مورفولوجيا الأصناف الجبرية

في الهندسة الجبرية ، يُعرف التشاكل بين المتنوعات الجبرية بأنه دالة بين هذه المتنوعات تُعطى محليًا بواسطة كثيرات الحدود . ويُسمى أيضًا بالخريطة المنتظمة . كما يُطلق على التشاكل من المتنوع الجبري إلى الخط الأفيني اسم الدالة المنتظمة . وتُسمى الخريطة المنتظمة التي يكون معكوسها منتظمًا أيضًا بالخريطة ثنائية الانتظام ، والخرائط ثنائية الانتظام هي تماثلات المتنوعات الجبرية. ولأن الانتظام وثنائية الانتظام شرطان مُقيِّدان للغاية - إذ لا توجد دوال منتظمة غير ثابتة على المتنوعات الإسقاطية - فإن مفهومي الخرائط الكسرية والخرائط ثنائية الانتظام يُستخدمان على نطاق واسع أيضًا؛ وهما دالتان جزئيتان تُعرَّفان محليًا بواسطة كسور نسبية بدلًا من كثيرات الحدود.

يتمتع التنوع الجبري بطبيعته ببنية فضاء حلقي محلي ؛ إن التشكل بين التنوعات الجبرية هو بالضبط تشكل للفضاءات الحلقية المحلية الأساسية.

إذا كانت X و Y أصنافًا فرعية مغلقة من${\displaystyle \mathbb {A} ^{n}}$و${\displaystyle \mathbb {A} ^{m}}$(لذا فهي أصناف خطية )، ثم خريطة منتظمة${\displaystyle f\colon X\to Y}$هو تقييد لخريطة متعددة الحدود${\displaystyle \mathbb {A} ^{n}\to \mathbb {A} ^{m}}$. وبشكل صريح، يكون شكله كالتالي: ^{[ 1 ]}

${\displaystyle f=(f_{1},\dots ,f_{m})}$

حيث${\displaystyle f_{i}}$تقع العناصر s في حلقة الإحداثيات الخاصة بـ X :

${\displaystyle k[X]=k[x_{1},\dots ,x_{n}]/I,}$

حيث I هو المثالي الذي يُعرّف X (ملاحظة: كثيرتا الحدود f و g تُعرّفان نفس الدالة على X إذا وفقط إذا كانت f  − g تنتمي إلى I ). تقع صورة f ( X ) في Y ، وبالتالي تُحقق معادلات تعريف Y. أي أنها دالة منتظمة. ${\displaystyle f:X\to Y}$وهو نفسه تقييد دالة متعددة الحدود التي تحقق مكوناتها المعادلات التعريفية لـ${\displaystyle Y}$.

بشكل أعم، تكون الدالة f  : X → Y بين مجموعتين منتظمتين عند النقطة x إذا وُجدت جوار U للنقطة x وجوار V للدالة f ( x ) بحيث يكون f ( U ) ⊂ V ، وتكون الدالة المقيدة f  : U → V منتظمة كدالة على بعض المخططات الأفينية لـ U و V. ثم تُسمى f منتظمة إذا كانت منتظمة عند جميع نقاط X.

• ملاحظة: ليس من الواضح تمامًا أن التعريفين متطابقان: إذا كان X و Y من الأصناف الأفينية، فإن الدالة f  : X → Y تكون منتظمة بالمعنى الأول إذا وفقط إذا كانت كذلك بالمعنى الثاني. ^{[ أ ]} كذلك، ليس من الواضح تمامًا ما إذا كانت الانتظامية تعتمد على اختيار المخططات الأفينية (لا تعتمد عليها. ^{[ ب ]} ). مع ذلك، يختفي هذا النوع من إشكالية الاتساق عند اعتماد التعريف الرسمي. رسميًا، يُعرَّف الصنف الجبري (المجرد) بأنه نوع خاص من الفضاء الحلقي الموضعي . عند استخدام هذا التعريف، يكون تشاكل الأصناف مجرد تشاكل للفضاءات الحلقية الموضعية.

