ثنائي القطب المغناطيسي

في الكهرومغناطيسية ، يُعدّ ثنائي القطب المغناطيسي وصفًا نظريًا لمغناطيس صغير بما يكفي، كذرة أو إلكترون. ويمكن وصف جميع المغناطيسات بأنها ثنائية قطب مغناطيسي على مسافات كبيرة كافية. وتُحدد قوة ثنائي القطب المغناطيسي بخاصية واحدة هي عزمه المغناطيسي . ويتنبأ نموذج ثنائي القطب المغناطيسي بدقة بالعديد من خصائص المغناطيسات الصغيرة، مثل المجال المغناطيسي الذي يُنتجه، وكيفية تفاعله مع ثنائيات الأقطاب المغناطيسية الأخرى، وكيف يُطبّق مجال مغناطيسي خارجي عزم دوران أو يُنشئ قوة محصلة على ثنائي القطب.

يمكن استخدام نموذجين مختلفين لوصف ثنائي القطب المغناطيسي. أبسطهما فهمًا، ولكنه الأقل دقة، هو تخيّل المغناطيس كقطبين متساويين ومتعاكسين يتصرفان كشحنات كهربائية. يُنمذج ثنائي القطب المغناطيسي "المثالي" بتقليص المسافة بين القطبين مع زيادة قوة القطب المغناطيسي بحيث يبقى حاصل ضربهما (عزم ثنائي القطب المغناطيسي) عند القيمة المحددة لذلك القطب. غالبًا ما يُعطي هذا النموذج نتائج صحيحة بطريقة سهلة الفهم، ولكنه يعاني من عدم الدقة (فالأقطاب المغناطيسية لا توجد ككيانات منفصلة) وإعطاء نتائج غير صحيحة في بعض الحالات (مثل داخل المغناطيس).

الوصف الأدق للثنائي المغناطيسي هو أنه حلقة مغلقة من التيار الكهربائي تُحيط بمساحة مسطحة a . وبالتالي، فإن العزم المغناطيسي لهذا الثنائي هو حاصل ضرب مساحته في شدة التيار. يتميز نموذج الحلقة الأمبيرية هذا بصحته الفيزيائية، على الأقل بالنسبة لجزء المجال المغناطيسي للذرة الناتج عن حركة الإلكترونات حول نواة الذرة.

لعدم وجود أقطاب مغناطيسية أحادية ، يبدو المجال المغناطيسي على مسافة كبيرة من أي مصدر مغناطيسي ثابت كمجال ثنائي قطب له نفس عزم ثنائي القطب. أما بالنسبة للمصادر ذات الرتبة الأعلى (مثل رباعيات الأقطاب ) التي لا تمتلك عزم ثنائي القطب، فإن مجالها يتلاشى مع المسافة أسرع من مجال ثنائي القطب.

لقد تغير التفسير الكلاسيكي المفضل للثنائي القطب المغناطيسي بمرور الوقت. فقبل ثلاثينيات القرن العشرين، كانت الكتب الدراسية تشرح الثنائي القطب المغناطيسي باستخدام شحنات نقطية مغناطيسية افتراضية. ومنذ ذلك الحين، عرّفه معظمها بدلالة التيارات الأمبيرية. ^{[ 2 ]} في المواد المغناطيسية، يعود سبب العزم المغناطيسي إلى حالات الزخم الزاوي الدوراني والمداري للإلكترونات .

نموذج القطب المغناطيسي

يمكن تمثيل مصادر العزوم المغناطيسية في المواد بأقطاب، قياسًا على علم الكهرباء الساكنة . يُعرف هذا أحيانًا بنموذج جيلبرت. ^{[ 3 ] : 258} في هذا النموذج، يُنمذج مغناطيس صغير بزوج من الأقطاب المغناطيسية الأحادية الوهمية متساوية في المقدار ومتعاكسة في القطبية . كل قطب هو مصدر قوة مغناطيسية تضعف مع المسافة. ولأن الأقطاب المغناطيسية تأتي دائمًا في أزواج، فإن قواها تلغي بعضها جزئيًا، لأنه بينما يجذب أحد القطبين، يتنافر الآخر. يكون هذا الإلغاء في أقصى حالاته عندما تكون الأقطاب قريبة من بعضها، أي عندما يكون المغناطيس قصيرًا. لذلك، تعتمد القوة المغناطيسية الناتجة عن مغناطيس قضيب، عند نقطة معينة في الفضاء، على عاملين: قوة أقطابه ( قوة القطب المغناطيسي )، والمتجه${\displaystyle \mathrm {\boldsymbol {\ell }} }$بفصلها. يرتبط عزم ثنائي القطب المغناطيسي m بالأقطاب الوهمية كما يلي ^{[ 2 ]}$${\displaystyle \mathbf {m} =p\,\mathrm {\boldsymbol {\ell }} \,.}$$

