قوانين لانشستر

بفضل الاشتباك المباشر بين الأسلحة النارية عبر إطلاق نار دقيق من مسافة بعيدة، يُمكنها مهاجمة أهداف متعددة وتلقي نيران من اتجاهات متعددة. وبالتالي، يعتمد معدل الخسائر على عدد الأسلحة المستخدمة فقط. وقد توصل لانشستر إلى أن قوة هذه القوات لا تتناسب طرديًا مع عدد وحداتها ، بل مع مربع هذا العدد. ويُعرف هذا بقانون لانشستر التربيعي.

وبشكل أدق، يحدد القانون الخسائر التي ستلحقها قوة مسلحة على مدار فترة زمنية، مقارنةً بالخسائر التي ستلحقها القوة المعادية. في صيغته الأساسية، لا يُفيد القانون إلا في التنبؤ بالنتائج والخسائر بناءً على مبدأ الاستنزاف. ولا ينطبق على الجيوش بأكملها، حيث يعني الانتشار التكتيكي عدم انخراط جميع القوات في القتال طوال الوقت. ولا يُجدي نفعًا إلا عندما تستطيع كل وحدة (جندي، سفينة، إلخ) قتل وحدة مكافئة واحدة فقط في كل مرة. ولهذا السبب، لا ينطبق القانون على المدافع الرشاشة، أو المدفعية ذات الذخائر غير الموجهة، أو الأسلحة النووية. ويفترض القانون أن الخسائر تتراكم بمرور الوقت: فهو لا يُجدي نفعًا في الحالات التي تقتل فيها القوات المعادية بعضها بعضًا على الفور، سواء بإطلاق النار في وقت واحد أو بإطلاق أحد الجانبين الطلقة الأولى وإلحاق خسائر متعددة.

لاحظ أن قانون لانشستر التربيعي لا ينطبق على القوة التكنولوجية، بل على القوة العددية فقط؛ لذلك يتطلب زيادة في الجودة بمقدار N تربيعي للتعويض عن انخفاض في الكمية بمقدار N.

لنفترض أن جيشين، الأحمر والأزرق، يخوضان معركة. يطلق الجيش الأحمر وابلاً متواصلاً من الرصاص على الجيش الأزرق. وفي الوقت نفسه، يطلق الجيش الأزرق وابلاً متواصلاً من الرصاص على الجيش الأحمر.

لنفترض أن الرمز A يمثل عدد الجنود في القوة الحمراء. يمتلك كل جندي قوة نارية هجومية α ، وهي عدد جنود العدو الذين يمكنه تعطيلهم (مثل قتلهم أو إصابتهم) في وحدة زمنية. وبالمثل، تمتلك القوة الزرقاء B جنديًا، يمتلك كل منهم قوة نارية هجومية β .

يحسب قانون لانشستر التربيعي عدد الجنود المفقودين من كل جانب باستخدام المعادلتين التاليتين. ^{[ 7 ]} هنا، يمثل dA/dt معدل تغير عدد جنود الفريق الأحمر في لحظة معينة. تشير القيمة السالبة إلى فقدان جنود. وبالمثل، يمثل dB/dt معدل تغير عدد جنود الفريق الأزرق.

${\displaystyle {\frac {\mathrm {d} A}{\mathrm {d} t}}=-\beta B}$

${\displaystyle {\frac {\mathrm {d} B}{\mathrm {d} t}}=-\alpha A}$

يُظهر حل هذه المعادلات ما يلي:

• إذا كانت α = β ، أي أن الجانبين يمتلكان قوة نارية متساوية، فإن الجانب الذي لديه عدد أكبر من الجنود في بداية المعركة سيفوز؛
• إذا كان A = B ، أي أن الجانبين لديهما أعداد متساوية من الجنود، فإن الجانب الذي يمتلك قوة نارية أكبر سيفوز؛
• إذا كان A > B و α > β ، فإن الأحمر سيفوز، بينما إذا كان A < B و α < β ، فإن الأزرق سيفوز؛
• إذا كان A > B ولكن α < β ، أو A < B ولكن α > β ، فإنّ النصر يعتمد على ما إذا كانت نسبة β / α أكبر أو أصغر من مربع نسبة A / B. وبالتالي، إذا كان عدد الأفراد وقوتهم النارية غير متساويين في اتجاهين متعاكسين، فإنّ التفوق في القوة النارية يساوي مربع النقص في العدد هو المطلوب لتحقيق النصر؛ أو بعبارة أخرى، تزداد فعالية الجيش تناسبًا طرديًا مع مربع عدد أفراده، ولكن بشكل خطي فقط مع قدرتهم القتالية.

