ماهافيرا (عالم رياضيات)

كان ماهافيرا (أو ماهافيراتشاريا ، "ماهافيرا المعلم") عالم رياضيات جايني هندي من القرن التاسع ، يُحتمل أنه وُلد في ميسور بالهند . ^{[ 1 ] [ 2 ] [ 3 ]} ألّف كتاب "غانيتا سارا سانغراها " ( Ganita -sāra-saṅgraha ) أو "مختصر جوهر الرياضيات" عام 850 ميلادي. ^{[ 4 ]} حظي برعاية الإمبراطور أموغافارشا من سلالة راشتراكوت . ^{[ 4 ]} فصل ماهافيرا علم التنجيم عن الرياضيات، ويُعدّ كتابه أقدم نص هندي مُخصّص بالكامل للرياضيات. ^{[ 5 ]} شرح ماهافيرا المواضيع نفسها التي ناقشها أريابهاتا وبراهماغوبتا ، لكنه عبّر عنها بوضوح أكبر. يتميّز عمله بنهج مُختصر للغاية في الجبر ، ويركّز في معظمه على تطوير التقنيات اللازمة لحلّ المسائل الجبرية. ^{[ 6 ]} يحظى باحترام كبير بين علماء الرياضيات الهنود، وذلك لوضعه مصطلحات لمفاهيم مثل المثلث متساوي الأضلاع، والمثلث متساوي الساقين، والمعين، والدائرة، ونصف الدائرة. ^{[ 7 ]} ذاع صيت ماهافيرا في جميع أنحاء جنوب الهند، وكانت كتبه مصدر إلهام لعلماء الرياضيات الآخرين في جنوب الهند . ^{[ 8 ]} تُرجمت إلى اللغة التيلوجية بواسطة بافولوري مالانا بعنوان "سارا سانغراها غانيتامو" . ^{[ 9 ]}

اكتشف متطابقات جبرية مثل ^a³ = a ( a + b ) (a - b) + b²(a - b) + b³. [ 3 ] كما وجد ^صيغة nCr على النحو التالي : [ n ^{( n - 1} ) ( ⁿ - ₂ ) ... ( n - r + 1 ) ] / [ r ( r - 1 )( r - 2) ... 2 * 1]. ^{[ 10 ]} وضع صيغة لتقريب مساحة ومحيط القطع الناقص، ووجد طرقًا لحساب مربع العدد وجذوره التكعيبية. ^{[ 11 ]} وأكد أن الجذر التربيعي لعدد سالب غير موجود. ^{[ 12 ]} تستخدم العمليات الحسابية في أعماله، مثل كتاب "غانيتا سارا سانغراها"، نظام القيمة المكانية العشرية ، بما في ذلك استخدام الصفر . ومع ذلك، فقد ذكر خطأً أن العدد المقسوم على صفر لا يتغير. ^{[ 13 ]}

قدّم كتاب "غانيتا سارا سانغراها" لماهافيرا قواعد منهجية للتعبير عن الكسر كمجموع كسور الوحدة . ^{[ 14 ]} ويتبع هذا استخدام كسور الوحدة في الرياضيات الهندية في العصر الفيدي، كما ورد في "شولبا سوتراس " الذي يُعطي تقريبًا لـ √2 يُعادل${\displaystyle 1+{\tfrac {1}{3}}+{\tfrac {1}{3\cdot 4}}-{\tfrac {1}{3\cdot 4\cdot 34}}}$[ ^{14 ]​}

في كتاب غانيتا سارا سانغراها (GSS)، يُطلق على القسم الثاني من فصل الحساب اسم كالا سافارنا فيافاهارا (وتعني حرفيًا "عملية اختزال الكسور"). وفي هذا القسم، يُقدّم قسم بهاغاجاتي (الأبيات 55-98) قواعد لما يلي: ^{[ 14 ]}

• للتعبير عن 1 كمجموع n من الكسور الوحدوية (GSS kalāsavarṇa 75، أمثلة في 76): ^{[ 14 ]}

rūpāṃśakarāśīnāṃ rūpādyās triguṇitā harāḥ kramaśaḥ / dvidvitryaṃśābhyastāv ādimacaramau phale rūpe //

عندما تكون النتيجة واحدًا، فإن مقامات الكميات التي يكون بسطها واحدًا هي الأعداد التي تبدأ بواحد وتضرب في ثلاثة، بالترتيب. يُضرب العدد الأول في اثنين، والأخير في ثلثين.