إن تركيب الخرائط المنتظمة منتظم مرة أخرى؛ وبالتالي، فإن الأصناف الجبرية تشكل فئة الأصناف الجبرية حيث تكون التشكلات هي الخرائط المنتظمة.

تتطابق التطبيقات المنتظمة بين الأصناف الأفينية بشكل متباين أحادي مع التشكلات الجبرية بين حلقات الإحداثيات: إذا كان f  : X → Y تشاكلًا بين الأصناف الأفينية، فإنه يُعرّف التشكل الجبري.

${\displaystyle f^{\#}:k[Y]\to k[X],\,g\mapsto g\circ f}$

أين${\displaystyle k[X],k[Y]}$هي حلقات الإحداثيات لـ X و Y ؛ وهي محددة جيدًا لأن${\displaystyle g\circ f=g(f_{1},\dots ,f_{m})}$هي متعددة حدود في عناصر${\displaystyle k[X]}$. على العكس من ذلك، إذا${\displaystyle \phi :k[Y]\to k[X]}$إذا كان تماثلًا جبريًا، فإنه يُنتج التشكل

${\displaystyle \phi ^{a}:X\to Y}$

يُعطى عن طريق: الكتابة${\displaystyle k[Y]=k[y_{1},\dots ,y_{m}]/J,}$

${\displaystyle \phi ^{a}=(\phi ({\overline {y_{1}}}),\dots ,\phi ({\overline {y_{m}}}))}$

أين${\displaystyle {\overline {y}}_{i}}$صور${\displaystyle y_{i}}$ملاحظة ^{[ ج ]}​${\displaystyle {\phi ^{a}}^{\#}=\phi }$إلى جانب${\displaystyle {f^{\#}}^{a}=f.}$^{[ د ]} على وجه الخصوص،fمتماثلًا للأصناف الأفينية إذا وفقط إذاf^#متماثلًا لحلقات الإحداثيات.

على سبيل المثال، إذا كانت X مجموعة فرعية مغلقة من مجموعة فرعية خطية Y ^، وكانت f هي الاحتواء، فإن f هي تقييد الدوال المنتظمة على Y إلى X. انظر الأمثلة أدناه لمزيد من الأمثلة.

في الحالة الخاصة التي${\displaystyle Y}$يساوي${\displaystyle \mathbb {A} ^{1}}$الخرائط العادية${\displaystyle f:X\rightarrow \mathbb {A} ^{1}}$تُسمى هذه الدوال بالدوال المنتظمة ، وهي نظائر جبرية للدوال الملساء التي تُدرس في الهندسة التفاضلية . تُعد حلقة الدوال المنتظمة (أي حلقة الإحداثيات ، أو بصورة أكثر تجريدًا، حلقة المقاطع العامة لحزمة البنية) عنصرًا أساسيًا في الهندسة الجبرية الأفينية. الدالة المنتظمة الوحيدة على صنف إسقاطي هي دالة ثابتة (ويمكن اعتبار ذلك نظيرًا جبريًا لنظرية ليوفيل في التحليل العقدي ).

دالة قياسية${\displaystyle f:X\rightarrow \mathbb {A} ^{1}}$يكون منتظماً عند نقطة معينة${\displaystyle x}$إذا، في جوار أفيني مفتوح من${\displaystyle x}$إنها دالة كسرية منتظمة عند${\displaystyle x}$أي أن هناك دوال منتظمة${\displaystyle g}$،${\displaystyle h}$قريب${\displaystyle x}$بحيث${\displaystyle f=g/h}$و${\displaystyle h}$لا يختفي عند${\displaystyle x}$[ ^{هـ ]} تنبيه: الشرط ينطبق على بعض الأزواج ( g ، h ) وليس على جميع الأزواج ( ^g ، h ) ؛ انظر الأمثلة .

