تقريب لابلاس

📅 آخر تحديث: ٢ أغسطس ٢٠٢٦
✍️ نُشر في: ٢ أغسطس ٢٠٢٦
📷 يحتوي على 66 صور
الموسوعة الحرة

يُقدّم تقريب لابلاس، أو التقريب التربيعي ( QUAP ) [ 1 ] ، تعبيرًا تحليليًا لتوزيع الاحتمال اللاحق عن طريق مطابقة توزيع غاوسي بمتوسط ​​يساوي حل MAP ودقة تساوي معلومات فيشر المرصودة . [ 2 ] [ 3 ] ويُبرَّر هذا التقريب بنظرية برنشتاين-فون ميزس ، التي تنص على أنه في ظل شروط الانتظام، يؤول خطأ التقريب إلى الصفر عندما يؤول عدد نقاط البيانات إلى اللانهاية. [ 4 ] [ 5 ]

على سبيل المثال، ضع في اعتبارك نموذج انحدار أو تصنيف مع مجموعة بيانات{xن،yن}ن=1،...،شمال{\displaystyle \{x_{n},y_{n}\}_{n=1,\ldots ,N}}تتضمن المدخلاتx{\displaystyle x}والمخرجاتy{\displaystyle y}مع متجه المعاملات (غير المعروف)θ{\displaystyle \theta }من الطولد{\displaystyle D}يُرمز إلى الاحتمالية بـص(y|x،θ){\displaystyle p({\bf {y}}|{\bf {x}},\theta )}والمعامل المسبقص(θ){\displaystyle p(\theta )}لنفترض أننا نريد تقريب الكثافة المشتركة للمخرجات والمعلماتص(y،θ|x){\displaystyle p({\bf {y}},\theta |{\bf {x}})}صيغة بايز هي:

ص(y،θ|x)=ص(y|x،θ)ص(θ|x)=ص(y|x)ص(θ|y،x)≃q~(θ)=Zq(θ).{\displaystyle p({\bf {y}},\theta |{\bf {x}})\;=\;p({\bf {y}}|{\bf {x}},\theta )p(\theta |{\bf {x}})\;=\;p({\bf {y}}|{\bf {x}})p(\theta |{\bf {y}},{\bf {x}})\;\simeq \;{\tilde {q}}(\theta )\;=\;Zq(\theta ).}

يساوي الاحتمال المشترك حاصل ضرب الاحتمالية والاحتمال المسبق، وبحسب قاعدة بايز ، يساوي حاصل ضرب الاحتمالية الحديةص(y|x){\displaystyle p({\bf {y}}|{\bf {x}})}والخلفي​ص(θ|y،x){\displaystyle p(\theta |{\bf {y}},{\bf {x}})}يُنظر إليه كدالة لـθ{\displaystyle \theta }الوصلة عبارة عن كثافة غير مُعَيَّرة.

في تقريب لابلاس، نقوم بتقريب المفصل بواسطة دالة غاوسية غير مُعَيَّرةq~(θ)=Zq(θ){\displaystyle {\tilde {q}}(\theta )=Zq(\theta )}، حيث نستخدمq{\displaystyle q}للدلالة على الكثافة التقريبية،q~{\displaystyle {\tilde {q}}}للكثافة غير المعيارية وZ{\displaystyle Z}ثابت التطبيع لـq~{\displaystyle {\tilde {q}}}(بشكل مستقل عنθ{\displaystyle \theta }). بما أن الاحتمالية الحديةص(y|x){\displaystyle p({\bf {y}}|{\bf {x}})}لا يعتمد على المعاملθ{\displaystyle \theta }والخلفيص(θ|y،x){\displaystyle p(\theta |{\bf {y}},{\bf {x}})}يعود الوضع إلى طبيعتهθ{\displaystyle \theta }يمكننا التعرف عليهم على الفور من خلالZ{\displaystyle Z}وq(θ){\displaystyle q(\theta )}من تقريبنا، على التوالي.

