معيار استقرار نيكويست

في نظرية التحكم ونظرية الاستقرار ، معيار استقرار نيكويست أو معيار استقرار ستريكر-نيكويست ، الذي اكتشفه بشكل مستقل المهندس الكهربائي الألماني فيليكس ستريكر  [de] في شركة سيمنز في عام 1930 ^{[1] [2] [3]} والمهندس الكهربائي السويدي الأمريكي هاري نيكويست في مختبرات بيل للهاتف في عام 1932، ^[4] هو تقنية بيانية لتحديد استقرار النظام الديناميكي .

نظرًا لأنه ينظر فقط إلى مخطط نيستكويست لأنظمة الحلقة المفتوحة ، فيمكن تطبيقه دون حساب الأقطاب والأصفار صراحةً لنظام الحلقة المغلقة أو الحلقة المفتوحة (على الرغم من أنه يجب معرفة عدد كل نوع من تفردات نصف المستوى الأيمن). ونتيجة لذلك، يمكن تطبيقه على الأنظمة التي تحددها الدوال غير النسبية ، مثل الأنظمة ذات التأخيرات. وعلى النقيض من مخططات بود ، يمكنه التعامل مع دوال النقل ذات تفردات نصف المستوى الأيمن. بالإضافة إلى ذلك، هناك تعميم طبيعي على الأنظمة الأكثر تعقيدًا ذات المدخلات المتعددة والمخرجات المتعددة ، مثل أنظمة التحكم في الطائرات.

يستخدم معيار نايكويست للاستقرار على نطاق واسع في هندسة الإلكترونيات وأنظمة التحكم ، فضلاً عن مجالات أخرى، لتصميم وتحليل الأنظمة ذات التغذية الراجعة . في حين أن نايكويست هو أحد أكثر اختبارات الاستقرار عمومية، إلا أنه لا يزال يقتصر على الأنظمة الخطية الثابتة زمنيًا (LTI). ومع ذلك، هناك تعميمات لمعيار نايكويست (والرسم البياني) للأنظمة غير الخطية، مثل معيار الدائرة والرسم البياني النسبي المقياس لمشغل غير خطي . ^{[5] بالإضافة إلى ذلك، يمكن أيضًا تطبيق} معايير استقرار أخرى مثل طرق ليابونوف للأنظمة غير الخطية.

على الرغم من أن نيكويست هي تقنية رسومية، إلا أنها لا توفر سوى قدر محدود من الحدس حول سبب استقرار النظام أو عدم استقراره، أو كيفية تعديل النظام غير المستقر ليصبح مستقرًا. تعد التقنيات مثل مخططات بود ، على الرغم من كونها أقل عمومية، أداة تصميم أكثر فائدة في بعض الأحيان.

مخطط نيكويست هو مخطط بارامتري لاستجابة التردد يستخدم في التحكم الآلي ومعالجة الإشارات . الاستخدام الأكثر شيوعًا لمخططات نيكويست هو تقييم استقرار النظام مع التغذية الراجعة . في الإحداثيات الديكارتية ، يتم رسم الجزء الحقيقي من دالة النقل على المحور السيني بينما يتم رسم الجزء التخيلي على المحور الصادي . يتم مسح التردد كمعامل، مما يؤدي إلى نقطة واحدة لكل تردد. يمكن وصف نفس الرسم البياني باستخدام إحداثيات قطبية ، حيث يكون مكسب دالة النقل هو الإحداثي الشعاعي، وطور دالة النقل هو الإحداثي الزاوي المقابل. تم تسمية مخطط نيكويست على اسم هاري نيكويست ، وهو مهندس سابق في مختبرات بيل .

يتم تقييم استقرار نظام التغذية الراجعة السلبية ذي الحلقة المغلقة من خلال تطبيق معيار استقرار نيكويست على مخطط نيكويست لنظام الحلقة المفتوحة (أي نفس النظام بدون حلقة التغذية الراجعة الخاصة به ). يمكن تطبيق هذه الطريقة بسهولة حتى بالنسبة للأنظمة ذات التأخيرات ووظائف النقل غير المنطقية الأخرى، والتي قد يبدو من الصعب تحليلها باستخدام طرق أخرى. يتم تحديد الاستقرار من خلال النظر إلى عدد تطويقات النقطة (−1، 0). يمكن تحديد نطاق المكاسب التي سيكون النظام مستقرًا عليها من خلال النظر إلى تقاطعات المحور الحقيقي.

