مخطط (رياضيات)

ليكن k حقلاً مغلقاً جبرياً. الفضاء الأفيني${\displaystyle {\bar {X}}=\mathbb {A} _{k}^{n}}$هو التنوع الجبري لجميع النقاط${\displaystyle a=(a_{1},\ldots ,a_{n})}$بإحداثيات في k ؛ حلقة إحداثياتها هي حلقة كثيرات الحدود${\displaystyle R=k[x_{1},\ldots ,x_{n}]}$المخطط المقابل${\displaystyle X=\mathrm {Spec} (R)}$هو فضاء طوبولوجي ذو طوبولوجيا زاريسكي، ونقاطه المغلقة هي المُثُل القصوى${\displaystyle {\mathfrak {m}}_{a}=(x_{1}-a_{1},\ldots ,x_{n}-a_{n})}$، مجموعة كثيرات الحدود التي تتلاشى عند${\displaystyle a}$(هذه الطوبولوجيا متراصة ومنفصلة من النوع _T1 ، ولكنها ليست من نوع هاوسدورف ). يحتوي المخطط أيضًا على نقطة غير مغلقة لكل مثالي أولي غير أقصى.${\displaystyle {\mathfrak {p}}\subset R}$، الذي يحدد اختفاؤه صنفًا فرعيًا غير قابل للاختزال${\displaystyle {\bar {V}}={\bar {V}}({\mathfrak {p}})\subset {\bar {X}}}$الإغلاق الطوبولوجي لنقطة المخطط${\displaystyle {\mathfrak {p}}}$هو المخطط الفرعي${\displaystyle V({\mathfrak {p}})=\{{\mathfrak {q}}\in X\ \ {\text{with}}\ \ {\mathfrak {p}}\subset {\mathfrak {q}}\}}$، والتي تشمل جميع النقاط المغلقة للتنوع الفرعي، أي${\displaystyle {\mathfrak {m}}_{a}}$مع${\displaystyle a\in {\bar {V}}}$أو ما يعادل ذلك${\displaystyle {\mathfrak {p}}\subset {\mathfrak {m}}_{a}}$. المخطط الفرعي المغلق له حلقة إحداثيات${\displaystyle R/{\mathfrak {p}}}$: إنه${\displaystyle V({\mathfrak {p}})\cong \mathop {\rm {Spec}} (R/{\mathfrak {p}})}$، منذ المُثُل العليا${\displaystyle {\bar {\mathfrak {q}}}\subset R/{\mathfrak {p}}}$هي في تقابل طبيعي مع${\displaystyle {\mathfrak {p}}\subset {\mathfrak {q}}\subset R}$.

الخطة${\displaystyle X}$يمتلك أساسًا من المجموعات الفرعية المفتوحة المعطاة بواسطة مكملات الأسطح الفائقة، $${\displaystyle U_{f}=X\setminus V(f)=\{{\mathfrak {p}}\in X\ \ {\text{with}}\ \ f\notin {\mathfrak {p}}\}}$$ بالنسبة لكثيرات الحدود غير القابلة للاختزال${\displaystyle f\in R}$هذه المجموعة مزودة بحلقة إحداثياتها الخاصة بالدوال المنتظمة $${\displaystyle {\mathcal {O}}_{X}(U_{f})=R[f^{-1}]=\left\{{\tfrac {r}{f^{m}}}\ \ {\text{for}}\ \ r\in R,\ m\in \mathbb {Z} _{\geq 0}\right\}.}$$ يُنتج هيكل الحزمة على هذا الغطاء المفتوح حزمة فريدة من نوعها${\displaystyle {\mathcal {O}}_{X}}$مما يعطي الحلقة المعتادة من الدوال الكسرية المنتظمة على مجموعة مفتوحة معينة${\displaystyle U}$.

