ determines the level of feedback from the output of an amplifier to the input and therefore influences its stability (its tendency to refrain from oscillation) together with the forward gain $S_{21}$ . An amplifier with input and output ports perfectly isolated from each other would have infinite scalar log magnitude isolation or the linear magnitude of $S_{12}$ ستكون قيمته صفرًا. يُقال إن هذا النوع من المُضخّمات أحادي الاتجاه. مع ذلك، فإن معظم المُضخّمات العملية تحتوي على عزل محدود يسمح بتأثير الحمل المتصل بالمخرج على معامل الانعكاس "المرئي" عند المدخل إلى حد ما. المُضخّم المصمم خصيصًا ليكون له أصغر قيمة ممكنة لـ $\left|S_{12}\right|$ يُطلق عليه غالبًا اسم مكبر عازل .

لنفترض أن منفذ الإخراج لمضخم حقيقي (غير أحادي أو ثنائي الاتجاه) متصل بحمل عشوائي بمعامل انعكاس قدره $\Gamma _{L}$ معامل الانعكاس الفعلي "المرئي" عند منفذ الإدخال $\Gamma _{\mathrm {in} }$ سيتم تقديمها بواسطة ^{[ 23 ]}

\Gamma _{\mathrm {in} }=S_{11}+{\frac {S_{12}S_{21}\Gamma _{L}}{1-S_{22}\Gamma _{L}}}

.

إذا كان المضخم أحادي الاتجاه، $S_{12}=0$ و $\Gamma _{\mathrm {in} }=S_{11}$ أو بعبارة أخرى، فإن تحميل المخرجات ليس له أي تأثير على المدخلات.

توجد خاصية مماثلة في الاتجاه المعاكس، في هذه الحالة إذا $\Gamma _{\mathrm {out} }$ هو معامل الانعكاس الذي يُرى عند منفذ الإخراج و $\Gamma _{s}$ يمثل معامل الانعكاس للمصدر المتصل بمنفذ الإدخال.

\Gamma _{out}=S_{22}+{\frac {S_{12}S_{21}\Gamma _{s}}{1-S_{11}\Gamma _{s}}}

شروط تحميل المنفذ اللازمة لمضخم الصوت ليكون مستقرًا بشكل مطلق

يكون المضخم مستقرًا بشكل مطلق إذا أمكن توصيل حمل أو مصدر ذي معامل انعكاس دون التسبب في عدم استقراره. يتحقق هذا الشرط إذا كانت قيم معاملات الانعكاس عند المصدر والحمل ومنافذ الإدخال والإخراج للمضخم أقل من واحد في آن واحد. ومن المتطلبات المهمة التي غالبًا ما يتم إغفالها أن يكون المضخم شبكة خطية بدون أقطاب في النصف الأيمن من المستوى المركب. ^{[ 24 ]} يمكن أن يتسبب عدم الاستقرار في تشويه شديد لاستجابة تردد كسب المضخم، أو في الحالات القصوى، في حدوث تذبذب. ولكي يكون المضخم مستقرًا بشكل مطلق عند التردد المطلوب، يجب أن يحقق المعادلات الأربع التالية في آن واحد: ^{[ 25 ]}

\left|\Gamma _{s}\right|<1

\left|\Gamma _{L}\right|<1

\left|\Gamma _{\mathrm {in} }\right|<1

\left|\Gamma _{\mathrm {out} }\right|<1

يمكن تمثيل شرط الحد الذي تكون فيه كل قيمة من هذه القيم مساوية للواحد بدائرة مرسومة على المخطط القطبي تمثل معامل الانعكاس (المركب)، واحدة لمنفذ الإدخال والأخرى لمنفذ الإخراج. غالبًا ما يتم قياس هذه الدوائر باستخدام مخططات سميث. في كل حالة، تُعطى إحداثيات مركز الدائرة ونصف قطرها بالمعادلات التالية:

$قيم Γ L$ لـ $| Γ in | = 1$ (دائرة استقرار المخرجات)