تقريب لابلاس هو

ص(y،θ|x)≃ص(y،θ^|x)خبرة⁡(-12(θ-θ^)⊤S-1(θ-θ^))=q~(θ)،{\displaystyle p({\bf {y}},\theta |{\bf {x}})\;\simeq \;p({\bf {y}},{\hat {\theta }}|{\bf {x}})\exp {\big (}-{\tfrac {1}{2}}(\theta -{\hat {\theta }})^{\top }S^{-1}(\theta -{\hat {\theta }}){\big )}\;=\;{\tilde {q}}(\theta ),}

حيث حددنا

θ^=argmaxθ⁡سجل⁡ص(y،θ|x)،S-1=-∇θ∇θسجل⁡ص(y،θ|x)|θ=θ^،{\displaystyle {\begin{aligned}{\hat {\theta }}&\;=\;\operatorname {argmax} _{\theta }\log p({\bf {y}},\theta |{\bf {x}}),\\S^{-1}&\;=\;-\left.\nabla _{\theta }\nabla _{\theta }\log p({\bf {y}},\theta |{\bf {x}})\right|_{\theta ={\hat {\theta }}},\end{aligned}}}

أينθ^{\displaystyle {\hat {\theta }}}هو موقع نمط كثافة الهدف المشترك، والمعروف أيضًا باسم نقطة الاحتمال اللاحق الأقصى أو نقطة MAP وS-1{\displaystyle S^{-1}}هود×د{\displaystyle D\times D}مصفوفة موجبة محددة للمشتقات الثانية للوغاريتم السالب لكثافة الهدف المشتركة عند الوضعθ=θ^{\displaystyle \theta ={\hat {\theta }}}وبالتالي، يتطابق تقريب غاوس مع قيمة وانحناء لوغاريتم كثافة الهدف غير المُعَيَّرة عند النمط. قيمةθ^{\displaystyle {\hat {\theta }}}يتم العثور عليها عادة باستخدام طريقة تعتمد على التدرج .

باختصار، لدينا

q(θ)=شمال(θ|μ=θ^،Σ=S)،سجل⁡Z=سجل⁡ص(y،θ^|x)+12سجل⁡|S|+د2سجل⁡(2π)،{\displaystyle {\begin{aligned}q(\theta )&\;=\;{\cal {N}}(\theta |\mu ={\hat {\theta }},\Sigma =S),\\\log Z&\;=\;\log p({\bf {y}},{\hat {\theta }}|{\bf {x}})+{\tfrac {1}{2}}\log |S|+{\tfrac {D}{2}}\log(2\pi ),\end{aligned}}}

بالنسبة للتوزيع الاحتمالي الخلفي التقريبي علىθ{\displaystyle \theta }واللوغاريتم التقريبي للاحتمالية الحدية على التوالي.

تتمثل أبرز نقاط ضعف تقريب لابلاس في تناظره حول النمط، وفي كونه محليًا للغاية: إذ يُستمد التقريب بأكمله من خصائص نقطة واحدة من كثافة الهدف. تُستخدم طريقة لابلاس على نطاق واسع، وقد رُوِّج لها في سياق الشبكات العصبية على يد ديفيد ماكاي [ 6 ] ، وفي سياق العمليات الغاوسية على يد ويليامز وباربر [ 7 ] .