كل عنصر من عناصر الحلقة${\displaystyle g=g(x_{1},\ldots ,x_{n})\in R}$، دالة متعددة الحدود على${\displaystyle {\bar {X}}}$كما يحدد دالة على نقاط المخطط${\displaystyle X}$قيمتها عند${\displaystyle {\mathfrak {p}}}$يقع في حلقة القسمة${\displaystyle R/{\mathfrak {p}}}$، الحلقة المتبقية . نُعرّف${\displaystyle g({\mathfrak {p}})}$كصورة لـ${\displaystyle g}$تحت الخريطة الطبيعية${\displaystyle R\to R/{\mathfrak {p}}}$مثال مثالي أقصى${\displaystyle {\mathfrak {m}}_{a}}$يعطي حقل البقايا${\displaystyle k({\mathfrak {m}}_{a})=R/{\mathfrak {m}}_{a}\cong k}$، مع التماثل الطبيعي${\displaystyle x_{i}\mapsto a_{i}}$، لهذا السبب${\displaystyle g({\mathfrak {m}}_{a})}$يتوافق مع القيمة الأصلية${\displaystyle g(a)}$.

الموضع المتلاشي لكثير الحدود${\displaystyle f=f(x_{1},\ldots ,x_{n})}$هو نوع فرعي من الأسطح الفائقة${\displaystyle {\bar {V}}(f)\subset \mathbb {A} _{k}^{n}}$، ويسمى أيضًا قاسمًا ، وهو المقابل للمثالي الرئيسي${\displaystyle (f)\subset R}$مع المخطط الفرعي المغلق المقابل${\textstyle V(f)=\operatorname {Spec} (R/(f))}$على سبيل المثال، إذا اعتبرنا k عددًا مركبًا أو حقيقيًا، فإن المعادلة${\displaystyle x^{2}=y^{2}(y+1)}$يُعرّف منحنى مكعبًا عقديًا في المستوى الأفيني${\displaystyle \mathbb {A} _{k}^{2}}$، بما يتوافق مع المخطط${\displaystyle V=\operatorname {Spec} k[x,y]/(x^{2}-y^{2}(y+1))}$. تفردها عند${\displaystyle a=(0,0)}$يمكن تحليلها من خلال مخروطها المماس ، وهو زوج من الخطوط القطرية${\displaystyle y=\pm x}$محدد بواسطة${\displaystyle x^{2}-y^{2}=0}$، الحدود ذات الدرجة الأدنى من${\displaystyle f(x,y)=x^{2}-y^{2}-y^{3}}$؛ يمتلك هذا حلقة إحداثيات معطاة بواسطة الحلقة المتدرجة المرتبطة به${\displaystyle R/(f)}$في الوضع المثالي${\displaystyle {\mathfrak {m}}_{0}=(x,y)}$:$${\displaystyle {\begin{aligned}\mathop {\rm {Grad}} (R/(f),{\mathfrak {m}}_{0})&={\frac {R}{\ (f)+{\mathfrak {m}}_{0}}}\oplus {\frac {{\mathfrak {m}}_{0}}{(f)+{\mathfrak {m}}_{0}^{2}}}\oplus {\frac {{\mathfrak {m}}_{0}^{2}}{(f)+{\mathfrak {m}}_{0}^{3}}}\oplus \cdots \\&={\frac {k[x,y]}{(x,y)}}\oplus {\frac {(x,y)}{(x^{2}\!,\,xy,\,y^{2})}}\oplus {\frac {(x^{2}\!,\,xy,\,y^{2})}{(x^{2}{-}y^{2}{-}y^{3}\!,\,x^{3}\!,\,x^{2}y,\,xy^{2}\!,\,y^{3})}}\oplus \cdots \\&\cong \ {\frac {k[x,y]}{(x^{2}-y^{2})}}\,.\end{aligned}}}$$

