نظرية مينلاوس

في الهندسة الإقليدية ، تُعرف نظرية مينلاوس ، نسبةً إلى مينلاوس الإسكندري ، بأنها قضية تتعلق بالمثلثات في الهندسة المستوية . لنفترض أن لدينا مثلثًا △ ABC ، وخطًا قاطعًا يقطع BC وAC وAB في النقاط D وE وF على التوالي، حيث D وE وF نقاط مختلفة عن A وB وC. تنص صيغة ضعيفة من النظرية على أن

$${\displaystyle \left|{\frac {\overline {AF}}{\overline {FB}}}\right|\times \left|{\frac {\overline {BD}}{\overline {DC}}}\right|\times \left|{\frac {\overline {CE}}{\overline {EA}}}\right|=1,}$$

حيث يشير الرمز "| |" إلى القيمة المطلقة (أي أن جميع أطوال القطع موجبة).

يمكن تعزيز النظرية لتصبح بيانًا حول أطوال القطع المستقيمة الموجهة ، مما يوفر بعض المعلومات الإضافية حول الترتيب النسبي للنقاط الواقعة على خط مستقيم واحد. هنا، يُعتبر طول AB موجبًا أو سالبًا وفقًا لما إذا كانت النقطة A تقع على يسار أو يمين النقطة B في اتجاه ثابت للخط؛ على سبيل المثال،${\displaystyle {\tfrac {\overline {AF}}{\overline {FB}}}}$تُعرَّف بأنها ذات قيمة موجبة عندما تكون F بين A و B وسالبة فيما عدا ذلك. تنص الصيغة الموقعة لنظرية مينلاوس على

$${\displaystyle {\frac {\overline {AF}}{\overline {FB}}}\times {\frac {\overline {BD}}{\overline {DC}}}\times {\frac {\overline {CE}}{\overline {EA}}}=-1.}$$

وبصورة مماثلة، ^{[ 1 ]}

$${\displaystyle {\overline {AF}}\times {\overline {BD}}\times {\overline {CE}}=-{\overline {FB}}\times {\overline {DC}}\times {\overline {EA}}.}$$

يقوم بعض المؤلفين بتنظيم العوامل بشكل مختلف ويحصلون على علاقة مختلفة ظاهريًا ^{[ 2 ].}$${\displaystyle {\frac {\overline {FA}}{\overline {FB}}}\times {\frac {\overline {DB}}{\overline {DC}}}\times {\frac {\overline {EC}}{\overline {EA}}}=1,}$$ ولكن بما أن كل عامل من هذه العوامل هو عكس العامل المقابل أعلاه، فإن العلاقة تبدو هي نفسها.

والعكس صحيح أيضاً: إذا تم اختيار النقاط D و E و F على BC و AC و AB على التوالي بحيث $${\displaystyle {\frac {\overline {AF}}{\overline {FB}}}\times {\frac {\overline {BD}}{\overline {DC}}}\times {\frac {\overline {CE}}{\overline {EA}}}=-1,}$$ إذن ، النقاط D و E و F تقع على خط مستقيم واحد . وغالبًا ما يُدرج العكس كجزء من النظرية. (لاحظ أن عكس العبارة الأضعف غير الموقعة ليس صحيحًا بالضرورة).

تتشابه هذه النظرية إلى حد كبير مع نظرية سيفا، إذ لا يختلف معادلاتهما إلا في الإشارة. وبإعادة كتابة كل منهما بدلالة النسب التبادلية ، يمكن اعتبار النظريتين متقابلتين إسقاطيتين . ^{[ 3 ]}

من غير المؤكد من اكتشف النظرية فعلياً؛ ومع ذلك، فإن أقدم شرح موجود لها يظهر في كتاب "الكرويات " لمينلاوس. في هذا الكتاب، تُستخدم النسخة المستوية من النظرية كمبرهنة لإثبات نسخة كروية منها. ^{[ 8 ]}

في كتاب المجسطي ، يطبق بطليموس النظرية على عدد من مسائل علم الفلك الكروي. ^{[ 9 ]} خلال العصر الذهبي الإسلامي ، كرّس علماء المسلمين عددًا من المؤلفات لدراسة نظرية مينلاوس، التي أطلقوا عليها اسم "نظرية القواطع" . وكان يُطلق على الشكل الرباعي الكامل اسم "شكل القواطع" في مصطلحاتهم. ^{[ 9 ]} يسرد كتاب البيروني ، " مفاتيح علم الفلك " ، عددًا من هذه المؤلفات، والتي يمكن تصنيفها إلى دراسات ضمن شروح كتاب المجسطي لبطليموس ، كما في مؤلفات النيرزي والخازن ، حيث بيّن كل منهما حالات محددة من نظرية مينلاوس التي أدت إلى قاعدة الجيب ، ^{[ 10 ]} أو مؤلفات كرسائل مستقلة مثل:

• "رسالة في شكل المقاطع" لثابت بن قرة . ^{[ 9 ]}
• كتاب حسام الدين السلار " كشف الحجاب عن أسرار شكل القواطع " (كشف القناع عن أسرار شكل القواطع)، المعروف أيضاً باسم "كتاب شكل القواطع" ( كتاب شكل القواطع )، أو في أوروبا باسم " رسالة في الشكل الرباعي الكامل " . وقد أشار إلى هذه الرسالة المفقودة كلٌ من شرف الدين الطوسي ونصير الدين الطوسي . ^{[ 9 ]}
• عمل السجزي . ^{[ 10 ]}
• التهذيب لأبي نصر بن العراق . ^{[ 10 ]}
• رشدي راشد وأثاناسي بابادوبولوس ، كرويات مينيلوس: الترجمة المبكرة ونسخة المهاني/الهروي (طبعة نقدية لكرات مينيلوس من المخطوطات العربية، مع شروح تاريخية ورياضية)، دي جرويتر، سلسلة: Scientia Graeco-Arabica، 21، 2017، 890 صفحة. رقم ISBN 978-3-11-057142-4

في الغرب، أعاد عالم الرياضيات الإيطالي جيوفاني سيفا اكتشاف النظرية . ^{[ 11 ]}

• برهان بديل لنظرية مينلاوس، من موقع PlanetMath
• مينيلوس من سيفا
• سيڤا ومينيلوس يلتقيان على الطرق
• مينيلوس وسيفا في MathPages
• عرض توضيحي لنظرية مينلاوس من إعداد جاي وارندورف. مشروع عروض وولفرام التوضيحية .
• وايسشتاين، إريك دبليو. "نظرية مينلاوس" . عالم الرياضيات .