المستوى المائل

المستوى المائل ، المعروف أيضًا باسم المنحدر ، هو سطح داعم مسطح مائل بزاوية من الاتجاه الرأسي ، مع وجود أحد طرفيه أعلى من الآخر، ويُستخدم كمساعد لرفع أو خفض الحمل. ^{[1] [2] [3]} المستوى المائل هو أحد الآلات البسيطة الكلاسيكية الست التي حددها علماء عصر النهضة. تُستخدم المستويات المائلة لتحريك الأحمال الثقيلة فوق العوائق الرأسية. تتنوع الأمثلة من المنحدر المستخدم لتحميل البضائع في شاحنة، إلى شخص يصعد منحدرًا للمشاة، إلى سيارة أو قطار سكة حديد يتسلق منحدرًا. ^[3]

يتطلب تحريك جسم ما لأعلى مستوى مائل قوة أقل من رفعه لأعلى بشكل مستقيم، على حساب زيادة المسافة المقطوعة. ^[4] الميزة الميكانيكية للمستوى المائل، العامل الذي يتم من خلاله تقليل القوة، تساوي نسبة طول السطح المائل إلى الارتفاع الذي يمتد عليه. نظرًا لحفظ الطاقة ، فإن نفس مقدار الطاقة الميكانيكية ( العمل ) مطلوب لرفع جسم معين لمسافة رأسية معينة ، متجاهلاً الخسائر الناتجة عن الاحتكاك ، ولكن المستوى المائل يسمح بإنجاز نفس العمل بقوة أصغر تمارس على مسافة أكبر. ^{[5] [6]}

زاوية الاحتكاك ، ^[7] وتسمى أحيانًا أيضًا زاوية السكون ، ^[8] هي أقصى زاوية يمكن للحمل عندها أن يستقر بلا حركة على مستوى مائل بسبب الاحتكاك دون الانزلاق للأسفل. هذه الزاوية تساوي الظل العكسي لمعامل الاحتكاك الساكن μ _s بين السطحين. ^[8]

غالبًا ما يُعتقد أن آلتين بسيطتين أخريين مشتقتان من المستوى المائل. [ ^9] يمكن اعتبار الإسفين مستوى مائلًا متحركًا أو مستويين مائلين متصلين عند القاعدة. ^[5] يتكون المسمار من مستوى مائل ضيق ملفوف حول أسطوانة . ^[5]

قد يشير المصطلح أيضًا إلى تنفيذ محدد؛ منحدر مستقيم مقطوع في منحدر شديد الانحدار لنقل البضائع صعودًا وهبوطًا على التل. قد يشمل هذا السيارات على قضبان أو يتم سحبها لأعلى بواسطة نظام كابلات؛ قطار جبلي مائل أو سكة حديدية معلقة ، مثل مستوى جونستاون المائل .

تُستخدم المستويات المائلة على نطاق واسع في شكل منحدرات تحميل لتحميل وتفريغ البضائع على الشاحنات والسفن والطائرات. ^[3] تُستخدم منحدرات الكراسي المتحركة للسماح للأشخاص على الكراسي المتحركة بتجاوز العوائق الرأسية دون تجاوز قوتهم. السلالم المتحركة وأحزمة النقل المائلة هي أيضًا أشكال من المستويات المائلة. ^[6] في القطار الجبلي المائل أو السكك الحديدية الكبلية ، يتم سحب عربة السكك الحديدية لأعلى مستوى مائل شديد الانحدار باستخدام الكابلات. تسمح المستويات المائلة أيضًا بإنزال الأشياء الثقيلة الهشة، بما في ذلك البشر، بأمان على مسافة رأسية باستخدام القوة العمودية للطائرة لتقليل قوة الجاذبية . تسمح شرائح إخلاء الطائرات للأشخاص بالوصول إلى الأرض بسرعة وأمان من ارتفاع طائرة ركاب .