يشير هذا الاتجاه من القطب الجنوبي إلى القطب الشمالي. لا ينبغي المبالغة في تشبيهه بالقطب الكهربائي ثنائي القطب، لأن القطب المغناطيسي ثنائي القطب مرتبط بالزخم الزاوي (انظر: العلاقة بالزخم الزاوي ). مع ذلك، تُعد الأقطاب المغناطيسية مفيدة جدًا في حسابات المغناطيسية الساكنة ، لا سيما في تطبيقات المواد المغناطيسية الحديدية . ^{[ 2 ]} عادةً ما يُمثل الباحثون الذين يستخدمون طريقة القطب المغناطيسي المجال المغناطيسي بالمجال غير الدوراني H ، قياسًا على المجال الكهربائي E.

نموذج حلقة أمبيريان

بعد أن اكتشف هانز كريستيان أورستد أن التيارات الكهربائية تُنتج مجالًا مغناطيسيًا، واكتشف أندريه ماري أمبير أن التيارات الكهربائية تتجاذب وتتنافر فيما بينها كما تفعل المغناطيسات، كان من الطبيعي افتراض أن جميع المجالات المغناطيسية ناتجة عن حلقات تيار كهربائي. في هذا النموذج الذي طوره أمبير، يكون ثنائي القطب المغناطيسي الأساسي الذي يُكوّن جميع المغناطيسات عبارة عن حلقة أمبيرية صغيرة بما يكفي من التيار I. عزم ثنائي القطب لهذه الحلقة هو $${\displaystyle \mathbf {m} =I{\boldsymbol {S}},}$$ حيث S هي مساحة الحلقة. ويكون اتجاه العزم المغناطيسي عموديًا على المساحة المحصورة بالتيار، بما يتوافق مع اتجاه التيار باستخدام قاعدة اليد اليمنى.

توزيعات التيار الموضعية

يمكن حساب عزم ثنائي القطب المغناطيسي لتوزيع تيار موضعي (لا يمتد إلى ما لا نهاية) بافتراض معرفة جميع التيارات المعنية. تقليديًا، يبدأ الاشتقاق من توسيع متعدد الأقطاب للجهد الشعاعي . وهذا يؤدي إلى تعريف عزم ثنائي القطب المغناطيسي على النحو التالي: $${\displaystyle \mathbf {m} ={\tfrac {1}{2}}\iiint _{V}\mathbf {r} \times \mathbf {j} (\mathbf {r} )\,\mathrm {d} V,}$$ حيث × هو الضرب الاتجاهي للمتجهات ، و r هو متجه الموضع، و j هي كثافة التيار الكهربائي ، والتكامل هو تكامل حجمي. ^{[ 4 ] : ​​§  5.6} عندما تُستبدل كثافة التيار في التكامل بحلقة تيار I في مستوى يحيط بمساحة S، فإن التكامل الحجمي يصبح تكاملًا خطيًا ، ويصبح عزم ثنائي القطب الناتج $${\displaystyle \mathbf {m} =I\mathbf {S} ,}$$ وهكذا يتم اشتقاق عزم ثنائي القطب المغناطيسي لحلقة أمبيرية.

يقوم الممارسون الذين يستخدمون نموذج الحلقة الحالية عمومًا بتمثيل المجال المغناطيسي بواسطة المجال اللولبي B ، وهو مشابه للمجال الكهروستاتيكي D.

