نظرية مور-كولوم

نظرية مور-كولوم هي نموذج رياضي (انظر سطح الخضوع ) يصف استجابة المواد الهشة، مثل الخرسانة أو أكوام الأنقاض، لإجهاد القص والإجهاد العمودي. تتبع معظم المواد الهندسية التقليدية هذه القاعدة في جزء على الأقل من نطاق فشل القص الخاص بها. وبشكل عام، تنطبق هذه النظرية على المواد التي تتجاوز فيها مقاومة الضغط مقاومة الشد بكثير . ^{[ 1 ]}

في الهندسة الجيوتقنية، يتم استخدامها لتحديد قوة القص للتربة والصخور عند إجهادات فعالة مختلفة .

في الهندسة الإنشائية، تُستخدم دائرة مور لتحديد حمل الفشل وزاوية الكسر في الخرسانة والمواد المشابهة. وتُستخدم فرضية كولوم للاحتكاك لتحديد مزيج إجهاد القص والإجهاد العمودي الذي يُسبب كسر المادة. كما تُستخدم دائرة مور لتحديد الإجهادات الرئيسية التي تُنتج هذا المزيج من إجهاد القص والإجهاد العمودي، وزاوية المستوى الذي يحدث فيه ذلك. ووفقًا لمبدأ العمودية، يكون الإجهاد الناتج عند الفشل عموديًا على الخط الذي يصف حالة الكسر.

يمكن إثبات أن المادة التي تفشل وفقًا لفرضية احتكاك كولوم ستُظهر إزاحةً عند الفشل تُشكّل زاويةً مع خط الكسر تساوي زاوية الاحتكاك . وهذا يُتيح تحديد قوة المادة بمقارنة الشغل الميكانيكي الخارجي الناتج عن الإزاحة والحمل الخارجي مع الشغل الميكانيكي الداخلي الناتج عن الانفعال والإجهاد عند خط الفشل. وبحسب قانون حفظ الطاقة، يجب أن يكون مجموع هذين الشغلين صفرًا، مما يُتيح حساب حمل الفشل للمنشأة.

يتمثل أحد التحسينات الشائعة لهذا النموذج في دمج فرضية احتكاك كولوم مع فرضية الإجهاد الرئيسي لرانكين لوصف كسر الانفصال. ^{[ 2 ]} ويُشتق منظور بديل معيار مور-كولوم على أنه فشل التمدد . ^{[ 3 ]}

سُميت نظرية مور-كولوم تكريمًا لتشارلز أوغستان دي كولوم وكريستيان أوتو مور . تمثلت مساهمة كولوم في مقال نُشر عام 1776 بعنوان " Essai sur une application des règles des maximis et minimis à quelques problèmes de statique relatifs à l'architecture ". ^{[ 2 ] [ 4 ]} وقد طور مور صيغة معممة للنظرية في أواخر القرن التاسع عشر. ^{[ 5 ]} ولأن الصيغة المعممة أثرت على تفسير المعيار، ولكن ليس على جوهره، فإن بعض النصوص لا تزال تشير إلى المعيار ببساطة باسم "معيار كولوم . ^{[ 6 ]}

يمثل معيار فشل مور-كولوم ^{[ 7 ]} الغلاف الخطي الذي يتم الحصول عليه من رسم بياني لمقاومة القص للمادة مقابل الإجهاد العمودي المطبق. وتُعبر هذه العلاقة كما يلي:

${\displaystyle \tau =\sigma ~\tan(\phi )+c}$

أين${\displaystyle \tau }$هي قوة القص،${\displaystyle \sigma }$هو الإجهاد الطبيعي،${\displaystyle c}$يمثل تقاطع غلاف الفشل مع${\displaystyle \tau }$المحور، و${\displaystyle \tan(\phi )}$يمثل ميل غلاف الفشل. الكمية${\displaystyle c}$يُطلق عليه غالبًا اسم التماسك والزاوية${\displaystyle \phi }$تُسمى هذه الزاوية بزاوية الاحتكاك الداخلي . يُفترض أن يكون الانضغاط موجبًا في المناقشة التالية. إذا افترضنا أن الانضغاط سالب، فإن${\displaystyle \sigma }$يجب استبدالها بـ${\displaystyle -\sigma }$.

لو${\displaystyle \phi =0}$، يختزل معيار مور-كولوم إلى معيار تريسكا . من ناحية أخرى، إذا${\displaystyle \phi =90^{\circ }}$نموذج مور-كولوم مكافئ لنموذج رانكين. القيم الأعلى لـ${\displaystyle \phi }$غير مسموح به.