يمكن أن يوفر مخطط نيكويست بعض المعلومات حول شكل دالة النقل. على سبيل المثال، يوفر المخطط معلومات حول الفرق بين عدد الأصفار والأقطاب لدالة النقل ^[6] بالزاوية التي يقترب بها المنحنى من الأصل.

عند الرسم باليد، يتم استخدام نسخة كرتونية من مخطط نيكويست في بعض الأحيان، والتي توضح خطية المنحنى، ولكن حيث يتم تشويه الإحداثيات لإظهار المزيد من التفاصيل في مناطق الاهتمام. عند الرسم حسابيًا، يجب على المرء أن يكون حريصًا على تغطية جميع الترددات ذات الاهتمام. وهذا يعني عادةً أن المعلمة يتم مسحها لوغاريتميًا، من أجل تغطية مجموعة واسعة من القيم.

تستخدم الرياضيات تحويل لابلاس ، الذي يحول التكاملات والمشتقات في مجال الزمن إلى الضرب والقسمة البسيطة في مجال s .

نحن نعتبر نظامًا تكون دالة نقله هي ؛ عند وضعه في حلقة مغلقة مع ردود فعل سلبية ، تصبح دالة نقل الحلقة المغلقة (CLTF) بعد ذلك: ${\displaystyle G(s)}$${\displaystyle H(s)}$

${\displaystyle {\frac {G(s)}{1+G(s)H(s)}}}$

يمكن تحديد الاستقرار من خلال فحص جذور متعدد الحدود لعامل الحساسية ، على سبيل المثال باستخدام مصفوفة Routh ، ولكن هذه الطريقة مملة إلى حد ما. يمكن أيضًا التوصل إلى استنتاجات من خلال فحص دالة نقل الحلقة المفتوحة (OLTF) ، باستخدام مخططات بود الخاصة بها أو، كما هو الحال هنا، مخططها القطبي باستخدام معيار نيكويست، على النحو التالي. ${\displaystyle 1+G(s)H(s)}$${\displaystyle G(s)H(s)}$

يمكن التعبير عن أي دالة نقل مجال لابلاس كنسبة بين كثيرتي حدود : ${\displaystyle {\mathcal {T}}(s)}$

${\displaystyle {\mathcal {T}}(s)={\frac {N(s)}{D(s)}}.}$

تسمى جذور صفر ، وجذور أقطاب . ويقال أيضًا أن أقطاب معادلة المميزة هي جذور . ${\displaystyle N(s)}$${\displaystyle {\mathcal {T}}(s)}$${\displaystyle D(s)}$${\displaystyle {\mathcal {T}}(s)}$${\displaystyle {\mathcal {T}}(s)}$ ${\displaystyle D(s)=0}$

يتم تحديد استقرار الدالة من خلال قيم أقطابها: لتحقيق الاستقرار، يجب أن يكون الجزء الحقيقي من كل قطب سالبًا. إذا تم تشكيل الدالة عن طريق إغلاق حلقة التغذية الراجعة السالبة حول دالة النقل ذات الحلقة المفتوحة، ${\displaystyle {\mathcal {T}}(s)}$${\displaystyle {\mathcal {T}}(s)}$

${\displaystyle G(s)H(s)={\frac {A(s)}{B(s)}}}$

ثم تكون جذور المعادلة المميزة أيضًا أصفارًا لـ ، أو ببساطة جذور . ${\displaystyle 1+G(s)H(s)}$${\displaystyle A(s)+B(s)=0}$

من التحليل المركب ، يمكن تعيين محيط مرسوم في المستوى المركب، والذي يشمل ولكن لا يمر عبر أي عدد من الأصفار والأقطاب لدالة، إلى مستوى آخر ( يسمى المستوى) بواسطة الدالة . على وجه التحديد، يتم تعيين كل نقطة مركبة في المحيط إلى النقطة في المستوى الجديد مما ينتج عنه محيط جديد. ${\displaystyle \جاما _{s}}$${\displaystyle s}$${\displaystyle F(s)}$${\displaystyle F(s)}$${\displaystyle F}$${\displaystyle s}$${\displaystyle \جاما _{s}}$${\displaystyle F(s)}$${\displaystyle F(s)}$