العزم المغناطيسي للملف اللولبي

يُعد الملف اللولبي، أو الملف ذو اللفائف ، تعميمًا لحلقة التيار المذكورة أعلاه . وعزمه هو المجموع الاتجاهي لعزوم اللفات الفردية. إذا كان للملف اللولبي N لفة متطابقة (لفائف أحادية الطبقة) ومساحة متجهة S ، $${\displaystyle \mathbf {m} =NI\mathbf {S} .}$$

في الفيزياء الكلاسيكية ، يُحسب المجال المغناطيسي لثنائي القطب كحدٍّ لحلقة تيار أو زوج من الشحنات عندما يتقلص المصدر إلى نقطة مع الحفاظ على العزم المغناطيسي m ثابتًا. بالنسبة لحلقة التيار، يُشتق هذا الحد بسهولة من الكمون الشعاعي : ^{[ 5 ]}

${\displaystyle {\mathbf {A} }({\mathbf {r} })={\frac {\mu _{0}}{4\pi }}{\frac {{\mathbf {m} }\times {\mathbf {r} }}{r^{3}}},}$

حيث μ₀ هو ثابت نفاذية الفراغ، ^و 4πr² هي مساحة سطح كرة نصف قطرها r . وبالتالي ، فإن كثافة التدفق المغناطيسي (شدة المجال المغناطيسي B) هي ^{[ 5 ]} _.

${\displaystyle \mathbf {B} ({\mathbf {r} })=\nabla \times {\mathbf {A} }={\frac {\mu _{0}}{4\pi }}\left[{\frac {3\mathbf {r} (\mathbf {m} \cdot \mathbf {r} )}{r^{5}}}-{\frac {\mathbf {م}} {r^{3}}}\يمين].}$

أو يمكن الحصول على الجهد القياسي أولاً من حد القطب المغناطيسي،

${\displaystyle \psi ({\mathbf {r} })={\frac {{\mathbf {m} }\cdot {\mathbf {r} }}{4\pi r^{3}}},}$

وبالتالي فإن شدة المجال المغناطيسي (أو شدة المجال H) هي

${\displaystyle {\mathbf {H} }({\mathbf {r} })=-\nabla \psi ={\frac {1}{4\pi }}\left[{\frac {3\mathbf {\hat {r}} (\mathbf {m} \cdot \mathbf {\hat {r}} )-\mathbf {m} {r^{3}}}\right]={\frac {\mathbf {B} ({\mathbf {r} })}{\mu _{0}}}.}$

تكون شدة المجال المغناطيسي متناظرة عند الدوران حول محور العزم المغناطيسي. في الإحداثيات الكروية، مع${\displaystyle \mathbf {\hat {z}} =\mathbf {\hat {r}} \cos \theta -{\boldsymbol {\hat {\theta }}}\sin \theta }$وإذا كان العزم المغناطيسي محاذيًا للمحور z، فيمكن التعبير عن شدة المجال ببساطة أكبر على النحو التالي:

${\displaystyle \mathbf {H} ({\mathbf {r} })={\frac {|\mathbf {m} |}{4\pi r^{3}}}\left(2\cos \theta \,\mathbf {\hat {r}} +\sin \theta \,{\boldsymbol {\hat {\theta }}}\right).}$

يُعطي النموذجان المُستخدمان لحساب المجال المغناطيسي ثنائي القطب (حلقة التيار والأقطاب المغناطيسية) نفس النتائج للمجال المغناطيسي بعيدًا عن المصدر. مع ذلك، يختلفان داخل منطقة المصدر. يكون اتجاه المجال المغناطيسي بين القطبين معاكسًا لاتجاه العزم المغناطيسي (الذي يشير من الشحنة السالبة إلى الشحنة الموجبة)، بينما يكون داخل حلقة التيار في نفس الاتجاه (انظر الشكل على اليمين (أعلاه لمستخدمي الهواتف المحمولة)). من الواضح أن حدود هذه المجالات تختلف أيضًا عندما تتقلص المصادر إلى الصفر. هذا التمييز مهم فقط عند استخدام حد ثنائي القطب لحساب المجالات داخل مادة مغناطيسية.