الاستنتاجات الثلاثة الأولى من هذه الاستنتاجات واضحة. أما الاستنتاج الأخير فهو أصل تسمية "قانون التربيع".

ترتبط معادلات لانشستر بمعادلات نموذج القتال بالوابل الأحدث ، مع وجود اختلافين رئيسيين.

أولًا، تُشكّل معادلات لانشستر الأصلية نموذجًا زمنيًا متصلًا، بينما تُشكّل معادلات إطلاق النار الأساسية نموذجًا زمنيًا منفصلًا. في المعارك النارية، تُطلق الرصاصات أو القذائف عادةً بكميات كبيرة. لكل طلقة فرصة ضئيلة نسبيًا لإصابة هدفها، وتُحدث ضررًا طفيفًا نسبيًا. لذلك، تُصوّر معادلات لانشستر إطلاق النار على أنه سيل من القوة النارية يُضعف قوات العدو باستمرار مع مرور الوقت.

بالمقارنة، تُطلق صواريخ كروز عادةً بكميات قليلة نسبيًا. يتمتع كل صاروخ باحتمالية عالية لإصابة هدفه، ويحمل رأسًا حربيًا قويًا نسبيًا. لذلك، من الأنسب نمذجتها كنبضة (أو وابل) منفصلة من القوة النارية في نموذج زمني منفصل.

ثانيًا، تتضمن معادلات لانشستر القوة النارية الهجومية فقط، بينما تتضمن معادلات إطلاق الصواريخ قوة نارية دفاعية أيضًا. ونظرًا لصغر حجمها وكثرة عددها، فليس من العملي اعتراض الرصاص والقذائف في معركة بالأسلحة النارية. في المقابل، يمكن اعتراض صواريخ كروز (إسقاطها) بواسطة صواريخ أرض-جو ومدافع مضادة للطائرات. لذلك، تتضمن نماذج القتال الصاروخي هذه الدفاعات النشطة.

تُقدّم معايير هيلمبولد مؤشرات رقمية دقيقة، تستند إلى بيانات تاريخية، لمقارنة المعارك بسرعة ودقة من حيث ضراوتها ودرجة تفوق كل طرف. ورغم أن تعريفها مُستوحى من حل المعادلات التفاضلية لقانون لانشستر التربيعي، فإن قيمها الرقمية تعتمد كلياً على القوة الابتدائية والنهائية للخصمين، ولا تعتمد بأي حال من الأحوال على صحة قانون لانشستر التربيعي كنموذج للاستنزاف خلال المعركة.

يمكن كتابة حل قانون لانشستر التربيعي المستخدم هنا على النحو التالي:

$${\displaystyle {\begin{aligned}a(t)&=\cosh(\lambda t)-\mu \sinh(\lambda t)\\d(t)&=\cosh(\lambda t)-\mu ^{-1}\sinh(\lambda t)\\\varepsilon &=\lambda T\end{aligned}}}$$

أين:

• ${\displaystyle t}$هو الوقت منذ بدء المعركة
• ${\displaystyle a(t)}$و${\displaystyle d(t)}$هي الأجزاء المتبقية من قوات المهاجم والمدافع في ذلك الوقت${\displaystyle t}$
• ${\displaystyle \lambda }$هو معامل شدة هيلمبولد
• ${\displaystyle \mu }$هو معيار ميزة مدافع هيلمبولد
• ${\displaystyle T}$مدة المعركة
• ${\displaystyle \varepsilon }$هو معيار هيلمبولد للمرارة.

