نظرية كوروش للمجموعات الفرعية

في مجال نظرية الزمر الرياضية ، تصف نظرية كوروش للزمر الجزئية البنية الجبرية للزمر الجزئية من حاصل الضرب الحر للزمر . وقد توصل إلى هذه النظرية ألكسندر كوروش ، عالم الرياضيات الروسي، عام 1934. ^{[ 1 ]} وبصورة مبسطة، تنص النظرية على أن كل زمرة جزئية من حاصل ضرب حر هي في حد ذاتها حاصل ضرب حر لزمرة حرة ، وهي حاصل ضرب حر لزمرة حرة ولتقاطعاتها مع مرافقات عوامل حاصل الضرب الحر الأصلي.

بعد البرهان الأصلي لنظرية كوروش عام 1934، ظهرت العديد من البراهين اللاحقة، بما في ذلك براهين هارولد و. كون (1952) ^{[ 2 ]} ، وساوندرز ماك لين (1958) ^{[ 3 ]} ، وغيرهم. كما عُممت النظرية لوصف الزمر الجزئية من المنتجات الحرة المدمجة وامتدادات HNN . ^{[ 4 ] [ 5 ]} وتشمل التعميمات الأخرى دراسة الزمر الجزئية من المنتجات الحرة شبه المنتهية ^{[ 6 ]} ، ونسخة من نظرية كوروش للزمر الطوبولوجية . ^{[ 7 ]}

بعبارات حديثة، فإن نظرية مجموعة كوروش الفرعية هي نتيجة مباشرة للنتائج الهيكلية الأساسية لنظرية باس-سير حول المجموعات التي تعمل على الأشجار . ^{[ 8 ]}

يترك${\displaystyle G=A*B}$ليكن الناتج الحر للمجموعتين أ و ب، وليكن${\displaystyle H\leq G}$لتكن زمرة جزئية من G. عندئذٍ توجد عائلة${\displaystyle (A_{i})_{i\in I}}$من المجموعات الفرعية${\displaystyle A_{i}\leq A}$عائلة${\displaystyle (B_{j})_{j\in J}}$من المجموعات الفرعية${\displaystyle B_{j}\leq B}$العائلات${\displaystyle g_{i},i\in I}$و${\displaystyle f_{j},j\in J}$من عناصر G ، ومجموعة جزئية${\displaystyle X\subseteq G}$ بحيث

${\displaystyle H=F(X)*(*_{i\in I}g_{i}A_{i}g_{i}^{-1})*(*_{j\in J}f_{j}B_{j}f_{j}^{-1}).}$

وهذا يعني أن X تولد بحرية مجموعة فرعية من G متماثلة مع المجموعة الحرة F ( X ) ذات الأساس الحر X ، وعلاوة على ذلك، فإن g _i A _i g _i ⁻¹ ، f _j B _j f _j ⁻¹ و X تولد H في G كحاصل ضرب حر من الشكل المذكور أعلاه.

يوجد تعميم لهذا ليشمل حالة المنتجات الحرة ذات العوامل المتعددة كيفما كانت. ^{[ 9 ]} صيغته كالتالي:

إذا كانت H زمرة جزئية من ∗ _i∈I G _i = G ، فإن

${\displaystyle H=F(X)*(*_{j\in J}g_{j}H_{j}g_{j}^{-1}),}$

حيث X ⊆ G و J هي مجموعة فهارس و g _j ∈ G وكل H _j هي مجموعة فرعية من G _i .

تستنتج نظرية مجموعة كوروش بسهولة من النتائج الهيكلية الأساسية في نظرية باس-سير ، كما هو موضح، على سبيل المثال في كتاب كوهين (1987): ^{[ 8 ]}

ليكن G = A ∗ B ، ولنعتبر G المجموعة الأساسية لمخطط المجموعات Y الذي يتكون من حافة واحدة غير حلقية ذات مجموعتي رؤوس A و B ، ومجموعة حواف تافهة. ولتكن X شجرة التغطية الشاملة لباس-سير لمخطط المجموعات Y. بما أن H ≤ G تؤثر أيضًا على X ، فلنعتبر مخطط القسمة Z لتأثير H على X. مجموعات رؤوس Z هي مجموعات جزئية من G- مثبتات رؤوس X ، أي أنها مترافقة في G مع مجموعات جزئية من A و B. مجموعات حواف Z تافهة لأن G- مثبتات حواف X كانت تافهة. وبحسب النظرية الأساسية لباس-سير، فإن H متماثلة قانونيًا مع المجموعة الأساسية لمخطط المجموعات Z. بما أن مجموعات الحواف في Z تافهة، فإن H تساوي حاصل الضرب الحر لمجموعات رؤوس Z والمجموعة الحرة F ( X ) التي هي المجموعة الأساسية (بالمعنى الطوبولوجي القياسي) للرسم البياني الأساسي Z لـ Z. وهذا يستلزم استنتاج نظرية كوروش للمجموعات الجزئية.

تمتد النتيجة إلى الحالة التي يكون فيها G هو المنتج المدمج على طول مجموعة فرعية مشتركة C ، بشرط أن يلتقي H بكل مرافق C فقط في عنصر الوحدة. ^{[ 10 ]}

• امتداد HNN
• نظرية المجموعة الهندسية
• نظرية نيلسن-شراير