حلقة الأعداد الصحيحة${\displaystyle \mathbb {Z} }$يمكن اعتبارها حلقة الإحداثيات الخاصة بالمخطط${\displaystyle Z=\operatorname {Spec} (\mathbb {Z} )}$تحتوي طوبولوجيا زاريسكي على نقاط مغلقة${\displaystyle {\mathfrak {m}}_{p}=(p)}$، المبادئ الأساسية للأعداد الأولية${\displaystyle p\in \mathbb {Z} }$بالإضافة إلى النقطة العامة${\displaystyle {\mathfrak {p}}_{0}=(0)}$، وهو المثالي الصفري، الذي يمثل إغلاقه المخطط بأكمله . المجموعات المغلقة هي مجموعات منتهية، والمجموعات المفتوحة هي مكملاتها، أي المجموعات المنتهية؛ أي مجموعة غير منتهية من النقاط كثيفة.

مجموعة الأساس المفتوحة المقابلة للعنصر غير القابل للاختزال${\displaystyle p\in \mathbb {Z} }$يكون${\displaystyle U_{p}=Z\smallsetminus \{{\mathfrak {m}}_{p}\}}$، مع حلقة إحداثيات${\displaystyle {\mathcal {O}}_{Z}(U_{p})=\mathbb {Z} [p^{-1}]=\{{\tfrac {n}{p^{m}}}\ {\text{for}}\ n\in \mathbb {Z} ,\ m\geq 0\}}$بالنسبة للمجموعة المفتوحة${\displaystyle U=Z\smallsetminus \{{\mathfrak {m}}_{p_{1}},\ldots ,{\mathfrak {m}}_{p_{\ell }}\}}$وهذا يحفز${\displaystyle {\mathcal {O}}_{Z}(U)=\mathbb {Z} [p_{1}^{-1},\ldots ,p_{\ell }^{-1}]}$.

رقم${\displaystyle n\in \mathbb {Z} }$يتوافق مع دالة على المخطط${\displaystyle Z}$، دالة قيمتها عند${\displaystyle {\mathfrak {m}}_{p}}$يقع في مجال البقايا${\displaystyle k({\mathfrak {m}}_{p})=\mathbb {Z} /(p)=\mathbb {F} _{p}}$، الحقل المنتهي للأعداد الصحيحة بتردد${\displaystyle p}$: يتم تعريف الدالة بواسطة${\displaystyle n({\mathfrak {m}}_{p})=n\ {\text{mod}}\ p}$وأيضًا${\displaystyle n({\mathfrak {p}}_{0})=n}$في حلقة البقايا العامة${\displaystyle \mathbb {Z} /(0)=\mathbb {Z} }$الوظيفة${\displaystyle n}$يتم تحديده من خلال قيمه عند النقاط${\displaystyle {\mathfrak {m}}_{p}}$فقط، حتى نتمكن من التفكير في${\displaystyle n}$باعتبارها نوعًا من "الدوال المنتظمة" على النقاط المغلقة، فهي نوع خاص جدًا بين الدوال العشوائية${\displaystyle f}$مع${\displaystyle f({\mathfrak {m}}_{p})\in \mathbb {F} _{p}}$.

لاحظ أن النقطة${\displaystyle {\mathfrak {m}}_{p}}$هو موضع تلاشي الدالة${\displaystyle n=p}$، النقطة التي تكون عندها قيمة${\displaystyle p}$يساوي صفرًا في حقل البواقي. حقل "الدوال الكسرية" على${\displaystyle Z}$هو حقل الكسر لحلقة البقايا العامة،${\displaystyle k({\mathfrak {p}}_{0})=\operatorname {Frac} (\mathbb {Z} )=\mathbb {Q} }$جزء${\displaystyle a/b}$يحتوي على "أقطاب" عند النقاط${\displaystyle {\mathfrak {m}}_{p}}$المقابل للقواسم الأولية للمقام.