مخطط نيكويست لـ ، وهو المحيط الذي سيحيط بنقطة المستوى مضروبة في حيث وفقًا لمبدأ حجة كوشي . هنا و هما على التوالي عدد أصفار و أقطاب داخل المحيط . لاحظ أننا نحسب الدوائر في المستوى بنفس معنى المحيط وأن الدوائر في الاتجاه المعاكس هي دوائر سالبة . أي أننا نعتبر الدوائر في اتجاه عقارب الساعة موجبة والدوائر في عكس اتجاه عقارب الساعة سالبة. ${\displaystyle F(s)}$${\displaystyle \Gamma _{F(s)}=F(\Gamma _{s})}$${\displaystyle s={-1/k+j0}}$${\displaystyle F(s)}$${\displaystyle N}$${\displaystyle N=PZ}$${\displaystyle Z}$${\displaystyle P}$${\displaystyle 1+kF(s)}$${\displaystyle F(s)}$${\displaystyle \جاما _{s}}$${\displaystyle F(s)}$${\displaystyle \جاما _{s}}$

بدلاً من مبدأ حجة كوشي، تستخدم الورقة الأصلية لهاري نيكويست في عام 1932 نهجًا أقل أناقة. النهج الموضح هنا مشابه للنهج الذي استخدمه لوروي ماكول (النظرية الأساسية لآليات التحكم 1945) أو هندريك بود (تحليل الشبكة وتصميم مكبر التغذية الراجعة 1945)، وكلاهما عمل أيضًا في مختبرات بيل . يظهر هذا النهج في معظم الكتب المدرسية الحديثة حول نظرية التحكم.

نقوم أولاً بإنشاء محيط نيستكويست ، وهو محيط يحيط بالنصف الأيمن من المستوى المركب:

• مسار يسافر لأعلى المحور، من إلى .${\displaystyle j\omega }$${\displaystyle 0-j\infty }$${\displaystyle 0+j\infty }$
• قوس نصف دائري، نصف قطره ، يبدأ من ويتحرك في اتجاه عقارب الساعة إلى .${\displaystyle r\to \infty }$${\displaystyle 0+j\infty }$${\displaystyle 0-j\infty }$

يُنتج مخطط نيكويست المرسوم من خلال الدالة رسمًا بيانيًا لـ في المستوى المركب. وفقًا لمبدأ الحجة، يجب أن يكون عدد الدوائر التي تدور في اتجاه عقارب الساعة حول الأصل هو عدد أصفار في المستوى المركب للنصف الأيمن ناقصًا عدد أقطاب في المستوى المركب للنصف الأيمن. إذا تم رسم المخطط البياني بدلاً من ذلك من خلال دالة نقل الحلقة المفتوحة ، فإن النتيجة هي مخطط نيكويست لـ . من خلال حساب دوائر المخطط البياني الناتجة لـ −1، نجد الفرق بين عدد الأقطاب والأصفار في المستوى المركب للنصف الأيمن لـ . بتذكر أن أصفار هي أقطاب النظام المغلق الحلقة، وملاحظة أن أقطاب هي نفس أقطاب ، نذكر الآن معيار نيكويست :${\displaystyle 1+G(s)}$${\displaystyle 1+G(s)}$${\displaystyle 1+G(s)}$${\displaystyle 1+G(s)}$${\displaystyle G(s)}$${\displaystyle G(s)}$${\displaystyle 1+G(s)}$${\displaystyle 1+G(s)}$${\displaystyle 1+G(s)}$${\displaystyle G(s)}$