تُبنى المستويات المائلة الأخرى في هياكل دائمة. تحتوي الطرق المخصصة للمركبات والسكك الحديدية على مستويات مائلة في شكل منحدرات تدريجية ومنحدرات وجسور للسماح للمركبات بتجاوز العوائق الرأسية مثل التلال دون فقدان الجر على سطح الطريق. ^[3] وبالمثل، تحتوي مسارات المشاة والأرصفة على منحدرات لطيفة للحد من ميلها، لضمان قدرة المشاة على الحفاظ على الجر. ^{[1] [4]} تُستخدم المستويات المائلة أيضًا كترفيه للأشخاص للانزلاق إلى أسفل بطريقة محكومة، في منزلقات الملاعب والمنزلقات المائية ومنحدرات التزلج وحدائق التزلج .

دليل ستيفين

في عام 1586، استنتج المهندس الفلمنكي سيمون ستيفين (ستيفينوس) الميزة الميكانيكية للمستوى المائل من خلال حجة استخدمت سلسلة من الخرز. [10] لقد تخيل مستويين مائلين متساويين في الارتفاع ولكن منحدرين مختلفين، موضوعين ظهرًا لظهر كما في المنشور ( أ، ب، ج أعلاه). يتم تعليق حلقة من الخيط مع خرزات على فترات متساوية فوق المستويات المائلة، مع تعليق جزء من الخيط أدناه. تعمل الخرزات التي تستقر على المستويات كأحمال على المستويات، مدعومة بقوة الشد في الخيط عند النقطة T. تسير حجة ستيفين على النحو التالي: [10] [11] [12] يجب أن يكون الخيط ثابتًا، في حالة توازن ثابت . إذا كان الخيط أثقل على أحد الجانبين من الجانب الآخر، وبدأ ينزلق إلى اليمين أو اليسار تحت وطأة وزنه، فعندما تتحرك كل خرزة إلى موضع الخرزة السابقة، لن يمكن تمييز الخيط عن موضعه الأولي وبالتالي سيستمر في عدم التوازن والانزلاق. يمكن تكرار هذه الحجة إلى ما لا نهاية، مما يؤدي إلى حركة دائرية دائمة ، وهو أمر سخيف. لذلك، فهو ثابت، مع تساوي القوى على الجانبين عند النقطة T ( أعلى ). الجزء من السلسلة المعلق أسفل المستويات المائلة متماثل، حيث يكون عدد الخرزات متساويًا على كل جانب. ويمارس قوة متساوية على كل جانب من الخيط. وبالتالي، يمكن قطع هذا الجزء من الخيط عند حواف المستويات (النقطتان S وV) ، بحيث تبقى الخرزات فقط على المستويات المائلة، وسيظل هذا الجزء المتبقي في حالة توازن ثابت. نظرًا لأن الخرزات على فترات متساوية على الخيط، فإن العدد الإجمالي للخرزات التي يدعمها كل مستوى، أي الحمل الإجمالي، يتناسب مع طول المستوى. نظرًا لأن قوة الدعم المدخلة، أي الشد في الخيط، هي نفسها لكليهما، فإن الميزة الميكانيكية لكل مستوى تتناسب مع طوله المائل كما أشار ديجكسترهاوس، [13] فإن حجة ستيفين ليست محكمة تمامًا. فالقوى التي يمارسها الجزء المعلق من السلسلة لا يلزم أن تكون متناظرة لأن الجزء المعلق لا يلزم أن يحتفظ بشكله عند تركه. وحتى إذا تم إطلاق السلسلة بزخم زاوي يساوي صفرًا، فإن الحركة بما في ذلك التذبذبات ممكنة ما لم تكن السلسلة في البداية في وضع التوازن، وهو افتراض من شأنه أن يجعل الحجة دائرية.

لقد استخدم الناس المستويات المائلة منذ عصور ما قبل التاريخ لتحريك الأشياء الثقيلة. ^{[14] [15]} الطرق المنحدرة والجسور التي بنتها الحضارات القديمة مثل الرومان هي أمثلة على المستويات المائلة المبكرة التي نجت، وتُظهر أنهم فهموا قيمة هذا الجهاز لتحريك الأشياء صعودًا. يُعتقد أن الأحجار الثقيلة المستخدمة في الهياكل الحجرية القديمة مثل ستونهنج ^[16] قد تم نقلها ووضعها في مكانها باستخدام مستويات مائلة مصنوعة من الأرض، ^[17] على الرغم من أنه من الصعب العثور على دليل على مثل هذه المنحدرات المؤقتة للبناء. تم بناء الأهرامات المصرية باستخدام مستويات مائلة، ^{[18] [19] [20] مكنت منحدرات} الحصار الجيوش القديمة من التغلب على أسوار القلعة. بنى الإغريق القدماء منحدرًا مرصوفًا بطول 6 كم (3.7 ميل) ، ديولكوس ، لسحب السفن براً عبر برزخ كورنث . ^[4]