تقريب لابلاس المتداخل المتكامل

تقريب لابلاس المتداخل المتكامل (INLA هي طريقةللاستدلال البايزيتعتمد على تقريب لابلاس. [ 8 ] صُممت هذه الطريقة لفئة من النماذج تُسمى نماذج غاوس الكامنة (LGMs)، حيث تُعد بديلاً سريعًا ودقيقًامونت كارلو لسلاسل ماركوفلحساب التوزيعات الهامشية اللاحقة. [ 9 ] [ 10 ] [ 11 ] نظرًا لسرعتها النسبية حتى مع مجموعات البيانات الكبيرة في بعض المشكلات والنماذج، أصبحت INLA طريقة استدلال شائعة في الإحصاء التطبيقي، ولا سيماالإحصاء المكاني،وعلم البيئة،الزلازل، وعلمالأوبئة. [ 12 ] [ 13 ] [ 14 ] من الممكن أيضًا دمج INLA معحلطريقة العناصر المحدودةلمعادلة تفاضلية جزئية عشوائيةلدراسة، على سبيل المثال، عمليات النقاط المكانية ونماذجتوزيع الأنواع. [ 15 ] [ 16 ] تم تطبيق طريقة INLA فيحزمةالبرمجة R. [ 17 ]

نماذج غاوسية كامنة

يتركy=(y1،...،yن){\displaystyle {\boldsymbol {y}}=(y_{1},\dots ,y_{n})}لنرمز إلى متغير الاستجابة (أي المشاهدات) الذي ينتمي إلى عائلة أسية ، بمتوسطμأنا{\displaystyle \mu _{i}}(لyأنا{\displaystyle y_{i}}) الارتباط بمتنبئ خطيηأنا{\displaystyle \eta _{i}}عبر دالة ربط مناسبة . يمكن أن يتخذ المتنبئ الخطي شكل نموذج إضافي (بيزي) . تُرمز جميع التأثيرات الكامنة (المتنبئ الخطي، والتقاطع، ومعاملات المتغيرات المصاحبة المحتملة، وما إلى ذلك) بشكل جماعي بواسطة المتجه.x{\displaystyle {\boldsymbol {x}}}يُرمز إلى المعلمات الفائقة للنموذج بـθ{\displaystyle {\boldsymbol {\theta }}}وفقًا للإحصاءات البايزية،x{\displaystyle {\boldsymbol {x}}}وθ{\displaystyle {\boldsymbol {\theta }}}هي متغيرات عشوائية ذات توزيعات مسبقة.

يُفترض أن تكون المشاهدات مستقلة شرطيًا بالنظر إلىx{\displaystyle {\boldsymbol {x}}}وθ{\displaystyle {\boldsymbol {\theta }}}:π(y|x،θ)=∏أنا∈أناπ(yأنا|ηأنا،θ)،{\displaystyle \pi ({\boldsymbol {y}}|{\boldsymbol {x}},{\boldsymbol {\theta }})=\prod _{i\in {\mathcal {I}}}\pi (y_{i}|\eta _{i},{\boldsymbol {\theta }}),}أينأنا{\displaystyle {\mathcal {I}}}هي مجموعة المؤشرات للعناصر المرصودة منy{\displaystyle {\boldsymbol {y}}}(قد لا تُلاحظ بعض العناصر، ولذلك يحسب برنامج INLA توزيعًا تنبؤيًا لاحقًا). لاحظ أن المتنبئ الخطيη{\displaystyle {\boldsymbol {\eta }}}جزء منx{\displaystyle {\boldsymbol {x}}}.

لكي يكون النموذج نموذجًا غاوسيًا كامنًا، يُفترض أنx|θ{\displaystyle {\boldsymbol {x}}|{\boldsymbol {\theta }}}هو حقل عشوائي ماركوف غاوسي (GMRF) [ 8 ] (أي، غاوسي متعدد المتغيرات مع خصائص استقلال شرطي إضافية ) بكثافة احتماليةπ(x|θ)∝|سؤالθ|1/2خبرة⁡(-12xتيسؤالθx)،{\displaystyle \pi ({\boldsymbol {x}}|{\boldsymbol {\theta }})\propto \left|{\boldsymbol {Q_{\theta }}}\right|^{1/2}\exp \left(-{\frac {1}{2}}{\boldsymbol {x}}^{T}{\boldsymbol {Q_{\theta }}}{\boldsymbol {x}}\right),}أينسؤالθ{\displaystyle {\boldsymbol {Q_{\theta }}}}هوθ{\displaystyle {\boldsymbol {\theta }}}مصفوفة دقة متفرقة تعتمد على -|سؤالθ|{\displaystyle \left|{\boldsymbol {Q_{\theta }}}\right|}هو مُحدِّدها. مصفوفة الدقة متفرقة بسبب افتراض GMRF. التوزيع المسبقπ(θ){\displaystyle \pi ({\boldsymbol {\theta }})}لا يشترط أن تكون المعلمات الفائقة موزعة توزيعًا طبيعيًا (غاوسيًا). ومع ذلك، فإن عدد المعلمات الفائقة،م=دأنام(θ){\displaystyle m=\mathrm {dim} ({\boldsymbol {\theta }})}، يفترض أن تكون صغيرة (على سبيل المثال، أقل من 15).