إذا عُرفت القوة الابتدائية والنهائية للطرفين، فمن الممكن إيجاد قيم المعاملات.${\displaystyle a(T)}$،${\displaystyle d(T)}$،${\displaystyle \mu }$، و${\displaystyle \varepsilon }$إذا كانت مدة المعركة${\displaystyle T}$إذا كان معروفًا أيضًا، فمن الممكن حل المعادلة.${\displaystyle \lambda }$[ ^{19 ] [ 20 ] [ 21 ]​}

إذا كان الأمر كذلك، كما هو الحال عادةً،${\displaystyle \varepsilon }$صغيرة بما يكفي بحيث يمكن استبدال الدوال الزائدية، دون أي خطأ كبير، بتوسيعها المتسلسل حتى حدود في القوة الأولى لـ${\displaystyle \varepsilon }$وإذا كانت الاختصارات المعتمدة لنسب الخسائر هي${\displaystyle F_{A}=1-a(T)}$و${\displaystyle F_{D}=1-d(T)}$إذن، تشمل العلاقات التقريبية التي تنطبق ما يلي:${\displaystyle \varepsilon ={\sqrt {F_{A}F_{D}}}}$و${\displaystyle \mu ={\sqrt {F_{A}/F_{D}}}}$[ ^{22 ]} ذلك^​${\displaystyle \varepsilon }$إن نوع من "المتوسط" (وتحديداً المتوسط ​​الهندسي ) لنسب الخسائر يبرر استخدامه كمؤشر على مرارة المعركة.

كمثال على استخدام هذه المعايير، لنفترض معركتين افتراضيتين، معركة كبرى ومعركة صغرى، بالبيانات الافتراضية التالية. في المعركة الكبرى، هاجم الجانب س، الذي يضم 220,000 جندي، الجانب ص، الذي يضم 195,000 جندي، وكانت خسائرهم 3,025 و2,650 جنديًا على التوالي. أما في المعركة الصغرى، فقد هاجم الجانب س، الذي يضم 12,000 جندي، الجانب ص، الذي يضم 15,000 جندي، وكانت خسائرهم 525 و360 جنديًا على التوالي. تكمن المشكلة في مقارنة هاتين المعركتين. وللقيام بذلك، نحسب معايير هيلمبولد الخاصة بكل منهما، ونجد أنه بالنسبة للمعركة الكبرى${\displaystyle \varepsilon }$= 0.01367 وكانت ميزة الجانب Y هي 1.0059، بينما بالنسبة للمعركة الصغرى${\displaystyle \varepsilon }$= 0.0240 وكانت ميزة الجانب Y هي 1.3502. نستنتج أن المعركة الكبرى كانت أقل ضراوة بكثير من المعركة الصغرى، وأن المعركة الكبرى كانت متقاربة للغاية، وأن المعركة الصغرى كانت انتصارًا واضحًا للجانب Y.

يفضل العمل الإحصائي استخدام اللوغاريتمات الطبيعية لمعاملات هيلمبولد. ويرمز لها بـ${\displaystyle \log \mu }$،${\displaystyle \log \varepsilon }$، و${\displaystyle \log \lambda }$.

• تشارنيكي، جوزيف. قانون ن²: دراسة لإحدى النظريات الرياضية الكامنة وراء أسلحة السفن الحربية من طراز دريدنوت في العالم
• دوبوي، كول تي إن (1979). الأرقام والتنبؤات والحرب . ماكدونالد وجينز.
• هيلمبولد، روبرت ل. (14 فبراير 1961أ). معايير لانشستر لبعض معارك القرنين الماضيين . ورقة عمل موظفي CORG رقم CORG-SP-122.
• هيلمبولد، روبرت ل. (1961ب). "معادلات لانشستر، والمعارك التاريخية، وألعاب الحرب". وقائع الندوة الثامنة لجمعية أبحاث العمليات العسكرية، 18-20 أكتوبر 1961 .
• هيلمبولد، روبرت ل. (12 مايو 2021). مفتاح النصر: تعلم الآلة دروس التاريخ . ISBN 978-1-6685-2528-9.
• لانشستر، فريدريك دبليو. (1916). الطائرات في الحرب .
• Niall J. MacKay نماذج قتال لانشستر ، الرياضيات اليوم ، 2006، المجلد 42/5، الصفحات 170-173.