عدم المساواة في مينكوفسكي

في التحليل الرياضي ، تُثبت متباينة مينكوفسكي أن $L^{p}$ تُحقق الفضاءات متباينة المثلث في تعريف الفضاءات المتجهة المعيارية . سُميت هذه المتباينة نسبةً إلى عالم الرياضيات الألماني هيرمان مينكوفسكي .

يترك ${\textstyle S}$ ليكن فضاء قياس ، ولتكن ${\textstyle 1\leq p\leq \infty }$ ودع ${\textstyle f}$ و ${\textstyle g}$ أن تكون عناصر من ${\textstyle L^{p}(S).}$ ثم ${\textstyle f+g}$ هو في ${\textstyle L^{p}(S),}$ ولدينا متباينة المثلث

$\|f+g\|_{p}\leq \|f\|_{p}+\|g\|_{p}$

مع المساواة لـ ${\textstyle 1<p<\infty }$ إذا وفقط إذا ${\textstyle f}$ و ${\textstyle g}$ هي مرتبطة خطيًا بشكل إيجابي ؛ أي ${\textstyle f=\lambda g}$ بالنسبة للبعض ${\textstyle \lambda \geq 0}$ أو ${\textstyle g=0.}$ هنا، يتم تحديد المعيار من خلال:

$\|f\|_{p}=\left(\int |f|^{p}d\mu \right)^{\frac {1}{p}}$

لو ${\textstyle p<\infty ,}$ أو في حالة ${\textstyle p=\infty }$ بواسطة الحد الأعلى الأساسي

$\|f\|_{\infty }=\operatorname {ess\ sup} _{x\in S}|f(x)|.$

متباينة مينكوفسكي هي متباينة المثلث في ${\textstyle L^{p}(S).}$ في الواقع، إنها حالة خاصة من حقيقة أكثر عمومية

$\displaystyle \|f\|_{p}=\sup _{\|g\|_{q}=1}\int |fg|d\mu ,\qquad {\tfrac {1}{p}}+{\tfrac {1}{q}}=1}$

حيث يسهل ملاحظة أن الجانب الأيمن يحقق المتباينة المثلثية.

على غرار متباينة هولدر ، يمكن تخصيص متباينة مينكوفسكي للمتتاليات والمتجهات باستخدام مقياس العد :

$\left(\sum _{k=1}^{n}|x_{k}+y_{k}|^{p}\right)^{1/p}\leq \left(\sum _{k=1}^{n}|x_{k}|^{p}\right)^{1/p}+\left(\sum _{k=1}^{n}|y_{k}|^{p}\right)^{1/p}$

لجميع الأعداد الحقيقية (أو المركبة ) ${\textstyle x_{1},\dots ,x_{n},y_{1},\dots ,y_{n}}$ وأين ${\textstyle n}$ عدد عناصر ${\textstyle S}$ (عدد العناصر في ${\textstyle S}$ ).

من الناحية الاحتمالية، بالنظر إلى فضاء الاحتمالات $(\Omega ,{\mathcal {F}},\mathbb {P} ),$ و $\mathbb {E}$ يرمز إلى عامل التوقع لكل متغير عشوائي حقيقي أو مركب $X$ و $Y$ على $أوميغا$ يُقرأ عدم المساواة الذي تحدث عنه مينكوفسكي على النحو التالي:

\left(\mathbb {E} [|X+Y|^{p}]\right)^{\frac {1}{p}}\leqslant \left(\mathbb {E} [|X|^{p}]\right)^{\frac {1}{p}}+\left(\mathbb {E} [|Y|^{p}]\right)^{\frac {1}{p}}.

دليل

البرهان باستخدام متباينة هولدر

أولاً، نثبت أن ${\textstyle f+g}$ له عدد محدود ${\textstyle p}$ المعيار- إذا ${\textstyle f}$ و ${\textstyle g}$ كلاهما يفعل ذلك، وهو ما يتبعه

$|f+g|^{p}\leq 2^{p-1}(|f|^{p}+|g|^{p}).$

في الواقع، نستفيد هنا من حقيقة أن ${\textstyle h(x)=|x|^{p}}$ محدبة على ${\textstyle \mathbb {R} ^{+}}$ (ل ${\textstyle p>1}$ وبالتالي، بحسب تعريف التحدب،