ومع ذلك، كانت الطائرة المائلة هي آخر الآلات البسيطة الست الكلاسيكية التي تم الاعتراف بها كآلة. ربما يرجع هذا إلى أنها جهاز سلبي وغير متحرك (الحمل هو الجزء المتحرك)، ^[21] وأيضًا لأنها توجد في الطبيعة في شكل منحدرات وتلال. على الرغم من فهمهم لاستخدامها في رفع الأشياء الثقيلة، فإن الفلاسفة اليونانيين القدماء الذين عرفوا الآلات الخمس البسيطة الأخرى لم يدرجوا الطائرة المائلة كآلة. ^[22] استمرت هذه النظرة بين عدد قليل من العلماء اللاحقين؛ حتى عام 1826 كتب كارل فون لانجسدورف أن الطائرة المائلة " ... ليست آلة أكثر من منحدر الجبل ". ^{[21] حاول الفلاسفة اليونانيون} هيرون الإسكندري (حوالي 10 - 60 م) وبابوس الإسكندري (حوالي 290 - 350 م) حل مشكلة حساب القوة المطلوبة لدفع وزن لأعلى طائرة مائلة (ميزتها الميكانيكية) ، لكن حلولهم كانت غير صحيحة. ^{[23] [24] [25]}

لم يتم حل المستوى المائل رياضيًا وتصنيفه مع الآلات البسيطة الأخرى حتى عصر النهضة . ظهر أول تحليل صحيح للمستوى المائل في عمل مؤلف القرن الثالث عشر جوردانوس دي نيمور ، ^{[26] [27]} ومع ذلك، يبدو أن حله لم يُبلغ إلى فلاسفة آخرين في ذلك الوقت. ^{[24] اقترح} جيرولامو كاردانو (1570) الحل غير الصحيح بأن قوة الإدخال تتناسب مع زاوية المستوى. ^[10] ثم في نهاية القرن السادس عشر، نُشرت ثلاثة حلول صحيحة في غضون عشر سنوات، بواسطة مايكل فارو (1584)، وسيمون ستيفين (1586)، وجاليليو جاليلي (1592). ^[24] على الرغم من أنه لم يكن الأول، إلا أن اشتقاق المهندس الفلمنكي سيمون ستيفين ^[25] هو الأكثر شهرة، بسبب أصالته واستخدامه لسلسلة من الخرز (انظر المربع). ^{[12] [26]} في عام 1600، أدرج العالم الإيطالي جاليليو جاليلي المستوى المائل في تحليله للآلات البسيطة في كتابه "في الميكانيكا"، موضحًا تشابهه الأساسي مع الآلات الأخرى كمضخم للقوة. ^[28]

اكتشف ليوناردو دافنشي (1452-1519) القواعد الأولية الأولى للاحتكاك الانزلاقي على المستوى المائل ، لكنها ظلت غير منشورة في دفاتر ملاحظاته. ^[29] أعاد اكتشافها غيوم أمونتونز (1699) وطورها تشارلز أوغسطين دي كولومب (1785). ^{[29] أظهر} ليونهارد أويلر (1750) أن ظل زاوية السكون على المستوى المائل يساوي معامل الاحتكاك . ^[30]

تعتمد الميزة الميكانيكية للمستوى المائل على ميله ، أي انحداره أو انحداره. فكلما كان المنحدر أصغر، كانت الميزة الميكانيكية أكبر، وكانت القوة اللازمة لرفع وزن معين أصغر. إن ميل المستوى s يساوي الفرق في الارتفاع بين طرفيه، أو " الارتفاع "، مقسومًا على طوله الأفقي، أو " المدى ". ^[31] ويمكن أيضًا التعبير عنه بالزاوية التي يصنعها المستوى مع الأفقي، . ${\displaystyle \theta }$

