مخطط الوحدات

📅 آخر تحديث: ٣ أغسطس ٢٠٢٦
✍️ نُشر في: ٣ أغسطس ٢٠٢٦
الموسوعة الحرة

في الهندسة الجبرية ، يُعرف مخطط المعاملات بأنه فضاء معاملات يندرج ضمن فئة المخططات التي طورها عالم الرياضيات الفرنسي ألكسندر غروتينديك . يمكن حل بعض مسائل المعاملات المهمة في الهندسة الجبرية بشكل مُرضٍ باستخدام نظرية المخططات وحدها، بينما يتطلب حل مسائل أخرى توسيعًا لمفهوم "الكائن الهندسي" ( الفضاءات الجبرية ، والحزم الجبرية لمايكل أرتين ).

تاريخ

فتحت أعمال غروتينديك وديفيد مامفورد (انظر نظرية الثوابت الهندسية ) آفاقًا جديدة في هذا المجال في أوائل الستينيات. يتمثل النهج الجبري والتجريدي لحل مسائل المعاملات في صياغتها كمسألة دالة قابلة للتمثيل ، ثم تطبيق معيار يحدد الدوال القابلة للتمثيل للمخططات. عندما ينجح هذا النهج المنهجي، تكون النتيجة مخطط معاملات دقيق . تحت تأثير أفكار هندسية أكثر، يكفي إيجاد مخطط يُعطي النقاط الهندسية الصحيحة . وهذا أقرب إلى الفكرة الكلاسيكية القائلة بأن مسألة المعاملات هي التعبير عن البنية الجبرية التي تأتي بشكل طبيعي مع مجموعة (مثل فئات التشاكل للمنحنيات الإهليلجية ).

والنتيجة هي مخطط معاملات تقريبي . ويكمن قصوره، باختصار، في أنه لا يضمن لمجموعات الكائنات ما هو متأصل في مخطط المعاملات الدقيق. وكما أشار مامفورد في كتابه " نظرية الثوابت الهندسية" ، قد يرغب المرء في الحصول على النسخة الدقيقة، ولكن ثمة مشكلة تقنية ( بنية المستوى وغيرها من "العلامات") يجب معالجتها للحصول على سؤال لديه فرصة للإجابة عليه.

أثبت تيروهيسا ماتسوساكا نتيجة تُعرف الآن باسم نظرية ماتسوساكا الكبرى ، والتي تحدد شرطًا ضروريًا في مسألة المعاملات لوجود مخطط معاملات خشن. [ 1 ]

أمثلة

أثبت مامفورد أنه إذا كانت g > 1، فإنه يوجد مخطط معياري خشن للمنحنيات الملساء من النوع g ، وهو شبه إسقاطي . [ 2 ] ووفقًا لدراسة استقصائية حديثة أجراها يانوس كولار ، فإنه "يمتلك هندسة جوهرية غنية ومثيرة للاهتمام ترتبط بمسائل رئيسية في العديد من فروع الرياضيات والفيزياء النظرية ". [ 3 ] وقد طرح براونغاردت سؤالًا حول إمكانية تعميم نظرية بيلي على أصناف ذات أبعاد أعلى على حقل الأعداد الجبرية ، مع صياغة مفادها أنها ثنائية نسبية بشكل عام بالنسبة لتغطية إيتالية منتهية لفضاء معياري للمنحنيات. [ 4 ]

باستخدام مفهوم حزمة المتجهات المستقرة ، تم إثبات وجود مخططات المعاملات التقريبية لحزم المتجهات على أي تنوع عقدي أملس، وأنها شبه إسقاطية: يستخدم هذا البيان مفهوم شبه الاستقرار . [ 5 ] من الممكن، في الفيزياء الرياضية ، تحديد فضاء المعاملات التقريبية لحزم الإنستانتون الخاصة مع كائنات في الهندسة الكلاسيكية للقطوع المخروطية، في حالات معينة. [ 6 ]

مراجع

ملحوظات

  1. ↑ كوفاتش، إس. جيه. (2009). "دليل الشباب لمعاملات الأصناف متعددة الأبعاد" . الهندسة الجبرية، سياتل 2005: معهد البحوث الصيفي لعام 2005، 25 يوليو - 12 أغسطس 2005، جامعة واشنطن . الجمعية الرياضية الأمريكية. ص 711-743 . ISBN  978-0-8218-4703-9.الصفحة 13 من ملف PDF
  2. ↑ هاوزر، هيرفيغ؛ ليبمان، جوزيف ؛ أورت، فرانس ؛ كويروس، أدولفو (2012-12-06). "10.4 مخططات المعاملات الخشنة" . حل المفردات: كتاب بحثي تكريمًا لأوسكار زاريسكي. استنادًا إلى الدورات التدريبية التي أُلقيت في أسبوع العمل في أوبرغورغل، النمسا، 7-14 سبتمبر 1997. بيركهاوزر. ص 83. ISBN  9783034883993تم الاطلاع عليه بتاريخ 22 أغسطس 2017 .
  3. ↑ كولار، يانوس (20 يوليو 2017). "1.1. تاريخ موجز لمسائل المعاملات: النظرية 1.14". عائلات الأصناف من النوع العام (ملف PDF) . ص 11. 
  4. ↑ غولدريغ، و. (2012). "المواضيع الموحدة التي اقترحتها نظرية بيلي". نظرية الأعداد والتحليل والهندسة . سبرينغر. ص 181-214. انظر الصفحة 203. doi : 10.1007/978-1-4614-1260-1_10 . ISBN  978-1-4614-1260-1.
  5. ↑ هاريس، جو (1987). "المنحنيات ومعاملاتها" . الهندسة الجبرية: بودوين 1985. الجمعية الرياضية الأمريكية. ص 99-143. انظر الصفحة 103. ISBN  978-0-8218-1480-2.
  6. ^ بوهمر، دبليو. تروتمان، ج. (2006). ""حزم انستانتون الخاصة ومنحنيات البونسيليت"" . في جريويل، جيرت مارتن؛ تراوتمان، غونتر (محرران). التفردات، وتمثيل الجبر، وحزم المتجهات: وقائع ندوة عقدت في لامبرخت/بفالز، Fed.Rep. ألمانيا، 13-17 ديسمبر 1985 . ملاحظات محاضرة في الرياضيات. المجلد. 1273. سبرينغر. الصفحات من 325 إلى 336. دوى : 10.1007/BFb0078852 . رقم ISBN   978-3-540-47851-5.