السرعة النهائية

السرعة الحدية هي أقصى سرعة يمكن أن يصل إليها جسم أثناء سقوطه في سائل ( الهواء هو المثال الأكثر شيوعًا). وتُبلغ هذه السرعة عندما يتساوى مجموع قوة السحب ( Fd ₎ وقوة الطفو مع قوة الجاذبية الأرضية ( FG ) المؤثرة على الجسم. وبما أن محصلة القوى المؤثرة على الجسم تساوي صفرًا، فإن تسارعه يساوي صفرًا _. [ 1 ^{] [ 2 ] بالنسبة للأجسام} الساقطة في الهواء عند الضغط الجوي العادي، تُهمل قوة الطفو عادةً ولا تُؤخذ في الحسبان، لأن تأثيرها ضئيل.

مع ازدياد سرعة الجسم، تزداد قوة السحب المؤثرة عليه، والتي تعتمد بدورها على المادة التي يمر عبرها (كالهواء أو الماء مثلاً). عند سرعة معينة، تتساوى قوة السحب أو المقاومة مع قوة الجاذبية المؤثرة على الجسم. عند هذه النقطة، يتوقف الجسم عن التسارع ويستمر في السقوط بسرعة ثابتة تُسمى السرعة الحدية (أو سرعة الهبوط ).

الجسم الذي يتحرك لأسفل بسرعة تفوق سرعته النهائية (على سبيل المثال، لأنه قُذف لأسفل، أو سقط من منطقة ذات كثافة هواء أقل، أو تغير شكله) سيتباطأ حتى يصل إلى سرعته النهائية. تعتمد مقاومة الهواء على المساحة المسقطة ، والتي تُمثل هنا المقطع العرضي للجسم أو شكله الظلي في مستوى أفقي.

يكون للجسم ذي المساحة السطحية الكبيرة نسبةً إلى كتلته، كالمظلة مثلاً، سرعة نهائية أقل من الجسم ذي المساحة السطحية الصغيرة نسبةً إلى كتلته، كالسهم مثلاً. وبشكل عام، بالنسبة للأجسام المتشابهة في الشكل والمادة، تزداد السرعة النهائية للجسم مع ازدياد حجمه. ويعود ذلك إلى أن القوة المؤثرة لأسفل (الوزن) تتناسب طردياً مع مكعب البعد الطولي، بينما تتناسب مقاومة الهواء تقريباً طردياً مع مساحة المقطع العرضي التي تزداد فقط مع مربع البعد الطولي.

بالنسبة للأجسام الصغيرة جدًا كالغبار والضباب، يمكن التغلب بسهولة على السرعة النهائية بواسطة تيارات الحمل الحراري التي تمنعها من الوصول إلى الأرض تمامًا، وبالتالي يمكنها البقاء معلقة في الهواء لفترات غير محددة. يُعد تلوث الهواء والضباب مثالين على ذلك.

استنادًا إلى مقاومة الهواء، على سبيل المثال، تبلغ السرعة القصوى للقفز المظلي في وضعية السقوط الحر مع توجيه البطن نحو الأرض (أي الوجه لأسفل) حوالي 55 مترًا في الثانية (180 قدمًا في الثانية) . ^{[ 3 ]} هذه السرعة هي القيمة الحدية التقاربية للسرعة، وتتوازن القوى المؤثرة على الجسم بشكل متزايد كلما اقتربنا من السرعة القصوى. في هذا المثال، يتم الوصول إلى سرعة 50% من السرعة القصوى بعد حوالي 3 ثوانٍ فقط، بينما يستغرق الوصول إلى 90% منها 8 ثوانٍ، و15 ثانية للوصول إلى 99%، وهكذا.  

يمكن بلوغ سرعات أعلى إذا قام المظلي بضم أطرافه (انظر أيضًا الطيران الحر ). ^{[ 3 ]} في هذه الحالة، تزداد السرعة النهائية إلى حوالي 90 مترًا في الثانية (300 قدم في الثانية) ، وهي تقريبًا السرعة النهائية للصقر الشاهين عند انقضاضه على فريسته. ^{[ 4 ]} وتُبلغ السرعة النهائية نفسها لرصاصة نموذجية من عيار 0.30-06 عند سقوطها للأسفل - عندما تعود إلى الأرض بعد إطلاقها للأعلى أو إسقاطها من برج - وفقًا لدراسة أجرتها إدارة الذخائر بالجيش الأمريكي عام 1920. ^{[ 5 ]}  