${\displaystyle \theta =\tan ^{-1}{\bigg (}{\frac {\text{الارتفاع}}{\text{الجري}}}{\bigg )}\,}$

الميزة الميكانيكية لآلة بسيطة كما هو محدد كنسبة القوة الناتجة التي تمارس على الحمل إلى القوة المدخلة المطبقة. في المستوى المائل، تكون قوة الحمل الناتجة مجرد قوة الجاذبية لجسم الحمل على المستوى، وزنه . قوة الإدخال هي القوة المبذولة على الجسم، بالتوازي مع المستوى، لتحريكه لأعلى المستوى. الميزة الميكانيكية هي ${\displaystyle \mathrm {م.أ} }$${\displaystyle F_{\text{w}}}$${\displaystyle F_{\text{i}}}$

${\displaystyle \mathrm {MA} ={\frac {F_{\text{w}}}{F_{\text{i}}}}\,}$

يُطلق أحيانًا على متوسط ​​السرعة لمستوى مائل مثالي بدون احتكاك اسم الميزة الميكانيكية المثالية، بينما يُطلق على متوسط ​​السرعة عند تضمين الاحتكاك اسم الميزة الميكانيكية الفعلية . ^[32]${\displaystyle \mathrm {م.أ} }$ ${\displaystyle \mathrm {IMA} }$ ${\displaystyle \mathrm {AMA} }$

إذا لم يكن هناك احتكاك بين الجسم المتحرك والمستوى، فإن الجهاز يسمى المستوى المائل المثالي . يمكن الوصول إلى هذه الحالة إذا كان الجسم يتدحرج مثل البرميل ، أو مدعومًا بعجلات أو عجلات دوارة . وبسبب الحفاظ على الطاقة ، بالنسبة للمستوى المائل الخالي من الاحتكاك، فإن العمل المنجز على الحمل الذي يرفعه، ، يساوي العمل المنجز بواسطة قوة الإدخال، ^{[33] [34] [35]}${\displaystyle W_{\text{out}}}$${\displaystyle W_{\text{in}}}$

${\displaystyle W_{\rm {خارج}}=W_{\rm {داخل}}\,}$

يُعرَّف العمل بأنه القوة مضروبة في الإزاحة التي يتحركها الجسم. والعمل المبذول على الحمل يساوي وزنه مضروبًا في الإزاحة الرأسية التي يرتفع بها، والتي تمثل "ارتفاع" المستوى المائل

${\displaystyle W_{\rm {out}}=F_{\rm {w}}\cdot {\text{الارتفاع}}\,}$

العمل المدخل يساوي القوة المؤثرة على الجسم مضروبة في الطول القطري للمستوى المائل. ${\displaystyle F_{\text{i}}}$

${\displaystyle W_{\rm {in}}=F_{\rm {i}}\cdot {\text{الطول}}\,}$

استبدال هذه القيم في معادلة الحفاظ على الطاقة أعلاه وإعادة ترتيبها

${\displaystyle {\text{MA}}={\frac {F_{\rm {w}}}{F_{\rm {i}}}}={\frac {\text{الطول}}{\text{الارتفاع}}}\,}$

للتعبير عن الميزة الميكانيكية بزاوية المستوى، ^[34] يمكن ملاحظة ذلك من الرسم البياني ( أعلاه)${\displaystyle \theta }$

${\displaystyle \sin \theta ={\frac {\text{الارتفاع}}{\text{الطول}}}\,}$

لذا

${\displaystyle {\text{MA}}={\frac {F_{\rm {w}}}{F_{\rm {i}}}}={\frac {1}{\sin \theta }}\,}$

لذا فإن الميزة الميكانيكية لمستوى مائل خالٍ من الاحتكاك تساوي مقلوب جيب زاوية الميل. والقوة المدخلة من هذه المعادلة هي القوة اللازمة لإبقاء الحمل ثابتًا على المستوى المائل، أو دفعه لأعلى بسرعة ثابتة. وإذا كانت القوة المدخلة أكبر من ذلك، فإن الحمل سيتسارع لأعلى المستوى. وإذا كانت القوة أقل، فسوف يتسارع لأسفل المستوى. ${\displaystyle F_{\rm {i}}}$

