نموذج مذبذب لورنتز

📅 آخر تحديث: ٢٩ يوليو ٢٠٢٦
✍️ نُشر في: ٢٩ يوليو ٢٠٢٦
📷 يحتوي على 47 صور
الموسوعة الحرة
ترتبط الإلكترونات بنواة الذرة بشكل مشابه للزنبركات.

يصف نموذج مذبذب لورنتز (مذبذب الإلكترون الكلاسيكي أو نموذج CEO) الاستجابة البصرية للشحنات المقيدة . سُمي النموذج نسبةً إلى الفيزيائي الهولندي هندريك لورنتز الذي اقترحه عام 1878. [ 1 ] وهو نموذج كلاسيكي ظاهري للمواد ذات ترددات الرنين المميزة (أو مقاييس الطاقة المميزة الأخرى) للامتصاص البصري، مثل الاهتزازات الأيونية والجزيئية ، والانتقالات بين النطاقات (أشباه الموصلات)، والفونونات ، والإثارات الجماعية. [ 2 ] [ 3 ]

الاشتقاق

حركة الإلكترون

يُشتق النموذج من خلال نمذجة إلكترون يدور حول نواة ضخمة ثابتة كنظام نابض-كتلة-مخمد . [ 3 ] [ 4 ] [ 5 ] يُفترض أن الإلكترون متصل بالنواة عبر نابض افتراضي، وأن حركته تُخمد بواسطة مخمد افتراضي. تضمن قوة التخميد أن تكون استجابة المذبذب محدودة عند تردد رنينه. بالنسبة لقوة دافعة متناغمة زمنيًا تنشأ من المجال الكهربائي ، يمكن تطبيق قانون نيوتن الثاني على الإلكترون للحصول على حركته وتعبيرات لعزم ثنائي القطب ، والاستقطاب ، والحساسية المغناطيسية ، ودالة العزل الكهربائي . [ 5 ]

معادلة حركة مذبذب الإلكترون هي Fشبكة=Fالتخميد+Fربيع+Fالقيادة=مد2ردت2-مτدردت-كر-هـهـ(ت)=مد2ردت2د2ردت2+1τدردت+ω02ر=-هـمهـ(ت)،// {d} t^{2}}}\\[1ex]{\frac {-m}{\tau}}{\frac {\mathrm {d} \mathbf {r} }{\mathrm {d} t}}-k\mathbf {r} - {e}\mathbf {E} (t)&=m {\frac {\mathrm {d} ^{2}\mathbf {r} }{\ماثرم {د} t^{2}}}\\[1ex]{\frac {\mathrm {d} ^{2}\mathbf {r} {\mathrm {d} t^{2}}}+{\frac {1}{\tau}}{\frac {\mathrm {d} \mathbf {r} }{\mathrm {d} t}}+\omega _ {0}^{2}\mathbf {r} \;&=\;{\frac {-e}{m}}\mathbf {E} (t)،\end{محاذاة}}}

أين

  • ر{\displaystyle \mathbf {r} }هو إزاحة الشحنة من موضع السكون،
  • ت{\displaystyle t}حان الوقت،
  • τ{\displaystyle \tau }هو زمن الاسترخاء/زمن التشتت،
  • ك{\displaystyle k}هو عامل ثابت مميز للنابض،
  • م{\displaystyle m}هي الكتلة الفعالة للإلكترون،
  • ω0=ك/م{\textstyle \omega _{0}={\sqrt {k/m}}}يمثل تردد الرنين للمذبذب،
  • هـ{\displaystyle e}هي الشحنة الأولية ،
  • هـ(ت){\displaystyle \mathbf {E} (ر)}هو المجال الكهربائي.