$\left|{\tfrac {1}{2}}f+{\tfrac {1}{2}}g\right|^{p}\leq \left|{\tfrac {1}{2}}|f|+{\tfrac {1}{2}}|g|\right|^{p}\leq {\tfrac {1}{2}}|f|^{p}+{\tfrac {1}{2}}|g|^{p}.$

هذا يعني أن

$|f+g|^{p}\leq {\tfrac {1}{2}}|2f|^{p}+{\tfrac {1}{2}}|2g|^{p}=2^{p-1}|f|^{p}+2^{p-1}|g|^{p}.$

الآن، يمكننا التحدث بشكل مشروع عن ${\textstyle \|f+g\|_{p}}$ إذا كانت القيمة صفرًا، فإن متباينة مينكوفسكي صحيحة. نفترض الآن أن ${\textstyle \|f+g\|_{p}}$ لا يساوي صفرًا. باستخدام متباينة المثلث ثم متباينة هولدر ، نجد أن

${\begin{aligned}\|f+g\|_{p}^{p}&=\int |f+g|^{p}\,\mathrm {d} \mu \\&=\int |f+g|\cdot |f+g|^{p-1}\,\mathrm {d} \mu \\&\leq \int (|f|+|g|)|f+g|^{p-1}\,\mathrm {d} \mu \\&=\int |f||f+g|^{p-1}\,\mathrm {d} \mu +\int |g||f+g|^{p-1}\,\mathrm {d} \mu \\&\leq \left(\left(\int |f|^{p}\,\mathrm {d} \mu \right)^{\frac {1}{p}}+\left(\int |g|^{p}\,\mathrm {d} \mu \right)^{\frac {1}{p}}\right)\left(\int |f+g|^{(p-1)\left({\frac {p}{p-1}}\right)}\,\mathrm {d} \mu \right)^{1-{\frac {1}{p}}}&&{\text{ Hölder's inequality}}\\&=\left(\|f\|_{p}+\|g\|_{p}\right){\frac {\|f+g\|_{p}^{p}}{\|f+g\|_{p}}}\end{aligned}}$

نحصل على متباينة مينكوفسكي بضرب كلا الطرفين في

${\frac {\|f+g\|_{p}}{\|f+g\|_{p}^{p}}}.$

البرهان بواسطة حجة التحدب المباشر

منح $t\in (0,1)$ ، وبالتالي، بحسب خاصية التحدب ( متباينة جنسن )، لكل $x\in S$

|f(x)+g(x)|^{p}={\Bigl |}(1-t){\frac {f(x)}{1-t}}+t{\frac {g(x)}{t}}{\Bigr |}^{p}\leq (1-t){\Bigl |}{\frac {f(x)}{1-t}}{\Bigr |}^{p}+t{\Bigl |}{\frac {g(x)}{t}}{\Bigr |}^{p}={\frac {|f(x)|^{p}}{(1-t)^{p-1}}}+{\frac {|g(x)|^{p}}{t^{p-1}}}.

يؤدي التكامل إلى

\int _{S}|f+g|^{p}\,\mathrm {d} \mu \leq {\frac {1}{(1-t)^{p-1}}}\int _{S}|f|^{p}\,\mathrm {d} \mu +{\frac {1}{t^{p-1}}}\int _{S}|g|^{p}\,\mathrm {d} \mu .

يأخذ المرء ذلك

t={\frac {\Vert g\Vert _{p}}{\Vert f\Vert _{p}+\Vert g\Vert _{p}}}

للوصول إلى النتيجة.

متباينة مينكوفسكي التكاملية

لنفترض أن ${\textstyle (S_{1},\mu _{1})}$ و ${\textstyle (S_{2},\mu _{2})}$ هما فضاءان قياسهما محدودان من النوع 𝜎 و ${\textstyle F:S_{1}\times S_{2}\to \mathbb {R} }$ قابلة للقياس. إذن، متباينة مينكوفسكي التكاملية هي: ^{[ 1 ]}^{[ 2 ]}

$\left[\int _{S_{2}}\left|\int _{S_{1}}F(x,y)\,\mu _{1}(\mathrm {d} x)\right|^{p}\mu _{2}(\mathrm {d} y)\right]^{\frac {1}{p}}~\leq ~\int _{S_{1}}\left(\int _{S_{2}}|F(x,y)|^{p}\,\mu _{2}(\mathrm {d} y)\right)^{\frac {1}{p}}\mu _{1}(\mathrm {d} x),\quad p\in [1,\infty )$

مع تعديلات واضحة في الحالة ${\textstyle p=\infty .}$ لو ${\textstyle p>1,}$ وإذا كان كلا الجانبين محدودين، فإن المساواة تتحقق فقط إذا ${\textstyle |F(x,y)|=\varphi (x)\,\psi (y)}$ ae لبعض الدوال القابلة للقياس غير السالبة ${\textstyle \varphi }$ و ${\textstyle \psi }$ .