إذا كانت X منوعًا شبه إسقاطي ؛ أي منوعًا فرعيًا مفتوحًا من منوع إسقاطي، فإن حقل الدالة k(X) هو نفسه حقل الدالة k ( X ) للإغلاق.${\displaystyle {\overline {X}}}$من X ، وبالتالي فإن الدالة الكسرية على X تكون على الصورة g / h لبعض العناصر المتجانسة g و h من نفس الدرجة في حلقة الإحداثيات المتجانسة${\displaystyle k[{\overline {X}}]}$ل${\displaystyle {\overline {X}}}$(انظر: التنوع الإسقاطي#بنية التنوع ). عندئذٍ، تكون الدالة الكسرية f على X منتظمة عند النقطة x إذا وفقط إذا وُجدت بعض العناصر المتجانسة g و h من نفس الدرجة في${\displaystyle k[{\overline {X}}]}$بحيث يكون f = g / h ولا تنعدم h عند x . يُعتبر هذا التوصيف أحيانًا تعريفًا للدالة المنتظمة. ^{[ 2 ]}

لو${\displaystyle X=\operatorname {Spec} A}$و${\displaystyle Y=\operatorname {Spec} B}$إذا كانت مخططات أفينية ، فإن كل تشاكل حلقي${\displaystyle \phi :B\rightarrow A}$يحدد التشكل

${\displaystyle \phi ^{a}:X\to Y,\,{\mathfrak {p}}\mapsto \phi ^{-1}({\mathfrak {p}})}$

عن طريق أخذ الصور العكسية للمثاليات الأولية . جميع التشكلات بين المخططات الأفينية هي من هذا النوع، ولصق هذه التشكلات يعطي تشكلاً للمخططات بشكل عام.

الآن، إذا كانت X و Y منوعات أفينية؛ أي أن A و B مجالان تكامليان يمثلان جبرًا مولدًا نهائيًا على حقل مغلق جبريًا k ، فإن ما سبق، بالعمل مع النقاط المغلقة فقط، يتطابق مع التعريف الوارد في #التعريف . (البرهان: إذا كان f  : X → Y تشاكلًا، فإن كتابة${\displaystyle \phi =f^{\#}}$، نحتاج إلى إظهار

${\displaystyle {\mathfrak {m}}_{f(x)}=\phi ^{-1}({\mathfrak {m}}_{x})}$

أين${\displaystyle {\mathfrak {m}}_{x},{\mathfrak {m}}_{f(x)}}$هي المُثُل القصوى المُقابلة للنقطتين x و f ( x )؛ أي،${\displaystyle {\mathfrak {m}}_{x}=\{g\in k[X]\mid g(x)=0\}}$هذا أمر فوري.

هذا يعني أن فئة الأصناف الأفينية يمكن تعريفها بفئة فرعية كاملة من المخططات الأفينية على k . وبما أن تشاكلات الأصناف تُحصل بلصق تشاكلات الأصناف الأفينية بنفس الطريقة التي تُحصل بها تشاكلات المخططات بلصق تشاكلات المخططات الأفينية، فإنه يترتب على ذلك أن فئة الأصناف هي فئة فرعية كاملة من فئة المخططات على k .

للمزيد من التفاصيل، انظر.