يطير المتنافسون في مسابقات القفز المظلي السريع ورؤوسهم متجهة للأسفل، ويمكنهم الوصول إلى سرعات تصل إلى 150 مترًا في الثانية (490 قدمًا في الثانية) . الرقم القياسي الحالي مسجل باسم فيليكس بومغارتنر الذي قفز من ارتفاع 38,887 مترًا (127,582 قدمًا) ووصل إلى سرعة 380 مترًا في الثانية (1,200 قدم في الثانية) ، مع العلم أنه حقق هذه السرعة على ارتفاعات شاهقة حيث تكون كثافة الهواء أقل بكثير من كثافة الهواء على سطح الأرض، مما ينتج عنه قوة سحب أقل. ^{[ 6 ]}      

كتب عالم الأحياء جيه بي إس هالدين :

لا تُشكّل الجاذبية خطراً يُذكر على الفأر وأي حيوان أصغر منه. يمكنك إسقاط فأر في منجم عمقه ألف ياردة، وعند وصوله إلى القاع، يتلقى صدمة خفيفة ويمضي. أما الجرذ فيُقتل، والإنسان يُصاب بكسر، والحصان يرتطم بالماء. ذلك لأن مقاومة الهواء للحركة تتناسب طردياً مع مساحة سطح الجسم المتحرك. قسّم طول الحيوان وعرضه وارتفاعه على عشرة؛ سينخفض ​​وزنه إلى جزء من ألف، بينما ستنخفض مساحة سطحه إلى جزء من مئة. لذا، فإن مقاومة السقوط في حالة الحيوان الصغير أكبر بعشر مرات تقريباً من قوة الجاذبية. ^{[ 7 ]}

بالنسبة للسرعة النهائية في السقوط عبر الهواء، حيث تكون اللزوجة ضئيلة مقارنة بقوة السحب، ودون الأخذ في الاعتبار تأثيرات الطفو ، تُعطى السرعة النهائية بالصيغة التالية: $${\displaystyle V_{t}={\sqrt {\frac {2mg}{\rho AC_{d}}}}}$$ أين

• ${\displaystyle V_{t}}$يمثل السرعة النهائية،
• ${\displaystyle m}$كتلة الجسم الساقط ،
• ${\displaystyle g}$هو التسارع الناتج عن الجاذبية الأرضية ،
• ${\displaystyle C_{d}}$معامل السحب ،
• ${\displaystyle \rho }$هي كثافة السائل الذي يسقط فيه الجسم، و
• ${\displaystyle A}$هي المساحة المسقطة للجسم. ^{[ 8 ]}

في الواقع، يقترب الجسم من سرعته النهائية بشكل تقاربي .

يمكن أخذ تأثيرات الطفو، الناتجة عن القوة الصاعدة التي يؤثر بها السائل المحيط على الجسم، في الاعتبار باستخدام مبدأ أرخميدس : الكتلة${\displaystyle m}$يجب تقليلها بواسطة كتلة السائل المزاح${\displaystyle \rho V}$، مع${\displaystyle V}$حجم الجسم . لذا بدلاً من${\displaystyle m}$استخدم الكتلة المخفضة${\displaystyle m_{r}=m-\rho V}$في هذه الصيغة والصيغ اللاحقة.

تتغير السرعة النهائية لجسم ما بسبب خصائص السائل وكتلة الجسم ومساحة سطحه المقطعي المسقط .

تزداد كثافة الهواء مع انخفاض الارتفاع، بنسبة 1% تقريبًا لكل 80 مترًا (260 قدمًا) (انظر معادلة الضغط الجوي ). بالنسبة للأجسام الساقطة عبر الغلاف الجوي، تنخفض السرعة النهائية بنسبة 1% لكل 160 مترًا (520 قدمًا) من السقوط. بعد الوصول إلى السرعة النهائية المحلية، ومع استمرار السقوط، تنخفض السرعة لتتناسب مع السرعة النهائية المحلية.  

باستخدام المصطلحات الرياضية، وتعريف الاتجاه لأسفل بأنه موجب، فإن محصلة القوة المؤثرة على جسم يسقط بالقرب من سطح الأرض هي (وفقًا لمعادلة السحب ):

$${\displaystyle F_{\text{net}}=ma=mg-{\frac {1}{2}}\rho v^{2}AC_{d},}$$

حيث v ( t ) هي سرعة الجسم كدالة للزمن t .