الاستدلال البايزي التقريبي باستخدام INLA

في الاستدلال البايزي، يرغب المرء في إيجاد التوزيع الاحتمالي اللاحق للمتغيرات الكامنةx{\displaystyle {\boldsymbol {x}}}وθ{\displaystyle {\boldsymbol {\theta }}}تطبيق نظرية بايزπ(x،θ|y)=π(y|x،θ)π(x|θ)π(θ)π(y)،{\displaystyle \pi ({\boldsymbol {x}},{\boldsymbol {\theta }}|{\boldsymbol {y}})={\frac {\pi ({\boldsymbol {y}}|{\boldsymbol {x}},{\boldsymbol {\theta }})\pi ({\boldsymbol {x}}|{\boldsymbol {\theta }})\pi ({\boldsymbol {\theta }})}{\pi ({\boldsymbol {y}})}},}التوزيع الخلفي المشترك لـx{\displaystyle {\boldsymbol {x}}}وθ{\displaystyle {\boldsymbol {\theta }}}يُعطى بواسطةπ(x،θ|y)∝π(θ)π(x|θ)∏أناπ(yأنا|ηأنا،θ)∝π(θ)|سؤالθ|1/2خبرة⁡(-12xتيسؤالθx+∑أناسجل⁡[π(yأنا|ηأنا،θ)]).{\displaystyle {\begin{aligned}\pi ({\boldsymbol {x}},{\boldsymbol {\theta }}|{\boldsymbol {y}})&\propto \pi ({\boldsymbol {\theta }})\pi ({\boldsymbol {x}}|{\boldsymbol {\theta }})\prod _{i}\pi (y_{i}|\eta _{i},{\boldsymbol {\theta }})\\&\propto \pi ({\boldsymbol {\theta }})\left|{\boldsymbol {Q_{\theta }}}\right|^{1/2}\exp \left(-{\frac {1}{2}}{\boldsymbol {x}}^{T}{\boldsymbol {Q_{\theta }}}{\boldsymbol {x}}+\sum _{i}\log \left[\pi (y_{i}|\eta _{i},{\boldsymbol {\theta }})\right]\right).\end{aligned}}}يُعدّ الحصول على التوزيع الاحتمالي الخلفي الدقيق مشكلة بالغة الصعوبة عمومًا. في خوارزمية INLA، يتمثل الهدف الرئيسي في تقريب التوزيعات الاحتمالية الخلفية الهامشية.π(xأنا|y)=∫π(xأنا|θ،y)π(θ|y)دθπ(θج|y)=∫π(θ|y)دθ-ج،{\displaystyle {\begin{array}{rcl}\pi (x_{i}|{\boldsymbol {y}})&=&\int \pi (x_{i}|{\boldsymbol {\theta }},{\boldsymbol {y}})\pi ({\boldsymbol {\theta }}|{\boldsymbol {y}})d{\boldsymbol {\theta }}\\\pi (\theta _{j}|{\boldsymbol {y}})&=&\int \pi ({\boldsymbol {\theta }}|{\boldsymbol {y}})d{\boldsymbol {\theta }}_{-j},\end{array}}}أينθ-ج=(θ1،...،θج-1،θج+1،...،θم){\displaystyle {\boldsymbol {\theta }}_{-j}=\left(\theta _{1},\dots ,\theta _{j-1},\theta _{j+1},\dots ,\theta _{m}\right)}.

