المثلث المتوسط

في الهندسة الإقليدية ، يُعرف المثلث المتوسط ​​أو مثلث نقطة المنتصف للمثلث △ ABC بأنه المثلث الذي تقع رؤوسه في منتصفات أضلاعه AB و AC و BC . وهو الحالة n = 3 لمضلع نقطة المنتصف لمضلع ذي n ضلعًا. ويختلف المثلث المتوسط ​​عن المثلث الوسيط ، وهو المثلث الذي تتساوى أطوال أضلاعه مع أطوال المتوسطات في المثلث △ ABC .

يُطلق على كل ضلع من أضلاع المثلث المتوسط ​​اسم القطعة المتوسطة (أو الخط المتوسط ). وبشكل عام، القطعة المتوسطة في المثلث هي قطعة مستقيمة تصل بين منتصفي ضلعين من أضلاع المثلث. وهي موازية للضلع الثالث، وطولها يساوي نصف طول الضلع الثالث.

يمكن أيضًا اعتبار المثلث المتوسط ​​صورةً للمثلث △ ABC بعد تحويله بتحويل تماثلي مركزه مركز الثقل بنسبة -1/2. وبالتالي، فإن أضلاع المثلث المتوسط ​​تساوي نصف أضلاع المثلث △ABC وتوازية لها . ومن ثم، فإن المثلث المتوسط ​​مشابه عكسيًا للمثلث △ ABC ويشترك معه في مركز الثقل والمتوسطات . ويترتب على ذلك أيضًا أن محيط المثلث المتوسط ​​يساوي نصف محيط المثلث △ ABC ، وأن مساحته تساوي ربع مساحة المثلث △ ABC . علاوة على ذلك، فإن المثلثات الأربعة التي ينقسم إليها المثلث المتوسط ​​من المثلث الأصلي متطابقة فيما بينها وفقًا لنظرية التطابق الثلاثي ( ضلع- ضلع -ضلع ) ، لذا فإن مساحاتها متساوية، وبالتالي فإن مساحة كل منها تساوي ربع مساحة المثلث الأصلي. ^{[ 1 ] : ص 177}

يتطابق مركز تعامد المثلث المتوسط ​​مع مركز الدائرة المحيطة بالمثلث ABC . تُتيح هذه الحقيقة أداةً لإثبات استقامة مركز الدائرة المحيطة، ومركز ثقل المثلث، ومركز تعامده . المثلث المتوسط ​​هو المثلث القاعدي لمركز الدائرة المحيطة. تُحيط دائرة النقاط التسع بالمثلث المتوسط، وبالتالي فإن مركز النقاط التسع هو مركز الدائرة المحيطة بالمثلث المتوسط.

نقطة ناغل للمثلث المتوسط ​​هي مركز الدائرة الداخلية للمثلث المرجعي. ^{[ 2 ] : ص 161، نظرية 337.} وبالتحديد، هذا يعني أن مركز الدائرة الداخلية للمثلث يجب أن يقع في مثلثه المتوسط. ^{[ 3 ] : ص 233، اللمة 1}

مركز المثلث المتوسط ​​هو مركز سبيكر للمثلث المرجعي الخاص به.

المثلث المتوسط ​​للمثلث المرجعي يطابق المثلث الذي رؤوسه هي نقاط المنتصف بين مركز تعامد المثلث المرجعي ورؤوسه. ^{[ 2 ] : ص 103، #206، ص 108، #1}

تكون النقطة الواقعة داخل المثلث مركزًا لقطع ناقص داخلي للمثلث إذا وفقط إذا كانت النقطة تقع داخل المثلث المتوسط. ^{[ 4 ] : ​​ص 139}

المثلث المتوسط ​​هو المثلث الوحيد المرسوم داخل الدائرة والذي لا تقل مساحته عن مساحة أي من المثلثات الداخلية الثلاثة الأخرى. ^{[ 5 ] : ص 137}

المثلث المرجعي والمثلث المتوسط ​​التابع له هما مثلثان متعامدان .

لنفترض أن a = | BC | ، b = | CA | ، c = | AB | هي أطوال أضلاع المثلث △ ABC . تُعطى الإحداثيات الثلاثية لرؤوس المثلث المتوسط ​​△ EFD كما يلي:$${\displaystyle {\begin{array}{ccc}E=&0&:&{\frac {1}{b}}&:&{\frac {1}{c}}\\[2pt]F=&{\frac {1}{a}}&:&0&:&{\frac {1}{c}}\\[2pt]D=&{\frac {1}{a}}&:&{\frac {1}{b}}&:&\,0\end{array}}}$$

إذا كان المثلث EFD هو المثلث المتوسط ​​للمثلث ABC ، فإن المثلث ABC هو المثلث المضاد للمكمل أو المثلث المضاد للمتوسط ​​للمثلث EFD . ويتكون المثلث المضاد للمكمل للمثلث ABC من ثلاثة خطوط موازية لأضلاع المثلث ABC : الخط الموازي للضلع AB والمار بالنقطة C ، والخط الموازي للضلع AC والمار بالنقطة B ، والخط الموازي للضلع BC والمار بالنقطة A.

الإحداثيات الثلاثية لرؤوس المثلث${\displaystyle \triangle E'F'D'}$مضاد للمكمل لـ${\displaystyle \triangle ABC}$يتم الحصول عليها من خلال: $${\displaystyle {\begin{array}{crrr}E'=&-{\frac {1}{a}}&:&{\frac {1}{b}}&:&{\frac {1}{c}}\\[2pt]F'=&{\frac {1}{a}}&:&-{\frac {1}{b}}&:&{\frac {1}{c}}\\[2pt]D'=&{\frac {1}{a}}&:&{\frac {1}{b}}&:&-{\frac {1}{c}}\end{array}}}$$

يُشير اسم "المثلث المضاد للمكمل" إلى أن رؤوسه هي المكملة المضادة للرؤوس A و B و C في المثلث المرجعي. أما رؤوس المثلث المتوسط ​​فهي مكملة للرؤوس A و B و C.

• القنفذ الأوسط ، مفهوم مماثل للمجموعات المحدبة الأكثر عمومية

• فايستين، إريك دبليو. “المثلث الإنسي” . عالم الرياضيات .
• وايسشتاين، إريك دبليو. "المثلث المضاد للمكمل" . عالم الرياضيات .