نصف القطر $r_{L}=\left|{\frac {S_{12}S_{21}}{\left|S_{22}\right|^{2}-\left|\Delta \right|^{2}}}\right|.$

مركز $c_{L}={\frac {(S_{22}-\Delta S_{11}^{*})^{*}}{\left|S_{22}\right|^{2}-\left|\Delta \right|^{2}}}.$

$قيم Γ S$ لـ $| Γ out | = 1$ (دائرة استقرار الإدخال)

نصف القطر $r_{s}=\left|{\frac {S_{12}S_{21}}{|S_{11}|^{2}-|\Delta |^{2}}}\right|.$

مركز $c_{s}={\frac {(S_{11}-\Delta S_{22}^{*})^{*}}{|S_{11}|^{2}-|\Delta |^{2}}}.$

في كلتا الحالتين

\Delta =S_{11}S_{22}-S_{12}S_{21}

هو المحدد لمصفوفة التشتت،

وتشير النجمة العلوية (*) إلى المرافق المركب .

الدوائر بوحدات مركبة لمعامل الانعكاس، لذا يمكن رسمها على مخططات سميث القائمة على المعاوقة أو السماحية، والمُعايَرة وفقًا لمعاوقة النظام. وهذا يُسهّل إظهار مناطق المعاوقة (أو السماحية) المُعايَرة للاستقرار غير المشروط المُتوقع. وهناك طريقة أخرى لإثبات الاستقرار غير المشروط وهي استخدام عامل استقرار روليت ( $K$ ، والتي تُعرَّف بأنها

K={\frac {1-|S_{11}|^{2}-|S_{22}|^{2}+|\Delta |^{2}}{2|S_{12}S_{21}|}}.

يتحقق الاستقرار المطلق عندما $K>1$ و $|\Delta |<1.$

معلمات نقل التشتت

تُعبّر مصفوفة معاملات نقل التشتت، أو معاملات T، لشبكة ثنائية المنافذ، وهي مرتبطة ارتباطًا وثيقًا بمصفوفة معاملات التشتت المقابلة. مع ذلك، وعلى عكس معاملات التشتت، لا توجد طريقة فيزيائية بسيطة لقياس معاملات T في النظام، والتي تُعرف أحيانًا بموجات يولا. ترتبط مصفوفة معاملات T بالموجات الساقطة والمنعكسة المعيارية عند كل منفذ كما يلي:

{\begin{pmatrix}b_{1}\\a_{1}\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}T_{11}&T_{12}\\T_{21}&T_{22}\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}a_{2}\\b_{2}\end{pmatrix}}

ومع ذلك، يمكن تعريفها بشكل مختلف، على النحو التالي :

{\begin{pmatrix}a_{1}\\b_{1}\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}T_{11}&T_{12}\\T_{21}&T_{22}\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}b_{2}\\a_{2}\end{pmatrix}}

تستخدم إضافة RF Toolbox لبرنامج MATLAB ^{[ 26 ]} والعديد من الكتب (على سبيل المثال "معاملات تشتت الشبكة" ^{[ 27 ]} ) هذا التعريف الأخير، لذا يلزم توخي الحذر. تستند فقرات "من S إلى T" و"من T إلى S" في هذه المقالة إلى التعريف الأول. يُعدّ التكيف مع التعريف الثاني أمرًا بسيطًا (استبدال T11 _بـ T22 _، وT12 _بـ T21 ₎ . تتمثل ميزة معاملات T مقارنةً بمعاملات S في أنه، شريطة أن تكون معاوقات المرجع حقيقية بحتة أو مترافقة مركبة، يمكن استخدامها لتحديد تأثير توصيل شبكتين أو أكثر من الشبكات ثنائية المنافذ على التوالي ببساطة عن طريق ضرب مصفوفات معاملات T الفردية المرتبطة بها. إذا كانت معاملات T لثلاث شبكات ثنائية المنافذ مختلفة، على سبيل المثال 1 و2 و3، هي ${\begin{pmatrix}T_{1}\end{pmatrix}}$ ، ${\begin{pmatrix}T_{2}\end{pmatrix}}$ و ${\begin{pmatrix}T_{3}\end{pmatrix}}$ ثم مصفوفة المعاملات T لتسلسل الشبكات الثلاث ( ${\begin{pmatrix}T_{T}\end{pmatrix}}$ ) بالترتيب التسلسلي يتم إعطاؤه بواسطة:

{\begin{pmatrix}T_{T}\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}T_{1}\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}T_{2}\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}T_{3}\end{pmatrix}}

لاحظ أن ضرب المصفوفات ليس عملية تبديلية، لذا فإن الترتيب مهم. وكما هو الحال مع معاملات S، فإن معاملات T هي قيم مركبة، وهناك تحويل مباشر بين النوعين. على الرغم من أن معاملات T المتتالية هي مجرد ضرب مصفوفات بسيط لمعاملات T الفردية، إلا أن تحويل معاملات S لكل شبكة إلى معاملات T المقابلة، وتحويل معاملات T المتتالية مرة أخرى إلى معاملات S المتتالية المكافئة، وهو ما يُطلب عادةً، ليس بالأمر البسيط. مع ذلك، بمجرد اكتمال العملية، ستُؤخذ تفاعلات الموجة الكاملة المعقدة بين جميع المنافذ في كلا الاتجاهين في الاعتبار. ستوفر المعادلات التالية التحويل بين معاملات S وT لشبكات ثنائية المنافذ. ^{[ 28 ]}

من S إلى T:

T_{11}={\frac {-\det {\begin{pmatrix}S\end{pmatrix}}}{S_{21}}}

T_{12}={\frac {S_{11}}{S_{21}}}

T_{21}={\frac {-S_{22}}{S_{21}}}

T_{22}={\frac {1}{S_{21}}}

أين $\det {\begin{pmatrix}S\end{pmatrix}}$ يشير إلى محدد المصفوفة ${\begin{pmatrix}S\end{pmatrix}}$ ،

\det {\begin{pmatrix}S\end{pmatrix}}\ =S_{11}\cdot S_{22}-S_{12}\cdot S_{21}

.

من T إلى S

S_{11}={\frac {T_{12}}{T_{22}}}

S_{12}={\frac {\det {\begin{pmatrix}T\end{pmatrix}}}{T_{22}}}

S_{21}={\frac {1}{T_{22}}}

S_{22}={\frac {-T_{21}}{T_{22}}},

أين $\det {\begin{pmatrix}T\end{pmatrix}}$ يشير إلى محدد المصفوفة ${\begin{pmatrix}T\end{pmatrix}}$ :

\det {\begin{pmatrix}T\end{pmatrix}}\ =T_{11}.T_{22}-T_{12}.T_{21}.

معاملات S أحادية المنفذ

يُعطى معامل S لشبكة ذات منفذ واحد بواسطة مصفوفة بسيطة 1 × 1 على الشكل التالي: $(s_{nn})$ حيث n هو رقم المنفذ المخصص. وللامتثال لتعريف معامل S للخطية، يكون هذا عادةً حملاً سلبياً من نوع ما. الهوائي هو شبكة شائعة ذات منفذ واحد حيث تكون القيم الصغيرة لـ $s_{11}$ يشير ذلك إلى أن الهوائي إما سيشع أو يبدد/يخزن الطاقة.