• الوظائف العادية على${\displaystyle \mathbb {A} ^{n}}$هي بالضبط كثيرات الحدود في${\displaystyle n}$المتغيرات والدوال المنتظمة على${\displaystyle \mathbb {P} ^{n}}$هي بالضبط الثوابت.
• يترك${\displaystyle X}$ليكن المنحنى الأفيني${\displaystyle y=x^{2}}$. ثم$${\displaystyle f:X\to \mathbf {A} ^{1},\,(x,y)\mapsto x}$$هو تشاكل؛ وهو تقابل مع المعكوس${\displaystyle g(x)=(x,x^{2})}$. منذ${\displaystyle g}$وهو أيضاً شكل من أشكال التشاكل،${\displaystyle f}$هو تماثل بين الأصناف.
• يترك${\displaystyle X}$ليكن المنحنى الأفيني${\displaystyle y^{2}=x^{3}+x^{2}}$. ثم$${\displaystyle f:\mathbf {A} ^{1}\to X,\,t\mapsto (t^{2}-1,t^{3}-t)}$$هو تشاكل. وهو يقابل تشاكل الحلقة$${\displaystyle f^{\#}:k[X]\to k[t],\,g\mapsto g(t^{2}-1,t^{3}-t),}$$والذي يُنظر إليه على أنه أحادي (لأن f شاملة).
• استكمالاً للمثال السابق، ليكن U = A ¹  −  {1}. بما أن U هو مكمل المستوى الفائق t = 1، فإن U خطي. التقييد${\displaystyle f:U\to X}$هي تقابلية. لكن التشاكل الحلقي المقابل هو التضمين${\displaystyle k[X]=k[t^{2}-1,t^{3}-t]\hookrightarrow k[t,(t-1)^{-1}]}$، وهو ليس تماثلاً، وبالتالي فإن التقييد f | _U ليس تماثلاً.
• ليكن X هو المنحنى الأفيني x² ⁺ y² = ¹ وليكن$${\displaystyle f(x,y)={1-y \over x}.}$$إذن ، f دالة كسرية على X. وهي منتظمة عند (0, 1) على الرغم من التعبير، لأنه، كدالة كسرية على X ، يمكن كتابة f أيضًا على النحو التالي:${\displaystyle f(x,y)={x \over 1+y}}$.
• ليكن X = A² − (0, 0) . إذن، ^X عبارة عن منوع جبري لأنه مجموعة جزئية مفتوحة من منوع. إذا كانت f دالة منتظمة على X ، فإن f تكون منتظمة على${\displaystyle D_{\mathbf {A} ^{2}}(x)=\mathbf {A} ^{2}-\{x=0\}}$وكذلك في${\displaystyle k[D_{\mathbf {A} ^{2}}(x)]=k[\mathbf {A} ^{2}][x^{-1}]=k[x,x^{-1},y]}$وبالمثل، فهو موجود في${\displaystyle k[x,y,y^{-1}]}$وبالتالي، يمكننا أن نكتب:$${\displaystyle f={g \over x^{n}}={h \over y^{m}}}$$حيث g و h كثيرتا حدود في k [ x , y ]. لكن هذا يعني أن g تقبل القسمة على xⁿ ^، وبالتالي فإن f هي في الواقع كثيرة حدود. ومن ثم، فإن حلقة الدوال المنتظمة على X هي k [ x , y ]. (يُبين هذا أيضًا أن X لا يمكن أن تكون خطية، لأنه لو كانت كذلك، لكانت X محددة بحلقة إحداثياتها، وبالتالي ^X = A² ) .
• يفترض${\displaystyle \mathbf {P} ^{1}=\mathbf {A} ^{1}\cup \{\infty \}}$بتحديد النقاط ( x  : 1) مع النقاط x على A1 ^و∞ = (1  : 0). يوجد تشاكل ذاتي σ لـ ^P1 معطى بالعلاقة σ(x : y) = (y : x)؛ على وجه الخصوص، يبدل σ بين 0 و∞. إذا كانت f دالة كسرية على P1 ^، فإن  $${\displaystyle \sigma ^{\#}(f)=f(1/z)}$$ويكون f منتظمًا عند ∞ إذا وفقط إذا كان f (1/ z ) منتظمًا عند الصفر.
• بأخذ حقل الدوال k ( V ) لمنحنى جبري غير قابل للاختزال V ، يمكن تمثيل جميع الدوال F في حقل الدوال كتشاكلات من V إلى الخط الإسقاطي فوق k . (انظر #الخصائص ). ستكون الصورة إما نقطة واحدة، أو الخط الإسقاطي بأكمله (وهذا نتيجة لاكتمال المتنوعات الإسقاطية ). أي، ما لم تكن F ثابتة بالفعل، يجب أن نُنسب إلى F القيمة ∞ عند بعض نقاط V.
• لأي أصناف جبرية X و Y ، فإن الإسقاط$${\displaystyle p:X\times Y\to X,\,(x,y)\mapsto x}$$هو تشاكل بين أصناف. إذا كان X و Y خطيين، فإن التشاكل الحلقي المقابل هو$${\displaystyle p^{\#}:k[X]\to k[X\times Y]=k[X]\otimes _{k}k[Y],\,f\mapsto f\otimes 1}$$أين${\displaystyle (f\otimes 1)(x,y)=f(p(x,y))=f(x)}$.

