الحد الأدنى للمرحلة

في نظرية التحكم ومعالجة الإشارات ، يُقال إن النظام الخطي الثابت مع الزمن ذو طور أدنى إذا كان النظام ومعكوسه سببيين ومستقرين . ^[¹^]^[²^]

يمكن تحليل دالة التحويل الخطية الثابتة زمنيًا (LTI) السببية الأكثر عمومية إلى متسلسلتين: نظام تمرير كامل ونظام طور أدنى. دالة النظام هي حاصل ضرب الجزأين، وفي المجال الزمني، تكون استجابة النظام هي التفاف استجابتي الجزأين. يكمن الفرق بين دالة التحويل ذات الطور الأدنى ودالة التحويل العامة في أن نظام الطور الأدنى يحتوي على جميع أقطاب وأصفار دالة التحويل الخاصة به في النصف الأيسر من تمثيل المستوى s (في الزمن المتقطع، على التوالي، داخل دائرة الوحدة في المستوى z ). بما أن عكس دالة النظام يؤدي إلى تحول الأقطاب إلى أصفار والعكس صحيح، وأن الأقطاب الموجودة على الجانب الأيمن ( الخط التخيلي في المستوى s ) أو خارجه ( دائرة الوحدة في المستوى z ) من المستوى المركب تؤدي إلى أنظمة غير مستقرة ، فإن فئة أنظمة الطور الأدنى فقط هي المغلقة تحت عملية العكس. بشكل بديهي، يقوم الجزء ذو الطور الأدنى من النظام السببي العام بتنفيذ استجابة السعة الخاصة به بأقل تأخير جماعي ، بينما يقوم الجزء ذو التمرير الكامل بتصحيح استجابة الطور الخاصة به فقط لتتوافق مع وظيفة النظام الأصلية.

لا يكون التحليل من حيث الأقطاب والأصفار دقيقًا إلا في حالة دوال التحويل التي يمكن التعبير عنها كنسب بين كثيرات الحدود. في حالة الزمن المستمر، تُترجم هذه الأنظمة إلى شبكات من شبكات LCR التقليدية المثالية . أما في حالة الزمن المتقطع، فتُترجم بسهولة إلى تقريبات لها باستخدام الجمع والضرب وتأخير الوحدة. يمكن إثبات أنه في كلتا الحالتين، يمكن استخدام دوال النظام ذات الشكل الكسري ذات الرتبة المتزايدة لتقريب أي دالة نظام أخرى بكفاءة؛ وبالتالي، حتى دوال النظام التي تفتقر إلى الشكل الكسري، وبالتالي تمتلك عددًا لا نهائيًا من الأقطاب و/أو الأصفار، يمكن تنفيذها عمليًا بكفاءة مماثلة لأي دالة أخرى.

في سياق الأنظمة السببية المستقرة، سيكون لنا نظريًا حرية اختيار ما إذا كانت أصفار دالة النظام تقع خارج النطاق المستقر (إلى اليمين أو خارجه) إذا لم يكن شرط الإغلاق مُشكلة. مع ذلك، يُعدّ الانعكاس ذا أهمية عملية بالغة، تمامًا كما هو الحال مع التحليلات المثالية نظريًا. (انظر إلى التفكيك الطيفي المتناظر/غير المتناظر كمثال مهم آخر، والذي يؤدي، على سبيل المثال، إلى تقنيات تحويل هيلبرت ). تميل العديد من الأنظمة الفيزيائية بطبيعتها نحو استجابة ذات طور أدنى، وفي بعض الأحيان يجب عكسها باستخدام أنظمة فيزيائية أخرى تخضع لنفس القيد.

فيما يلي شرح لسبب تسمية هذا النظام بالنظام ذي المرحلة الدنيا، ولماذا تنطبق الفكرة الأساسية حتى عندما لا يمكن صياغة وظيفة النظام في شكل منطقي يمكن تنفيذه.