وهذا يعطي أيضاً تفسيراً هندسياً لفرضية بيزو، التي تنص على أنه إذا كانت الأعداد الصحيحة${\displaystyle n_{1},\ldots ,n_{r}}$إذا لم يكن لها عامل أولي مشترك، فإن الأعداد الصحيحة${\displaystyle a_{1},\ldots ,a_{r}}$مع${\displaystyle a_{1}n_{1}+\cdots +a_{r}n_{r}=1}$هندسياً، هذه نسخة من نظرية هيلبرت الضعيفة للأصفار للمخطط${\displaystyle Z}$: إذا كانت الدوال${\displaystyle n_{1},\ldots ,n_{r}}$ليس لديهم نقاط تلاشي مشتركة${\displaystyle {\mathfrak {m}}_{p}}$في${\displaystyle Z}$ثم يقومون بتوليد المثالي الواحد${\displaystyle (n_{1},\ldots ,n_{r})=(1)}$في حلقة الإحداثيات${\displaystyle \mathbb {Z} }$في الواقع، يمكننا النظر في المصطلحات${\displaystyle \rho _{i}=a_{i}n_{i}}$باعتبارها تشكل نوعًا من تقسيم الوحدة التابع لتغطية${\displaystyle Z}$بواسطة المجموعات المفتوحة${\displaystyle U_{i}=Z\smallsetminus V(n_{i})}$.

الفضاء الأفيني${\displaystyle \mathbb {A} _{\mathbb {Z} }^{1}=\{a\ {\text{for}}\ a\in \mathbb {Z} \}}$هو نوع ذو حلقة إحداثيات${\displaystyle \mathbb {Z} [x]}$، وهي كثيرات الحدود ذات المعاملات الصحيحة. المخطط المقابل هو${\displaystyle Y=\operatorname {Spec} (\mathbb {Z} [x])}$، التي تمثل نقاطها جميع المثل العليا${\displaystyle {\mathfrak {p}}\subset \mathbb {Z} [x]}$النقاط المغلقة هي مثاليات عظمى من الشكل${\displaystyle {\mathfrak {m}}=(p,f(x))}$، أين${\displaystyle p}$هو عدد أولي، و${\displaystyle f(x)}$هي متعددة حدود غير ثابتة ليس لها عامل صحيح وهي غير قابلة للاختزال بتردد${\displaystyle p}$وهكذا، يمكننا أن نتصور${\displaystyle Y}$باعتبارها ثنائية الأبعاد، مع "اتجاه مميز" يتم قياسه بواسطة الإحداثي${\displaystyle p}$و"اتجاه مكاني" بإحداثيات${\displaystyle x}$.

تضمين الحلقة${\displaystyle \mathbb {Z} \subset \mathbb {Z} [x]}$يتوافق مع إسقاط "المحور p"${\displaystyle \mathop {\rm {Spec}} (\mathbb {Z} [x])\rightarrow \mathop {\rm {Spec}} (\mathbb {Z} )}$أليافها هي "الخطوط العمودية"${\displaystyle V(p)}$يحتوي على النقاط المغلقة${\displaystyle {\mathfrak {m}}=(p,f(x))}$للجميع${\displaystyle f(x)}$والتي هي تعديل غير قابل للاختزال${\displaystyle p}$هذه هي "الخصائص المميزة"${\displaystyle p}$نقاط المخطط. لا يوجد إسقاط "محور س" مطابق، حيث أن "الخطوط الأفقية" على سبيل المثال${\displaystyle x=a}$و${\displaystyle x=b}$، المخططات الفرعية${\displaystyle V(x-a)}$و${\displaystyle V(x-b)}$تتقاطع هذه النقاط أينما${\displaystyle a\equiv b\!\!\!\!\mod p}$لدينا أيضاً "الخط القطري".${\displaystyle V(bx-a)}$المقابل للإحداثي النسبي${\displaystyle x=a/b}$، والتي لا تتقاطع${\displaystyle V(p)}$لأولئك${\displaystyle p}$الذي يقسم${\displaystyle b}$.