يكون التشكل بين الأصناف مستمرًا بالنسبة إلى طوبولوجيات زاريسكي على المصدر والهدف.

لا يشترط أن تكون صورة تشاكل الأصناف مفتوحة أو مغلقة (على سبيل المثال، صورة${\displaystyle \mathbf {A} ^{2}\to \mathbf {A} ^{2},\,(x,y)\mapsto (x,xy)}$(ليست مفتوحة ولا مغلقة). ومع ذلك، يمكن القول: إذا كان f تشاكلاً بين أصناف، فإن صورة f تحتوي على مجموعة جزئية مفتوحة وكثيفة من إغلاقها (انظر المجموعة القابلة للإنشاء ).

يُقال إن التشكل f : X → Y للمتنوعات الجبرية هو تشكل مهيمن إذا كانت صورته كثيفة. بالنسبة لهذا التشكل f ، إذا كانت V مجموعة جزئية أفينية مفتوحة غير فارغة من Y ، فإنه توجد مجموعة جزئية أفينية مفتوحة غير فارغة U من X بحيث يكون f ( U ) ⊂ V ، وبالتالي${\displaystyle f^{\#}:k[V]\to k[U]}$هي دالة حقنية. وبالتالي، فإن الخريطة المهيمنة f تُحدث حقنًا على مستوى حقول الدوال:

${\displaystyle k(Y)=\varinjlim k[V]\hookrightarrow k(X),\,g\mapsto g\circ f}$

حيث يمتد الحد المباشر على جميع المجموعات الفرعية الأفينية المفتوحة غير الفارغة من Y. (بصورة أكثر تجريدًا، هذه هي الخريطة المستحثة من حقل البقايا للنقطة العامة في Y إلى حقل البقايا في X ). وعلى العكس من ذلك، فإن كل تضمين للحقول${\displaystyle k(Y)\hookrightarrow k(X)}$^{[ 3 ]} وبالتالي ، يحدد البناء أعلاه تكافؤًا متغايرًا بين فئة الأصناف الجبرية على حقل k والخرائط العقلانية المهيمنة بينها وفئة امتداد ^الحقل المولد ^{نهائيًا} لـ k . [ ⁴ ]

إذا كان X منحنىً أملسًا كاملًا (على سبيل المثال، ^P1 ) وإذا كانت f دالة كسرية من X إلى فضاء إسقاطي Pm ^، فإن f دالة منتظمة X → Pm ^{. [ 5 ]} على وجه الخصوص، عندما يكون X منحنىً أملسًا كاملًا، يمكن اعتبار أي دالة كسرية على X بمثابة تشاكل X → P1 ^، والعكس صحيح، يمكن اعتبار هذا التشاكل بمثابة دالة كسرية على X.

في التنوع الطبيعي (وخاصةً التنوع الأملس )، تكون الدالة الكسرية منتظمة إذا وفقط إذا لم يكن لها أقطاب ذات بُعد مشترك يساوي واحدًا. ^{[ و ]} هذا نظير جبري لنظرية هارتوغز للتمديد . وهناك أيضًا صيغة نسبية لهذه الحقيقة؛ انظر.

لا يشترط أن يكون التشاكل بين الأصناف الجبرية، والذي يمثل تماثلاً طوبولوجياً بين الفضاءات الطوبولوجية الأساسية، تماثلاً حقيقياً (ومن الأمثلة المضادة على ذلك تشاكل فروبينيوس).${\displaystyle t\mapsto t^{p}}$من جهة أخرى، إذا كانت الدالة f ثنائية النسب تقابلية، وكان فضاء الهدف الخاص بها منوعًا طبيعيًا ، فإن f تكون ثنائية الانتظام. (انظر نظرية زاريسكي الرئيسية ).