عندما يكون هناك احتكاك بين المستوى والحمل، كما هو الحال مع صندوق ثقيل ينزلق على منحدر، فإن بعض العمل الذي يطبقه قوة الإدخال يتبدد على شكل حرارة عن طريق الاحتكاك، وبالتالي يتم بذل عمل أقل على الحمل. وبسبب الحفاظ على الطاقة ، فإن مجموع العمل الناتج وخسائر طاقة الاحتكاك يساوي العمل المدخل ${\displaystyle W_{\text{fric}}}$

${\displaystyle W_{\text{داخل}}=W_{\text{فريك}}+W_{\text{خارج}}\,}$

لذلك، يلزم المزيد من قوة الإدخال، وتكون الميزة الميكانيكية أقل، مما لو لم يكن الاحتكاك موجودًا. مع الاحتكاك، لن يتحرك الحمل إلا إذا كانت القوة الصافية الموازية للسطح أكبر من قوة الاحتكاك المعارضة لها. ^{[8] [36] [37]} تُعطى أقصى قوة احتكاك بواسطة ${\displaystyle F_{\text{f}}}$

${\displaystyle F_{f}=\mu F_{n}\,}$

حيث هي القوة العمودية بين الحمل والمستوى، موجهة عموديًا على السطح، و هي معامل الاحتكاك الساكن بين السطحين، والذي يختلف باختلاف المادة. عندما لا يتم تطبيق أي قوة إدخال، إذا كانت زاوية ميل المستوى أقل من بعض القيم القصوى، فإن مكون قوة الجاذبية الموازية للمستوى سيكون صغيرًا جدًا للتغلب على الاحتكاك، وسيظل الحمل ثابتًا. تسمى هذه الزاوية زاوية السكون وتعتمد على تكوين الأسطح، ولكنها مستقلة عن وزن الحمل. يظهر أدناه أن ظل زاوية السكون يساوي${\displaystyle F_{\text{n}}}$${\displaystyle \mu }$${\displaystyle \theta }$${\displaystyle \phi }$${\displaystyle \phi }$${\displaystyle \mu }$

${\displaystyle \phi =\tan ^{-1}\mu \,}$

في حالة الاحتكاك، يوجد دائمًا نطاق معين لقوة الإدخال التي يكون الحمل ثابتًا عندها، فلا ينزلق لأعلى أو لأسفل المستوى، بينما في المستوى المائل الخالي من الاحتكاك توجد قيمة واحدة معينة فقط لقوة الإدخال التي يكون الحمل ثابتًا عندها. ${\displaystyle F_{\text{i}}}$

الحمل الذي يرتكز على مستوى مائل، عندما يُنظر إليه كجسم حر، يكون له ثلاث قوى تؤثر عليه: ^{[8] [36] [37]}

• القوة المطبقة على الحمل لتحريكه، والتي تعمل بشكل موازٍ للمستوى المائل.${\displaystyle F_{\text{i}}}$
• وزن الحمل، الذي يعمل عموديا إلى الأسفل${\displaystyle F_{\text{w}}}$
• قوة الطائرة على الحمل. ويمكن تقسيمها إلى مكونين:
  • القوة العمودية للمستوى المائل على الحمل الذي يدعمه، وهي موجهة بشكل عمودي ( عمودي ) على السطح.${\displaystyle F_{\text{n}}}$
  • إن قوة الاحتكاك التي تؤثر بها الطائرة على الحمل تعمل بشكل موازٍ للسطح، وتكون دائمًا في اتجاه معاكس لحركة الجسم. وهي تساوي القوة العمودية مضروبة في معامل الاحتكاك الساكن μ بين السطحين.${\displaystyle F_{\text{f}}}$

وباستخدام قانون نيوتن الثاني للحركة، يكون الحمل ثابتًا أو في حركة ثابتة إذا كان مجموع القوى المؤثرة عليه يساوي صفرًا. ونظرًا لأن اتجاه قوة الاحتكاك معاكس في حالة الحركة صعودًا وهبوطًا، فيجب النظر في هاتين الحالتين بشكل منفصل:

• الحركة الصاعدة: القوة الكلية المؤثرة على الحمل تكون في اتجاه الجانب الصاعد، وبالتالي تتجه قوة الاحتكاك إلى أسفل المستوى، في مواجهة قوة الإدخال.