تتمثل الفكرة الرئيسية لـ INLA في بناء تقريبات متداخلة معطاة بواسطةπ~(xأنا|y)=∫π~(xأنا|θ،y)π~(θ|y)دθπ~(θج|y)=∫π~(θ|y)دθ-ج،{\displaystyle {\begin{array}{rcl}{\widetilde {\pi }}(x_{i}|{\boldsymbol {y}})&=&\int {\widetilde {\pi }}(x_{i}|{\boldsymbol {\theta }},{\boldsymbol {y}}){\widetilde {\pi }}({\boldsymbol {\theta }}|{\boldsymbol {y}})d{\boldsymbol {\theta }}\\{\widetilde {\pi }}(\theta _{j}|{\boldsymbol {y}})&=&\int {\widetilde {\pi }}({\boldsymbol {\theta }}|{\boldsymbol {y}})d{\boldsymbol {\theta }}_{-j},\end{array}}}أينπ~(⋅|⋅){\displaystyle {\widetilde {\pi }}(\cdot |\cdot )}هي كثافة احتمالية خلفية تقريبية. التقريب للكثافة الهامشيةπ(xأنا|y){\displaystyle \pi (x_{i}|{\boldsymbol {y}})}يتم الحصول عليها بطريقة متداخلة عن طريق التقريب أولاًπ(θ|y){\displaystyle \pi ({\boldsymbol {\theta }}|{\boldsymbol {y}})}وπ(xأنا|θ،y){\displaystyle \pi (x_{i}|{\boldsymbol {\theta }},{\boldsymbol {y}})}ثم يتم إجراء التكامل العدديθ{\displaystyle {\boldsymbol {\theta }}}مثلπ~(xأنا|y)=∑كπ~(xأنا|θك،y)×π~(θك|y)×Δك،{\displaystyle {\begin{aligned}{\widetilde {\pi }}(x_{i}|{\boldsymbol {y}})=\sum _{k}{\widetilde {\pi }}\left(x_{i}|{\boldsymbol {\theta }}_{k},{\boldsymbol {y}}\right)\times {\widetilde {\pi }}({\boldsymbol {\theta }}_{k}|{\boldsymbol {y}})\times \Delta _{k},\end{aligned}}}حيث يتم الجمع على قيمθ{\displaystyle {\boldsymbol {\theta }}}، مع أوزان التكامل المعطاة بواسطةΔك{\displaystyle \Delta _{k}}تقريبπ(θج|y){\displaystyle \pi (\theta _{j}|{\boldsymbol {y}})}يتم حسابها عن طريق التكامل العدديθ-ج{\displaystyle {\boldsymbol {\theta }}_{-j}}منπ~(θ|y){\displaystyle {\widetilde {\pi }}({\boldsymbol {\theta }}|{\boldsymbol {y}})}.