مصفوفات معاملات S من الرتبة العليا

معاملات S من الرتبة العليا لأزواج من المنافذ غير المتشابهة ( $S_{mn}$ )، أين $m\neq \;n$ يمكن استنتاجها بطريقة مشابهة لتلك الخاصة بشبكات ثنائية المنافذ، وذلك بالنظر إلى أزواج المنافذ بالتتابع، مع ضمان تحميل جميع المنافذ المتبقية (غير المستخدمة) بمقاومة مطابقة لمقاومة النظام. وبهذه الطريقة، تصبح موجة القدرة الساقطة لكل منفذ من المنافذ غير المستخدمة صفرًا، مما ينتج عنه تعبيرات مشابهة لتلك التي تم الحصول عليها في حالة المنفذين. معاملات S المتعلقة بالمنافذ المفردة فقط ( $S_{mm}$ يتطلب ذلك تحميل جميع المنافذ المتبقية بمقاومة مطابقة لمقاومة النظام، مما يجعل جميع موجات الطاقة الساقطة صفرًا باستثناء تلك الخاصة بالمنفذ قيد الدراسة. وبالتالي، بشكل عام، لدينا:

S_{mn}={\frac {b_{m}}{a_{n}}}

و

S_{mm}={\frac {b_{m}}{a_{m}}}.

على سبيل المثال، شبكة ثلاثية المنافذ مثل مقسم ثنائي الاتجاه سيكون لها تعريفات معاملات S التالية

{\begin{pmatrix}b_{1}\\b_{2}\\b_{3}\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}S_{11}&S_{12}&S_{13}\\S_{21}&S_{22}&S_{23}\\S_{31}&S_{32}&S_{33}\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}a_{1}\\a_{2}\\a_{3}\end{pmatrix}}

مع

S_{11}={\frac {b_{1}}{a_{1}}}={\frac {V_{1}^{-}}{V_{1}^{+}}}

؛

S_{12}={\frac {b_{1}}{a_{2}}}={\frac {V_{1}^{-}}{V_{2}^{+}}}

؛

S_{13}={\frac {b_{1}}{a_{3}}}={\frac {V_{1}^{-}}{V_{3}^{+}}}

S_{21}={\frac {b_{2}}{a_{1}}}={\frac {V_{2}^{-}}{V_{1}^{+}}}

؛

S_{22}={\frac {b_{2}}{a_{2}}}={\frac {V_{2}^{-}}{V_{2}^{+}}}

؛

S_{23}={\frac {b_{2}}{a_{3}}}={\frac {V_{2}^{-}}{V_{3}^{+}}}

S_{31}={\frac {b_{3}}{a_{1}}}={\frac {V_{3}^{-}}{V_{1}^{+}}}

؛

S_{32}={\frac {b_{3}}{a_{2}}}={\frac {V_{3}^{-}}{V_{2}^{+}}}

؛

S_{33}={\frac {b_{3}}{a_{3}}}={\frac {V_{3}^{-}}{V_{3}^{+}}}

أين $S_{mn}$ يشير إلى الموجة الخارجة عند المنفذ m الناتجة عن الموجة الساقطة عند المنفذ n .

قياس معاملات S

تُقاس معاملات S عادةً باستخدام محلل الشبكة الاتجاهية (VNA).

بمجرد تحديد معاملات S للجهاز، يمكن حفظها في عدة صيغ مختلفة. غالبًا ما تُجدول هذه المعاملات مقابل التردد في ملف Touchstone ، المعروف أيضًا بملف S n P، حيث n هو عدد المنافذ. هذه الملفات عبارة عن ملفات نصية مُنسقة خصيصًا، تحمل امتدادات مثل '.s1p' و'.s2p' وما إلى ذلك. وقد تم توحيد هذه الصيغة من قِبل منتدى IBIS المفتوح، وتم تحديثها في يناير 2024. ^{[ 29 ]}

يمكن عرض أي معامل S ثنائي المنافذ على مخطط سميث باستخدام الإحداثيات القطبية، ولكن الأكثر دلالة سيكون $S_{11}$ و $S_{22}$ بما أن أيًا من هاتين القيمتين يمكن تحويله مباشرةً إلى معاوقة (أو موصلية) مكافئة مُعَيَّرة باستخدام مقياس المعاوقة (أو الموصلية) الخاص بمخطط سميث، بما يتناسب مع معاوقة النظام. كما يمكن عرض أي معامل S ثنائي المنافذ على مخطط قطبي باستخدام الإحداثيات القطبية.