اشتقاق الميزة الميكانيكية للحركة الصاعدة معادلات التوازن للقوى الموازية والعمودية على المستوى هي ${\displaystyle \sum F_{\|}=F_{i}-F_{f}-F_{w}\sin \theta =0\,}$ ${\displaystyle \sum F_{\perp }=F_{n}-F_{w}\cos \theta =0\,}$ التعويض في المعادلة الأولى${\displaystyle F_{f}=\mu F_{n}\,}$ ${\displaystyle F_{i}-\mu F_{n}-F_{w}\sin \theta =0\,}$ حل المعادلة الثانية للحصول على واستبدالها في المعادلة أعلاه${\displaystyle F_{n}=F_{w}\cos \theta \,}$ ${\displaystyle F_{i}-\mu F_{w}\cos \theta -F_{w}\sin \theta =0\,}$ ${\displaystyle {\frac {F_{w}}{F_{i}}}={\frac {1}{\sin \theta +\mu \cos \theta }}\,}$ تعريف${\displaystyle \mu =\tan \phi \,}$ ${\displaystyle {\frac {F_{w}}{F_{i}}}={\frac {1}{\sin \theta +\tan \phi \cos \theta }}={\dfrac {1}{\sin \theta +{\dfrac {\sin \phi }{\cos \phi }}\cos \theta }}={\frac {\cos \phi }{\sin \theta \cos \phi +\cos \theta \sin \phi }}\,}$ باستخدام متطابقة مثلثية لمجموع الزوايا على المقام،

الميزة الميكانيكية هي

${\displaystyle \mathrm {MA} ={\frac {F_{w}}{F_{i}}}={\frac {\cos \phi }{\sin(\theta +\phi )}}\,}$

حيث . هذا هو الشرط للحركة الوشيكة لأعلى المستوى المائل. إذا كانت القوة المطبقة F _i أكبر من تلك المعطاة في هذه المعادلة، فإن الحمل سيتحرك لأعلى المستوى.${\displaystyle \phi =\tan ^{-1}\mu \,}$

• الحركة المنحدرة: القوة الكلية المؤثرة على الحمل تكون في اتجاه الجانب المنحدر، وبالتالي فإن قوة الاحتكاك تتجه لأعلى المستوى.

اشتقاق الميزة الميكانيكية للحركة المنحدرة معادلات التوازن هي ${\displaystyle \sum F_{\|}=F_{i}+F_{f}-F_{w}\sin \theta =0\,}$ ${\displaystyle \sum F_{\perp }=F_{n}-F_{w}\cos \theta =0\,}$ التعويض في المعادلة الأولى${\displaystyle F_{f}=\mu F_{n}\,}$ ${\displaystyle F_{i}+\mu F_{n}-F_{w}\sin \theta =0\,}$ حل المعادلة الثانية للحصول على واستبدالها في المعادلة أعلاه${\displaystyle F_{n}=F_{w}\cos \theta \,}$ ${\displaystyle F_{i}+\mu F_{w}\cos \theta -F_{w}\sin \theta =0\,}$ ${\displaystyle {\frac {F_{w}}{F_{i}}}={\frac {1}{\sin \theta -\mu \cos \theta }}\,}$ الاستبدال والتبسيط كما هو موضح أعلاه${\displaystyle \mu =\tan \phi \,}$ ${\displaystyle {\frac {F_{w}}{F_{i}}}={\frac {\cos \phi }{\sin \theta \cos \phi -\cos \theta \sin \phi }}\,}$ باستخدام هوية مثلثية أخرى على المقام،

الميزة الميكانيكية هي

${\displaystyle \mathrm {MA} ={\frac {F_{w}}{F_{i}}}={\frac {\cos \phi }{\sin(\theta -\phi )}}\,}$