لو ${\textstyle \mu _{1}}$ هو مقياس العد على مجموعة من نقطتين ${\textstyle S_{1}=\{1,2\},}$ ثم تعطي متباينة مينكوفسكي التكاملية متباينة مينكوفسكي المعتادة كحالة خاصة: لوضع ${\textstyle f_{i}(y)=F(i,y)}$ ل ${\textstyle i=1,2,}$ تعطي المتباينة التكاملية

$\|f_{1}+f_{2}\|_{p}=\left(\int _{S_{2}}\left|\int _{S_{1}}F(x,y)\,\mu _{1}(\mathrm {d} x)\right|^{p}\mu _{2}(\mathrm {d} y)\right)^{\frac {1}{p}}\leq \int _{S_{1}}\left(\int _{S_{2}}|F(x,y)|^{p}\,\mu _{2}(\mathrm {d} y)\right)^{\frac {1}{p}}\mu _{1}(\mathrm {d} x)=\|f_{1}\|_{p}+\|f_{2}\|_{p}.$

إذا كانت الدالة قابلة للقياس ${\textstyle F:S_{1}\times S_{2}\to \mathbb {R} }$ إذن، تكون القيمة غير سالبة لجميع القيم. ${\textstyle 1\leq p\leq q\leq \infty ,}$ ^{[ 3 ]}

$\left\|\left\|F(\,\cdot ,s_{2})\right\|_{L^{p}(S_{1},\mu _{1})}\right\|_{L^{q}(S_{2},\mu _{2})}~\leq ~\left\|\left\|F(s_{1},\cdot )\right\|_{L^{q}(S_{2},\mu _{2})}\right\|_{L^{p}(S_{1},\mu _{1})}\ .$

تم تعميم هذه الرموز إلى

$\|f\|_{p,q}=\left(\int _{\mathbb {R} ^{m}}\left[\int _{\mathbb {R} ^{n}}|f(x,y)|^{q}\mathrm {d} y\right]^{\frac {p}{q}}\mathrm {d} x\right)^{\frac {1}{p}}$

ل ${\textstyle f:\mathbb {R} ^{m+n}\to E,}$ مع ${\textstyle {\mathcal {L}}_{p,q}(\mathbb {R} ^{m+n},E)=\{f\in E^{\mathbb {R} ^{m+n}}:\|f\|_{p,q}<\infty \}.}$ باستخدام هذه الرموز، يكشف التلاعب بالأسس أنه إذا ${\textstyle p<q,}$ ثم ${\textstyle \|f\|_{q,p}\leq \|f\|_{p,q}}$ .

المتباينة العكسية

متى ${\textstyle p<1}$ وتتحقق المتباينة العكسية:

$\|f+g\|_{p}\geq \|f\|_{p}+\|g\|_{p}.$

نحتاج أيضًا إلى التقييد الذي ينص على أن كليهما ${\textstyle f}$ و ${\textstyle g}$ وهي غير سالبة، كما نرى من المثال ${\textstyle f=-1,g=1}$ و ${\textstyle p=1}$

{\textstyle \|f+g\|_{1}=0<2=\|f\|_{1}+\|g\|_{1}.}

وتستند المتباينة العكسية إلى نفس الحجة التي تستند إليها متباينة مينكوفسكي القياسية، ولكنها تستخدم حقيقة أن متباينة هولدر معكوسة أيضًا في هذا النطاق.

باستخدام نموذج مينكوفسكي العكسي، يمكننا إثبات أن القوة تعني مع ${\textstyle p\leq 1,}$ مثل المتوسط التوافقي والمتوسط الهندسي، فهما مقعران.