النظام العكسي

نظام $\mathbb {H}$ تكون المصفوفة قابلة للعكس إذا استطعنا تحديد مدخلاتها من مخرجاتها بشكل فريد. أي، يمكننا إيجاد نظام $\mathbb {H} _{\text{inv}}$ بحيث إذا طبقنا $\mathbb {H}$ ثم يتبع ذلك $\mathbb {H} _{\text{inv}}$ ، فنحصل على نظام الهوية $\mathbb {I}$ (انظر المصفوفة العكسية للحصول على نظير محدود الأبعاد). أي، $\mathbb {H} _{\text{inv}}\mathbb {H} =\mathbb {I} .$

لنفترض أن ${\tilde {x}}$ مدخلات النظام $\mathbb {H}$ ويعطي الناتج ${\tilde {y}}$ : $\mathbb {H} {\tilde {x}}={\tilde {y}}.$

تطبيق النظام العكسي $\mathbb {H} _{\text{inv}}$ ل ${\tilde {y}}$ أعطِ $\mathbb {H} _{\text{inv}}{\tilde {y}}=\mathbb {H} _{\text{inv}}\mathbb {H} {\tilde {x}}=\mathbb {I} {\tilde {x}}={\tilde {x}}.$

إذن نرى أن النظام العكسي $\mathbb {H} _{inv}$ يسمح لنا بتحديد المدخلات بشكل فريد ${\tilde {x}}$ من المخرجات ${\tilde {y}}$ .

مثال على الزمن المتقطع

لنفترض أن النظام $\mathbb {H}$ هو نظام خطي ثابت مع الزمن (LTI) ذو زمن منفصل، موصوف باستجابة النبضة $h(n)$ لكل $n$ في $Z.$ بالإضافة إلى ذلك، افترض $\mathbb {H} _{\text{inv}}$ له استجابة نبضية $h_{\text{inv}}(n)$ إن سلسلة نظامين خطيين ثابتين زمنياً تُشكل عملية التفاف . في هذه الحالة، تكون العلاقة المذكورة أعلاه كما يلي: $(h_{\text{inv}}*h)(n)=(h*h_{\text{inv}})(n)=\sum _{k=-\infty }^{\infty }h(k)h_{\text{inv}}(nk)=\delta (n),$ أين $\delta (n)$ هي دالة كرونكر دلتا ، أو نظام الهوية في حالة الزمن المتقطع. (تغيير ترتيب $h_{\text{inv}}$ و $h$ يُسمح بذلك بسبب خاصية التبديل في عملية الالتفاف. لاحظ أن هذا النظام العكسي $\mathbb {H} _{\text{inv}}$ ليس بالضرورة أن يكون فريدًا.

نظام ذو طور أدنى

عندما نفرض قيود السببية والاستقرار ، يكون النظام العكسي فريدًا؛ والنظام $\mathbb {H}$ وعكسه $\mathbb {H} _{\text{inv}}$ تُسمى هذه الأنظمة بالأنظمة ذات الطور الأدنى . أما قيود السببية والاستقرار في حالة الزمن المتقطع فهي كالتالي (للأنظمة الثابتة مع الزمن حيث $h$ هي استجابة النظام النبضية، و $\|{\cdot }\|_{1}$ المعيار ℓ ¹ ) :

السببية

$h(n)=0\ \forall n<0$ و $h_{\text{inv}}(n)=0\ \forall n<0.$

استقرار

$\sum _{n=-\infty }^{\infty }|h(n)|=\|h\|_{1}<\infty$ و $\sum _{n=-\infty }^{\infty }|h_{\text{inv}}(n)|=\|h_{\text{inv}}\|_{1}<\infty .$

انظر إلى المقال الخاص بالاستقرار للاطلاع على الشروط المماثلة لحالة الزمن المستمر.