${\displaystyle 1={\frac {1}{1\cdot 2}}+{\frac {1}{3}}+{\frac {1}{3^{2}}}+\dots +{\frac {1}{3^{n-2}}}+{\frac {1}{{\frac {2}{3}}\cdot 3^{n-1}}}}$

• للتعبير عن 1 كمجموع عدد فردي من الكسور الوحدوية (GSS kalāsavarṇa 77): ^{[ 14 ]}

${\displaystyle 1={\frac {1}{2\cdot 3\cdot 1/2}}+{\frac {1}{3\cdot 4\cdot 1/2}}+\dots +{\frac {1}{(2n-1)\cdot 2n\cdot 1/2}}+{\frac {1}{2n\cdot 1/2}}}$

• للتعبير عن كسر الوحدة${\displaystyle 1/q}$كمجموع n من الكسور الأخرى ذات البسط المعطاة${\displaystyle a_{1},a_{2},\dots ,a_{n}}$(GSS kalāsavarṇa 78، أمثلة في 79):

${\displaystyle {\frac {1}{q}}={\frac {a_{1}}{q(q+a_{1})}}+{\frac {a_{2}}{(q+a_{1})(q+a_{1}+a_{2})}}+\dots +{\frac {a_{n-1}}{(q+a_{1}+\dots +a_{n-2})(q+a_{1}+\dots +a_{n-1})}}+{\frac {a_{n}}{a_{n}(q+a_{1}+\dots +a_{n-1})}}}$

• للتعبير عن أي كسر${\displaystyle p/q}$كمجموع كسور الوحدة (GSS kalāsavarṇa 80، أمثلة في 81): ^{[ 14 ]}

اختر عددًا صحيحًا i بحيث${\displaystyle {\tfrac {q+i}{p}}}$إذا كان r عددًا صحيحًا ، فاكتب

${\displaystyle {\frac {p}{q}}={\frac {1}{r}}+{\frac {i}{r\cdot q}}}$

وكرر العملية للحد الثاني بشكل متكرر. (لاحظ أنه إذا تم اختيار i دائمًا ليكون أصغر عدد صحيح من هذا النوع، فإن هذا يطابق الخوارزمية الجشعة للكسور المصرية .)

• للتعبير عن كسر الوحدة كمجموع كسرين وحدة آخرين (GSS kalāsavarṇa 85، مثال في 86): ^{[ 14 ]}

${\displaystyle {\frac {1}{n}}={\frac {1}{p\cdot n}}+{\frac {1}{\frac {p\cdot n}{n-1}}}}$أين${\displaystyle p}$يتم اختيارها بحيث${\displaystyle {\frac {p\cdot n}{n-1}}}$هو عدد صحيح (الذي${\displaystyle p}$يجب أن يكون من مضاعفات${\displaystyle n-1}$).

${\displaystyle {\frac {1}{a\cdot b}}={\frac {1}{a(a+b)}}+{\frac {1}{b(a+b)}}}$

• للتعبير عن الكسر${\displaystyle p/q}$كمجموع كسرين آخرين لهما بسط معطاة${\displaystyle a}$و${\displaystyle b}$(GSS kalāsavarṇa 87، مثال في 88): ^{[ 14 ]}

${\displaystyle {\frac {p}{q}}={\frac {a}{{\frac {ai+b}{p}}\cdot {\frac {q}{i}}}}+{\frac {b}{{\frac {ai+b}{p}}\cdot {\frac {q}{i}}\cdot {i}}}}$أين${\displaystyle i}$يتم اختيارها بحيث${\displaystyle p}$يقسم${\displaystyle ai+b}$

وقد وردت بعض القواعد الإضافية في كتاب غانيتا كومودي لنارايانا في القرن الرابع عشر. ^{[ 14 ]}

• قائمة علماء الرياضيات الهنود

• بيبوتيبهوسان داتا وأفاديش نارايان سينغ (1962). تاريخ الرياضيات الهندوسية: كتاب مصدر .
• بينغري، ديفيد (1970). "ماهافيرا". قاموس السير العلمية . نيويورك: تشارلز سكريبنر وأولاده. ISBN 978-0-684-10114-9.(متوفر، إلى جانب العديد من المدخلات الأخرى من موسوعات أخرى لمهافيرا آخرين، عبر الإنترنت .)
• سيلين، هيلين (2008)، موسوعة تاريخ العلوم والتكنولوجيا والطب في الثقافات غير الغربية ، سبرينغر، رمز Bibcode : 2008ehst.book.....S ، ISBN 978-1-4020-4559-2
• هاياشي، تاكاو (2013)، “ماهافيرا” ، Encyclopædia Britannica
• أوكونور، جون جيه؛ روبرتسون، إدموند إف (2000)، "ماهافيرا" ، أرشيف ماك تيوتور لتاريخ الرياضيات ، جامعة سانت أندروز
• تاباك، جون (2009)، الجبر: المجموعات والرموز ولغة الفكر ، دار إنفوبيس للنشر، رقم ISBN 978-0-8160-6875-3
• كريبس، روبرت إي. (2004)، التجارب العلمية الرائدة والاختراعات والاكتشافات في العصور الوسطى وعصر النهضة ، مجموعة غرينوود للنشر، رقم ISBN 978-0-313-32433-8
• بوتاسوامي، تي كي (2012)، الإنجازات الرياضية لعلماء الرياضيات الهنود في العصور ما قبل الحديثة ، نيونس، رقم ISBN 978-0-12-397938-4
• كوسوبا، تاكانوري (2004)، "القواعد الهندية لتحليل الكسور"، في تشارلز بورنيت؛ جان ب. هوغنديك؛ كيم بلوفكر ؛ وآخرون  (محررون)، دراسات في تاريخ العلوم الدقيقة تكريمًا لديفيد بينغري ، بريل ، ISBN 9004132023ISSN 0169-8729​