للحقول المتناغمة زمنياً هـ(ت)=هـ0هـ-أناωت،{\displaystyle \mathbf {E} (t)=\mathbf {E} _{0}e^{-i\omega t},}ر(ت)=ر0هـ-أناωت،{\displaystyle \mathbf {r} (t)=\mathbf {r} _{0}e^{-i\omega t},}

الحل الثابت لمعادلة الحركة هذه هو ر(ω)=-هـم1ω02-ω2-أناω/τهـ(ω).{\displaystyle \mathbf {r} (\omega )={\frac {-e}{m}}{\frac {1}{\omega _{0}^{2}-\omega ^{2}-i\omega /\tau }}\mathbf {E} (\omega ).}

إن كون الحل المذكور أعلاه معقداً يعني وجود تأخير زمني (انزياح طوري) بين المجال الكهربائي المحرك واستجابة حركة الإلكترون. [ 5 ]

لحظة ثنائي القطب

الإزاحة،ر{\displaystyle \mathbf {r} }، يُحدث عزم ثنائي القطب،ص{\displaystyle \mathbf {p} }، مقدمة من ص(ω)=-هـر(ω)=α^(ω)هـ(ω).{\displaystyle \mathbf {p} (\omega )=-e\mathbf {r} (\omega )={\hat {\alpha }}(\omega )\mathbf {E} (\omega ).}

هنا،α^(ω){\displaystyle {\hat {\alpha }}(\أوميغا )}هي قابلية استقطاب المذبذب المفرد، وتعطى بواسطة α^(ω)=هـ2م1(ω02-ω2)-أناω/τ.{\displaystyle {\hat {\alpha }}(\omega )={\frac {e^{2}}{m}}{\frac {1}{(\omega _{0}^{2}-\omega ^{2})-i\omega /\tau }}.}

يمكن تفسير ثلاثة أنظمة تشتت متميزة تتوافق مع مصطلح المقام المهيمن في عزم ثنائي القطب: [ 6 ]

النظامحالةمقياس التشتتإزاحة الطور
تشتت طومسونω2≫ωτ،ω02{\displaystyle \omega ^{2}\gg {\frac {\omega }{\tau }},\omega _{0}^{2}}1{\displaystyle 1}0°
تشتت شنايدر-مايلزωτ≫|ω02-ω2|{\displaystyle {\frac {\omega }{\tau }}\gg |\omega _{0}^{2}-\omega ^{2}|}ω2{\displaystyle \omega ^{2}}90 درجة
تشتت رايليω02≫ω2،ωτ{\displaystyle \omega _{0}^{2}\gg \omega ^{2},{\frac {\omega }{\tau }}}ω4{\displaystyle \omega ^{4}}180 درجة

الاستقطاب والإزاحة الكهربائية

الاستقطابP{\displaystyle \mathbf {P} }هو عزم ثنائي القطب لكل وحدة حجم. بالنسبة لخصائص المواد الماكروسكوبيةشمال{\displaystyle N}هي كثافة الشحنات (الإلكترونات) لكل وحدة حجم. وبافتراض أن كل إلكترون يتصرف بنفس عزم ثنائي القطب، فإن الاستقطاب يكون كالتالي: P=شمالص=شمالα^(ω)هـ(ω).{\displaystyle \mathbf {P} =N\mathbf {p} =N{\hat {\alpha }}(\omega )\mathbf {E} (\omega ).}

الإزاحة الكهربائيةد{\displaystyle \mathbf {D} }يرتبط بكثافة الاستقطابP{\displaystyle \mathbf {P} }بواسطة د=ε^هـ=هـ+4πP=(1+4πشمالα^)هـ.{\displaystyle \mathbf {D} ={\hat {\varepsilon}}\mathbf {E} =\mathbf {E} +4\pi \mathbf {P} =(1+4\pi N{\hat {\alpha }})\mathbf {E} .}

دالة العزل الكهربائي

نموذج مذبذب لورنتز. تم رسم المكونات الحقيقية (الخط الأزرق المتصل) والخيالية (الخط البرتقالي المتقطع) للنفاذية النسبية لنموذج مذبذب واحد بمعاملاتω0=23.8تيحz{\displaystyle \omega _{0}=\mathrm {23.8\,THz} }(12.6 ميكرومتر)،s/ω02=3.305{\displaystyle s/\omega _{0}^{2}=\mathrm {3.305} }،Γ/ω0=0.006{\displaystyle \Gamma /\omega _{0}=\mathrm {0.006} }، وε∞=6.7{\displaystyle \varepsilon _{\infty }=\mathrm {6.7} }تقارب هذه المعلمات كربيد السيليكون السداسي. [ 7 ]

