شولبا سوترا

📅 آخر تحديث: ٢٢ يوليو ٢٠٢٦
✍️ نُشر في: ٢٢ يوليو ٢٠٢٦
📷 يحتوي على 12 صور
الموسوعة الحرة

إن نصوص شولفا سوترا أو Śulbasūtras ( بالسنسكريتية : शुल्बसूत्र؛ śulba : "خيط، حبل، وتر") هي نصوص سوترا تنتمي إلى طقوس شروتا وتحتوي على هندسة تتعلق ببناء مذبح النار .

الغرض والأصول

تم العثور على فيدي على شكل صقر في بورولا، أوتاركاشي؛ من المحتمل أن تنتمي إلى فترة كونيندا (150 قبل الميلاد - 250 ميلادي).
تحويل المربع إلى دائرة (بنفس المساحة)، كما اقترح بودهايانا، في نص موجود في شولبا سوتراس.

تُعدّ شولبا سوتراس جزءًا من مجموعة نصوص أكبر تُعرف باسم شروتا سوتراس ، والتي تُعتبر ملاحق للفيدا . وهي المصادر الوحيدة للمعرفة في الرياضيات الهندية من العصر الفيدي . ارتبطت أشكال الفيدي (مذبح النار) الفريدة بهبات فريدة من الآلهة. على سبيل المثال، "من يرغب في الجنة عليه أن يبني مذبح نار على شكل صقر"؛ "من يرغب في الفوز بعالم براهمان عليه أن يبني مذبح نار على شكل سلحفاة"؛ "من يرغب في تدمير الأعداء الحاليين والمستقبليين عليه أن يبني مذبح نار على شكل معين". [ 1 ]

تُعدّ النصوص الأربعة الرئيسية في شولبا سوترا، ذات الأهمية الرياضية الأكبر، تلك المنسوبة إلى بودايانا ، ومانافا ، وأباستامبا ، وكاتيايانا . [ 2 ] لغتها هي السنسكريتية الفيدية المتأخرة ، مما يشير إلى تأليفها تقريبًا خلال الألفية الأولى قبل الميلاد . [ 2 ] أقدمها هو النص المنسوب إلى (بودايانا، ومانافا، وأباستامبا)، والذي يُحتمل أنه جُمع بين عامي 800 و500 قبل الميلاد. [ 2 ] يقول بينغري إن أباستامبا هو على الأرجح ثاني أقدمها؛ ويضع كاتيانا ومانافا في المرتبتين الثالثة والرابعة زمنيًا، استنادًا إلى اقتباسات واضحة. [ 3 ] وفقًا للمؤرخة الرياضية كيم بلوفكر ، أُلِّف كاتيانا بعد "التدوين النحوي العظيم للغة السنسكريتية على يد بانيني في منتصف القرن الرابع قبل الميلاد على الأرجح"، لكنها تضع مانافا في نفس فترة بودايانا. [ 4 ]

وفيما يتعلق بتأليف النصوص الفيدية، يكتب بلوفكر:

ساهم تبجيل الفيدا للغة السنسكريتية كلغة مقدسة، حيث كان يُقصد من نصوصها المُوحى بها إلهيًا أن تُتلى وتُسمع وتُحفظ بدلًا من تدوينها كتابةً، في تشكيل الأدب السنسكريتي عمومًا. ... وهكذا، كُتبت النصوص في صيغ يسهل حفظها: إما عبارات نثرية موجزة ( سوترا، وهي كلمة أُطلقت لاحقًا للدلالة على قاعدة أو خوارزمية بشكل عام) أو أبيات شعرية، لا سيما في العصر الكلاسيكي. وبطبيعة الحال، تعارضت سهولة الحفظ أحيانًا مع سهولة الفهم. ونتيجة لذلك، أُضيفت إلى معظم الرسائل شروح نثرية، واحدة أو أكثر... [ 5 ]

