نظرية لانغ

في الهندسة الجبرية ، تنص نظرية لانغ ، التي وضعها سيرج لانغ ، على ما يلي: إذا كانت G زمرة جبرية متصلة وملساء على حقل منتهٍ${\displaystyle \mathbf {F} _{q}}$ثم الكتابة${\displaystyle \sigma :G\to G,\,x\mapsto x^{q}}$بالنسبة لفروبينيوس، مورفولوجيا الأصناف

${\displaystyle G\to G,\,x\mapsto x^{-1}\sigma (x)}$ 

دالة شاملة. لاحظ أن نواة هذه الدالة (أي،${\displaystyle G=G({\overline {\mathbf {F} _{q}}})\to G({\overline {\mathbf {F} _{q}}})}$) هو بالضبط${\displaystyle G(\mathbf {F} _{q})}$.

تشير النظرية إلى أن${\displaystyle H^{1}(\mathbf {F} _{q},G)=H_{\mathrm {{\acute {e}}t} }^{1}(\operatorname {Spec} \mathbf {F} _{q},G)}$  يختفي، ^{[ 1 ]} وبالتالي، أي حزمة G على${\displaystyle \operatorname {Spec} \mathbf {F} _{q}}$وهي متماثلة مع النظرية التافهة. كما أن هذه النظرية تلعب دورًا أساسيًا في نظرية الزمر المنتهية من نوع لي .

ليس من الضروري أن تكون G خطية. وبالتالي، تنطبق النظرية أيضًا على المتنوعات الأبيلية (مثل المنحنيات الإهليلجية ). في الواقع، كان هذا التطبيق هو الدافع الأولي لـ Lang. إذا كانت G خطية، فإن نظرية فروبينيوس${\displaystyle \sigma }$يمكن استبدالها بأي خريطة شاملة ذات عدد محدود من النقاط الثابتة (انظر أدناه للحصول على البيان الدقيق).

الدليل (المذكور أدناه) ينطبق بالفعل على أي${\displaystyle \sigma }$وهذا يؤدي إلى تأثير نيلبوتنت على جبر لي لـ G. ^{[ 2 ]}

قدم شتاينبرغ ( 1968 ) تحسينًا مفيدًا للنظرية. 

لنفترض أن F هو تشاكل داخلي لمجموعة جبرية G. خريطة لانغ هي الخريطة من G إلى G تأخذ g إلى g ⁻¹ F ( g ).

تنص نظرية لانغ -شتاينبرغ ^{[ 3 ]} على أنه إذا كانت F شاملة ولها عدد محدود من النقاط الثابتة، و G هي مجموعة جبرية أفينية متصلة على حقل مغلق جبريًا ، فإن خريطة لانغ شاملة.

يُعرِّف:

${\displaystyle f_{a}:G\to G,\quad f_{a}(x)=x^{-1}a\sigma (x).}$

ثم، بتحديد الفضاء المماسي عند النقطة a مع الفضاء المماسي عند عنصر الوحدة ، نحصل على:

${\displaystyle (df_{a})_{e}=d(h\circ (x\mapsto (x^{-1},a,\sigma (x))))_{e}=dh_{(e,a,e)}\circ (-1,0,d\sigma _{e})=-1+d\sigma _{e}}$ 

أين${\displaystyle h(x,y,z)=xyz}$ويتبع ذلك${\displaystyle (df_{a})_{e}}$هي دالة تقابلية لأن تفاضل فروبينيوس${\displaystyle \sigma }$يختفي. منذ${\displaystyle f_{a}(bx)=f_{f_{a}(b)}(x)}$ونرى أيضاً أن${\displaystyle (df_{a})_{b}}$هي دالة تقابلية لأي b . ^{[ 4 ]} ليكن X إغلاق صورة${\displaystyle f_{1}}$تشكل النقاط الملساء في X مجموعة جزئية مفتوحة وكثيفة؛ وبالتالي، يوجد عنصر b في G بحيث${\displaystyle f_{1}(b)}$هي نقطة ملساء من X. بما أن الفضاء المماسي لـ X عند${\displaystyle f_{1}(b)}$وبما أن الفضاء المماسي لـ G عند النقطة b له نفس البعد، فإن X و G لهما نفس البعد، لأن G سطح أملس. ولأن G متصل، فإن صورة${\displaystyle f_{1}}$إذن، تحتوي على مجموعة جزئية مفتوحة وكثيفة U من G. الآن، بالنظر إلى عنصر عشوائي a في G ، وبنفس المنطق، فإن صورة${\displaystyle f_{a}}$تحتوي على مجموعة جزئية مفتوحة وكثيفة V من G. التقاطع${\displaystyle U\cap V}$إذن، تكون المجموعة غير فارغة، ولكن هذا يعني أن a هي صورة لـ${\displaystyle f_{1}}$.

• سبرينغر، تي إيه (1998). الزمر الجبرية الخطية (  الطبعة الثانية). بيركهاوزر. ISBN 0-8176-4021-5. OCLC 38179868 . 
• لانغ، سيرج (1956)، "المجموعات الجبرية على الحقول المنتهية"، المجلة الأمريكية للرياضيات ، 78 : 555-563 ، doi : 10.2307/2372673 ، ISSN 0002-9327 ، JSTOR 2372673 ، MR 0086367   
• ستاينبرغ، روبرت (1968)، التشكلات الداخلية للمجموعات الجبرية الخطية ، مذكرات الجمعية الرياضية الأمريكية، العدد 80، بروفيدنس، رود آيلاند: الجمعية الرياضية الأمريكية ، MR 0230728