توجد أيضًا مخططات فرعية "أفقية" ذات درجة أعلى مثل:

${\displaystyle V(x^{2}+1)=\mathop {\rm {Spec}} (\mathbb {Z} [x]/(x^{2}{+}1))=\mathop {\rm {Spec}} (\mathbb {Z} [i]),}$

طيف الأعداد الصحيحة الغاوسية${\displaystyle \mathbb {Z} [i]}$والامتداد التربيعي${\displaystyle \mathbb {Z} \subset \mathbb {Z} [i]}$يتوافق مع غطاء مزدوج متفرع${\displaystyle \mathop {\rm {Spec}} (\mathbb {Z} [i])\to \mathop {\rm {Spec}} (\mathbb {Z} )}$،${\displaystyle {\mathfrak {p}}\mapsto (p)={\mathfrak {p}}\cap \mathbb {Z} }$الألياف فوق${\displaystyle (p)}$يتكون من${\displaystyle x}$القيم التي هي جذور${\displaystyle x^{2}+1}$modulo${\displaystyle p}$والتي قد تنقسم أو تتفرع أو تبقى خاملة . على سبيل المثال، في${\displaystyle p=5}$ينقسم الليف إلى نقطتين${\displaystyle x=\pm 2\ {\text{mod}}\ 5}$، منذ${\displaystyle (5,x^{2}+1)=(5,x+2)(5,x-2)}$في${\displaystyle \mathbb {Z} [x]}$أو بصورة مكافئة، يمكن تحليل العدد الأولي النسبي 5 إلى أعداد أولية غاوسية.${\displaystyle 5=(i+2)(i-2)}$. في${\displaystyle p=2}$، نحصل على نقطة مزدوجة متفرعة واحدة${\displaystyle x=1\ {\text{mod}}\ 2}$، منذ${\displaystyle (2,x^{2}+1)=(2,(x-1)^{2})}$أو${\displaystyle 2=i(1+i)^{2}}$مع${\displaystyle i}$وحدة . في${\displaystyle p=3}$الألياف خاملة، بمعنى${\displaystyle {\mathfrak {m}}=(3,x^{2}+1)}$هو مثالي أولي يتوافق مع${\displaystyle x=\pm {\sqrt {-1}}}$في حقل إضافي${\displaystyle \mathbb {F} _{3}\subset \mathbb {F} _{9}}$بما أننا لا نستطيع التمييز بين هذه القيم (فهي متناظرة تحت زمرة غالوا )، ينبغي أن نتصور${\displaystyle V(3,x^{2}+1)}$كنقطتين ملتحمتين. عموماً،${\displaystyle V(x^{2}+1)}$هو منحنى من الدرجة الثانية، وله بمعنى ما ليف مزدوج فوق كل${\displaystyle (p)}$لا تظهر جميع الامتدادات المنتهية للأعداد الصحيحة بهذه الطريقة كحاصل قسمة لـ${\displaystyle \mathbb {Z} [x]}$، فقط تلك التي يتم إنشاؤها بواسطة عنصر واحد .

حقل البقايا عند${\displaystyle {\mathfrak {m}}=(p,f(x))}$يكون${\displaystyle k({\mathfrak {m}})=\mathbb {Z} [x]/{\mathfrak {m}}=\mathbb {F} _{p}[x]/(f(x))\cong \mathbb {F} _{p}(\alpha )}$، امتداد ميداني لـ${\displaystyle \mathbb {F} _{p}}$مجاور لجذر${\displaystyle x=\alpha }$ل${\displaystyle f(x)}$هذا حقل منتهٍ مع${\displaystyle p^{d}}$عناصر،${\displaystyle d=\operatorname {deg} (f)}$. متعدد الحدود${\displaystyle g(x)\in \mathbb {Z} [x]}$يتوافق مع دالة على المخطط${\displaystyle Y}$مع القيم${\displaystyle g({\mathfrak {m}})=g\ \mathrm {mod} \ {\mathfrak {m}}}$، إنه${\displaystyle g({\mathfrak {m}})=g(\alpha )\in \mathbb {F} _{p}(\alpha )}$مرة أخرى كل${\displaystyle g(x)\in \mathbb {Z} [x]}$يتم تحديده من خلال قيمه${\displaystyle g({\mathfrak {m}})}$عند النقاط المغلقة، و${\displaystyle V(p)}$هو موضع تلاشي كثير الحدود الثابت${\displaystyle g(x)=p}$المخطط الفرعي المغلق${\displaystyle V(f(x))}$يحتوي على النقاط في كل خاصية${\displaystyle p}$بما يتوافق مع مدارات غالوا لجذور${\displaystyle f(x)}$في الإغلاق الجبري${\displaystyle {\overline {\mathbb {F} }}_{p}}$.