توجد شروح متعددة لكل من شولبا سوترا، لكنها كُتبت بعد فترة طويلة من كتابة النصوص الأصلية. فعلى سبيل المثال، يعود شرح سونداراراجا على أباستامبا إلى أواخر القرن الخامس عشر الميلادي [ 6 ] ، ويبدو أن شرح دواراكاناثا على بودايانا مستوحى من سونداراراجا. [ 7 ] ووفقًا للفيلسوف فريتس ستال ، فإن بعض جوانب التقاليد الموصوفة في شولبا سوترا كانت تُنقل شفهيًا، ويشير إلى أماكن في جنوب الهند حيث لا تزال طقوس مذبح النار تُمارس ويُحافظ على تقاليدها الشفهية. [ 8 ] إلا أن تقليد مذبح النار اندثر إلى حد كبير في الهند، ويحذر بلوفكر من أن تلك المناطق التي لا تزال تُمارس فيها هذه الطقوس قد تعكس إحياءً لاحقًا للديانة الفيدية بدلًا من كونها تقليدًا متصلًا. [ 4 ] الأدلة الأثرية على منشآت المذابح الموصوفة في شولبا سوترا قليلة. عُثر على مذبح نار كبير على شكل صقر ( śyenaciti )، يعود تاريخه إلى القرن الثاني قبل الميلاد، في الحفريات التي أجراها جي آر شارما في كوسامبي بين عامي 1957 و1959 ، [ 9 ] لكن هذا المذبح لا يتوافق مع الأبعاد المحددة في شولبا سوتراس. [ 3 ] [ 10 ]

صفحة الغلاف لمعاهدة شولباسوترا التي وضعها عالم الرياضيات الهندي كاتيانا حوالي القرن الثاني قبل الميلاد.

من المرجح أن يكون محتوى شولبا سوترا أقدم من النصوص نفسها. يصف كل من ساتاباثا براهمانا وتايتريا سامهيتا ، اللذان يعود تاريخهما إلى أواخر الألفية الثانية أو أوائل الألفية الأولى قبل الميلاد، مذابح يبدو أن أبعادها مبنية على مثلث قائم الزاوية بضلعين طولهما 15 و 36 بادا ، وهو أحد المثلثات المذكورة في بودايانا شولبا سوترا. [ 11 ] [ 12 ]

لا يُعرف أصل الرياضيات في شولبا سوترا. من المحتمل، كما اقترح المؤرخ الرياضي رادها شاران غوبتا ، أن الهندسة طُوّرت لتلبية احتياجات الطقوس. [ 13 ] يذهب بعض الباحثين إلى أبعد من ذلك: يفترض ستال وجود أصل طقسي مشترك للهندسة الهندية واليونانية، مشيرًا إلى اهتمام مماثل ومنهجية متشابهة في مسائل المضاعفة وغيرها من مسائل التحويل الهندسي. [ 14 ] يرى أبراهام سايدنبرغ ، تبعه بارتل ليندرت فان دير فاردن ، أصلًا طقسيًا للرياضيات بشكل أوسع، مفترضًا أن التطورات الرئيسية، مثل اكتشاف نظرية فيثاغورس، حدثت في مكان واحد فقط، وانتشرت منه إلى بقية العالم. [ 15 ] [ 16 ] يذكر فان دير فاردن أن مؤلف شولبا سوترا عاش قبل عام 600 قبل الميلاد، وبالتالي لم يكن من الممكن أن يتأثر بالهندسة اليونانية. [ 17 ] [ 18 ] بينما يذكر المؤرخ كارل بنجامين بوير الرياضيات البابلية القديمة (حوالي 2000 ق.م. - 1600 ق.م.) كمصدر محتمل، فإن لوح بليمبتون 322 الذي يعود تاريخه إلى حوالي 1800 ق.م. ، والذي يحتوي على جدول للثلاثيات، ينص أيضًا على أن نصوص شولبا سوترا تتضمن صيغة غير موجودة في المصادر البابلية. [ 19 ] [ 1 ] يجادل سايدنبرغ بأن "بابل القديمة إما حصلت على نظرية فيثاغورس من الهند، أو أن بابل القديمة والهند حصلتا عليها من مصدر ثالث". ويشير سايدنبرغ إلى أن هذا المصدر قد يكون سومريًا ، وربما يعود تاريخه إلى ما قبل 1700 ق.م. [ 20 ] في المقابل، يحذر بينغري من أنه "سيكون من الخطأ اعتبار أعمال [بناة المذبح] المصدر الوحيد للهندسة؛ فقد يكون آخرون في الهند وأماكن أخرى، سواء استجابةً لمشاكل عملية أو نظرية، قد وصلوا إلى هذا الحد دون أن تُحفظ حلولهم في الذاكرة أو تُنسخ في المخطوطات". [ 21 ] يطرح بلوفكر أيضًا احتمال أن "المعرفة الهندسية الموجودة [تم دمجها] بوعي في الممارسة الطقسية". [ 22 ]