بالنظر إلى محيط نيكويست ، فليكن عدد أقطاب المحيط بـ ، وليكن عدد أصفار المحيط بـ . أو، والأهم من ذلك، إذا كان هو عدد أقطاب نظام الحلقة المغلقة في نصف المستوى الأيمن، و هو عدد أقطاب دالة نقل الحلقة المفتوحة في نصف المستوى الأيمن، فإن المحيط الناتج في المستوى -، يجب أن يحيط (باتجاه عقارب الساعة) بالنقطة مرات بحيث .${\displaystyle \جاما _{s}}$${\displaystyle P}$${\displaystyle G(s)}$${\displaystyle \جاما _{s}}$${\displaystyle Z}$${\displaystyle 1+G(s)}$${\displaystyle \جاما _{s}}$${\displaystyle Z}$${\displaystyle P}$${\displaystyle G(s)}$${\displaystyle G(s)}$${\displaystyle \Gamma _{G(s)}}$${\displaystyle (-1+j0)}$ ${\displaystyle N}$${\displaystyle N=ZP}$

إذا كان النظام غير مستقر في الأصل في حلقة مفتوحة، فإن التغذية الراجعة ضرورية لتثبيت النظام. تمثل أقطاب نصف المستوى الأيمن (RHP) هذا عدم الاستقرار. لتحقيق استقرار الحلقة المغلقة للنظام، يجب أن يكون عدد جذور الحلقة المغلقة في النصف الأيمن من المستوى s صفرًا. وبالتالي، يجب أن يكون عدد الدوائر عكس اتجاه عقارب الساعة حول مساويًا لعدد أقطاب الحلقة المفتوحة في RHP. تشير أي دوائر في اتجاه عقارب الساعة للنقطة الحرجة بواسطة استجابة تردد الحلقة المفتوحة (عند الحكم عليها من التردد المنخفض إلى التردد العالي) إلى أن نظام التحكم في التغذية الراجعة سيكون غير مستقر إذا كانت الحلقة مغلقة. (إن استخدام أصفار RHP لإلغاء أقطاب RHP لا يزيل عدم الاستقرار، بل يضمن أن النظام سيظل غير مستقر حتى في وجود ردود الفعل، حيث تنتقل جذور الحلقة المغلقة بين أقطاب الحلقة المفتوحة والأصفار في وجود ردود الفعل. في الواقع، يمكن أن يجعل صفر RHP القطب غير المستقر غير قابل للملاحظة وبالتالي غير قابل للاستقرار من خلال ردود الفعل.) ${\displaystyle -1+j0}$

تم إجراء الدراسة أعلاه بافتراض أن دالة النقل ذات الحلقة المفتوحة ليس لها أي قطب على المحور التخيلي (أي أقطاب من النموذج ). وينتج هذا عن متطلبات مبدأ الحجة بأن المحيط لا يمكن أن يمر عبر أي قطب من أقطاب دالة التعيين. والحالة الأكثر شيوعًا هي الأنظمة ذات المكاملات (الأقطاب عند الصفر). ${\displaystyle G(s)}$${\displaystyle 0+j\omega }$

لكي نتمكن من تحليل الأنظمة ذات الأقطاب على المحور التخيلي، يمكن تعديل محيط نيكويست لتجنب المرور عبر النقطة . إحدى الطرق للقيام بذلك هي إنشاء قوس نصف دائري بنصف قطر حول ، يبدأ عند ويتحرك عكس اتجاه عقارب الساعة إلى . يعني هذا التعديل أن الطور يتحرك على طول قوس بنصف قطر لا نهائي بواسطة ، حيث هو تعدد القطب على المحور التخيلي. ${\displaystyle 0+j\omega }$${\displaystyle r\to 0}$${\displaystyle 0+j\omega }$${\displaystyle 0+j(\omega -r)}$${\displaystyle 0+j(\omega +r)}$${\displaystyle G(s)}$${\displaystyle -l\pi }$${\displaystyle l}$

هدفنا هو، من خلال هذه العملية، التحقق من استقرار دالة النقل لنظام التغذية الراجعة الوحدوية لدينا مع المكسب k ، والذي يتم إعطاؤه بواسطة

${\displaystyle T(s)={\frac {kG(s)}{1+kG(s)}}}$

وهذا يعني أننا نود التحقق مما إذا كانت المعادلة المميزة لدالة النقل أعلاه، المعطاة بواسطة

${\displaystyle D(s)=1+kG(s)=0}$

يحتوي على أصفار خارج نصف المستوى الأيسر المفتوح (يتم تهيئته عادةً كـ OLHP).