هذا هو الشرط للحركة الوشيكة أسفل المستوى؛ إذا كانت القوة المطبقة F _i أقل من تلك الموضحة في هذه المعادلة، فسوف ينزلق الحمل لأسفل المستوى. هناك ثلاث حالات:

1. ${\displaystyle \theta <\phi \,}$:الميزة الميكانيكية سلبية. في حالة عدم وجود قوة مطبقة، سيظل الحمل ثابتًا، ويتطلب بعض القوة السلبية (المنحدرة) المطبقة للانزلاق إلى الأسفل.
2. ${\displaystyle \theta =\phi \,}$:" زاوية السكون ". الميزة الميكانيكية لا نهائية. بدون قوة مطبقة، لن ينزلق الحمل، لكن أدنى قوة سلبية (منحدرة) ستتسبب في انزلاقه.
3. ${\displaystyle \theta >\phi \,}$:الميزة الميكانيكية إيجابية. في حالة عدم وجود قوة مطبقة، سينزلق الحمل إلى أسفل الطائرة، ويتطلب بعض القوة الإيجابية (الصعودية) لإبقائه ثابتًا

الميزة الميكانيكية للمستوى المائل هي نسبة وزن الحمل على المنحدر إلى القوة المطلوبة لسحبه لأعلى المنحدر. إذا لم يتم تبديد الطاقة أو تخزينها في حركة الحمل، فيمكن حساب هذه الميزة الميكانيكية من أبعاد المنحدر.

ولإظهار ذلك، دع موضع r لعربة السكة الحديدية على طول المنحدر بزاوية θ ، فوق الأفقي يُعطى بواسطة

${\displaystyle \mathbf {r} =R(\cos \theta ,\sin \theta ),}$

حيث R هي المسافة على طول المنحدر. سرعة السيارة على المنحدر الآن هي

${\displaystyle \mathbf {v} =V(\cos \theta ,\sin \theta ).}$

نظرًا لعدم وجود خسائر، فإن القدرة المستخدمة بواسطة القوة F لتحريك الحمل لأعلى المنحدر تساوي القدرة الخارجة، والتي تمثل الرفع الرأسي لوزن الحمل W.

يتم تحديد قوة الإدخال التي تسحب السيارة لأعلى المنحدر بواسطة

${\displaystyle P_{\mathrm {in} }=FV,\!}$

والقوة خارجة

${\displaystyle P_{\mathrm {out} }=\mathbf {W} \cdot \mathbf {v} =(0,W)\cdot V(\cos \theta ,\sin \theta )=WV\sin \theta .}$

قم بمعادلة القدرة الداخلة مع القدرة الخارجة للحصول على الميزة الميكانيكية كما يلي

${\displaystyle \mathrm {MA} ={\frac {W}{F}}={\frac {1}{\sin \theta }}.}$

يمكن أيضًا حساب الميزة الميكانيكية للمستوى المائل من نسبة طول المنحدر L إلى ارتفاعه H، لأن جيب زاوية المنحدر يُعطى بواسطة

${\displaystyle \sin \theta ={\frac {H}{L}},}$

لذلك،

${\displaystyle \mathrm {MA} ={\frac {W}{F}}={\frac {L}{H}}.}$

مثال: إذا كان ارتفاع المنحدر H = 1 متر وطوله L = 5 أمتار، فإن الميزة الميكانيكية هي

${\displaystyle \mathrm {MA} ={\frac {W}{F}}=5,}$

وهذا يعني أن قوة مقدارها 20 رطلاً سترفع حمولة مقدارها 100 رطل.

تبلغ أبعاد المستوى المائل ليفربول مينارد 1804 مترًا في 37.50 مترًا، مما يوفر ميزة ميكانيكية تبلغ

${\displaystyle \mathrm {MA} ={\frac {W}{F}}=1804/37.50=48.1,}$

لذا فإن قوة شد مقدارها 100 رطل على الكابل سترفع حمولة مقدارها 4810 رطل. درجة هذا الميل هي 2%، مما يعني أن الزاوية θ صغيرة بما يكفي بحيث تكون sin θ ≈tan θ.

• محاكاة تفاعلية للمستوى المائل في الفيزياء