في كلا الشكلين البيانيين، يتم عادةً رسم معاملات S كمسح عبر نطاق التردد محل الاهتمام.

قياس معاملات S للشبكات التي تحتوي على أكثر من منفذين

VNAs designed for the simultaneous measurement of the S-parameters of networks with more than two ports are feasible but quickly become prohibitively complex and expensive. Usually their purchase is not justified since the required measurements can be obtained using a standard 2-port calibrated VNA with extra measurements followed by the correct interpretation of the results obtained. The required S-parameter matrix can be assembled from successive two port measurements in stages, two ports at a time, on each occasion with the unused ports being terminated in high quality loads equal to the system impedance. One risk of this approach is that the return loss or VSWR of the loads themselves must be suitably specified to be as close as possible to a perfect 50 Ohms, or whatever the nominal system impedance is. For a network with many ports there may be a temptation, on grounds of cost, to inadequately specify the VSWRs of the loads. Some analysis will be necessary to determine what the worst acceptable VSWR of the loads will be.

Assuming that the extra loads are specified adequately, if necessary, two or more of the S-parameter subscripts are modified from those relating to the VNA (1 and 2 in the case considered above) to those relating to the network under test (1 to N, if N is the total number of DUT ports). For example, if the DUT has 5 ports and a two port VNA is connected with VNA port 1 to DUT port 3 and VNA port 2 to DUT port 5, the measured VNA results ( $S_{11}$ , $S_{12}$ , $S_{21}$ and $S_{22}$ ) would be equivalent to $S_{33}$ , $S_{35}$ , $S_{53}$ and $S_{55}$ respectively, assuming that DUT ports 1, 2 and 4 were terminated in adequate 50 Ohm loads . This would provide 4 of the necessary 25 S-parameters.

Notes

↑This means that scattering parameters are meaningful only in a frequency domain analysis, and are meaningless in a time domain analysis.