قائمة شولبا سوترا

  1. أباستامبا
  2. بودايانا
  3. مانافا
  4. كاتيايانا
  5. مايترايانيا (يشبه إلى حد ما نص مانافا)
  6. فاراها (في المخطوطة)
  7. فادولا (في المخطوطة)
  8. هيرانياكشين (على غرار أبستامبا شولبا سوتراس)

الرياضيات

نظرية فيثاغورس وثلاثيات فيثاغورس

تحتوي السوترا على نصوص نظرية فيثاغورس ، سواء في حالة المثلث القائم الزاوية متساوي الساقين أو في الحالة العامة، بالإضافة إلى قوائم بأثلاث فيثاغورس . [ 23 ] في بودايانا، على سبيل المثال، ترد القواعد على النحو التالي:

1.9. قطر المربع يُضاعف مساحته. [...] 1.12. مجموع مساحات المربعات الناتجة عن أطوال وعرض المستطيل يساوي مساحة المربع الناتجة عن قطره. 1.13. يُلاحظ هذا في المستطيلات التي أضلاعها 3 و4، و12 و5، و15 و8، و7 و24، و12 و35، و15 و36. [ 24 ]

وبالمثل، تستخدم قواعد أباستامبا لإنشاء الزوايا القائمة في مذابح النار الثلاثيات الفيثاغورية التالية: [ 25 ] [ 26 ]

  • (3،4،5){\displaystyle (3,4,5)}
  • (5،12،13){\displaystyle (5,12,13)}
  • (8،15،17){\displaystyle (8,15,17)}
  • (12،35،37){\displaystyle (12,35,37)}

بالإضافة إلى ذلك، تصف السوترا إجراءات إنشاء مربع مساحته إما مجموع أو فرق مساحتي مربعين معطيين. تعتمد كلتا الطريقتين على جعل أكبر المربعات هو المربع الواقع على قطر مستطيل، وجعل المربعين الأصغر هما المربعين الواقعين على جانبي ذلك المستطيل. إن التأكيد على أن كل طريقة تُنتج مربعًا بالمساحة المطلوبة يُكافئ نص نظرية فيثاغورس. وهناك طريقة أخرى تُنتج مربعًا مساحته مساوية لمساحة مستطيل مُعطى. وتتمثل هذه الطريقة في قص قطعة مستطيلة من طرف المستطيل ولصقها على الجانب لتشكيل مُضلّع مساحته مساوية لمساحة المستطيل الأصلي. وبما أن المُضلّع هو الفرق بين مربعين، يُمكن حل المسألة باستخدام إحدى الطريقتين السابقتين. [ 27 ]

الهندسة

يُقدّم كتاب " بودايانا شولبا سوترا" شرحًا لكيفية إنشاء الأشكال الهندسية كالمربعات والمستطيلات. [ 28 ] كما يُقدّم، أحيانًا بشكل تقريبي، تحويلات هندسية تحافظ على المساحة من شكل هندسي إلى آخر. تشمل هذه التحويلات تحويل المربع إلى مستطيل ، وشبه منحرف متساوي الساقين ، ومثلث متساوي الساقين ، ومعين ، ودائرة ، وتحويل الدائرة إلى مربع. [ 28 ] في هذه النصوص، تظهر التقريبات، مثل تحويل الدائرة إلى مربع، جنبًا إلى جنب مع عبارات أكثر دقة. على سبيل المثال، وردت عبارة رسم دائرة حول المربع في "بودايانا" على النحو التالي:

2.9. إذا رغبنا في تحويل مربع إلى دائرة، يُمدّ خيط طوله نصف قطر المربع من المركز إلى الشرق (بحيث يقع جزء منه خارج الجانب الشرقي للمربع)؛ وبإضافة ثلث الجزء الخارجي إلى الجزء المتبقي من نصف القطر، تُرسَم الدائرة المطلوبة. [ 29 ]

وتُعطى عبارة تربيع الدائرة على النحو التالي:

2.10. لتحويل دائرة إلى مربع، يُقسّم قطرها إلى ثمانية أجزاء؛ يُقسّم أحد هذه الأجزاء إلى تسعة وعشرين جزءًا، ثم يُقلّص بمقدار ثمانية وعشرين جزءًا منها، ثم يُقلّص بمقدار سدس الجزء المتبقي، مطروحًا منه ثُمن الجزء السادس. 2.11. أو يُقسّم القطر إلى خمسة عشر جزءًا، ثم يُقلّص بمقدار جزأين منها؛ وهذا يُعطي طول ضلع المربع المطلوب تقريبًا. [ 29 ]

تعطي الإنشاءات في 2.9 و 2.10 قيمة π تساوي 3.088، بينما تعطي الإنشاءات في 2.11 قيمة π تساوي 3.004. [ 30 ]

الجذور التربيعية

أدى بناء المذبح أيضًا إلى تقدير الجذر التربيعي للعدد 2 كما ورد في ثلاثة من السوترا. في سوترا بودايانا، يظهر على النحو التالي:

2.12. يُزاد المقياس بمقدار ثلثه، ثم يُزاد هذا الثلث بمقدار ربعه مطروحًا منه الجزء الرابع والثلاثون من ذلك الربع؛ وهذا هو قيمة قطر مربع طول ضلعه هو المقياس. [ 29 ]

مما يؤدي إلى أن تكون قيمة الجذر التربيعي للعدد اثنين كما يلي:

2≈1+13+13⋅4-13⋅4⋅34=577408=1.4142...{\displaystyle {\sqrt {2}}\approx 1+{\frac {1}{3}}+{\frac {1}{3\cdot 4}}-{\frac {1}{3\cdot 4\cdot 34}}={\frac {577}{408}}=1.4142...}[ 31 ] [ 32 ]

في الواقع، يمكن العثور على طريقة مبكرة لحساب الجذور التربيعية في بعض السوترا ، وتتضمن هذه الطريقة الصيغة التكرارية :x≈x-1+12⋅x-1{\displaystyle {\sqrt {x}}\approx {\sqrt {x-1}}+{\frac {1}{2\cdot {\sqrt {x-1}}}}}بالنسبة للقيم الكبيرة لـ x، والتي تستند إلى الهوية غير المتكررةأ2+ر≈أ+ر2⋅أ{\displaystyle {\sqrt {a^{2}+r}}\approx a+{\frac {r}{2\cdot a}}}بالنسبة لقيم r الصغيرة للغاية مقارنة بـ a .

وقد اقترح بورك [ 33 ] ، على سبيل المثال، أن هذا التقريب لـ √2 يستلزم معرفة أن √2 عدد غير نسبي . وفي ترجمته لكتاب الأصول لإقليدس ، يحدد هيث عددًا من المعالم الضرورية لاعتبار اللانسبية مكتشفة، ويشير إلى عدم وجود دليل على أن الرياضيات الهندية قد حققت تلك المعالم في عصر شولبا سوترا. [ 34 ]

