الدالة الخطية (التفاضل والتكامل)

في حساب التفاضل والتكامل والمجالات ذات الصلة في الرياضيات، تُعرَّف الدالة الخطية من مجموعة الأعداد الحقيقية إلى مجموعة الأعداد الحقيقية بأنها دالة يكون تمثيلها البياني (في الإحداثيات الديكارتية ) خطًا غير رأسي في المستوى. ^{[ 1 ]} وتتمثل الخاصية المميزة للدوال الخطية في أنه عند تغيير المتغير المُدخل، يكون التغير في الناتج متناسبًا مع التغير في المُدخل.

ترتبط الدوال الخطية بالمعادلات الخطية .

الدالة الخطية هي دالة متعددة الحدود يكون للمتغير x درجة واحدة على الأكثر ( متعددة حدود خطية ) : ^{[ 2 ]}

${\displaystyle f(x)=ax+b}$.

تُسمى هذه الدالة خطية لأن رسمها البياني هو مجموعة جميع النقاط${\displaystyle (x,f(x))}$في المستوى الديكارتي ، يكون خطًا مستقيمًا . يُطلق على المعامل a اسم ميل الدالة وميل الخط المستقيم (انظر أدناه).

إذا كان الميل${\displaystyle a=0}$هذه دالة ثابتة${\displaystyle f(x)=b}$يُعرّف الخط الأفقي بأنه الخط الذي يستثنيه بعض المؤلفين من فئة الدوال الخطية. ^{[ 3 ]} وفقًا لهذا التعريف، ستكون درجة كثيرة الحدود الخطية واحدًا بالضبط، وسيكون تمثيلها البياني خطًا ليس رأسيًا ولا أفقيًا. ومع ذلك، في هذه المقالة،${\displaystyle a\neq 0}$ليس ذلك مطلوبًا، لذلك سيتم اعتبار الدوال الثابتة خطية.

لو${\displaystyle b=0}$عندئذٍ يُقال إن الدالة الخطية متجانسة . تُعرّف هذه الدالة خطًا يمر عبر نقطة الأصل في نظام الإحداثيات، أي النقطة${\displaystyle (x,y)=(0,0)}$في كتب الرياضيات المتقدمة، يشير مصطلح الدالة الخطية غالبًا إلى الدوال الخطية المتجانسة تحديدًا، بينما يُستخدم مصطلح الدالة الأفينية للحالة العامة، والتي تشمل${\displaystyle b\neq 0}$.

المجال الطبيعي للدالة الخطية${\displaystyle f(x)}$، مجموعة قيم الإدخال المسموح بها لـ x ، هي المجموعة الكاملة للأعداد الحقيقية ،${\displaystyle x\in \mathbb {R} .}$يمكن للمرء أيضًا أن ينظر في مثل هذه الدوال مع x في حقل عشوائي ، مع أخذ المعاملات a و b في ذلك الحقل.

الرسم البياني${\displaystyle y=f(x)=ax+b}$هو خط غير رأسي له نقطة تقاطع واحدة فقط مع المحور y ، وهي نقطة تقاطعه مع المحور y${\displaystyle (x,y)=(0,b).}$قيمة التقاطع مع المحور الصادي${\displaystyle y=f(0)=b}$ويُطلق عليه أيضًا القيمة الأولية لـ${\displaystyle f(x).}$لو${\displaystyle a\neq 0,}$الرسم البياني عبارة عن خط غير أفقي له نقطة تقاطع واحدة فقط مع المحور السيني ، وهي نقطة التقاطع مع المحور السيني.${\displaystyle (x,y)=(-{\tfrac {b}{a}},0).}$قيمة نقطة التقاطع مع المحور السيني${\displaystyle x=-{\tfrac {b}{a}},}$حل المعادلة${\displaystyle f(x)=0,}$ويُطلق عليه أيضًا جذر أو صفر${\displaystyle f(x).}$

ميل الخط غير العمودي هو رقم يقيس مدى انحدار الخط (الارتفاع مقابل الامتداد). إذا كان الخط هو تمثيل بياني للدالة الخطية${\displaystyle f(x)=ax+b}$، هذا الميل يُعطى بالثابت a .

