معادلات الجسم الساقط

مجموعة من المعادلات تصف مسارات الأجسام الخاضعة لقوة جاذبية ثابتة في الظروف الطبيعية للأرض . بافتراض تسارع ثابت g ناتج عن جاذبية الأرض، يتبسط قانون نيوتن للجاذبية الكونية إلى F = mg ، حيث F هي القوة المؤثرة على كتلة m بواسطة مجال جاذبية الأرض الذي تبلغ شدته g . يُعدّ افتراض ثبات g منطقيًا للأجسام الساقطة على الأرض عبر مسافات رأسية قصيرة نسبيًا كما نراها في حياتنا اليومية، ولكنه غير صالح للمسافات الأكبر التي يتطلبها حساب التأثيرات البعيدة، مثل مسارات المركبات الفضائية.

كان غاليليو أول من برهن على هذه المعادلات ثم صاغها. استخدم منحدرًا لدراسة تدحرج الكرات، حيث أدى المنحدر إلى إبطاء التسارع بما يكفي لقياس الزمن الذي تستغرقه الكرة لقطع مسافة معلومة. ^{[ 1 ] [ 2 ]} قاس غاليليو الزمن المنقضي باستخدام ساعة مائية ، مستعينًا بميزان دقيق للغاية لقياس كمية الماء. ^{[ ملاحظة 1 ]}

تتجاهل المعادلات مقاومة الهواء، التي تؤثر بشكل كبير على الأجسام الساقطة لمسافات طويلة في الهواء، مما يجعلها تقترب بسرعة من سرعة نهائية . ويختلف تأثير مقاومة الهواء اختلافًا كبيرًا تبعًا لحجم الجسم الساقط وشكله الهندسي ؛ فعلى سبيل المثال، تكون المعادلات خاطئة تمامًا بالنسبة للريشة، التي تتميز بكتلة منخفضة ولكنها تُبدي مقاومة كبيرة للهواء. (في غياب الغلاف الجوي، تسقط جميع الأجسام بنفس المعدل، كما أثبت رائد الفضاء ديفيد سكوت بإسقاطه مطرقة وريشة على سطح القمر ) .

تتجاهل المعادلات أيضًا دوران الأرض، فهي لا تصف تأثير كوريوليس على سبيل المثال. ومع ذلك، فهي عادةً ما تكون دقيقة بما يكفي للأجسام الكثيفة والمتراصة التي تسقط من ارتفاعات لا تتجاوز أعلى المباني التي صنعها الإنسان.

بالقرب من سطح الأرض، تبلغ قيمة تسارع الجاذبية الأرضية g  =  9.807  م/ث² ⁽ متر في الثانية المربعة ، ويمكن التعبير عنها بـ "متر في الثانية، في الثانية"؛ أو 32.18  قدم/ث² ⁽ قدم في الثانية في الثانية) تقريبًا). من الضروري وجود مجموعة وحدات متناسقة لـ g و d و t و v . بافتراض استخدام وحدات النظام الدولي للوحدات (SI) ، تُقاس g بوحدة متر في الثانية المربعة، لذا يجب قياس d بالمتر، و t بالثانية، و v بالمتر في الثانية.

في جميع الحالات، يُفترض أن الجسم يبدأ من السكون، ويُهمل تأثير مقاومة الهواء. عمومًا، في الغلاف الجوي للأرض، ستكون جميع النتائج المذكورة أدناه غير دقيقة بعد 5 ثوانٍ فقط من السقوط (حيث ستكون سرعة الجسم حينها أقل بقليل من قيمة الفراغ البالغة 49  م/ث  (9.8  م/ث² ^×  5  ث  ) بسبب مقاومة الهواء). تُحدث مقاومة الهواء قوة سحب على أي جسم يسقط في أي غلاف جوي عدا الفراغ التام، وتزداد قوة السحب هذه مع السرعة حتى تُساوي قوة الجاذبية، مما يجعل الجسم يسقط بسرعة نهائية ثابتة .

تعتمد السرعة النهائية على السحب الجوي، ومعامل السحب للجسم، والسرعة (اللحظية) للجسم، والمساحة المعروضة لتدفق الهواء.

إلى جانب الصيغة الأخيرة، تفترض هذه الصيغ أيضًا أن قيمة g تتغير بشكل طفيف مع الارتفاع أثناء السقوط (أي أنها تفترض تسارعًا ثابتًا). وتكون المعادلة الأخيرة أكثر دقة عندما تُحدث تغيرات كبيرة في المسافة النسبية من مركز الكوكب أثناء السقوط تغيرات كبيرة في قيمة g . وتظهر هذه المعادلة في العديد من تطبيقات الفيزياء الأساسية .