دالة العزل الكهربائي المركبة هي ( بوحدات غاوسية ): ε^(ω)=1+4πشمالهـ2م1(ω02-ω2)-أناω/τ،{\displaystyle {\hat {\varepsilon }}(\omega )=1+{\frac {4\pi Ne^{2}}{m}}{\frac {1}{(\omega _{0}^{2}-\omega ^{2})-i\omega /\tau }},} حيث يمكن للمرء أن يحددωص2≡4πشمالهـ2م{\displaystyle \omega _{p}^{2}\equiv {\frac {4\pi Ne^{2}}{m}}}، وهو مربع ما يسمى بتردد البلازما .

عملياً، يتم تعديل النموذج عادةً لمراعاة آليات الامتصاص المتعددة الموجودة في الوسط. هذه النسخة المعدلة موضحة في المرجع [ 8 ].ε^(ω)=ε∞+∑جχجL(ω؛ω0،ج)،{\displaystyle {\hat {\varepsilon }}(\omega )=\varepsilon _{\infty }+\sum _{j}\chi _{j}^{L}(\omega ;\omega _{0,j}),} حيث χجL(ω؛ω0،ج)=sجω0،ج2-ω2-أناΓجω،{\displaystyle \chi _{j}^{L}(\omega ;\omega _{0,j})={\frac {s_{j}}{\omega _{0,j}^{2}-\omega ^{2}-i\Gamma _{j}\omega }},} و

  • ε∞{\displaystyle \varepsilon _{\infty }}هي قيمة دالة العزل الكهربائي عند التردد اللانهائي، والتي يمكن استخدامها كمعامل قابل للتعديل لمراعاة آليات امتصاص الترددات العالية؛
  • sج=ωص2وج{\displaystyle s_{j}=\omega _{p}^{2}f_{j}}ووج{\displaystyle f_{j}}يرتبط ذلك بقوةج{\displaystyle j}آلية الامتصاص؛
  • Γج=1/τ{\displaystyle \Gamma _{j}=1/\tau }.

بفصل المكونات الحقيقية والخيالية، ε^(ω)=ε1(ω)+أناε2(ω)=[ε∞+∑جsج(ω0،ج2-ω2)(ω0،ج2-ω2)2+(Γجω)2]+أنا[∑جsج(Γجω)(ω0،ج2-ω2)2+(Γجω)2].{\displaystyle {\hat {\varepsilon }}(\omega )=\varepsilon _{1}(\omega )+i\varepsilon _{2}(\omega )=\left[\varepsilon _{\infty }+\sum _{j}{\frac {s_{j}(\omega _{0,j}^{2}-\omega ^{2})}{\left(\omega _{0,j}^{2}-\omega ^{2}\right)^{2}+\left(\Gamma _{j}\omega \right)^{2}}}\right]+i\left[\sum _{j}{\frac {s_{j}(\Gamma _{j}\omega )}{\left(\omega _{0,j}^{2}-\omega ^{2}\right)^{2}+\left(\Gamma _{j}\omega \right)^{2}}}\right].}

الموصلية المعقدة

ترتبط الموصلية البصرية المعقدة بشكل عام بدالة العزل الكهربائي المعقدة ( بوحدات غاوسية ) كما يلي: σ^(ω)=ω4πأنا(ε^(ω)-1).{\displaystyle {\hat {\sigma }}(\omega )={\frac {\omega }{4\pi i}}\left({\hat {\varepsilon }}(\omega )-1\right).}

باستبدال صيغةε^(ω){\displaystyle {\hat {\varepsilon }}(\omega )}في المعادلة أعلاه نحصل على σ^(ω)=شمالهـ2مωω/τ+أنا(ω02-ω2).{\displaystyle {\hat {\sigma }}(\omega )={\frac {Ne^{2}}{m}}{\frac {\omega }{\omega /\tau +i\left(\omega _{0}^{2}-\omega ^{2}\right)}}.}