References

↑Pozar, David M. (2012); pp. 175–178.
↑Pozar, David M. (2012); pp. 188–194.
↑Morton, A. H. (1985); pp. 33–72.
↑Belevitch, Vitold "Summary of the history of circuit theory", Proceedings of the IRE, vol.50, iss.5, pp. 848–855, May 1962.Vandewalle, Joos "In memoriam – Vitold Belevitch", International Journal of Circuit Theory and Applications, vol.28, iss.5, pp. 429–430, September/October 2000. doi:10.1002/1097-007X(200009/10)28:5<429::AID-CTA121>3.0.CO;2-6
↑ فالكنبورغ، ماك إلوين فان، نظرية الدوائر: الأسس والمساهمات الكلاسيكية ، ص 334، سترودسبيرغ، بنسلفانيا: داودن، هاتشينسون وروس، 1974، رقم ISBN 0-87933-084-8.
↑ ديك، ر. هـ. (1947). "طريقة حسابية قابلة للتطبيق على شبكات الميكروويف". مجلة الفيزياء التطبيقية . 18 (10): 873-878 . Bibcode : 1947JAP....18..873D . doi : 10.1063/1.1697561 .
↑ بينفيلد الابن، بول "الضوضاء في مكبرات المقاومة السالبة" ، معاملات معهد مهندسي الراديو في نظرية الدوائر ، المجلد 7 ، العدد 2، الصفحات 166-170، يونيو 1960.يولا، دي سي "حول مصفوفات التشتت المعيارية لأعداد المنافذ المركبة" ، وقائع معهد مهندسي الراديو ، المجلد 49 ، العدد 7، الصفحة 1221، يوليو 1962.
↑ "قاعة مشاهير الميكروويف - الجزء الثالث" . أساسيات الميكروويف . تصميمات بي إن. 2012. مؤرشف من الأصل في 21 مارس 2012. تم الاطلاع عليه في 9 ديسمبر 2012 .
↑ أماكاوا، شوهي "الانعكاسات المتناثرة على معلمات التشتت" ، معاملات IEICE في الإلكترونيات ، المجلد E99-C ، العدد 10، الصفحات 1100-1112، أكتوبر 2016.
↑ كوروكاوا، كانيوكي "موجات الطاقة ومصفوفة التشتت" ، معاملات IEEE في نظرية وتقنيات الميكروويف ، المجلد 13، العدد 2، الصفحات 194-202، مارس 1965.
↑ ماركس، آر بي وويليامز، دي إف "نظرية عامة لدائرة الموجة الدليلية" ، مجلة البحوث للمعهد الوطني للمعايير والتكنولوجيا ، المجلد 97 ، العدد 5، الصفحات 533-562، 1992.
^ بوزار، ديفيد م. (2012)؛ ص. 174.
↑ مورتون، أ.هـ (1985)؛ ص. 33.
↑ كوروكاوا، ك.، "موجات الطاقة ومصفوفة التشتت"، معاملات IEEE لنظرية وتقنية الميكرو، مارس 1965، ص 194-202
^ بوزار، ديفيد م. (2005) (المرجع السابق)؛ ص. 173.
↑ تصميم معاملات S ؛ مذكرة التطبيق AN 154؛ شركة Agilent Technologies؛ صفحة 7
↑ تشوما ج. وتشين و.ك. (2007). شبكات التغذية الراجعة: النظرية وتطبيقات الدوائر . سنغافورة: وورلد ساينتيفيك. الفصل 3، ص 225 وما يليها. ISBN 978-981-02-2770-8.
↑ كولين، روبرت إي.؛ أسس هندسة الموجات الدقيقة، الطبعة الثانية
↑ تريفور إس. بيرد، "تعريف وإساءة استخدام فقدان العودة" ، مجلة IEEE للهوائيات والانتشار ، المجلد 51 ، العدد 2، الصفحات 166-167، أبريل 2009.
^ بوزار، ديفيد م. (2012)؛ ص. 197.
↑ قنوات اللوحة الخلفية والعلاقة بين أدائها في نطاق التردد والنطاق الزمني .
↑ بوكلمان، دي إي؛ آيزنشتات، دبليو آر (يوليو 1995). "معاملات التشتت التفاضلي والنمط المشترك المدمجة: النظرية والمحاكاة". معاملات IEEE في نظرية وتقنيات الميكروويف . 43 (7): 1530-1539 . Bibcode : 1995ITMTT..43.1530B . doi : 10.1109/22.392911 .
↑ غونزاليس، غييرمو (1997)؛ تحليل وتصميم مضخمات الترانزستور الميكروية، الطبعة الثانية ؛ برنتيس هول، نيوجيرسي؛ الصفحات 212-216. ISBN 0-13-254335-4.
↑ جيه إم روليت، "ثبات وثوابت كسب الطاقة للمنافذ الخطية الثنائية" ، معاملات معهد مهندسي الكهرباء والإلكترونيات في نظرية الدوائر، المجلد CT-9، الصفحات 29-32، مارس 1962
↑ غونزاليس، غييرمو (مرجع سابق)؛ الصفحات 217-222
↑ "وثائق مجموعة أدوات الترددات اللاسلكية" .
↑ ر. مافادات. (1996). معامل تشتت الشبكة . سنغافورة: وورلد ساينتيفيك. ISBN 978-981-02-2305-2.
↑ " تصميم معاملات S ؛ مذكرة تطبيقية AN 154؛ شركة Agilent Technologies؛ صفحة 14" (ملف PDF) . مؤرشف من النسخة الأصلية (ملف PDF) بتاريخ 7 يوليو 2011. تم الاطلاع عليه بتاريخ 27 يناير 2008 .
↑ "مواصفات تنسيق ملف Touchstone الإصدار 2.1" (PDF) .