نفترض أن لدينا محيطًا في اتجاه عقارب الساعة (أي موجهًا سلبًا) يحيط بنصف المستوى الأيمن، مع وجود مسافات بادئة حسب الحاجة لتجنب المرور عبر الأصفار أو أقطاب الدالة . تنص مبدأ حجة كوشي على أن${\displaystyle \Gamma _{s}}$${\displaystyle G(s)}$

${\displaystyle -{\frac {1}{2\pi i}}\oint _{\Gamma _{s}}{D'(s) \over D(s)}\,ds=N=Z-P}$

حيث يشير إلى عدد الأصفار المحاطة بالمحيط ويشير إلى عدد أقطاب المحيط نفسه. بإعادة الترتيب، لدينا ، وهذا يعني ${\displaystyle Z}$${\displaystyle D(s)}$${\displaystyle P}$${\displaystyle D(s)}$${\displaystyle Z=N+P}$

${\displaystyle Z=-{\frac {1}{2\pi i}}\oint _{\Gamma _{s}}{D'(s) \over D(s)}\,ds+P}$

نلاحظ بعد ذلك أن له نفس أقطاب . وبالتالي، يمكننا أن نجد عن طريق حساب أقطاب ذلك الذي يظهر داخل المحيط، أي داخل نصف المستوى الأيمن المفتوح (ORHP). ${\displaystyle D(s)=1+kG(s)}$${\displaystyle G(s)}$${\displaystyle P}$${\displaystyle G(s)}$

سنقوم الآن بإعادة ترتيب التكامل أعلاه عن طريق التعويض. أي، الإعداد ، لدينا ${\displaystyle u(s)=D(s)}$

${\displaystyle N=-{\frac {1}{2\pi i}}\oint _{\Gamma _{s}}{D'(s) \over D(s)}\,ds=-{\frac {1}{2\pi i}}\oint _{u(\Gamma _{s})}{1 \over u}\,du}$

ثم نقوم بإجراء استبدال آخر، وهو الإعداد . وهذا يعطينا ${\displaystyle v(u)={\frac {u-1}{k}}}$

${\displaystyle N=-{\frac {1}{2\pi i}}\oint _{u(\Gamma _{s})}{1 \over u}\,du=-{{1} \over {2\pi i}}\oint _{v(u(\Gamma _{s}))}{1 \over {v+1/k}}\,dv}$

نلاحظ الآن أن هذا يعطينا صورة محيطنا تحت ، وهو ما يمكن أن نسميه مخطط نيكويست الخاص بنا . يمكننا تقليل التكامل بشكل أكبر ${\displaystyle v(u(\Gamma _{s}))={{D(\Gamma _{s})-1} \over {k}}=G(\Gamma _{s})}$${\displaystyle G(s)}$

${\displaystyle N=-{\frac {1}{2\pi i}}\oint _{G(\Gamma _{s}))}{\frac {1}{v+1/k}}\,dv}$

بتطبيق صيغة تكامل كوشي . في الواقع، نجد أن التكامل أعلاه يتوافق بدقة مع عدد المرات التي يحيط فيها مخطط نيكويست بالنقطة في اتجاه عقارب الساعة. وبالتالي، يمكننا أن نذكر أخيرًا أن ${\displaystyle -1/k}$

${\displaystyle {\begin{aligned}Z={}&N+P\\[6pt]={}&{\text{(number of times the Nyquist plot encircles }}{-1/k}{\text{ clockwise)}}\\&{}+{\text{(number of poles of }}G(s){\text{ in ORHP)}}\end{aligned}}}$

وهكذا نجد أن ما تم تعريفه أعلاه يتوافق مع نظام التغذية الراجعة المستقر للوحدة عندما ، كما تم تقييمه أعلاه، يساوي 0. ${\displaystyle T(s)}$${\displaystyle Z}$