إذا تشكل ثنائي قطب مغناطيسي عن طريق تصغير حلقة تيار باستمرار مع الحفاظ على حاصل ضرب التيار والمساحة ثابتًا، فإن المجال الحدي هو

${\displaystyle \mathbf {B} (\mathbf {r} )={\frac {\mu _{0}}{4\pi }}\left[{\frac {3\mathbf {\hat {r}} (\mathbf {\hat {r}} \cdot \mathbf {m} ) -\mathbf {m} }{|\mathbf {r} |^{3}}}+{\frac {8\pi }{3}}\mathbf {m} \delta (\mathbf {r} )\right],}$

حيث δ ( r ) هي دالة ديراك دلتا في ثلاثة أبعاد. وخلافاً للصيغ الواردة في القسم السابق، فإن هذه النهاية صحيحة للمجال الداخلي للثنائي القطب.

إذا تشكل ثنائي قطب مغناطيسي بأخذ "قطب شمالي" و"قطب جنوبي"، وتقريبهما من بعضهما البعض مع الحفاظ على حاصل ضرب شحنة القطب المغناطيسي والمسافة ثابتًا، فإن المجال النهائي هو

${\displaystyle \mathbf {H} (\mathbf {r} )={\frac {1}{4\pi }}\left[{\frac {3\mathbf {\hat {r}} (\mathbf {\hat {r}} \cdot \mathbf {m} ) -\mathbf {m} }{|\mathbf {r} |^{3}}}-{\frac {4\pi }{3}}\mathbf {m} \delta (\mathbf {r} )\right].}$

ترتبط هذه الحقول بالعلاقة B = μ ₀ ( H + M ) ، حيث

${\displaystyle \mathbf {M} (\mathbf {r} )=\mathbf {m} \delta (\mathbf {r} )}$

هي المغنطة .

يمكن حساب القوة F التي يمارسها عزم ثنائي القطب m ₁ على عزم ثنائي القطب m ₂ مفصول في الفضاء بواسطة متجه r باستخدام: ^{[ 6 ]}

${\displaystyle \mathbf {F} =\nabla \left(\mathbf {m} _{2}\cdot \mathbf {B} _{1}\right),}$

أو ^{[ 7 ] [ 8 ]}

${\displaystyle \mathbf {F} (\mathbf {r} ,\mathbf {m} _{1},\mathbf {m} _{2})={\dfrac {3\mu _{0}}{4\pi r^{5}}}\left[(\mathbf {m} _{1}\cdot \mathbf {r} )\mathbf {m} _{2}+(\mathbf {m} _{2}\cdot \mathbf {r} )\mathbf {m} _{1}+(\mathbf {m} _{1}\cdot \mathbf {m} _{2})\mathbf {r} -{\dfrac {5(\mathbf {m} _{1}\cdot \mathbf {r} )(\mathbf {m} _{2}\cdot \mathbf {r} )}{r^{2}}}\mathbf {r} \right],}$

حيث r هي المسافة بين ثنائيات الأقطاب. القوة المؤثرة على m ₁ تكون في الاتجاه المعاكس.

يمكن الحصول على عزم الدوران من الصيغة

${\displaystyle {\boldsymbol {\tau }}=\mathbf {m} _{2}\times \mathbf {B} _{1}.}$

يمكن تمثيل الجهد المغناطيسي القياسي ψ الناتج عن مصدر محدود، ولكنه خارجي عنه، بتوسيع متعدد الأقطاب . يرتبط كل حد في هذا التوسيع بعزم مميز وجهد له معدل تناقص مميز مع المسافة r من المصدر. عزوم الأقطاب الأحادية لها معدل تناقص 1/ r ، وعزوم الأقطاب الثنائية لها معدل تناقص 1/ r² ، وعزوم الأقطاب الرباعية لها معدل تناقص 1/ ^{r³ ، وهكذا. كلما زادت رتبة الحد، زاد معدل تناقص الجهد. ولأن الحد الأدنى رتبة الملاحظ في المصادر المغناطيسية هو حد الأقطاب الثنائية، فإنه يهيمن عند المسافات الكبيرة. لذلك، عند المسافات الكبيرة} ، يبدو أي مصدر مغناطيسي وكأنه قطب ثنائي له نفس العزم المغناطيسي .