الاعتدال (الإحصاء)

إذا كان كلا المتغيرين المستقلين متغيرين فئويين، فيمكننا تحليل نتائج الانحدار لأحد المتغيرين المستقلين عند مستوى محدد للمتغير المستقل الآخر. على سبيل المثال، لنفترض أن كلاً من A وB متغيران ثنائيان مُرمّزان (0،1)، وأن A يُمثل العرق (0 = أمريكيون أوروبيون، 1 = شرق آسيويون)، وB يُمثل الحالة في الدراسة (0 = ضابطة، 1 = تجريبية). عندئذٍ، يُبين تأثير التفاعل ما إذا كان تأثير الحالة على المتغير التابع Y مختلفًا بين الأمريكيين الأوروبيين والآسيويين الشرقيين، وما إذا كان تأثير الوضع العرقي مختلفًا بين الحالتين. يُظهر معامل A تأثير العرق على Y في الحالة الضابطة، بينما يُظهر معامل B تأثير فرض الحالة التجريبية على المشاركين الأمريكيين الأوروبيين.

للتحقق مما إذا كان هناك أي فرق جوهري بين الأمريكيين الأوروبيين والآسيويين الشرقيين في المجموعة التجريبية، يمكننا ببساطة إجراء التحليل مع عكس ترميز متغير المجموعة (0 = تجريبي، 1 = ضابط)، بحيث يمثل معامل العرق تأثير العرق على Y في المجموعة التجريبية. وبالمثل، إذا أردنا معرفة ما إذا كان للعلاج تأثير على المشاركين من الآسيويين الشرقيين، فيمكننا عكس ترميز متغير العرق (0 = آسيويون شرقيون، 1 = أمريكيون أوروبيون).

إذا كان المتغير المستقل الأول متغيرًا فئويًا (مثل الجنس) والثاني متغيرًا مستمرًا (مثل درجات مقياس الرضا عن الحياة)، فإن b1 يمثل الفرق في المتغير التابع بين الذكور والإناث عندما يكون الرضا عن الحياة صفرًا. مع ذلك، فإن _{درجة الصفر في مقياس الرضا عن الحياة لا معنى لها لأن نطاق الدرجات يتراوح بين 7 و35 .} هنا يأتي دور التوسيط. إذا طرحنا متوسط ​​درجة مقياس الرضا عن الحياة للعينة من درجة كل مشارك، فإن متوسط ​​درجة مقياس الرضا عن الحياة المُوسَّطة الناتجة يساوي صفرًا. عند إعادة إجراء التحليل، يمثل b1 الآن الفرق بين الذكور والإناث عند مستوى متوسط ​​درجة مقياس الرضا عن الحياة للعينة.

أوصى كوهين وآخرون (2003) باستخدام الطريقة التالية لدراسة التأثير البسيط للجنس على المتغير التابع ( Y ) عند ثلاثة مستويات للمتغير المستقل المستمر: مرتفع (انحراف معياري واحد أعلى من المتوسط)، ومتوسط ​​(عند المتوسط)، ومنخفض (انحراف معياري واحد أسفل المتوسط). ^{[ 7 ]} إذا لم تكن قيم المتغير المستمر موحدة، فيمكن حساب هذه القيم الثلاث ببساطة عن طريق إضافة أو طرح انحراف معياري واحد من القيم الأصلية؛ أما إذا كانت قيم المتغير المستمر موحدة، فيمكن حساب القيم الثلاث كما يلي: مرتفع = القيمة الموحدة ناقص 1، متوسط ​​(المتوسط ​​= 0)، منخفض = القيمة الموحدة زائد 1. بعد ذلك، يمكن استكشاف تأثيرات الجنس على المتغير التابع ( Y ) عند المستويات المرتفعة والمتوسطة والمنخفضة لدرجة مقياس الرضا عن الحياة (SWLS). وكما هو الحال مع متغيرين مستقلين فئويين، يمثل b² تأثير درجة مقياس الرضا عن الحياة (SWLS ₎ على المتغير التابع للإناث. ومن خلال عكس ترميز متغير الجنس، يمكن الحصول على تأثير درجة مقياس الرضا عن الحياة (SWLS) على المتغير التابع للذكور.