يقيس الميل معدل التغير الثابت لـ${\displaystyle f(x)}$لكل تغيير في x : كلما زاد المدخل x بمقدار وحدة واحدة، يتغير الناتج بمقدار وحدة واحدة :${\displaystyle f(x{+}1)=f(x)+a}$وبشكل أعم${\displaystyle f(x{+}\Delta x)=f(x)+a\Delta x}$لأي عدد${\displaystyle \Delta x}$إذا كان الميل موجباً،${\displaystyle a>0}$ثم الدالة${\displaystyle f(x)}$يزداد؛ إذا${\displaystyle a<0}$، ثم${\displaystyle f(x)}$يتناقص

في حساب التفاضل والتكامل ، يقيس مشتق الدالة العامة معدل تغيرها. الدالة الخطية${\displaystyle f(x)=ax+b}$لها معدل تغير ثابت يساوي ميلها a ، لذا فإن مشتقتها هي دالة ثابتة${\displaystyle f\,'(x)=a}$.

الفكرة الأساسية في حساب التفاضل والتكامل هي أن أي دالة ملساء${\displaystyle f(x)}$(ليس بالضرورة خطيًا) يمكن تقريبها بدقة بالقرب من نقطة معينة${\displaystyle x=c}$بواسطة دالة خطية فريدة. المشتقة${\displaystyle f\,'(c)}$يمثل ميل هذه الدالة الخطية، والتقريب هو:${\displaystyle f(x)\approx f\,'(c)(x{-}c)+f(c)}$ل${\displaystyle x\approx c}$يمثل الرسم البياني للتقريب الخطي خط المماس للرسم البياني${\displaystyle y=f(x)}$عند النقطة${\displaystyle (c,f(c))}$ميل المشتق${\displaystyle f\,'(c)}$يتغير عمومًا بتغير النقطة c . يمكن وصف الدوال الخطية بأنها الدوال الحقيقية الوحيدة التي تكون مشتقتها ثابتة: إذا${\displaystyle f\,'(x)=a}$لكل x ، إذن${\displaystyle f(x)=ax+b}$ل${\displaystyle b=f(0)}$.

دالة خطية معطاة${\displaystyle f(x)}$يمكن كتابة هذه الدالة بعدة صيغ قياسية تُظهر خصائصها المختلفة. وأبسطها صيغة الميل والمقطع :

${\displaystyle f(x)=ax+b}$،

ومن خلال ذلك يمكن للمرء أن يرى مباشرة الميل a والقيمة الأولية${\displaystyle f(0)=b}$، وهو نقطة تقاطع الرسم البياني مع المحور الصادي${\displaystyle y=f(x)}$.

بفرض وجود ميل a وقيمة معلومة واحدة${\displaystyle f(x_{0})=y_{0}}$نكتب صيغة الميل والنقطة :

${\displaystyle f(x)=a(x{-}x_{0})+y_{0}}$.

من الناحية البيانية، هذا يعطي الخط${\displaystyle y=f(x)}$مع ميل يمر عبر النقطة${\displaystyle (x_{0},y_{0})}$.

يبدأ الشكل ذو النقطتين بقيمتين معلومتين${\displaystyle f(x_{0})=y_{0}}$و${\displaystyle f(x_{1})=y_{1}}$يتم حساب الميل${\displaystyle a={\tfrac {y_{1}-y_{0}}{x_{1}-x_{0}}}}$ثم يُدرج هذا في صيغة الميل والنقطة:

${\displaystyle f(x)={\tfrac {y_{1}-y_{0}}{x_{1}-x_{0}}}(x{-}x_{0}\!)+y_{0}}$.

رسمه البياني${\displaystyle y=f(x)}$هو الخط الفريد الذي يمر عبر النقاط${\displaystyle (x_{0},y_{0}\!),(x_{1},y_{1}\!)}$المعادلة${\displaystyle y=f(x)}$ويمكن أيضًا كتابتها للتأكيد على الميل الثابت:

${\displaystyle {\frac {y-y_{0}}{x-x_{0}}}={\frac {y_{1}-y_{0}}{x_{1}-x_{0}}}}$.

