مساحة بوخنر

في الرياضيات ، تُعد فضاءات بوخنر تعميمًا لمفهوم${\displaystyle L^{p}}$المساحات للدوال التي تقع قيمها في فضاء باناخ ، وهو ليس بالضرورة الفضاء${\displaystyle \mathbb {R} }$أو${\displaystyle \mathbb {C} }$من الأعداد الحقيقية أو المركبة.

المساحة${\displaystyle L^{p}(X)}$يتألف من (فئات التكافؤ لـ) جميع الدوال القابلة للقياس وفقًا لبوخنر${\displaystyle f}$بقيم في فضاء باناخ${\displaystyle X}$معياره​${\displaystyle \|f\|_{X}}$يكمن في المعيار${\displaystyle L^{p}}$المساحة. وبالتالي، إذا${\displaystyle X}$هي مجموعة الأعداد المركبة، وهي مجموعة لوبيغ القياسية${\displaystyle L^{p}}$فضاء.

جميع النتائج القياسية تقريبًا على${\displaystyle L^{p}}$تتمسك الفراغات أيضًا بفراغات بوخنر؛ على وجه الخصوص، فراغات بوخنر${\displaystyle L^{p}(X)}$مساحات باناش لـ${\displaystyle 1\leq p\leq \infty .}$

سميت فضاءات بوخنر نسبة إلى عالم الرياضيات سالومون بوخنر .

بالنظر إلى فضاء القياس${\displaystyle (T,\Sigma$ ;\mu ),} فضاء باناخ${\displaystyle \left(X,\|\,\cdot \,\|_{X}\right)}$و${\displaystyle 1\leq p\leq \infty ,}$مساحة بوخنر${\displaystyle L^{p}(T;X)}$يُعرَّف بأنه خارج قسمة كولموغوروف (بسبب المساواة في كل مكان تقريبًا ) لفضاء جميع الدوال القابلة للقياس وفقًا لبوخنر${\displaystyle u:T\to X}$بحيث يكون المعيار المقابل محدودًا: $$\displaystyle \|u\|_{L^{p}(T;X)}:=\left(\int _{T}\|u(t)\|_{X}^{p}\,\mathrm {d} \mu (t)\right)^{1/p}<+\infty {\mbox{ for }}1\leq p<\infty ,}$$$${\displaystyle \|u\|_{L^{\infty }(T;X)}:=\mathrm {ess\,sup} _{t\in T}\|u(t)\|_{X}<+\infty .}$$

بمعنى آخر، كما هو معتاد في دراسة${\displaystyle L^{p}}$مساحات،${\displaystyle L^{p}(T;X)}$هي فضاء لفئات تكافؤ الدوال، حيث تُعرَّف دالتان بأنهما متكافئتان إذا كانتا متساويتين في كل مكان باستثناء نقطة معينة.${\displaystyle \mu }$- قياس مجموعة فرعية صفرية من${\displaystyle T.}$وكما هو معتاد في دراسة هذه المساحات، فمن المعتاد إساءة استخدام الترميز والتحدث عن "دالة" في${\displaystyle L^{p}(T;X)}$بدلاً من فئة التكافؤ (والتي ستكون أكثر دقة من الناحية الفنية).

تُستخدم فضاءات بوخنر غالبًا في منهج التحليل الوظيفي لدراسة المعادلات التفاضلية الجزئية التي تعتمد على الزمن، مثل معادلة الحرارة : إذا كانت درجة الحرارة${\displaystyle g(t,x)}$هي دالة قياسية للزمان والمكان، ويمكن كتابة${\displaystyle (f(t))(x):=g(t,x)}$لصنع${\displaystyle f}$عائلة${\displaystyle f(t)}$(محددة بالزمن) لوظائف المكان، ربما في فضاء بوخنر.

• التكامل البوخنر – مفهوم في الرياضيات 
• القياس المتجهي – تعميم القياس المحدود إلى فضاءات باناخ 
• الدوال ذات القيم المتجهة – دالة قيمتها في فضاء متجهي؛ عادةً ما يكون حقيقيًا أو مركبًا. صفحات تعرض أوصافًا مختصرة لأهداف إعادة التوجيه 
• دالة قابلة للقياس بشكل ضعيف

• إيفانز، لورانس سي. (1998). المعادلات التفاضلية الجزئية . بروفيدنس، رود آيلاند: الجمعية الرياضية الأمريكية. ISBN 0-8218-0772-2.