تحليل التردد

تحليل التردد الزمني المنفصل

سيُسهم إجراء تحليل التردد في حالة الزمن المتقطع في تقديم بعض التوضيحات. معادلة المجال الزمني هي $(h*h_{\text{inv}})(n)=\delta (n).$

بتطبيق تحويل Z نحصل على العلاقة التالية في مجال z : $H(z)H_{\text{inv}}(z)=1.$

ومن هذه العلاقة، ندرك أن $H_{\text{inv}}(z)={\frac {1}{H(z)}}.$

لتبسيط الأمور، سنقتصر على دراسة حالة دالة التحويل النسبية $H$ $($ $z$ $)$ . يقتضي مبدأ السببية والاستقرار أن جميع أقطاب H $($ $z$ $) يجب$ $أن$ تقع داخل دائرة الوحدة تمامًا (انظر الاستقرار ). لنفترض $H(z)={\frac {A(z)}{D(z)}},$ حيث $A (z)$ و $D (z)$ دالتان متعددتا الحدود في $z .$ وتقتضي الخاصيتان السببية والاستقرارية أن تكون أقطاب الدالة - جذور D $($ $z$ $)$ $- داخل$ دائرة الوحدة تمامًا . ونعلم أيضًا أن $H_{\text{inv}}(z)={\frac {D(z)}{A(z)}},$ لذا فإن السببية والاستقرار لـ $H_{\text{inv}}(z)$ وهذا يعني أن أقطابها - جذور $A$ $($ $z$ $)$ - يجب أن تكون داخل دائرة الوحدة . هذان القيدان يعنيان أن أصفار وأقطاب نظام ذي طور أدنى يجب أن تكون داخل دائرة الوحدة تمامًا.

تحليل التردد الزمني المستمر

يتم تحليل حالة الزمن المستمر بطريقة مماثلة، باستثناء استخدام تحويل لابلاس لتحليل التردد. معادلة المجال الزمني هي $(h*h_{\text{inv}})(t)=\delta (t),$ أين $\delta (t)$ دالة ديراك دلتا هي عامل الهوية في حالة الزمن المستمر بسبب خاصية التصفية مع أي إشارة $x$ $($ $t$ $)$ : $(\delta *x)(t)=\int _{-\infty }^{\infty }\delta (t-\tau )x(\tau )\,d\tau =x(t).$

بتطبيق تحويل لابلاس نحصل على العلاقة التالية في المستوى s : $H(s)H_{\text{inv}}(s)=1,$ ومن خلال ذلك ندرك أن $H_{\text{inv}}(s)={\frac {1}{H(s)}}.$

مرة أخرى، ولتبسيط الأمور، سنقتصر على دراسة حالة دالة التحويل النسبية $H$ $($ $s$ $)$ . يقتضي مبدأ السببية والاستقرار أن جميع أقطاب H $($ $s$ $)$ يجب أن تقع داخل النصف الأيسر من $مستوى$ s (انظر الاستقرار ). لنفترض $H(s)={\frac {A(s)}{D(s)}},$ حيث $A (s)$ و $D (s)$ دالتان متعددتا الحدود في $s . وتقتضي$ $الخاصيتان$ السببية والاستقرارية أن تكون أقطاب الدالة - جذور D $($ $s$ $)$ - داخل النصف الأيسر من المستوى s . ونعلم أيضًا أن $H_{\text{inv}}(s)={\frac {D(s)}{A(s)}},$ لذا فإن السببية والاستقرار لـ $H_{\text{inv}}(s)$ يستلزم ذلك أن أقطابها - جذور $A$ $($ $s$ $)$ - يجب أن تقع تمامًا داخل النصف الأيسر من مستوى s . هذان القيدان يستلزمان أن أصفار وأقطاب نظام ذي طور أدنى يجب أن تقع تمامًا داخل النصف الأيسر من مستوى s .

