مناقشة رياضية لإدارة المراعي

استخدم مراقبو المدى في البحرية الأمريكية خلال الحرب العالمية الثانية نظام إحداثيات متحركًا يعتمد على خط الرؤية بين السفينة التي تطلق مدفعها (المعروفة باسم "السفينة") والهدف (المعروف باسم "الهدف"). وكما هو موضح في الشكل 1، يُعرّف مراقب المدى المحور "ص" بأنه خط الرؤية، والمحور "س" بأنه عمودي على خط الرؤية، مع كون نقطة الأصل للمحورين متمركزة على الهدف.

من الجوانب المهمة لاختيار نظام الإحداثيات فهم إشارات المعدلات المختلفة. معدل تغير الاتجاه موجب في اتجاه عقارب الساعة. معدل تغير المدى موجب لزيادة مدى الهدف.

خلال الحرب العالمية الثانية، كان تتبع الهدف يتطلب معرفة مداه واتجاهه باستمرار. وكان البحارة الذين يشغلون أجهزة توجيه المدافع ^{[ 7 ]} وأنظمة الرادار يأخذون عينات دورية من هذه البيانات، ثم يُدخلونها إلى جهاز قياس المدى. وكان هذا الجهاز يُجري استقراءً خطيًا لمدى الهدف واتجاهه كدالة للزمن بناءً على عينات معلومات الهدف.

إضافةً إلى عمليات رصد الأهداف من على متن السفن، كان بإمكان مراقبي المدى تلقي معلومات من طائرات الرصد أو حتى من بالونات مأهولة مربوطة بالسفينة. ويمكن إطلاق منصات الرصد هذه واستعادتها من سفن حربية كبيرة، مثل البوارج. وبشكل عام، كان يُفضّل استخدام أجهزة السفن لرصد الأهداف التي تقل مسافتها عن 20,000 ياردة، بينما يُفضّل استخدام الطائرات لرصد الأهداف الأبعد. ^{[ 8 ]} بعد الحرب العالمية الثانية، أصبحت المروحيات متاحة، ما ألغى الحاجة إلى عمليات إطلاق واستعادة طائرات الرصد أو البالونات الخطيرة (انظر البارجة من فئة آيوا لمناقشة موجزة).

خلال الحرب العالمية الأولى، كانت معلومات تتبع الأهداف تُعرض غالبًا على ورقة. ^{[ 9 ]} أما خلال الحرب العالمية الثانية، فكان من الممكن عرض معلومات التتبع على شاشات إلكترونية (انظر حاملة الطائرات من فئة إسيكس لمناقشة الشاشات الشائعة).

في بداية الحرب العالمية الثانية، كان يُقاس مدى الهدف باستخدام أجهزة تحديد المدى البصرية . ورغم استخدام الكشافات وقذائف النجوم في بعض العمليات الليلية، إلا أن استخدام أجهزة تحديد المدى البصرية اقتصر عمومًا على النهار. ^{[ 10 ]} وفي الجزء الأخير من الحرب العالمية الثانية، استُخدم الرادار لتحديد مدى الهدف. وقد أثبت الرادار دقته العالية ^{[ 11 ]} مقارنةً بأجهزة تحديد المدى البصرية (على الأقل في ظروف العمليات) ^{[ 12 ]} ، وكان الوسيلة المُفضلة لتحديد مدى الهدف ليلًا ونهارًا. ^{[ 13 ]}

في بداية الحرب العالمية الثانية، كانت تُؤخذ قياسات مدى واتجاه الهدف على مدى فترة زمنية وتُسجل يدويًا على مخطط بياني. ^{[ 14 ]} وكان بالإمكان حساب سرعة الهدف ومساره باستخدام المسافة التي قطعها خلال فترة زمنية محددة. وفي الجزء الأخير من الحرب العالمية الثانية، أصبح بالإمكان قياس سرعة الهدف باستخدام بيانات الرادار. وقد وفر الرادار معدل اتجاه دقيقًا، ومدى، وسرعة شعاعية، والتي حُوّلت إلى مسار الهدف وسرعته.