الخطة${\displaystyle Y=\operatorname {Spec} (\mathbb {Z} [x])}$ليس هذا صحيحًا ، لذا قد لا تتقاطع أزواج المنحنيات بالعدد المتوقع . هذه عقبة رئيسية أمام تحليل المعادلات الديوفانتية باستخدام الأدوات الهندسية . تتغلب نظرية أراكيلوف على هذه العقبة من خلال تكثيف المخططات الحسابية الأفينية، وإضافة نقاط عند اللانهاية تتوافق مع التقييمات الأرخميدية .

إذا نظرنا إلى متعددة الحدود${\displaystyle f\in \mathbb {Z} [x,y]}$ثم المخطط الأفيني${\displaystyle X=\operatorname {Spec} (\mathbb {Z} [x,y]/(f))}$له شكل قانوني لـ${\displaystyle \operatorname {Spec} \mathbb {Z} }$ويُطلق عليه اسم السطح الحسابي . الألياف${\displaystyle X_{p}=X\times _{\operatorname {Spec} (\mathbb {Z} )}\operatorname {Spec} (\mathbb {F} _{p})}$إذن، هي منحنيات جبرية فوق الحقول المنتهية${\displaystyle \mathbb {F} _{p}}$. لو${\displaystyle f(x,y)=y^{2}-x^{3}+ax^{2}+bx+c}$إذا كان منحنى إهليلجيًا ، فإن الألياف الموجودة فوق موضع تمييزه، حيث $${\displaystyle \Delta _{f}=-4a^{3}c+a^{2}b^{2}+18abc-4b^{3}-27c^{2}=0\ {\text{mod}}\ p,}$$جميعها مخططات مفردة. ^{[ 13 ]} على سبيل المثال، إذا${\displaystyle p}$هو عدد أولي و$${\displaystyle X=\operatorname {Spec} {\frac {\mathbb {Z} [x,y]}{(y^{2}-x^{3}-p)}}}$$ثم يكون مميزها${\displaystyle -27p^{2}}$هذا المنحنى شاذ فوق الأعداد الأولية${\displaystyle 3,p}$.