العلاقة بين استجابة السعة واستجابة الطور

يتمتع نظام الحد الأدنى من الطور، سواء كان نظامًا منفصلاً زمنيًا أو مستمرًا زمنيًا، بخاصية مفيدة إضافية تتمثل في أن اللوغاريتم الطبيعي لقيمة استجابة التردد (الكسب المقاس بالنيبر ، والذي يتناسب مع ديسيبل ) يرتبط بزاوية طور استجابة التردد (المقاسة بالراديان ) عن طريق تحويل هيلبرت . أي، في حالة النظام المستمر زمنيًا، لنفترض $H(j\omega )\ {\stackrel {\text{def}}{=}}\ H(s){\Big |}_{s=j\omega }$ $ليكن H (s)$ الاستجابة الترددية المركبة للنظام . عندئذٍ، فقط بالنسبة لنظام ذي طور أدنى، ترتبط استجابة الطور لـ $H (s)$ بالكسب بالعلاقة التالية: $\arg[H(j\omega )]=-{\mathcal {H}}{\big \{}\log {\big (}|H(j\omega )|{\big )}{\big \}},$ أين ${\mathcal {H}}$ يرمز إلى تحويل هيلبرت، وعكس ذلك، $\log {\big (}|H(j\omega )|{\big )}=\log {\big (}|H(j\infty )|{\big )}+{\mathcal {H}}{\big \{}\arg[H(j\omega )]{\big \}}.$

بعبارة أخرى أكثر إيجازًا، دع $H(j\omega )=|H(j\omega )|e^{j\arg[H(j\omega )]}\ {\stackrel {\text{def}}{=}}\ e^{\alpha (\omega )}e^{j\phi (\omega )}=e^{\alpha (\omega )+j\phi (\omega )},$ أين $\alpha (\omega )$ و $\phi (\omega )$ هي دوال حقيقية لمتغير حقيقي. إذن $\phi (\omega )=-{\mathcal {H}}\{\alpha (\omega )\}$ و $\alpha (\omega )=\alpha (\infty )+{\mathcal {H}}\{\phi (\omega )\}.$

يُعرَّف عامل تحويل هيلبرت على النحو التالي: ${\mathcal {H}}\{x(t)\}\ {\stackrel {\text{def}}{=}}\ {\hat {x}}(t)={\frac {1}{\pi }}\int _{-\infty }^{\infty }{\frac {x(\tau )}{t-\tau }}\,d\tau .$

وينطبق الأمر نفسه على أنظمة الزمن المنفصل ذات الطور الأدنى.

الحد الأدنى للطور في المجال الزمني

بالنسبة لجميع الأنظمة السببية والمستقرة التي لها نفس استجابة السعة ، فإن النظام ذو الطور الأدنى تتركز طاقته بالقرب من بداية استجابة النبضة . أي أنه يقلل من الدالة التالية، والتي يمكننا اعتبارها تأخير الطاقة في استجابة النبضة : $\sum _{n=m}^{\infty }|h(n)|^{2}\quad \forall m\in \mathbb {Z} ^{+}.$

الحد الأدنى للمرحلة هو الحد الأدنى لتأخير المجموعة

بالنسبة لجميع الأنظمة السببية والمستقرة التي لها نفس استجابة المقدار ، فإن النظام ذو الطور الأدنى يتميز بأقل تأخير جماعي . يوضح البرهان التالي فكرة الحد الأدنى للتأخير الجماعي .