فهرس

غييرمو غونزاليس، مضخمات الترانزستور الميكروية، التحليل والتصميم ، الطبعة الثانية، برنتيس هول، نيو جيرسي؛ رقم ISBN 0-13-581646-7
ديفيد م. بوزار (2005)، هندسة الموجات الدقيقة ، الطبعة الثالثة، جون وايلي وأولاده؛ رقم ISBN 0-471-17096-8
ديفيد م. بوزار (2012)، هندسة الموجات الدقيقة ، الطبعة الرابعة، جون وايلي وأولاده؛ رقم ISBN 9781118213636
مورتون، أ.هـ. (1985)، الهندسة الكهربائية المتقدمة ؛ دار نشر بيتمان المحدودة. رقم ISBN 0-273-40172-6
ويليام أيزنشتات، وبوب ستينجل، وبروس طومسون، تصميم الدوائر التفاضلية للميكروويف باستخدام معاملات S المختلطة ، دار أرتيك هاوس للنشر؛ رقم ISBN 1-58053-933-5رقم الكتاب المعياري الدولي ( ISBN) 978-1-58053-933-3
"تصميم معاملات S"، مذكرة تطبيقية AN 154، شركة Keysight Technologies
"S-Parameter Techniques for Faster, More Accurate Network Design", Application Note AN 95-1, Keysight Technologies, PDF slides plus QuickTime video or scan of Richard W. Anderson's original article
A. J. Baden Fuller, An Introduction to Microwave Theory and Techniques, Second Edition, Pergammon International Library; ISBN 0-08-024227-8
Ramo, Whinnery and Van Duzer, Fields and Waves in Communications Electronics, John Wiley & Sons; ISBN 0-471-70721-X
C. W. Davidson, Transmission Lines for Communications with CAD Programs, Second Edition, Macmillan Education Ltd.; ISBN 0-333-47398-1

[1] This means that scattering parameters are meaningful only in a frequency domain analysis, and are meaningless in a time domain analysis.

[2] Pozar, David M. (2012); pp. 175–178.

[3] Pozar, David M. (2012); pp. 188–194.

[4] Morton, A. H. (1985); pp. 33–72.

[5] Belevitch, Vitold "Summary of the history of circuit theory", Proceedings of the IRE, vol.50, iss.5, pp. 848–855, May 1962.Vandewalle, Joos "In memoriam – Vitold Belevitch", International Journal of Circuit Theory and Applications, vol.28, iss.5, pp. 429–430, September/October 2000. doi:10.1002/1097-007X(200009/10)28:5<429::AID-CTA121>3.0.CO;2-6

[6] فالكنبورغ، ماك إلوين فان، نظرية الدوائر: الأسس والمساهمات الكلاسيكية ، ص 334، سترودسبيرغ، بنسلفانيا: داودن، هاتشينسون وروس، 1974، رقم ISBN 0-87933-084-8.

[7] ديك، ر. هـ. (1947). "طريقة حسابية قابلة للتطبيق على شبكات الميكروويف". مجلة الفيزياء التطبيقية . 18 (10): 873-878 . Bibcode : 1947JAP....18..873D . doi : 10.1063/1.1697561 .

[8] بينفيلد الابن، بول "الضوضاء في مكبرات المقاومة السالبة" ، معاملات معهد مهندسي الراديو في نظرية الدوائر ، المجلد 7 ، العدد 2، الصفحات 166-170، يونيو 1960.يولا، دي سي "حول مصفوفات التشتت المعيارية لأعداد المنافذ المركبة" ، وقائع معهد مهندسي الراديو ، المجلد 49 ، العدد 7، الصفحة 1221، يوليو 1962.

[9] "قاعة مشاهير الميكروويف - الجزء الثالث" . أساسيات الميكروويف . تصميمات بي إن. 2012. مؤرشف من الأصل في 21 مارس 2012. تم الاطلاع عليه في 9 ديسمبر 2012 .

[10] أماكاوا، شوهي "الانعكاسات المتناثرة على معلمات التشتت" ، معاملات IEICE في الإلكترونيات ، المجلد E99-C ، العدد 10، الصفحات 1100-1112، أكتوبر 2016.