البرمجة في الانحدار المعتدل

عند التعامل مع المتغيرات الفئوية، مثل المجموعات العرقية والمعالجات التجريبية، كمتغيرات مستقلة في الانحدار المُعدَّل، يلزم ترميز هذه المتغيرات بحيث يُمثل كل رمز حالةً محددةً للمتغير الفئوي. توجد ثلاث طرق أساسية للترميز: ترميز المتغيرات الصورية، وترميز التباين، وترميز التأثيرات. فيما يلي مقدمة لهذه الأنظمة. ^{[ 8 ] [ 9 ]}

يقارن الترميز الوهمي مجموعة مرجعية (حالة محددة مثل مجموعة التحكم في التجربة) مع كل مجموعة من المجموعات التجريبية الأخرى. في هذه الحالة، يكون التقاطع${\displaystyle b_{0}={\bar {Y}}_{\text{reference}}}$يمثل متوسط ​​المجموعة المرجعية. كل معامل انحدار غير معياري${\displaystyle b_{A}={\bar {Y}}_{A}-{\bar {Y}}_{\text{reference}}}$يمثل الفرق في متوسط ​​المتغير التابع بين مجموعة العلاج والمجموعة المرجعية. نظام الترميز هذا مشابه لتحليل التباين (ANOVA).

يستكشف ترميز التباين سلسلة من التباينات المتعامدة (مقارنات المجموعات). نقطة التقاطع${\displaystyle b_{0}={\overline {{\bar {Y}}_{1\dots n}}}}$هو المتوسط ​​غير المرجح لمتوسطات المجموعات الفردية. معامل الانحدار غير المعياري${\displaystyle b_{A,B}={\bar {Y}}_{B}-{\bar {Y}}_{A}}$يمثل هذا الفرق بين مجموعتين. يُعد نظام الترميز هذا مناسبًا عندما يكون لدى الباحثين فرضية مسبقة بشأن الاختلافات المحددة بين متوسطات المجموعات.

يُستخدم ترميز التأثيرات عندما لا توجد مجموعة مرجعية أو تباينات متعامدة. التقاطع${\displaystyle b_{0}}$هو المتوسط ​​العام (متوسط ​​جميع الحالات). معامل الانحدار${\displaystyle b_{A}={\bar {Y}}_ {A} - {\overline {{\bar {Y}}_{1\dots n}}}}$هو الفرق بين متوسط ​​مجموعة واحدة ومتوسط ​​جميع متوسطات المجموعات. يُعد نظام الترميز هذا مناسبًا عندما تمثل المجموعات فئات طبيعية.

إذا كان كلا المتغيرين المستقلين متصلين، فمن المفيد لتفسير البيانات إما توسيط أو توحيد المتغيرين المستقلين X و Z. (يتضمن التوسيط طرح متوسط ​​درجة العينة الكلية من الدرجة الأصلية؛ أما التوحيد فيتضمن نفس العملية متبوعة بالقسمة على الانحراف المعياري الكلي للعينة). من خلال توسيط أو توحيد المتغيرات المستقلة، يمكن تفسير معامل X أو Z على أنه تأثير ذلك المتغير على Y عند مستوى المتوسط ​​للمتغير المستقل الآخر. ^{[ 10 ]}

لتحليل تأثير التفاعل، من المفيد غالبًا رسم تأثير X على Y عند قيم منخفضة وعالية لـ Z (يفضل البعض رسم التأثير أيضًا عند قيم متوسطة لـ Z ، ولكن هذا ليس ضروريًا). عادةً ما تُختار قيم Z التي تقع على بُعد انحراف معياري واحد أعلى وأسفل المتوسط، ولكن يمكن استخدام أي قيم مناسبة (وفي بعض الحالات توجد قيم أكثر دلالة للاختيار). يُرسم المخطط عادةً بتقييم قيم Y عند قيم عالية ومنخفضة لكل من X و Z ، وإنشاء خطين لتمثيل تأثير X على Y عند هاتين القيمتين لـ Z. أحيانًا يُستكمل ذلك بتحليل الميل البسيط، الذي يحدد ما إذا كان تأثير X على Y ذا دلالة إحصائية عند قيم معينة لـ Z. إحدى التقنيات الشائعة لتحليل الميل البسيط هي طريقة جونسون-نيمان. ^{[ 11 ]} توجد أدوات متنوعة على الإنترنت لمساعدة الباحثين في رسم وتفسير مثل هذه التفاعلات الثنائية. ^{[ 12 ]} 