انظر أيضاً

الاقتباسات والحواشي

  1. 1 2 بلوفكر (2007) ، ص 387، "كانت أشكال وأحجام معينة من مذابح النار مرتبطة بهدايا معينة كان مقدم القرابين يرغب في الحصول عليها من الآلهة: "من يرغب في الجنة عليه أن يبني مذبح نار على شكل صقر"؛ "يجب على من يرغب في الفوز بعالم براهمان أن يبني مذبح نار على شكل سلحفاة"؛ "أولئك الذين يرغبون في تدمير الأعداء الحاليين والمستقبليين يجب أن يبنوا مذبح نار على شكل معين" [سين وباغ 1983، 86، 98، 111].
  2. 1 2 3 بلوفكر (2007) ، ص 387
  3. 1 2 بينغري (1981) ، ص. 4
  4. 1 2 بلوفكر (2009) ، ص 18
  5. ↑ بلوفكر (2009) ، ص 11
  6. ↑ بينغري (1981) ، ص 6
  7. ↑ ديلير (2009) ، ص 50
  8. ↑ ستال (1999) ، ص 111
  9. ^ شارما، جي آر (1960). الحفريات في كوسامبي (1957-59) .
  10. ↑ بلوفكر (2009) ، ص 19.
  11. ↑ بورك (1901) ، ص 554
  12. ↑ هيث (1925) ، ص 362
  13. ↑ غوبتا (1997) ، ص 154
  14. ^ ستال (1999) ، ص 106، 109 – 110
  15. ↑ سايدنبرغ (1978)
  16. ↑ فان دير فاردن (1983)
  17. ^ فان دير وايردن ، بارتن إل (1983). الهندسة والجبر في الحضارات القديمة . سبرينغر فيرلاغ. ص. 12. رقم ISBN  0387121595.
  18. ↑ جوزيف، جورج غيفيرغيز (1997). "ما هو الجذر التربيعي؟ دراسة للتمثيل الهندسي في مختلف التقاليد الرياضية". الرياضيات في المدرسة . 26 (3): 4-9 . ISSN 0305-7259 . JSTOR 30215281 .  
  19. ↑ بوير (1991) ، ص. 207، "نجد قواعد لإنشاء الزوايا القائمة باستخدام ثلاثيات من الأوتار التي تشكل أطوالها ثلاثيات فيثاغورس، مثل 3 و4 و5، أو 5 و12 و13، أو 8 و15 و17، أو 12 و35 و37. ومع ذلك، يمكن اشتقاق جميع هذه الثلاثيات بسهولة من القاعدة البابلية القديمة؛ وبالتالي، فإن التأثير الميزوبوتامي في السولباسوترا ليس مستبعدًا. عرف أسباستامبا أن مربع قطر المستطيل يساوي مجموع مربعي الضلعين المجاورين، ولكن ربما يكون هذا الشكل من نظرية فيثاغورس قد تم اشتقاقه أيضًا من بلاد ما بين النهرين. ... إن أصل السولباسوترا وفترة كتابتها تخمينية للغاية لدرجة أننا لا نستطيع تحديد ما إذا كانت القواعد مرتبطة بالمسح المصري المبكر أو بمشكلة مضاعفة المذبح اليونانية اللاحقة. وتختلف التواريخ التي تم تأريخها ضمن فترة زمنية تقارب ألف عام تمتد من من القرن الثامن قبل الميلاد إلى القرن الثاني من عصرنا.
  20. ↑ سيدنبرغ (1983) ، ص 121
  21. ↑ بينغري (1981) ، ص 5
  22. ↑ بلوفكر (2009) ، ص 17
  23. ↑ تيبو ( 1875) ، الصفحات 232-238
  24. ↑ بلوفكر (2007) ، الصفحات 388-389
  25. ↑ بوير (1991) ، ص 207
  26. ↑ جوزيف ، جي جي (2000). قمة الطاووس: الجذور غير الأوروبية للرياضيات . مطبعة جامعة برينستون. ص 229. ISBN  0-691-00659-8.
  27. ↑ تيبو ( 1875) ، الصفحات 243-246
  28. 1 2 بلوفكر (2007) ، الصفحات 388-391
  29. 1 2 3 بلوفكر (2007) ، ص 391
  30. ↑ بلوفكر (2007) ، ص 392، "تشير تقنيات "الدائرة" والتكامل العددي في 2.9 و2.10، والتي يوضح الشكل 4.4 أولها، إلى ما نسميه قيمة π تساوي 3.088، [...] من ناحية أخرى، يشير التكامل العددي في 2.11 إلى أن π = 3.004 (حيثs=2ر⋅13/15{\displaystyle s=2r\cdot 13/15})، وهو ما يُعتبر بالفعل "تقريبيًا" فقط. في 2.12، نسبة قطر المربع إلى ضلعه (نسبة قطر المربع إلى ضلعه)2){\displaystyle {\sqrt {2}})}يعتبر 1 + 1/3 + 1/(3·4) - 1/(3·4·34) = 1.4142.
  31. ↑ بلوفكر (2007) ، ص 392
  32. ↑ كوك (2005) ، ص 200
  33. ↑ بورك (1901) ، ص 575
  34. ↑ هيث (1925) ، ص 364: "كما يقول [هاينريش] فوغت، كان لا بد من المرور بثلاث مراحل قبل اكتشاف عدم منطقية قطر المربع بأي معنى حقيقي. (1) يجب الاعتراف بعدم دقة جميع القيم التي تم التوصل إليها عن طريق القياس المباشر أو الحسابات المبنية عليه. ثم (2) يجب أن يتغلب على ذلك الاقتناع باستحالة الوصول إلى تعبير حسابي دقيق للقيمة. وأخيرًا (3) يجب إثبات الاستحالة. الآن، لا يوجد دليل حقيقي على أن الهنود، في التاريخ المذكور، قد وصلوا حتى إلى المرحلة الأولى، ناهيك عن الثانية أو الثالثة."

مراجع

الترجمات