للحصول على التوزيع التقريبيπ~(θ|y){\displaystyle {\widetilde {\pi }}({\boldsymbol {\theta }}|{\boldsymbol {y}})}يمكن للمرء استخدام العلاقةπ(θ|y)=π(x،θ،y)π(x|θ،y)π(y)،{\displaystyle {\begin{aligned}{\pi }({\boldsymbol {\theta }}|{\boldsymbol {y}})={\frac {\pi \left({\boldsymbol {x}},{\boldsymbol {\theta }},{\boldsymbol {y}}\right)}{\pi \left({\boldsymbol {x}}|{\boldsymbol {\theta }},{\boldsymbol {y}}\right)\pi ({\boldsymbol {y}})}},\end{aligned}}}كنقطة انطلاق. ثمπ~(θ|y){\displaystyle {\widetilde {\pi }}({\boldsymbol {\theta }}|{\boldsymbol {y}})}يتم الحصول عليها عند قيمة محددة للمعاملات الفائقةθ=θك{\displaystyle {\boldsymbol {\theta }}={\boldsymbol {\theta }}_{k}}باستخدام تقريب لابلاس [ 8 ]π~(θك|y)∝π(x،θك،y)π~جي(x|θك،y)|x=x*(θك)،∝π(y|x،θك)π(x|θك)π(θك)π~جي(x|θك،y)|x=x*(θك)،{\displaystyle {\begin{aligned}{\widetilde {\pi }}({\boldsymbol {\theta }}_{k}|{\boldsymbol {y}})&\propto \left.{\frac {\pi \left({\boldsymbol {x}},{\boldsymbol {\theta }}_{k},{\boldsymbol {y}}\right)}{{\widetilde {\pi }}_{G}\left({\boldsymbol {x}}|{\boldsymbol {\theta }}_{k},{\boldsymbol {y}}\right)}}\right\vert _{{\boldsymbol {x}}={\boldsymbol {x}}^{*}({\boldsymbol {\theta }}_{k})},\\&\propto \left.{\frac {\pi ({\boldsymbol {y}}|{\boldsymbol {x}},{\boldsymbol {\theta }}_{k})\pi ({\boldsymbol {x}}|{\boldsymbol {\theta }}_{k})\pi ({\boldsymbol {\theta }}_{k})}{{\widetilde {\pi }}_{G}\left({\boldsymbol {x}}|{\boldsymbol {\theta }}_{k},{\boldsymbol {y}}\right)}}\right\vert _{{\boldsymbol {x}}={\boldsymbol {x}}^{*}({\boldsymbol {\theta }}_{k})},\end{aligned}}}أينπ~جي(x|θك،y){\displaystyle {\widetilde {\pi }}_{G}\left({\boldsymbol {x}}|{\boldsymbol {\theta }}_{k},{\boldsymbol {y}}\right)}هو التقريب الغاوسي لـπ(x|θك،y){\displaystyle {\pi }\left({\boldsymbol {x}}|{\boldsymbol {\theta }}_{k},{\boldsymbol {y}}\right)}نمطه عند قيمة معينةθك{\displaystyle {\boldsymbol {\theta }}_{k}}يكونx*(θك){\displaystyle {\boldsymbol {x}}^{*}({\boldsymbol {\theta }}_{k})}يمكن إيجاد النمط عدديًا، على سبيل المثال باستخدام طريقة نيوتن-رافسون .

يكمن سر تقريب لابلاس المذكور أعلاه في حقيقة أن تقريب غاوس يُطبق على الشرط الكامل لـx{\displaystyle {\boldsymbol {x}}}في المقام لأنه عادة ما يكون قريبًا من التوزيع الغاوسي بسبب خاصية GMRF لـx{\displaystyle {\boldsymbol {x}}}يؤدي تطبيق التقريب هنا إلى تحسين دقة الطريقة، لأن التوزيع الاحتمالي اللاحقπ(θ|y){\displaystyle {\pi }({\boldsymbol {\theta }}|{\boldsymbol {y}})}لا يشترط أن تكون قريبة من التوزيع الغاوسي، وبالتالي لا يتم تطبيق تقريب التوزيع الغاوسي بشكل مباشر عليها.π(θ|y){\displaystyle {\pi }({\boldsymbol {\theta }}|{\boldsymbol {y}})}الخاصية الثانية المهمة لنموذج GMRF هي تباعد مصفوفة الدقةسؤالθك{\displaystyle {\boldsymbol {Q}}_{{\boldsymbol {\theta }}_{k}}}، وهو أمر ضروري لإجراء حسابات فعالة لـπ~(θك|y){\displaystyle {\widetilde {\pi }}({\boldsymbol {\theta }}_{k}|{\boldsymbol {y}})}لكل قيمةθك{\displaystyle {{\boldsymbol {\theta }}_{k}}}[ 8 ]​