إنّ التطبيق المنتظم بين المتنوعات الجبرية المركبة هو تطبيق تحليلي . (يوجد في الواقع فرق تقني طفيف: فالتطبيق المنتظم هو تطبيق ميرومورفي يمكن إزالة نقاطه الشاذة ، ولكن عادةً ما يتم تجاهل هذا التمييز عمليًا). على وجه الخصوص، فإنّ التطبيق المنتظم في الأعداد المركبة هو مجرد دالة تحليلية مركبة عادية.

يترك

${\displaystyle f:X\to \mathbf {P} ^{m}}$

ليكن f(x ) تشاكلاً من صنف إسقاطي إلى فضاء إسقاطي. ولتكن x نقطة من X. عندئذٍ، يكون أحد الإحداثيات المتجانسة رقم i للدالة f ( x ) غير صفري؛ ولنقل i = 0 للتبسيط. عندئذٍ، بحسب خاصية الاستمرارية، توجد جوار أفيني مفتوح U للنقطة x بحيث

${\displaystyle f:U\to \mathbf {P} ^{m}-\{y_{0}=0\}}$

هو تشاكل، حيث yᵢ هي الإحداثيات المتجانسة. لاحظ أن الفضاء المستهدف هو الفضاء الأفيني ^Aᵐ من خلال عملية التطابق _.${\displaystyle (a_{0}:\dots :a_{m})=(1:a_{1}/a_{0}:\dots :a_{m}/a_{0})\sim (a_{1}/a_{0},\dots ,a_{m}/a_{0})}$وبالتالي، بحسب التعريف، فإن القيد f | _U يُعطى بواسطة

${\displaystyle f|_{U}(x)=(g_{1}(x),\dots ,g_{m}(x))}$

حيث تمثل gᵢ _دوالًا منتظمة على U. بما أن X إسقاطية، فإن كل gᵢ _هي كسر من عناصر متجانسة من نفس الدرجة في حلقة الإحداثيات المتجانسة k [ X ] لـ X. يمكننا ترتيب الكسور بحيث يكون لها جميعًا نفس المقام المتجانس، ولنقل f₀. عندئذٍ يمكننا كتابة gᵢ = fᵢ / f₀ _لبعض العناصر المتجانسة _fᵢ في _k [ X _] . وبالتالي ، بالعودة إلى _{الإحداثيات} المتجانسة،

${\displaystyle f(x)=(f_{0}(x):f_{1}(x):\dots :f_{m}(x))}$

لكل x في U ، وبحسب خاصية الاستمرارية، لكل x في X طالما أن الدوال _fᵢ لا تنعدم عند x في آن واحد. إذا انعدمت هذه الدوال في آن واحد عند نقطة x من X ، فباتباع الإجراء المذكور أعلاه، يمكن اختيار مجموعة مختلفة من _الدوال fᵢ التي لا تنعدم عند x في آن واحد (انظر الملاحظة في نهاية القسم).

في الواقع، ينطبق الوصف أعلاه على أي صنف شبه إسقاطي X ، وهو صنف فرعي مفتوح من صنف إسقاطي${\displaystyle {\overline {X}}}$والفرق هو أن قيم f _i تقع في حلقة الإحداثيات المتجانسة لـ${\displaystyle {\overline {X}}}$.