عند الاتزان ، تكون القوة المحصلة صفرًا ( F _net = 0) ^{[ 9 ]} وتصبح السرعة هي السرعة النهائية lim _{t →∞} v ( t ) = V _t :

$${\displaystyle mg-{1 \over 2}\rho V_{t}^{2}AC_{d}=0.}$$

وبحل المعادلة لإيجاد V _t نحصل على:

${\displaystyle V_{t}={\sqrt {\frac {2mg}{\rho AC_{d}}}}.}$

5

معادلة السحب هي - بافتراض أن ρ و g و C _d ثوابت: $${\displaystyle ma=m{\frac {\mathrm {d} v}{\mathrm {d} t}}=mg-{\frac {1}{2}}\rho v^{2}AC_{d}.}$$

على الرغم من أن هذه معادلة ريكاتي يمكن حلها عن طريق اختزالها إلى معادلة تفاضلية خطية من الدرجة الثانية ، إلا أنه من الأسهل فصل المتغيرات .

يمكن الحصول على شكل أكثر عملية لهذه المعادلة عن طريق إجراء الاستبدال α ² = ⁠ ρAC _d / 2 mg ⁠ .

بقسمة كلا الطرفين على m نحصل على $${\displaystyle {\frac {\mathrm {d} v}{\mathrm {d} t}}=g\left(1-\alpha ^{2}v^{2}\right).}$$

يمكن إعادة ترتيب المعادلة إلى $${\displaystyle \mathrm {d} t={\frac {\mathrm {d} v}{g(1-\alpha ^{2}v^{2})}}.}$$

بأخذ التكامل لكلا الطرفين نحصل على $${\displaystyle \int _{0}^{t}{\mathrm {d} t'}={1 \over g}\int _{0}^{v}{\frac {\mathrm {d} v'}{1-\alpha ^{2}v^{\prime 2}}}.}$$

بعد التكامل، يصبح هذا $${\displaystyle t-0={1 \over g}\left[{\ln(1+\alpha v') \over 2\alpha }-{\frac {\ln(1-\alpha v')}{2\alpha }}+C\right]_{v'=0}^{v'=v}={1 \over g}\left[{\ln {\frac {1+\alpha v'}{1-\alpha v'}} \over 2\alpha }+C\right]_{v'=0}^{v'=v}}$$

أو بصورة أبسط $${\displaystyle t={1 \over 2\alpha g}\ln {\frac {1+\alpha v}{1-\alpha v}}={\frac {\mathrm {artanh} (\alpha v)}{\alpha g}},}$$ باستخدام دالة الظل الزائدي العكسي (artanh) .

بدلاً عن ذلك، $${\displaystyle {\frac {1}{\alpha }}\tanh(\alpha gt)=v,}$$ حيث tanh هي دالة الظل الزائدي . بافتراض أن g موجبة (كما تم تعريفها)، وبالتعويض عن α ، تصبح السرعة v$${\displaystyle v={\sqrt {\frac {2mg}{\rho AC_{d}}}}\tanh \left(t{\sqrt {\frac {g\rho AC_{d}}{2m}}}\right).}$$

باستخدام صيغة السرعة النهائية $${\displaystyle V_{t}={\sqrt {\frac {2mg}{\rho AC_{d}}}}}$$ يمكن إعادة كتابة المعادلة على النحو التالي $${\displaystyle v=V_{t}\tanh \left(t{\frac {g}{V_{t}}}\right).}$$

عندما يؤول الزمن إلى اللانهاية ( t → ∞)، يؤول ظل الزاوية الزائدية إلى 1، مما ينتج عنه السرعة النهائية $${\displaystyle V_{t}=\lim _{t\to \infty }v(t)={\sqrt {\frac {2mg}{\rho AC_{d}}}}.}$$

في حالة الحركة البطيئة جدًا للسائل، تكون قوى القصور الذاتي للسائل ضئيلة (بافتراض أن السائل عديم الكتلة) مقارنةً بالقوى الأخرى. تُسمى هذه التدفقات بالتدفقات الزاحفة أو تدفقات ستوكس ، والشرط الذي يجب أن يتحقق لكي تكون التدفقات زاحفة هو عدد رينولدز .${\displaystyle Re\ll 1}$معادلة الحركة للتدفق الزاحف ( معادلة نافيير-ستوكس المبسطة ) معطاة على النحو التالي:

$${\displaystyle {\mathbf {\nabla } }p=\mu \nabla ^{2}{\mathbf {v} }}$$

أين:

• ${\displaystyle \mathbf {v} }$هو حقل متجه سرعة المائع ،
• ${\displaystyle p}$هو مجال ضغط السائل،
• ${\displaystyle \mu }$هي لزوجة السائل/المائع .

قدّم ستوكس الحل التحليلي للجريان الزاحف حول كرة لأول مرة عام 1851. ^{[ 10 ]} ومن حل ستوكس، تُحسب قوة السحب المؤثرة على الكرة ذات القطر${\displaystyle d}$يمكن الحصول عليها كـ

${\displaystyle D=3\pi \mu dV\qquad {\text{or}}\qquad C_{d}={\frac {24}{Re}}}$

6

حيث يمثل رقم رينولدز،${\displaystyle Re={\frac {\rho d}{\mu }}V}$. يُطلق على التعبير الخاص بقوة السحب المعطى بالمعادلة ( 6 ) اسم قانون ستوكس .