في بعض الحالات، كما هو الحال مع الغواصات، يمكن تقدير سرعة الهدف باستخدام بيانات السونار. على سبيل المثال، يمكن لمشغل السونار قياس معدل دوران المروحة صوتيًا، وبمعرفة فئة السفينة ، يمكنه حساب سرعة السفينة (انظر TDC لمزيد من المعلومات).

كان تحديد مسار الهدف أصعب بيانات الهدف التي يمكن الحصول عليها. في كثير من الحالات، بدلاً من قياس مسار الهدف، كانت العديد من الأنظمة تقيس كمية ذات صلة تُسمى زاوية مقدمة السفينة . زاوية مقدمة السفينة هي الزاوية التي يصنعها مسار السفينة مع خط الرؤية (انظر الشكل 1).

كانت زاوية مقدمة السفينة تُقدّر عادةً بناءً على خبرة الراصد. وفي بعض الحالات، كان الراصدون يُحسّنون قدراتهم التقديرية من خلال التدرب على نماذج السفن المثبتة على قاعدة دوارة . ^{[ 15 ]} امتلكت البحرية الإمبراطورية اليابانية أداة فريدة تُسمى "سوكوتيكيبان " (測的盤)، ^{[ 16 ]} تُستخدم لمساعدة الراصدين في قياس زاوية مقدمة السفينة. كان الراصد يستخدم هذه الأداة أولًا لقياس العرض الزاوي للهدف. وبمعرفة العرض الزاوي للهدف، والمسافة إليه، والطول المعروف لتلك الفئة من السفن ، يُمكن حساب زاوية مقدمة الهدف باستخدام المعادلات الموضحة في الشكل 2.

كان على المراقبين البشريين تحديد زاوية مقدمة السفينة. ولإرباكهم، كانت السفن تستخدم غالبًا التمويه الخادع ، الذي يتضمن رسم خطوط على سطحها لتصعيب تحديد زاوية مقدمة الهدف. ورغم أن التمويه الخادع كان فعالًا ضد بعض أنواع أجهزة تحديد المدى البصرية، إلا أنه كان عديم الجدوى ضد الرادار، ففقد استخدامه خلال الحرب العالمية الثانية.

يمكن تقدير مدى الهدف في وقت اصطدام المقذوف باستخدام المعادلة 1، والتي تم توضيحها في الشكل 3.

(المعادلة 1)	${\displaystyle {\begin{array}{lcr}R_{TP}&=&R_{T}+{\frac {dR_{T}}{dt}}\cdot t_{TOF'}\\&=&R_{T}+{\frac {dR_{T}}{dt}}\cdot \left(t_{TOF}+t_{Delay}\right)\end{array}}}$

أين

• ${\displaystyle R_{TP}\,}$هي المسافة إلى الهدف وقت اصطدام المقذوف.
• ${\displaystyle R_{T}\,}$هي المسافة إلى الهدف وقت إطلاق النار.
• ${\displaystyle t_{TOF'}\,}$زمن طيران المقذوف${\displaystyle \left(t_{TOF}\right)\,}$بالإضافة إلى تأخيرات إطلاق النظام ^{[ 19 ]}${\displaystyle \left(t_{Delay}\right)\,}$، أي${\displaystyle t_{TOF'}=t_{TOF}+t_{Delay}\,}$.

يُعدّ التنبؤ الدقيق بمدى الهدف لحظة اصطدام المقذوف أمرًا صعبًا، لأنه يتطلب معرفة زمن تحليق المقذوف، وهو دالة لموقع الهدف المتوقع. ورغم إمكانية إجراء هذا الحساب باستخدام أسلوب التجربة والخطأ، إلا أن هذا الأسلوب لم يكن عمليًا مع أجهزة الحاسوب التناظرية المتوفرة خلال الحرب العالمية الثانية. في حالة جهاز فورد رينج كيبر مارك 1، تم تقريب زمن التحليق بافتراض أنه يتناسب طرديًا مع المدى، كما هو موضح في المعادلة 2. ^{[ 20 ]}

(المعادلة 2)	${\displaystyle R_{TP}=R_{T}+{\frac {dR_{T}}{dt}}\cdot \left(k_{TOF}\cdot R_{T}+t_{Delay}\right)\,\!}$

أين

• ${\displaystyle k_{TOF}\,}$ هو ثابت التناسب بين زمن الرحلة (TOF) ومدى الهدف.