لنفترض أننا نعتبر صفرًا واحدًا $a$ دالة التحويل $H(z)$ لنضع هذا الصفر $a$ داخل دائرة الوحدة ( $\left|a\right|<1$ ) ولاحظ كيف يتأثر تأخير المجموعة . $a=\left|a\right|e^{i\theta _{a}}\,{\text{ where }}\,\theta _{a}=\operatorname {Arg} (a)$

بما أن الصفر $a$ يساهم هذا العامل $1-az^{-1}$ بالنسبة لدالة التحويل ، فإن الطور الذي يساهم به هذا الحد هو التالي. ${\begin{aligned}\phi _{a}\left(\omega \right)&=\operatorname {Arg} \left(1-ae^{-i\omega }\right)\\&=\operatorname {Arg} \left(1-\left|a\right|e^{i\theta _{a}}e^{-i\omega }\right)\\&=\operatorname {Arg} \left(1-\left|a\right|e^{-i(\omega -\theta _{a})}\right)\\&=\operatorname {Arg} \left(\left\{1-\left|a\right|\cos(\omega -\theta _{a})\right\}+i\left\{\left|a\right|\sin(\omega -\theta _{a})\right\}\right)\\&=\operatorname {Arg} \left(\left\{\left|a\right|^{-1}-\cos(\omega -\theta _{a})\right\}+i\left\{\sin(\omega -\theta _{a})\right\}\right)\end{aligned}}$

$\phi _{a}(\omega )$ يساهم ما يلي في تأخير المجموعة .

${\begin{aligned}-{\frac {d\phi _{a}(\omega )}{d\omega }}&={\frac {\sin ^{2}(\omega -\theta _{a})+\cos ^{2}(\omega -\theta _{a})-\left|a\right|^{-1}\cos(\omega -\theta _{a})}{\sin ^{2}(\omega -\theta _{a})+\cos ^{2}(\omega -\theta _{a})+\left|a\right|^{-2}-2\left|a\right|^{-1}\cos(\omega -\theta _{a})}}\\&={\frac {\left|a\right|-\cos(\omega -\theta _{a})}{\left|a\right|+\left|a\right|^{-1}-2\cos(\omega -\theta _{a})}}\end{aligned}}$

المقام و $\theta _{a}$ ثابتة عند عكس الصفر $a$ خارج دائرة الوحدة ، أي استبدال $a$ مع $(a^{-1})^{*}$ ومع ذلك، من خلال التفكير $a$ خارج دائرة الوحدة، نزيد من مقدار $\left|a\right|$ في البسط. وبالتالي، بوجود $a$ يقلل العمل داخل دائرة الوحدة من تأخير المجموعة الناتج عن العامل $1-az^{-1}$ يمكننا تعميم هذه النتيجة على الحالة العامة لأكثر من صفر واحد ، لأن طور العوامل الضربية من الشكل $1-a_{i}z^{-1}$ هي جمعية. أي، بالنسبة لدالة نقل مع $N$ أصفار ، $\operatorname {Arg} \left(\prod _{i=1}^{N}\left(1-a_{i}z^{-1}\right)\right)=\sum _{i=1}^{N}\operatorname {Arg} \left(1-a_{i}z^{-1}\right)$

لذا، فإن نظام الطور الأدنى الذي يحتوي على جميع الأصفار داخل دائرة الوحدة يقلل من تأخير المجموعة لأن تأخير المجموعة لكل صفر فردي يتم تقليله إلى الحد الأدنى.

توضيح للحسابات المذكورة أعلاه. يمثل الجزء العلوي والسفلي مرشحين لهما نفس استجابة الكسب (على اليسار : مخططات نايكويست ، على اليمين : استجابات الطور)، ولكن المرشح الموجود في الأعلى ذو $a=0.8<1$ يتميز بأصغر سعة في استجابة الطور.

{\displaystyle a=0.8<1} — توضيح للحسابات المذكورة أعلاه. يمثل الجزء العلوي والسفلي مرشحين لهما نفس استجابة الكسب (على اليسار : مخططات نايكويست ، على اليمين : استجابات الطور)، ولكن المرشح الموجود في الأعلى ذو $a=0.8<1$ يتميز بأصغر سعة في استجابة الطور.

المرحلة غير الدنيا

تُعرف الأنظمة السببية والمستقرة، التي تكون معكوساتها سببية وغير مستقرة، باسم أنظمة غير ذات طور أدنى . ويكون لنظام ذي طور أدنى مساهمة طورية أكبر من نظام ذي طور أدنى له استجابة مقدارية مكافئة.