تنشأ الدوال الخطية عادةً من المشكلات العملية التي تتضمن متغيرات${\displaystyle x,y}$بعلاقة خطية، أي أنها تخضع لمعادلة خطية${\displaystyle Ax+By=C}$. لو ${\displaystyle B\neq 0}$يمكن حل هذه المعادلة لإيجاد قيمة y ، فنحصل على:

${\displaystyle y=-{\tfrac {A}{B}}x+{\tfrac {C}{B}}=ax+b,}$

حيث نشير${\displaystyle a=-{\tfrac {A}{B}}}$و${\displaystyle b={\tfrac {C}{B}}}$أي أنه يمكن اعتبار y متغيرًا تابعًا (ناتجًا) يتم الحصول عليه من المتغير المستقل (مدخلًا) x عبر دالة خطية:${\displaystyle y=f(x)=ax+b}$في المستوى الإحداثي xy ، القيم الممكنة لـ${\displaystyle (x,y)}$يشكل خطًا، وهو الرسم البياني للدالة${\displaystyle f(x)}$. لو${\displaystyle B=0}$في المعادلة الأصلية، الخط الناتج${\displaystyle x={\tfrac {C}{A}}}$عمودي، ولا يمكن كتابته على النحو التالي${\displaystyle y=f(x)}$.

خصائص الرسم البياني${\displaystyle y=f(x)=ax+b}$يمكن تفسير ذلك بدلالة المتغيرين x و y . يمثل المقطع الصادي القيمة الابتدائية${\displaystyle y=f(0)=b}$في${\displaystyle x=0}$يمثل الميل a معدل تغير الناتج y لكل وحدة تغير في المدخل x . في الرسم البياني، يؤدي التحرك وحدة واحدة إلى اليمين (زيادة x بمقدار 1) إلى زيادة قيمة y بمقدار a : أي،${\displaystyle f(x{+}1)=f(x)+a}$يشير الميل السالب a إلى انخفاض في y لكل زيادة في x .

على سبيل المثال، الدالة الخطية${\displaystyle y=-2x+4}$له ميل${\displaystyle a=-2}$نقطة تقاطع المحور الصادي${\displaystyle (0,b)=(0,4)}$ونقطة تقاطع المحور السيني${\displaystyle (2,0)}$.

إذا لم يكن معامل المتغير صفرًا ( a ≠ 0 )، فإن الدالة الخطية يتم تمثيلها بواسطة كثير حدود من الدرجة 1 (يسمى أيضًا كثير حدود خطي )، وإلا فهي دالة ثابتة - وهي أيضًا دالة كثيرة الحدود، ولكن من الدرجة الصفرية.

قد يمثل الخط المستقيم، عند رسمه في نظام إحداثيات مختلف، وظائف أخرى.

على سبيل المثال، قد يُمثل دالة أسية عندما تُعبّر قيمها على المقياس اللوغاريتمي . هذا يعني أنه عندما تكون دالة log ( g ( x )) دالة خطية لـ x ، فإن الدالة g تكون أسية. في الدوال الخطية، تؤدي زيادة المدخلات بمقدار وحدة واحدة إلى زيادة المخرجات بمقدار ثابت، وهو ميل منحنى الدالة. أما في الدوال الأسية، فتؤدي زيادة المدخلات بمقدار وحدة واحدة إلى زيادة المخرجات بمقدار ثابت، وهو أساس الدالة الأسية.

إذا كانت كل من وسائط وقيم الدالة على المقياس اللوغاريتمي (أي عندما تكون log ( y ) دالة خطية لـ log ( x ) )، فإن الخط المستقيم يمثل قانون القوة :

${\displaystyle \log _{r}y=a\log _{r}x+b\quad \Rightarrow \quad y=r^{b}\cdot x^{a}}$

من ناحية أخرى، رسم بياني لدالة خطية بدلالة الإحداثيات القطبية :

${\displaystyle r=f(\theta )=a\theta +b}$

هو حلزون أرخميدس إذا${\displaystyle a\neq 0}$ودائرة في غير ذلك.

• الخريطة الأفينية ، تعميم
• المتتابعة الحسابية ، دالة خطية ذات وسيط صحيح

• ستيوارت، جيمس (2012)، حساب التفاضل والتكامل: الدوال المتسامية المبكرة (  الطبعة السابعة)، بروكس/كول، رقم ISBN 978-0-538-49790-9
• سوكوفسكي، إيرل دبليو. (1983)، حساب التفاضل والتكامل مع الهندسة التحليلية (  طبعة بديلة)، بوسطن: بريندل، ويبر وشميدت، ISBN 0871503417

• https://web.archive.org/web/20130524101825/http://www.math.okstate.edu/~noell/ebsm/linear.html
• https://web.archive.org/web/20180722042342/https://corestandards.org/assets/CCSSI_Math%20Standards.pdf