توزيع ليفي

في نظرية الاحتمالات والإحصاء ، يُعرف توزيع ليفي ، نسبةً إلى بول ليفي ، بأنه توزيع احتمالي متصل لمتغير عشوائي غير سالب . في علم الأطياف ، يُعرف هذا التوزيع، مع اعتبار التردد متغيرًا تابعًا، باسم توزيع فان دير فالس . ^{[ ملاحظة 1 ]} وهو حالة خاصة من توزيع غاما المعكوس ، وتوزيع مستقر .

دالة كثافة الاحتمال لتوزيع ليفي على المجال${\displaystyle x\geq \mu }$يكون

$${\displaystyle f(x;\mu ,c)={\sqrt {\frac {c}{2\pi }}}\,{\frac {e^{-{\frac {c}{2(x-\mu )}}}}{(x-\mu )^{3/2}}},}$$

أين${\displaystyle \mu }$هو مُعامل الموقع و${\displaystyle c}$يمثل معامل المقياس . دالة التوزيع التراكمي هي

$${\displaystyle F(x;\mu ,c)=\operatorname {erfc} \left({\sqrt {\frac {c}{2(x-\mu )}}}\right)=2-2\Phi \left({\sqrt {\frac {c}{(x-\mu )}}}\right),}$$

أين${\displaystyle \operatorname {erfc} (z)}$هي دالة الخطأ التكميلية ، و${\displaystyle \Phi (x)}$هي دالة لابلاس ( دالة التوزيع التراكمي للتوزيع الطبيعي القياسي ) . معامل الإزاحة${\displaystyle \mu }$يؤدي ذلك إلى إزاحة المنحنى إلى اليمين بمقدار معين.${\displaystyle \mu }$وتغيير الدعم إلى الفترة [${\displaystyle \mu }$، ${\displaystyle \infty }$). ومثل جميع التوزيعات المستقرة ، فإن توزيع ليفي له شكل قياسي f ( x ; 0, 1) والذي له الخاصية التالية:

$${\displaystyle f(x;\mu ,c)\,dx=f(y;0,1)\,dy,}$$

حيث يُعرَّف y على النحو التالي

$${\displaystyle y={\frac {x-\mu }{c}}.}$$

الدالة المميزة لتوزيع ليفي معطاة بالصيغة التالية:

$${\displaystyle \varphi (t;\mu ,c)=e^{i\mu t-{\sqrt {-2ict}}}.}$$

لاحظ أنه يمكن أيضًا كتابة الدالة المميزة بنفس الشكل المستخدم للتوزيع المستقر مع${\displaystyle \alpha =1/2}$و${\displaystyle \beta =1}$:

$${\displaystyle \varphi (t;\mu ,c)=e^{i\mu t-|ct|^{1/2}(1-i\operatorname {sign} (t))}.}$$

بافتراض${\displaystyle \mu =0}$يتم تعريف العزم النوني لتوزيع ليفي غير المزاح رسميًا بواسطة

$${\displaystyle m_{n}\ {\stackrel {\text{def}}{=}}\ {\sqrt {\frac {c}{2\pi }}}\int _{0}^{\infty }{\frac {e^{-c/2x}x^{n}}{x^{3/2}}}\,dx,}$$

وهو ما يختلف بالنسبة للجميع${\displaystyle n\geq 1/2}$، بحيث لا توجد العزوم الصحيحة لتوزيع ليفي (فقط بعض العزوم الكسرية).

سيتم تعريف دالة توليد العزوم رسميًا بواسطة

$${\displaystyle M(t;c)\ {\stackrel {\mathrm {def} }{=}}\ {\sqrt {\frac {c}{2\pi }}}\int _{0}^{\infty }{\frac {e^{-c/2x+tx}}{x^{3/2}}}\,dx,}$$

إلا أن هذا يختلف بالنسبة${\displaystyle t>0}$وبالتالي فهي غير معرفة على فترة حول الصفر، لذا فإن دالة توليد العزوم غير معرفة في الواقع.