المرحلة القصوى

النظام ذو الطور الأقصى هو عكس النظام ذو الطور الأدنى. النظام الخطي الثابت زمنيًا (LTI) السببي والمستقر هو نظام ذو طور أقصى إذا كان معكوسه سببيًا وغير مستقر. أي،

تقع أصفار نظام الزمن المتقطع خارج دائرة الوحدة .
تقع أصفار نظام الزمن المستمر في الجانب الأيمن من المستوى المركب .

يُطلق على هذا النظام اسم نظام الطور الأقصى لأنه يتميز بأقصى تأخير جماعي بين مجموعة الأنظمة ذات الاستجابة المتساوية في المقدار. وفي هذه المجموعة من الأنظمة ذات الاستجابة المتساوية في المقدار، سيحقق نظام الطور الأقصى أقصى تأخير في الطاقة.

على سبيل المثال، نظاما LTI ذوا الزمن المستمر الموصوفان بدوال النقل ${\frac {s+10}{s+5}}\qquad {\text{and}}\qquad {\frac {s-10}{s+5}}$

تتشابه استجابات النظامين في المقدار؛ إلا أن النظام الثاني يُسهم بشكل أكبر في إزاحة الطور. لذا، في هذه المجموعة، يُعد النظام الثاني نظام الطور الأقصى، بينما يُعد النظام الأول نظام الطور الأدنى. تُعرف هذه الأنظمة أيضًا باسم أنظمة الطور غير الأدنى، والتي تُثير العديد من المخاوف المتعلقة بالاستقرار في أنظمة التحكم. يتمثل أحد الحلول الحديثة لهذه الأنظمة في نقل أصفار النصف الأيمن من المستوى المركب إلى النصف الأيسر باستخدام طريقة PFCD. ^{[ 3 ]}

الطور المختلط

يحتوي النظام ذو الطور المختلط على بعض أصفاره داخل دائرة الوحدة ، وبعضها الآخر خارجها . وبالتالي، فإن تأخير المجموعة فيه ليس أدنى ولا أعلى، بل يقع بين تأخير المجموعة للنظام المكافئ ذي الطور الأدنى والأعلى.

على سبيل المثال، نظام LTI ذو الزمن المستمر الموصوف بدالة النقل ${\frac {(s+1)(s-5)(s+10)}{(s+2)(s+4)(s+6)}}$ هو نظام مستقر وسببي؛ ومع ذلك، فإنه يحتوي على أصفار في كل من طرفي المستوى المركب . لذا، فهو نظام ذو طور مختلط . وللتحكم في دوال النقل التي تتضمنها هذه الأنظمة، تم اقتراح بعض الطرق مثل وحدة التحكم بالنموذج الداخلي (IMC) ^{[ 4 ]} ، ومتنبئ سميث المعمم (GSP) ^{[ 5 ]} ، والتحكم الأمامي المتوازي مع المشتق (PFCD) ^{[ 6 ]} .

الطور الخطي

يتميز النظام ذو الطور الخطي بتأخير مجموعة ثابت . كما أن الأنظمة ذات الطور الخطي غير التافهة أو الأنظمة ذات الطور شبه الخطي هي أنظمة ذات طور مختلط.