الحصول على التوزيع التقريبيπ~(xأنا|θك،y){\displaystyle {\widetilde {\pi }}\left(x_{i}|{\boldsymbol {\theta }}_{k},{\boldsymbol {y}}\right)}الأمر أكثر تعقيدًا، وتوفر طريقة INLA ثلاثة خيارات لذلك: تقريب غاوسي، تقريب لابلاس، أو تقريب لابلاس المبسط. [ 8 ] وللحصول على التكامل العدديπ~(xأنا|y){\displaystyle {\widetilde {\pi }}(x_{i}|{\boldsymbol {y}})}كما تتوفر ثلاثة خيارات: البحث الشبكي، أو التصميم المركب المركزي، أو بايز التجريبي. [ 8 ]

مراجع

  1. ↑ "quap: حساب التوزيع الاحتمالي الخلفي التقريبي التربيعي في rmcelreath/rethinking: حزمة كتاب إعادة التفكير الإحصائي" . rdrr.io. تم ​​الاسترجاع في 17 مارس 2026 .
  2. ↑ كاس، روبرت إي.؛ تيرني، لوك؛ كادان، جوزيف ب. (1991). "طريقة لابلاس في التحليل البايزي". التكامل الإحصائي المتعدد . الرياضيات المعاصرة. المجلد 115. الصفحات 89-100 . doi : 10.1090/conm/115/07 . ISBN   0-8218-5122-5.
  3. ↑ ماكاي، ديفيد جيه سي (2003). "نظرية المعلومات، الاستدلال وخوارزميات التعلم، الفصل 27: طريقة لابلاس" (PDF) .
  4. ↑ هارتيغان، جيه إيه (1983). "التقارب الطبيعي للتوزيعات الاحتمالية اللاحقة". نظرية بايز . سلسلة سبرينغر في الإحصاء. نيويورك: سبرينغر. ص 107-118 . doi : 10.1007/978-1-4613-8242-3_11 . ISBN  978-1-4613-8244-7.
  5. ↑ كاس، روبرت إي.؛ تيرني، لوك؛ كادان، جوزيف ب. (1990). "صحة توسعات الاحتمال اللاحق بناءً على طريقة لابلاس". في: جيسر، س.؛ هودجز، جيه إس؛ بريس، إس جيه؛ زيلنر، أ. (محررون). طرق بايز وطرق الاحتمال في الإحصاء والاقتصاد القياسي . إلسيفير. ص 473-488 . ISBN  0-444-88376-2.
  6. ↑ ماكاي، ديفيد جيه سي (1992). "الاستيفاء البايزي" (ملف PDF) . الحوسبة العصبية . 4 (3). مطبعة معهد ماساتشوستس للتكنولوجيا: 415-447 . doi : 10.1162/neco.1992.4.3.415 . S2CID 1762283 . 
  7. ↑ ويليامز، كريستوفر كي؛ باربر، ديفيد (1998). "التصنيف البايزي باستخدام العمليات الغاوسية" (ملف PDF) . معاملات IEEE في تحليل الأنماط والذكاء الآلي . 20 (12). IEEE: 1342–1351 . doi : 10.1109/34.735807 .
  8. 1 2 3 4 5 6 رو، هافارد؛ مارتينو، سارة؛ شوبان، نيكولاس (2009). "الاستدلال البايزي التقريبي للنماذج الغاوسية الكامنة باستخدام تقريبات لابلاس المتداخلة المتكاملة". مجلة الجمعية الملكية للإحصاء، السلسلة ب . 71 (2): 319-392 . doi : 10.1111/j.1467-9868.2008.00700.x . hdl : 2066/75507 . S2CID 1657669 . 