معيار ثبات نيكويست هو تقنية بيانية تحدد ثبات النظام الديناميكي، مثل نظام التحكم بالتغذية الراجعة. وهو يعتمد على مبدأ الحجة ورسم نيكويست لدالة نقل الحلقة المفتوحة للنظام. ويمكن تطبيقه على الأنظمة التي لا يتم تحديدها بواسطة الدوال النسبية، مثل الأنظمة ذات التأخيرات. ويمكنه أيضًا التعامل مع دوال النقل ذات التفردات في نصف المستوى الأيمن، على عكس مخططات بود. ويمكن أيضًا استخدام معيار ثبات نيكويست لإيجاد هوامش الطور والمكسب لنظام، والتي تعد مهمة لتصميم وحدة تحكم المجال الترددي. ^[7]

• إذا كانت دالة النقل ذات الحلقة المفتوحة لها قطب صفري للتعددية ، فإن مخطط نيكويست له انقطاع عند . أثناء التحليل الإضافي، يجب افتراض أن الطور يسافر في اتجاه عقارب الساعة على طول نصف دائرة بنصف قطر لا نهائي. بعد تطبيق هذه القاعدة، يجب إهمال الأقطاب الصفرية، أي إذا لم تكن هناك أقطاب غير مستقرة أخرى، فيجب اعتبار دالة النقل ذات الحلقة المفتوحة مستقرة.${\displaystyle G(s)}$${\displaystyle l}$${\displaystyle \omega =0}$${\displaystyle l}$${\displaystyle G(s)}$
• إذا كانت دالة النقل ذات الحلقة المفتوحة مستقرة، فإن نظام الحلقة المغلقة يكون غير مستقر، إذا وفقط إذا، قام مخطط نيكويست بتطويق النقطة −1 مرة واحدة على الأقل.${\displaystyle G(s)}$
• إذا كانت دالة نقل الحلقة المفتوحة غير مستقرة ، فلكي يكون نظام الحلقة المغلقة مستقرًا، يجب أن يكون هناك حلقة دائرية واحدة عكس اتجاه عقارب الساعة عند -1 لكل قطب في النصف الأيمن من المستوى المركب.${\displaystyle G(s)}$${\displaystyle G(s)}$
• عدد التطويقات الفائضة ( N  +  P أكبر من 0) هو بالضبط عدد الأقطاب غير المستقرة لنظام الحلقة المغلقة.
• ومع ذلك، إذا حدث ومر الرسم البياني عبر النقطة ، فإن اتخاذ القرار بشأن الاستقرار الهامشي للنظام يصبح صعبًا والاستنتاج الوحيد الذي يمكن استخلاصه من الرسم البياني هو وجود أصفار على المحور.${\displaystyle -1+j0}$${\displaystyle j\omega }$

• استقرار بيبو
• مخطط بود
• معيار استقرار روث-هورويتز
• هامش الربح
• مؤامرة نيكولز
• دوائر القاعة
• هامش الطور
• معيار استقرار باركهاوزن
• معيار الدائرة
• هندسة التحكم
• قيمة هانكل المفردة

• فوكنر، إي إيه (1969): مقدمة إلى نظرية الأنظمة الخطية ؛ تشابمان وهول؛ ISBN 0-412-09400-2 
• بيبارد، أيه بي (1985): الاستجابة والاستقرار ؛ مطبعة جامعة كامبريدج؛ ISBN 0-521-31994-3 
• جيسينج، ر. (2004): أساسيات التحكم ؛ جامعة سيليزيا للتكنولوجيا؛ ISBN 83-7335-176-0 
• فرانكلين، ج. (2002): التحكم بالتغذية الراجعة للأنظمة الديناميكية ؛ برنتيس هول، ISBN 0-13-032393-4 

• تطبيقات صغيرة ذات معلمات قابلة للتعديل
• EIS Spectrum Analyser - برنامج مجاني لتحليل ومحاكاة أطياف المعاوقة
• دالة MATLAB لإنشاء رسم نيستكويست لاستجابة التردد لنموذج نظام ديناميكي.
• تشكيل مخطط PID Nyquist - أداة افتراضية تفاعلية مجانية، محاكي حلقة التحكم
• دالة Mathematica لإنشاء مخطط نيكويست
• مخطط نيكويست للدوائر الكهربائية