انظر أيضاً

مرشح تمرير الكل - حالة خاصة غير ذات طور أدنى.
علاقة كرامرز-كرونيغ – نظام الطور الأدنى في الفيزياء

مراجع

↑ حسيب، بابك؛ كايلات، توماس؛ سيد، علي ح. (2000). التقدير الخطي . إنجلوود كليفس، نيوجيرسي: برنتيس هول. ص 193. ISBN 0-13-022464-2.
↑ JO Smith III، مقدمة إلى المرشحات الرقمية مع تطبيقات الصوت (طبعة سبتمبر 2007).
↑ نوري، ك. (2019). "دراسة إحصائية تحليلية لمعوضات التغذية الأمامية الخطية المتوازية لأنظمة غير ذات طور أدنى". دراسة إحصائية تحليلية لمعوضات التغذية الأمامية الخطية المتوازية لأنظمة غير ذات طور أدنى . doi : 10.1115/DSCC2019-9126 . ISBN 978-0-7918-5914-8. S2CID 214446227 .
↑ موراري، مانفريد (2002). التحكم القوي في العمليات . دار برنتيس هول للنشر. رقم ISBN 0137821530. OCLC 263718708 .
↑ راماناثان، س.؛ كيرل، ر. ل.؛ كرافاريس، س. (1989). "ديناميكيات وأنظمة التحكم شبه العقلانية". مجلة AIChE . 35 (6): 1017-1028 . Bibcode : 1989AIChE..35.1017R . doi : 10.1002/aic.690350615 . hdl : 2027.42/37408 . ISSN 1547-5905 . S2CID 20116797 .
↑ نوري، ك. (2019). "فئة من مُعَوِّضات التغذية الأمامية المتوازية المُثَبِّتة لأنظمة غير ذات طور أدنى". فئة من مُعَوِّضات التغذية الأمامية المتوازية المُثَبِّتة لأنظمة غير ذات طور أدنى . doi : 10.1115/DSCC2019-9240 . ISBN 978-0-7918-5914-8. S2CID 214440404 .

للمزيد من القراءة

ديميتريس ج. مانولاكيس، فيناي ك. إنجل، ستيفن م. كوجون : معالجة الإشارات الإحصائية والتكيفية ، الصفحات 54-56، ماكجرو هيل، ISBN 0-07-040051-2
بواز بورات : دورة في معالجة الإشارات الرقمية ، الصفحات 261-263، جون وايلي وأولاده، رقم ISBN 0-471-14961-6

[1] حسيب، بابك؛ كايلات، توماس؛ سيد، علي ح. (2000). التقدير الخطي . إنجلوود كليفس، نيوجيرسي: برنتيس هول. ص 193. ISBN 0-13-022464-2.

[2] JO Smith III، مقدمة إلى المرشحات الرقمية مع تطبيقات الصوت (طبعة سبتمبر 2007).

[3] نوري، ك. (2019). "دراسة إحصائية تحليلية لمعوضات التغذية الأمامية الخطية المتوازية لأنظمة غير ذات طور أدنى". دراسة إحصائية تحليلية لمعوضات التغذية الأمامية الخطية المتوازية لأنظمة غير ذات طور أدنى . doi : 10.1115/DSCC2019-9126 . ISBN 978-0-7918-5914-8. S2CID 214446227 .

[4] موراري، مانفريد (2002). التحكم القوي في العمليات . دار برنتيس هول للنشر. رقم ISBN 0137821530. OCLC 263718708 .

[5] راماناثان، س.؛ كيرل، ر. ل.؛ كرافاريس، س. (1989). "ديناميكيات وأنظمة التحكم شبه العقلانية". مجلة AIChE . 35 (6): 1017-1028 . Bibcode : 1989AIChE..35.1017R . doi : 10.1002/aic.690350615 . hdl : 2027.42/37408 . ISSN 1547-5905 . S2CID 20116797 .

[6] نوري، ك. (2019). "فئة من مُعَوِّضات التغذية الأمامية المتوازية المُثَبِّتة لأنظمة غير ذات طور أدنى". فئة من مُعَوِّضات التغذية الأمامية المتوازية المُثَبِّتة لأنظمة غير ذات طور أدنى . doi : 10.1115/DSCC2019-9240 . ISBN 978-0-7918-5914-8. S2CID 214440404 .

[

[

[ 3 ]

[ 4 ]

[ 5 ]

[ 6 ]