ملاحظة : ما سبق لا يعني أن التشكل من صنف إسقاطي إلى فضاء إسقاطي يُعطى بمجموعة واحدة من كثيرات الحدود (على عكس الحالة الأفينية). على سبيل المثال، ليكن X هو القطع المخروطي${\displaystyle y^{2}=xz}$في P ^2. ثم خريطتان${\displaystyle (x:y:z)\mapsto (x:y)}$و${\displaystyle (x:y:z)\mapsto (y:z)}$الاتفاق على المجموعة الفرعية المفتوحة${\displaystyle \{(x:y:z)\in X\mid x\neq 0,z\neq 0\}}$من X (منذ${\displaystyle (x:y)=(xy:y^{2})=(xy:xz)=(y:z)}$وبالتالي يُعرّف تشاكلاً${\displaystyle f:X\to \mathbf {P} ^{1}}$.

والحقيقة المهمة هي: ^{[ 6 ]}

في كتاب مامفورد الأحمر، تم إثبات النظرية باستخدام مبرهنة نوثر للتطبيع . وللحصول على منهج جبري حيث تلعب خاصية الحرية العامة دورًا رئيسيًا، ويُعد مفهوم " الحلقة السلسلية الشاملة " مفتاحًا في البرهان، انظر آيزنبد، الفصل 14 من "الجبر التبادلي مع نظرة نحو الهندسة الجبرية". في الواقع، يُظهر البرهان هناك أنه إذا كانت f مسطحة ، فإن تساوي الأبعاد في الفقرة 2 من النظرية يتحقق بشكل عام (وليس فقط بشكل عام).

ليكن f : X → Y تشاكلًا جبريًا منتهيًا شاملًا بين أصناف جبرية على حقل k . عندئذٍ، بحسب التعريف، درجة f هي درجة امتداد الحقل المنتهي لحقل الدالة k ( X ) على f ^* k ( Y ). وبحسب خاصية الحرية العامة ، توجد مجموعة جزئية مفتوحة غير فارغة U في Y بحيث ^يكون تقييد حزمة البنية OX على f⁻¹ ( U ) حرًا كـ OY | _U -module . وبالتالي _{، فإن} درجة f هي أيضًا رتبة هذا الموديول الحر.

إذا كانت f إيتالية وإذا كانت X و Y كاملتين ، فإنه لأي حزمة متماسكة F على Y ، مع كتابة χ للخاصية المميزة لأويلر ،

${\displaystyle \chi (f^{*}F)=\deg(f)\chi (F).}$^{[ 7 ]}

( توضح صيغة ريمان-هورويتز للغطاء المتفرع أنه لا يمكن حذف "étale" هنا.)

بشكل عام، إذا كان f تشاكلًا شاملًا منتهيًا، وإذا كانت X و Y كاملتين و F حزمة متماسكة على Y ، فمن متتالية ليري الطيفية${\displaystyle \operatorname {H} ^{p}(Y,R^{q}f_{*}f^{*}F)\Rightarrow \operatorname {H} ^{p+q}(X,f^{*}F)}$، يحصل المرء على:

${\displaystyle \chi (f^{*}F)=\sum _{q=0}^{\infty }(-1)^{q}\chi (R^{q}f_{*}f^{*}F).}$

على وجه الخصوص، إذا كانت F قوة موتر${\displaystyle L^{\otimes n}}$من حزمة خطوط، ثم${\displaystyle R^{q}f_{*}(f^{*}F)=R^{q}f_{*}{\mathcal {O}}_{X}\otimes L^{\otimes n}}$ومنذ دعم${\displaystyle R^{q}f_{*}{\mathcal {O}}_{X}}$يكون البعد المشترك موجبًا إذا كانت قيمة q موجبة، وبمقارنة الحدود الرئيسية، نحصل على:

${\displaystyle \operatorname {deg} (f^{*}L)=\operatorname {deg} (f)\operatorname {deg} (L)}$

(منذ الرتبة العامة لـ${\displaystyle f_{*}{\mathcal {O}}_{X}}$(درجة f .)

إذا كانت f إيتالية و k مغلقة جبريًا، فإن كل ليف هندسي f ⁻¹ ( y ) يتكون بالضبط من نقاط deg( f ).

• الدالة الجبرية
• التشكل السلس
• Étale morphisms – التناظرية الجبرية للتفاضلات المحلية .
• حل التفردات
• تماثل الانكماش