يؤدي فصل المكونات الحقيقية والخيالية إلى σ^(ω)=σ1(ω)+أناσ2(ω)=شمالهـ2مω2τ(ω02-ω2)2+ω2/τ2-أناشمالهـ2م(ω02-ω2)ω(ω02-ω2)2+ω2/τ2.{\displaystyle {\hat {\sigma }}(\omega )=\sigma _{1}(\omega )+i\sigma _{2}(\omega )={\frac {Ne^{2}}{m}}{\frac {\frac {\omega ^{2}}{\tau }}{\left(\omega _{0}^{2}-\omega ^{2}\right)^{2}+\omega ^{2}/\tau ^{2}}}-i{\frac {Ne^{2}}{m}}{\frac {\left(\omega _{0}^{2}-\omega ^{2}\right)\omega }{\left(\omega _{0}^{2}-\omega ^{2}\right)^{2}+\omega ^{2}/\tau ^{2}}}.}

انظر أيضاً

مراجع

  1. ↑ غالسن، جوجيندر سينغ (2025). تاريخ فيزياء الحالة الصلبة . سبرينغر نيتشر. ISBN 978-981-95-0504-3.
  2. ↑ لورنتز، هندريك أنتون (1909). نظرية الإلكترونات وتطبيقاتها على ظواهر الضوء والحرارة الإشعاعية . المجلد 29، الجزء 29. نيويورك؛ لايبزيغ: بي جي تويبنر. OCLC 535812 .  
  3. 1 2 دريسل، مارتن؛ غرونر، جورج (2002). "أشباه الموصلات". الديناميكا الكهربائية للمواد الصلبة: الخصائص البصرية للإلكترونات في المادة . كامبريدج. ص 136-172 . doi : 10.1017/CBO9780511606168.008 . ISBN  9780521592536.{{cite book}}: CS1 maint: موقع الناشر مفقود ( رابط )
  4. ↑ ألموغ، آي إف؛ برادلي، إم إس؛ بولوفيتش، في. (2011). "مذبذب لورنتز وتطبيقاته" (ملف PDF) . معهد ماساتشوستس للتكنولوجيا، قسم الهندسة الكهربائية وعلوم الحاسوب . معهد ماساتشوستس للتكنولوجيا . تاريخ الاسترجاع: 24 نوفمبر 2021 .
  5. 1 2 3 كولتون، جون (2020). "نموذج مذبذب لورنتز" (ملف PDF) . جامعة بريغام يونغ، قسم الفيزياء وعلم الفلك . جامعة بريغام يونغ . تاريخ الاسترجاع: 18 نوفمبر 2021 .
  6. ↑ باتيل، آدم (2021). "أنظمة طومسون والتصادم لتشتت الموجات الميكروية المتماسكة المتوافقة في الطور من البلازما الدقيقة الغازية" . التقارير العلمية . 11 (1): 23389. arXiv : 2106.02457 . Bibcode : 2021NatSR..1123389P . doi : 10.1038/s41598-021-02500- y . PMC 8642454. PMID 34862396 .  
  7. ↑ سبيتزر، دبليو جي؛ كلاينمان، دي؛ والش، دي (1959). "الخواص تحت الحمراء لكربيد السيليكون السداسي" . مجلة Physical Review . 113 (1): 127-132 . Bibcode : 1959PhRv..113..127S . doi : 10.1103/PhysRev.113.127 . تاريخ الاسترجاع: 24 نوفمبر 2021 .
  8. ↑ تشانغ، زد إم؛ ليفير-بوتون، جي؛ باول، إف آر (1998). "معامل الانكسار ومعامل الامتصاص للأشعة تحت الحمراء لأغشية البوليميد" . المجلة الدولية للديناميكا الحرارية . 19 (3): 905-916 . doi : 10.1023/A:1022655309574 . S2CID 116271335. تاريخ الاسترجاع: 24 نوفمبر 2021 .