[11] كوروكاوا، كانيوكي "موجات الطاقة ومصفوفة التشتت" ، معاملات IEEE في نظرية وتقنيات الميكروويف ، المجلد 13، العدد 2، الصفحات 194-202، مارس 1965.

[12] ماركس، آر بي وويليامز، دي إف "نظرية عامة لدائرة الموجة الدليلية" ، مجلة البحوث للمعهد الوطني للمعايير والتكنولوجيا ، المجلد 97 ، العدد 5، الصفحات 533-562، 1992.

[13] بوزار، ديفيد م. (2012)؛ ص. 174.

[14] مورتون، أ.هـ (1985)؛ ص. 33.

[15] كوروكاوا، ك.، "موجات الطاقة ومصفوفة التشتت"، معاملات IEEE لنظرية وتقنية الميكرو، مارس 1965، ص 194-202

[16] بوزار، ديفيد م. (2005) (المرجع السابق)؛ ص. 173.

[17] تصميم معاملات S ؛ مذكرة التطبيق AN 154؛ شركة Agilent Technologies؛ صفحة 7

[Chen-18] تشوما ج. وتشين و.ك. (2007). شبكات التغذية الراجعة: النظرية وتطبيقات الدوائر . سنغافورة: وورلد ساينتيفيك. الفصل 3، ص 225 وما يليها. ISBN 978-981-02-2770-8.

[19] كولين، روبرت إي.؛ أسس هندسة الموجات الدقيقة، الطبعة الثانية

[Bird-20] تريفور إس. بيرد، "تعريف وإساءة استخدام فقدان العودة" ، مجلة IEEE للهوائيات والانتشار ، المجلد 51 ، العدد 2، الصفحات 166-167، أبريل 2009.

[21] بوزار، ديفيد م. (2012)؛ ص. 197.

[22] قنوات اللوحة الخلفية والعلاقة بين أدائها في نطاق التردد والنطاق الزمني .

[23] بوكلمان، دي إي؛ آيزنشتات، دبليو آر (يوليو 1995). "معاملات التشتت التفاضلي والنمط المشترك المدمجة: النظرية والمحاكاة". معاملات IEEE في نظرية وتقنيات الميكروويف . 43 (7): 1530-1539 . Bibcode : 1995ITMTT..43.1530B . doi : 10.1109/22.392911 .

[24] غونزاليس، غييرمو (1997)؛ تحليل وتصميم مضخمات الترانزستور الميكروية، الطبعة الثانية ؛ برنتيس هول، نيوجيرسي؛ الصفحات 212-216. ISBN 0-13-254335-4.

[25] جيه إم روليت، "ثبات وثوابت كسب الطاقة للمنافذ الخطية الثنائية" ، معاملات معهد مهندسي الكهرباء والإلكترونيات في نظرية الدوائر، المجلد CT-9، الصفحات 29-32، مارس 1962

[26] غونزاليس، غييرمو (مرجع سابق)؛ الصفحات 217-222

[27] "وثائق مجموعة أدوات الترددات اللاسلكية" .

[28] ر. مافادات. (1996). معامل تشتت الشبكة . سنغافورة: وورلد ساينتيفيك. ISBN 978-981-02-2305-2.

[29] " تصميم معاملات S ؛ مذكرة تطبيقية AN 154؛ شركة Agilent Technologies؛ صفحة 14" (ملف PDF) . مؤرشف من النسخة الأصلية (ملف PDF) بتاريخ 7 يوليو 2011. تم الاطلاع عليه بتاريخ 27 يناير 2008 .

[30] "مواصفات تنسيق ملف Touchstone الإصدار 2.1" (PDF) .

[a]

[1]

[2]

[3]

[ 4 ]

[

[

[

[

[

[

[

[ 12 ]

[ 13 ]

[ 14 ]

[ 15 ]

[ 16 ]

[ 17 ]

[18]

[19]

[20]

[21]

[22]

[ 23 ]

[ 24 ]

[ 25 ]

[ 26 ]

[ 27 ]

[ 28 ]

[ 29 ]