عندما تكون قيمة${\displaystyle C_{d}}$عند استبدالها في المعادلة ( 5 )، نحصل على التعبير عن السرعة النهائية لجسم كروي يتحرك في ظل ظروف التدفق الزاحف: ^{[ 11 ]}

$${\displaystyle V_{t}={\frac {gd^{2}}{18\mu }}\left(\rho _{s}-\rho \right),}$$ أين${\displaystyle \rho _{s}}$هي كثافة الجسم.

يمكن تطبيق نتائج التدفق الزاحف لدراسة ترسب الرواسب قرب قاع المحيط وسقوط قطرات الرطوبة في الغلاف الجوي. كما يُطبّق هذا المبدأ في مقياس لزوجة الكرة الساقطة ، وهو جهاز تجريبي يُستخدم لقياس لزوجة السوائل عالية اللزوجة، مثل الزيت والبارافين والقطران وغيرها.

عند أخذ تأثيرات الطفو في الاعتبار، يمكن لجسم يسقط في سائل تحت تأثير وزنه أن يصل إلى سرعة نهائية (سرعة الاستقرار) إذا أصبحت محصلة القوى المؤثرة عليه صفرًا. عند بلوغ السرعة النهائية، يتوازن وزن الجسم تمامًا مع قوة الطفو الصاعدة وقوة السحب.

${\displaystyle W=F_{b}+D}$

1

أين

• ${\displaystyle W}$وزن الجسم،
• ${\displaystyle F_{b}}$هي قوة الطفو المؤثرة على الجسم، و
• ${\displaystyle D}$هي قوة السحب المؤثرة على الجسم.

إذا كان الجسم الساقط كروي الشكل، فإن تعبير القوى الثلاث يُعطى أدناه:

${\displaystyle W={\frac {\pi }{6}}د^{3}\rho _{s}g,}$

2

${\displaystyle F_{b}={\frac {\pi }{6}}d^{3}\rho g,}$

3

${\displaystyle D=C_{d}{\frac {1}{2}}\rho V^{2}A,}$

4

أين

• ${\displaystyle d}$يمثل قطر الجسم الكروي،
• ${\displaystyle g}$هو التسارع الناتج عن الجاذبية،
• ${\displaystyle \rho }$هي كثافة السائل،
• ${\displaystyle \rho _{s}}$هي كثافة الجسم،
• ${\displaystyle A={\frac {1}{4}}\pi d^{2}}$هي المساحة المسقطة للكرة،
• ${\displaystyle C_{d}}$هو معامل السحب، و
• ${\displaystyle V}$هي السرعة المميزة (تُعتبر السرعة النهائية،${\displaystyle V_{t}}$).

باستبدال المعادلات ( 2-4 ) في المعادلة ( 1 ) وحلها لإيجاد السرعة النهائية،${\displaystyle V_{t}}$للحصول على التعبير التالي

${\displaystyle V_{t}={\sqrt {{\frac {4gd}{3C_{d}}}\left({\frac {\rho _{s}-\rho }{\rho }}\right)}}.}$

5

في المعادلة ( 1 )، يُفترض أن كثافة الجسم أعلى من كثافة السائل. إذا لم يكن الأمر كذلك، يجب أن تكون إشارة قوة السحب سالبة لأن الجسم سيتحرك لأعلى عكس الجاذبية. ومن الأمثلة على ذلك الفقاعات المتكونة في قاع كأس الشمبانيا وبالونات الهيليوم. ستكون السرعة النهائية في مثل هذه الحالات سالبة، بما يتوافق مع معدل الصعود.

• قانون ستوكس
• المقذوفات النهائية

• أداة تفاعلية لحساب السرعة النهائية - موقع ناسا، دليل المبتدئين في علم الطيران
• فيديو من داخل مكوك الفضاء لمعززات الصواريخ الصلبة وهي تتباطأ بسرعة إلى السرعة النهائية عند دخولها الغلاف الجوي الأكثر كثافة. مؤرشف في 27-11-2015 على Wayback Machine ، من 2900 ميل في الساعة (ماخ 3.8) في الدقيقة 5:15 في الفيديو، إلى 220 ميل في الساعة في الدقيقة 6:45 عندما يتم نشر المظلات بعد 90 ثانية - فيديو وصوت ناسا، @ io9.com.  
• سرعة الترسيب النهائية للكرة عند جميع أرقام رينولدز الواقعية، باستخدام منهج جداول هيوود.