تنطبق مبادئ التفاعلات الثنائية عندما نرغب في استكشاف التفاعلات الثلاثية أو التفاعلات ذات المستوى الأعلى. على سبيل المثال، إذا كان لدينا تفاعل ثلاثي بين A و B و C ، فستكون معادلة الانحدار كما يلي:

${\displaystyle Y=b_{0}+b_{1}A+b_{2}B+b_{3}C+b_{4}A\cdot B+b_{5}A\cdot C+b_{6}B\cdot C+b_{7}A\cdot B\cdot C+\varepsilon .}$

تجدر الإشارة إلى أن موثوقية الحدود ذات الرتبة الأعلى تعتمد على موثوقية الحدود ذات الرتبة الأدنى. على سبيل المثال، إذا كانت موثوقية المتغير A هي 0.70، وموثوقية المتغير B هي 0.80، ومعامل ارتباطهما r  =  0.2، فإن موثوقية متغير التفاعل A  * B هي ${\displaystyle ((0.7\times 0.8)+0.2^{2})/(1+0.2^{2})=0.577}$[ ^{13 ] في هذه الحالة، يؤدي انخفاض موثوقية حد التفاعل إلى انخفاض القدرة الإحصائية} ؛ لذا، قد لا نتمكن من رصد تأثيرات التفاعل بين A وB الموجودة فعليًا. ويكمن حل هذه المشكلة في استخدام مقاييس عالية الموثوقية لكل متغير مستقل.

^{من بين التحذيرات الأخرى المتعلقة بتفسير تأثيرات التفاعل ،} أنه عندما يكون المتغير A والمتغير B مرتبطين ارتباطًا وثيقًا، فإن الحد A  * B سيكون مرتبطًا ارتباطًا وثيقًا بالمتغير A² المُهمل ؛ وبالتالي، فإن ما يبدو أنه تأثير تعديل هام قد يكون في الواقع تأثيرًا غير خطي هام للمتغير A وحده. في هذه الحالة، يجدر اختبار نموذج انحدار غير خطي بإضافة حدود غير خطية في المتغيرات الفردية إلى تحليل الانحدار المُعدَّل لمعرفة ما إذا كانت التفاعلات لا تزال ذات دلالة إحصائية. إذا كان تأثير التفاعل A * B لا يزال ذا دلالة إحصائية، فسنكون أكثر ثقة في القول بوجود تأثير تعديل بالفعل؛ ومع ذلك، إذا لم يعد تأثير التفاعل ذا دلالة إحصائية بعد إضافة الحد غير الخطي، فسنكون أقل يقينًا بشأن وجود تأثير تعديل، وسيُفضَّل النموذج غير الخطي لأنه أكثر اقتصادًا. 

تميل تحليلات الانحدار المُعدَّل أيضًا إلى تضمين متغيرات إضافية، تُصنَّف كمتغيرات مُصاحبة غير ذات أهمية. مع ذلك، قد يُؤدي وجود هذه المتغيرات المُصاحبة إلى تأثيرات زائفة في الحالتين التاليتين: (1) عندما يكون المتغير المُصاحب ( C ) مرتبطًا بأحد المتغيرات الأساسية محل الاهتمام (مثل المتغير A أو B ) ، أو (2) عندما يكون المتغير المُصاحب نفسه مُعدِّلًا للارتباط بين A أو B مع Y. ^{[ 14 ] [ 15 ] [ 16 ]} يكمن الحل في تضمين حدود تفاعل إضافية في النموذج، للتفاعل بين كل مُتغير مُربك والمتغيرات الأساسية كما يلي:

${\displaystyle Y=b_{0}+b_{1}A+b_{2}B+b_{3}C+b_{4}A\cdot B+b_{5}A\cdot C+b_{6}B\cdot C+\varepsilon }$