إن افتراض أن زمن الرحلة يتناسب خطيًا مع المدى هو افتراض بدائي ويمكن تحسينه من خلال استخدام وسائل أكثر تطورًا لتقييم الوظيفة.

يتطلب التنبؤ بالمدى معرفة معدل تغير المدى. وكما هو موضح في الشكل 3، يمكن التعبير عن معدل تغير المدى كما هو موضح في المعادلة 3.

(المعادلة 3)	${\displaystyle {\frac {dR_{T}}{dt}}=-s_{Oy}-s_{Ty}\,\!}$

أين

• ${\displaystyle s_{Oy}\,}$هي سرعة السفينة الخاصة على طول خط الرؤية حيث ${\displaystyle v_{Oy}=\lVert v_{O}\rVert \cdot \cos(\theta _{T})}$.
• ${\displaystyle s_{Ty}\,}$هي سرعة السفينة المستهدفة على طول خط الرؤية حيث${\displaystyle v_{Ty}=\lVert v_{T}\rVert \cdot \cos(\theta _{AOB})}$.

توضح المعادلة 4 المعادلة الكاملة للنطاق المتوقع.

(المعادلة 4)	${\displaystyle R_{TP}=R_{T}+\left(-s_{Oy}-s_{Ty}\right)\cdot \left(k_{TOF}\cdot R_{T}+t_{Delay}\right)\,\!}$

يتم التنبؤ بالسمت ^{[ 21 ]} بطريقة مشابهة للتنبؤ بالمدى. ^{[ 1 ]} المعادلة 5 هي العلاقة الأساسية، والتي يوضح الشكل 4 اشتقاقها.

(المعادلة 5)	${\displaystyle {\begin{array}{lcr}\theta _{TP}&=&\theta _{T}+{\frac {d\theta _{T}}{dt}}\cdot t_{TOF'}\\&=&\theta _{T}+{\frac {d\theta _{T}}{dt}}\cdot \left(t_{TOF}+t_{Delay}\right)\\\end{array}}}$

أين

• ${\displaystyle \theta _{T}\,}$هو السمت بالنسبة للهدف وقت إطلاق النار.
• ${\displaystyle \theta _{TP}\,}$يمثل السمت بالنسبة للهدف وقت اصطدام المقذوف.

يمكن حساب معدل تغير المحمل باستخدام المعادلة 6، والتي تم توضيحها في الشكل 4.

(المعادلة 6)	${\displaystyle {\frac {d\theta _{T}}{dt}}={\frac {s_{Tx}+s_{Ox}}{R_{T}}}\,\!}$

أين

• ${\displaystyle s_{Ox}\,}$هي سرعة السفينة على طول المحور السيني، أي${\displaystyle s_{Ox}=\lVert v_{O}\rVert \cdot \sin(\theta _{T})\,}$.
• ${\displaystyle s_{Tx}\,}$هي السرعة المستهدفة على طول المحور السيني، أي${\displaystyle s_{Tx}=\lVert v_{T}\rVert \cdot \sin(\theta _{AOB})\,}$.

الاستبدال${\displaystyle t_{TOF}{\dot {=}}k_{TOF}\cdot R_{T}}$، توضح المعادلة 7 الصيغة النهائية للاتجاه المتوقع.

(المعادلة 7)	${\displaystyle \theta _{TP}=\theta _{T}+\left({\frac {s_{Tx}+s_{Ox}}{R_{T}}}\right)\cdot \left(k_{TOF}\cdot R_{T}+t_{Delay}\right)}$