مثل جميع التوزيعات المستقرة باستثناء التوزيع الطبيعي ، يُظهر جناح دالة كثافة الاحتمال سلوك ذيل ثقيل يتناقص وفقًا لقانون القوة:

$${\displaystyle f(x;\mu ,c)\sim {\sqrt {\frac {c}{2\pi }}}\,{\frac {1}{x^{3/2}}}}$$مثل${\displaystyle x\to \infty ,}$

وهذا يُظهر أن توزيع ليفي ليس فقط ذو ذيل سميك، بل ذو ذيل سميك أيضًا . ويتضح ذلك في الرسم البياني أدناه، حيث تظهر دوال كثافة الاحتمال لقيم مختلفة لـ c و${\displaystyle \mu =0}$يتم رسمها على مخطط لوغاريتمي :

يحقق توزيع ليفي القياسي شرط الاستقرار :

$${\displaystyle (X_{1}+X_{2}+\dotsb +X_{n})\sim n^{1/\alpha }X,}$$

أين${\displaystyle X_{1},X_{2},\ldots ,X_{n},X}$هي متغيرات ليفي قياسية مستقلة مع${\displaystyle \alpha =1/2.}$

• لو${\displaystyle X\sim \operatorname {Levy} (\mu ,c)}$، ثم${\displaystyle kX+b\sim \operatorname {Levy} (k\mu +b,kc).}$
• لو${\displaystyle X\sim \operatorname {Levy} (0,c)}$، ثم${\displaystyle X\sim \operatorname {Inv-Gamma} (1/2,c/2)}$( توزيع جاما العكسي ). هنا، يعتبر توزيع ليفي حالة خاصة من توزيع بيرسون من النوع  الخامس .
• لو${\displaystyle Y\sim \operatorname {Normal} (\mu ,\sigma ^{2})}$( التوزيع الطبيعي )، إذن${\displaystyle (Y-\mu )^{-2}\sim \operatorname {Levy} (0,1/\sigma ^{2}).}$
• لو${\displaystyle Y\sim \operatorname {Normal} (\mu ,1/c)}$، ثم${\displaystyle (Y-\mu )^{-2}\sim \operatorname {Levy} (0,c)}$.
• لو${\displaystyle X\sim \operatorname {Levy} (\mu ,c)}$، ثم${\displaystyle X\sim \operatorname {Stable} (1/2,1,c,\mu )}$( توزيع مستقر ).
• لو${\displaystyle X\sim \operatorname {Levy} (0,c)}$، ثم${\displaystyle X\,\sim \,\operatorname {Scale-inv-\chi ^{2}} (1,c)}$( توزيع مربع كاي المعكوس المقياس ).
• لو${\displaystyle X\sim \operatorname {Levy} (\mu ,c)}$، ثم${\displaystyle (X-\mu )^{-1/2}\sim \operatorname {FoldedNormal} (0,1/{\sqrt {c}})}$( توزيع طبيعي مطوي ).

يمكن توليد عينات عشوائية من توزيع ليفي باستخدام أخذ العينات بالتحويل العكسي . بافتراض وجود متغير عشوائي U مسحوب من التوزيع المنتظم على الفترة [0،  1]، فإن المتغير X يُعطى بالعلاقة ^{[ 1 ].}

${\displaystyle X=F^{-1}(U)={\frac {c}{(\Phi ^{-1}(1-U/2))^{2}}}+\mu }$

يتم توزيعها بواسطة ليفي مع الموقع${\displaystyle \mu }$والمقياس${\displaystyle c}$. هنا${\displaystyle \Phi (x)}$هي دالة التوزيع التراكمي للتوزيع الطبيعي القياسي .

• يبدو أن تواتر الانعكاسات المغناطيسية الأرضية يتبع توزيع ليفي
• زمن الوصول إلى نقطة واحدة، على مسافة${\displaystyle \alpha }$انطلاقاً من نقطة البداية، وبواسطة الحركة البراونية، يكون توزيع ليفي مع${\displaystyle c=\alpha ^{2}}$(بالنسبة للحركة البراونية مع الانجراف، قد يتبع هذا الوقت توزيع غاوسي معكوس ، والذي يكون توزيع ليفي حده.)
• يتبع طول المسار الذي يسلكه الفوتون في وسط معتم توزيع ليفي. ^{[ 2 ]}
• يمكن تعريف عملية كوشي بأنها حركة براونية تابعة لعملية مرتبطة بتوزيع ليفي. ^{[ 3 ]}

• "معلومات عن التوزيعات المستقرة" . تم الاطلاع عليها في 5 سبتمبر 2021 .- مقدمة جون ب. نولان عن التوزيعات المستقرة، وبعض الأوراق البحثية حول القوانين المستقرة، وبرنامج مجاني لحساب الكثافات المستقرة، ودوال التوزيع التراكمي، والكميات، وتقدير المعلمات، وما إلى ذلك. انظر تحديدًا مقدمة عن التوزيعات المستقرة، الفصل 1

• وايسستين، إريك دبليو. “توزيع ليفي” . عالم الرياضيات .