تعميمات على وظائف أخرى

يمكن تعميم متباينة مينكوفسكي لتشمل دوال أخرى ${\textstyle \phi (x)}$ ما وراء وظيفة القوة ${\textstyle x^{p}}$ تأخذ المتباينة المعممة الشكل التالي:

$\phi ^{-1}\left(\textstyle \sum \limits _{i=1}^{n}\phi (x_{i}+y_{i})\right)\leq \phi ^{-1}\left(\textstyle \sum \limits _{i=1}^{n}\phi (x_{i})\right)+\phi ^{-1}\left(\textstyle \sum \limits _{i=1}^{n}\phi (y_{i})\right).$

شروط كافية متنوعة بشأن ${\textstyle \phi }$ وقد تم العثور عليها بواسطة مولهولاند ^{[ 4 ]} وآخرين. على سبيل المثال، بالنسبة لـ ${\textstyle x\geq 0}$ إحدى مجموعات الشروط الكافية من مولهولاند هي

${\textstyle \phi (x)}$ هو مستمر ومتزايد بشكل صارم مع ${\textstyle \phi (0)=0.}$
${\textstyle \phi (x)}$ هي دالة محدبة لـ ${\textstyle x.}$
${\textstyle \log \phi (x)}$ هي دالة محدبة لـ ${\textstyle \log(x).}$

انظر أيضاً

متباينة كوشي-شفارتز – متباينة رياضية تربط بين الضرب الداخلي والمعايير
متباينة هولدر – متباينة بين التكاملات في فضاءات Lp
عدم المساواة عند مالر
متباينة يونغ للالتفاف - متباينة رياضية تتعلق بالتفاف دالتين
متباينة يونغ للمنتجات – مفهوم رياضي

مراجع

↑ شتاين 1970 ، §أ.1.
^ هاردي، ليتلوود وبوليا 1988 ، النظرية 202.
^ باهوري، كيمين ودانشين 2011 ، ص. 4.
↑ مولهولاند، إتش بي (1949). "حول تعميمات متباينة مينكوفسكي في شكل متباينة مثلثية". وقائع الجمعية الرياضية بلندن . s2-51 (1): 294–307 . doi : 10.1112/plms/s2-51.4.294 .

بحوري, هجر ; Chemin, جان إيف ; دانشين، رافائيل (2011). تحليل فورييه والمعادلات التفاضلية الجزئية غير الخطية . Grundlehren der mathematischen Wissenschaften. المجلد. 343. برلين، هايدلبرغ: سبرينغر. رقم ISBN 978-3-642-16830-7. OCLC 704397128 .
هاردي، جي إتش ؛ ليتلوود، جي إي ؛ بوليا، جي. (1988). المتباينات . مكتبة كامبريدج الرياضية ( الطبعة الثانية). كامبريدج: مطبعة جامعة كامبريدج. ISBN 0-521-35880-9.
مينكوفسكي، هـ. (1953). هندسة دير زحلين . تشيلسي..
شتاين، إلياس (1970). التكاملات المفردة وخصائص قابلية التفاضل للدوال . مطبعة جامعة برينستون..
إم. آي. فويتسيخوفسكي (2001) [1994]، "متباينة مينكوفسكي" ، موسوعة الرياضيات ، دار نشر إي إم إس
لوهواتر، آرثر جيه (1982). "مقدمة في عدم المساواة" .

للمزيد من القراءة

بولين، ب. س. (2003). "وسائل القوة". دليل الوسائل وعدم المساواة فيها . دوردريخت: سبرينغر هولندا. ص 175-265 . doi : 10.1007/978-94-017-0399-4_3 . ISBN 978-90-481-6383-0تم الاطلاع عليه بتاريخ 23-06-2022 .

[FOOTNOTEStein1970§A.1-1] شتاين 1970 ، §أ.1.

[FOOTNOTEHardyLittlewoodPólya1988Theorem_202-2] هاردي، ليتلوود وبوليا 1988 ، النظرية 202.

[FOOTNOTEBahouriCheminDanchin20114-3] باهوري، كيمين ودانشين 2011 ، ص. 4.

[4] مولهولاند، إتش بي (1949). "حول تعميمات متباينة مينكوفسكي في شكل متباينة مثلثية". وقائع الجمعية الرياضية بلندن . s2-51 (1): 294–307 . doi : 10.1112/plms/s2-51.4.294 .

[ 1 ]

[ 2 ]

[ 3 ]

[ 4 ]

اللغة	العربية (RTL)
روابط موسوعية	30 رابطاً
المصدر الأصلي	ويكيبيديا ↗