• لأي حلقة تبديلية R وعدد طبيعي n ، الفضاء الإسقاطي${\displaystyle \mathbb {P} _{R}^{n}}$يمكن بناء مخطط عن طريق لصق n + 1 نسخة من الفضاء الأفيني ذي البعد n على R على طول المجموعات الفرعية المفتوحة. هذا هو المثال الأساسي الذي يحفز تجاوز المخططات الأفينية. الميزة الرئيسية للفضاء الإسقاطي على الفضاء الأفيني هي أن${\displaystyle \mathbb {P} _{R}^{n}}$فضاء إسقاطي مركب على R ؛ هذه صيغة جبرية هندسية للتراص. في الواقع، الفضاء الإسقاطي المركب${\displaystyle \mathbb {C} \mathbb {P} ^{n}}$هو فضاء متراص في الطوبولوجيا الكلاسيكية، بينما${\displaystyle \mathbb {C} ^{n}}$ليس كذلك.
• تحدد كثيرة حدود متجانسة f ذات درجة موجبة في حلقة كثيرات الحدود R [ x₀ _, ..., xₙ _] مخططًا فرعيًا مغلقًا f = 0 في الفضاء الإسقاطي${\displaystyle \mathbb {P} _{R}^{n}}$يُطلق عليه اسم السطح الفائق الإسقاطي . من حيث بناء Proj ، يمكن كتابة هذا المخطط الفرعي على النحو التالي$${\displaystyle \operatorname {Proj} R[x_{0},\ldots ,x_{n}]/(f).}$$على سبيل المثال، المخطط الفرعي المغلق x ³ + y ³ = z ³ من${\displaystyle \mathbb {P} _{\mathbb {Q} }^{2}}$هو منحنى إهليلجي فوق الأعداد النسبية .
• الخط ذو الأصلين (على حقل k ) هو المخطط المُعرَّف بالبدء بنسختين من الخط الأفيني على k ، ولصق المجموعتين الجزئيتين المفتوحتين A ¹ − 0 معًا بواسطة دالة التطابق. هذا مثال بسيط على مخطط غير منفصل. على وجه الخصوص، هو ليس خطًا أفينيًا. ^{[ 14 ]}
• أحد الأسباب البسيطة لتجاوز المخططات الأفينية هو أن المجموعة الفرعية المفتوحة من مخطط أفيني لا يشترط أن تكون أفينية. على سبيل المثال، لنفترض${\displaystyle X=\mathbb {A} ^{n}\smallsetminus \{0\}}$لنفترض على الأعداد المركبة${\displaystyle \mathbb {C} }$إذاً، فإن X ليس خطًا تآلفيًا لـ n ≥ 2. (مع ذلك، فإن الخط التآلفي ناقص نقطة الأصل متماثل مع المخطط التآلفي).${\displaystyle \mathrm {Spec} \,\mathbb {C} [x,x^{-1}]}$لإثبات أن X ليس خطيًا، يتم حساب أن كل دالة منتظمة على X تمتد إلى دالة منتظمة على${\displaystyle \mathbb {A} ^{n}}$عندما يكون n ≥ 2: هذا مشابه لفرضية هارتوغز في التحليل المركب، وإن كان إثباته أسهل. أي أن التضمين${\displaystyle f:X\to \mathbb {A} ^{n}}$يُحدث تماثلاً من${\displaystyle O(\mathbb {A} ^{n})=\mathbb {C} [x_{1},\ldots ,x_{n}]}$ل${\displaystyle O(X)}$لو كان X خطيًا، لكان من الممكن أن يكون f تماثلًا، لكن f ليس شاملًا، وبالتالي ليس تماثلًا. لذلك، فإن المخطط X ليس خطيًا. ^{[ 15 ]}
• ليكن k حقلاً. عندئذٍ يكون المخطط${\textstyle \operatorname {Spec} \left(\prod _{n=1}^{\infty }k\right)}$هو مخطط أفيني، وفضاؤه الطوبولوجي الأساسي هو تكثيف ستون-تشيك للأعداد الصحيحة الموجبة (مع الطوبولوجيا المنفصلة). في الواقع، تتطابق المُثُل الأولية لهذه الحلقة تطابقًا تامًا مع المرشحات الفائقة على الأعداد الصحيحة الموجبة، مع المُثُل.${\textstyle \prod _{m\neq n}k}$يتوافق هذا مع المرشح الفائق الرئيسي المرتبط بالعدد الصحيح الموجب n . ^{[ 16 ]} هذا الفضاء الطوبولوجي صفري الأبعاد ، وعلى وجه الخصوص، كل نقطة فيه عبارة عن مكون غير قابل للاختزال . وبما أن المخططات الأفينية شبه متراصة ، فإن هذا مثال على مخطط شبه متراص غير نوثري ذي عدد لا نهائي من المكونات غير القابلة للاختزال. (على النقيض من ذلك، يحتوي المخطط النوثري على عدد محدود فقط من المكونات غير القابلة للاختزال).

ومن المفيد أيضاً النظر في أمثلة التشكلات كأمثلة على المخططات لأنها توضح فعاليتها التقنية في تغليف العديد من موضوعات الدراسة في الهندسة الجبرية والحسابية.