تبدأ المعادلات التالية من المعادلات العامة للحركة الخطية :

${\displaystyle d(t)=d_{0}+v_{0}t+{1 \over 2}at^{2}}$

${\displaystyle v(t)=v_{0}+at}$

ومعادلة الجاذبية الكونية (r+d = المسافة بين الجسم فوق سطح الأرض ومركز كتلة الكوكب):

${\displaystyle F=G{{mM} \over {(r+d)^{2}}}=mg}$

تُظهر المعادلة الأولى أنه بعد ثانية واحدة، يكون الجسم قد سقط مسافة 4.9 متر (1/2 × 9.8 × 1/2) ^. وبعد ثانيتين، يكون قد سقط مسافة 19.6 متر (1/2 × 9.8 × 2/2) ^، وهكذا. من جهة أخرى، تصبح المعادلة قبل الأخيرة غير دقيقة بشكل كبير عند المسافات البعيدة. فإذا سقط جسم من ارتفاع 10000 متر إلى الأرض، فإن نتائج المعادلتين تختلف بنسبة 0.08 % فقط؛ أما إذا سقط من مدار متزامن مع الأرض ، والذي يبلغ ارتفاعه 42164  كيلومترًا، فإن الفرق يصل إلى حوالي 64 %.

على سبيل المثال، بناءً على مقاومة الهواء، تبلغ السرعة النهائية للقفز المظلي في وضعية السقوط الحر مع توجيه البطن نحو الأرض (أي الوجه لأسفل) حوالي 195  كم/ساعة (122  ميل/ساعة أو 54  م/ث). ^{[ 3 ]} تمثل هذه السرعة القيمة الحدية التقاربية لعملية التسارع، لأن القوى المؤثرة على الجسم تتوازن فيما بينها بشكل متزايد كلما اقتربنا من السرعة النهائية. في هذا المثال، يتم الوصول إلى سرعة 50% من السرعة النهائية بعد حوالي 3 ثوانٍ فقط، بينما يستغرق الوصول إلى 90 % منها 8 ثوانٍ، و15 ثانية للوصول إلى 99 %، وهكذا.

يمكن بلوغ سرعات أعلى إذا قام المظلي بضم أطرافه (انظر أيضًا الطيران الحر ). ^{[ 3 ]} في هذه الحالة، تزداد السرعة النهائية إلى حوالي 320  كم/ساعة (200  ميل/ساعة أو 90  م/ث)، وهي تقريبًا السرعة النهائية للصقر الشاهين عند انقضاضه على فريسته. ^{[ 4 ]} وتُحقق نفس السرعة النهائية لرصاصة نموذجية من عيار 0.30-06 عند سقوطها للأسفل - عند عودتها إلى الأرض بعد إطلاقها للأعلى، أو إسقاطها من برج - وفقًا لدراسة أجرتها إدارة الذخائر بالجيش الأمريكي عام 1920. ^{[ 5 ]}

بالنسبة للأجرام السماوية الأخرى غير الأرض ، ولمسافات السقوط القصيرة على مستويات أخرى غير مستوى سطح الأرض، يمكن استبدال قيمة g في المعادلات المذكورة أعلاه بـ${\displaystyle {\frac {G(M+m)}{r^{2}}}}$حيث G هو ثابت الجاذبية ، وM هي كتلة الجسم الفلكي، وm هي كتلة الجسم الساقط، و r هو نصف القطر من الجسم الساقط إلى مركز الجسم الفلكي.

يؤدي حذف الافتراض المبسط المتمثل في تسارع الجاذبية المنتظم إلى نتائج أكثر دقة. نجد من صيغة المسارات الإهليلجية الشعاعية ما يلي :

الزمن t الذي يستغرقه جسم ما للسقوط من ارتفاع r إلى ارتفاع x ، مقاسًا من مركزي الجسمين، يُعطى بالصيغة التالية:

${\displaystyle t={\frac {{\frac {\pi }{2}}-\arcsin {\Big (}{\sqrt {\frac {x}{r}}}{\Big )}+{\sqrt {{\frac {x}{r}}\ (1-{\frac {x}{r}})}}}{\sqrt {2\mu }}}\,r^{3/2}}$

أين${\displaystyle \mu =G(M+m)}$هو مجموع معاملات الجاذبية القياسية للجسمين. يجب استخدام هذه المعادلة كلما كان هناك فرق كبير في تسارع الجاذبية أثناء السقوط. لاحظ أنه عندما${\displaystyle x=r}$هذه المعادلة تعطي${\displaystyle t=0}$كما هو متوقع؛ وعندما${\displaystyle x=0}$إنه يعطي${\displaystyle t={\frac {\pi }{2}}{\sqrt {\frac {r^{3}}{2\mu }}}}$، وهو الوقت اللازم للاصطدام.

تتسبب القوة المركزية في اختلاف التسارع المقاس على سطح الأرض الدوار عن التسارع المقاس لجسم يسقط سقوطًا حرًا: التسارع الظاهري في الإطار المرجعي الدوار هو متجه الجاذبية الكلي مطروحًا منه متجه صغير باتجاه المحور الشمالي الجنوبي للأرض، وهو ما يتوافق مع البقاء ثابتًا في ذلك الإطار المرجعي.

• De motu antiquiora و Two New Sciences (أقدم الدراسات الحديثة لحركة الأجسام الساقطة)
• معادلات الحركة
• السقوط الحر
• جاذبية
• نظرية السرعة المتوسطة ، أساس قانون سقوط الأجسام
• المسار الشعاعي

• حاسبة معادلات الجسم الساقط