  9. ↑ تايلور، بنجامين م.؛ ديجل، بيتر ج. (2014). "INLA أم MCMC؟ دليل وتقييم مقارن للتنبؤ المكاني في عمليات كوكس اللوغاريتمية الغاوسية". مجلة الحساب الإحصائي والمحاكاة . 84 (10): 2266-2284 . arXiv : 1202.1738 . doi : 10.1080/00949655.2013.788653 . S2CID 88511801 . 
  10. ↑ تينغ، م.؛ ناثو، ف.؛ جونسون، ت. د. (2017). "الحساب البايزي لعمليات كوكس اللوغاريتمية الغاوسية: تحليل مقارن للطرق" . مجلة الحساب الإحصائي والمحاكاة . 87 (11): 2227-2252 . doi : 10.1080/00949655.2017.1326117 . PMC 5708893. PMID 29200537 .  
  11. ↑ وانغ، شياوفينغ؛ يو، يو رايان؛ فاراواي، جوليان جيه. (2018). نمذجة الانحدار البايزي باستخدام INLA . تشابمان آند هول/سي آر سي. ISBN 9781498727259.
  12. ↑ بلانجياردو، مارتا؛ كاميليتي، ميكيلا (2015). نماذج بايزية مكانية ومكانية-زمانية باستخدام R-INLA . جون وايلي وأولاده المحدودة. ISBN 9781118326558.
  13. ^ أوبيتز، ت. (2017). “النمذجة الغوسية الكامنة وINLA: مراجعة مع التركيز على تطبيقات الزمكان”. مجلة الشركة الفرنسية للإحصاء . 158 : 62 – 85. أرخايف : 1708.02723 .
  14. ↑ موراجا، باولا (2019). بيانات الصحة الجغرافية المكانية: النمذجة والتصور باستخدام R-INLA وShiny . تشابمان آند هول/سي آر سي. ISBN 9780367357955.
  15. ↑ ليندغرين، فين؛ رو، هافارد؛ ليندستروم، يوهان (2011). "رابط صريح بين الحقول الغاوسية والحقول العشوائية الغاوسية الماركوفية: منهج المعادلات التفاضلية الجزئية العشوائية". مجلة الجمعية الملكية للإحصاء، السلسلة ب ، 73 (4): 423-498 . doi : 10.1111/j.1467-9868.2011.00777.x . hdl : 20.500.11820/1084d335-e5b4-4867-9245-ec9c4f6f4645 . S2CID 120949984 . 
  16. ^ ليزاما أوتشوا، ن. جراتسيا بينينو، م.؛ هول، ماساتشوستس؛ لوبيز، J.؛ موروا، هـ. (2020). "استخدام منهج النمذجة الافتراضية (INLA-SPDE) للتنبؤ بحدوث شعاع الشيطان ذو الذيل الشوكي (Mobular mobular)" . التقارير العلمية . 10 (1): 18822. بيب كود : 2020NatSR..1018822L . دوى : 10.1038/s41598-020-73879-3 . بمك 7606447 . بميد 33139744 .  
  17. ↑ "مشروع R-INLA" . تم الاطلاع عليه بتاريخ 21 أبريل 2022 .

للمزيد من القراءة

  • أمارال تركمان، م. أنطونيا؛ باولينو، كارلوس دانيال؛ مولر، بيتر (2019). "طريقة لابلاس الكلاسيكية". الإحصاءات البايزية الحاسوبية  : مقدمة . كامبريدج: مطبعة جامعة كامبريدج. ص 154-159 . ISBN  978-1-108-48103-8.
  • غوميز-روبيو، فيرجيلو (2021). الاستدلال البايزي باستخدام INLA . تشابمان آند هول/سي آر سي. رقم ISBN 978-1-03-217453-2.
  • تانر، مارتن أ. (1996). "العزوم اللاحقة والتهميش بناءً على طريقة لابلاس". أدوات الاستدلال الإحصائي . نيويورك: سبرينغر. ص 44-51 . ISBN  0-387-94688-8.