من دائرة موهر لدينا $${\displaystyle \sigma =\sigma _{m}-\tau _{m}\sin \phi ~;~~\tau =\tau _{m}\cos \phi }$$ أين $${\displaystyle \tau _{m}={\cfrac {\sigma _{1}-\sigma _{3}}{2}}~;~~\sigma _{m}={\cfrac {\sigma _{1}+\sigma _{3}}{2}}}$$ و${\displaystyle \sigma _{1}}$هو أقصى إجهاد رئيسي و${\displaystyle \sigma _{3}}$هو الحد الأدنى للإجهاد الرئيسي.

لذلك، يمكن التعبير عن معيار مور-كولوم أيضًا على النحو التالي $${\displaystyle \tau _{m}=\sigma _{m}\sin \phi +c\cos \phi ~.}$$

ينطبق هذا الشكل من معيار مور-كولوم على الفشل في مستوى موازٍ لـ${\displaystyle \sigma _{2}}$اتجاه.

معيار فشل مور-كولوم في ثلاثة أبعاد

يُعبّر عن معيار مور-كولوم في ثلاثة أبعاد غالبًا على النحو التالي:

$\displaystyle \left\{\begin{aligned}\pm {\cfrac {\sigma _{1}-\sigma _{2}}{2}}&=\left[{\cfrac {\sigma _{1}+\sigma _{2}}{2}}\right]\sin(\phi )+c\cos(\phi )\\\pm {\cfrac {\sigma _{2}-\sigma _{3}}{2}}&=\left[{\cfrac {\sigma _{2}+\sigma _{3}}{2}}\right]\sin(\phi )+c\cos(\phi )\\\pm {\cfrac {\sigma _{3}-\sigma _{1}}{2}}&=\left[{\cfrac {\sigma _{3}+\sigma _{1}}{2}}\right]\sin(\phi )+c\cos(\phi ).\end{aligned}}\right.}$

سطح فشل مور-كولوم هو مخروط ذو مقطع عرضي سداسي في فضاء الإجهاد الانحرافي.

التعبيرات لـ${\displaystyle \tau }$و${\displaystyle \sigma }$يمكن تعميم ذلك إلى ثلاثة أبعاد من خلال وضع تعبيرات للإجهاد العمودي وإجهاد القص المُحلَّل على مستوى ذي اتجاه عشوائي بالنسبة لمحاور الإحداثيات (متجهات الأساس). إذا كان متجه الوحدة العمودي على المستوى محل الاهتمام هو

${\displaystyle \mathbf {n} =n_{1}~\mathbf {e} _{1}+n_{2}~\mathbf {e} _{2}+n_{3}~\mathbf {e} _{3}}$

أين${\displaystyle \mathbf {e} _{i},~~i=1,2,3}$هي ثلاثة متجهات أساسية متعامدة، وإذا كانت الإجهادات الرئيسية${\displaystyle \sigma _{1},\sigma _{2},\sigma _{3}}$تتم محاذاتها مع متجهات الأساس${\displaystyle \mathbf {e} _{1},\mathbf {e} _{2},\mathbf {e} _{3}}$ثم التعبيرات لـ${\displaystyle \sigma ,\tau }$نكون

${\displaystyle {\begin{aligned}\sigma &=n_{1}^{2}\sigma _{1}+n_{2}^{2}\sigma _{2}+n_{3}^{2}\sigma _{3}\\\tau &={\sqrt {(n_{1}\sigma _{1})^{2}+(n_{2}\sigma _{2})^{2}+(n_{3}\sigma _{3})^{2}-\sigma ^{2}}}\\&={\sqrt {n_{1}^{2}n_{2}^{2}(\sigma _{1}-\sigma _{2})^{2}+n_{2}^{2}n_{3}^{2}(\sigma _{2}-\sigma _{3})^{2}+n_{3}^{2}n_{1}^{2}(\sigma _{3}-\sigma _{1})^{2}}}.\end{aligned}}}$

يمكن بعد ذلك تقييم معيار فشل مور-كولوم باستخدام الصيغة المعتادة $${\displaystyle \tau =\sigma ~\tan(\phi )+c}$$ بالنسبة للمستويات الستة لأقصى إجهاد قص.

اشتقاق الإجهاد العمودي وإجهاد القص على مستوى

ليكن المتجه العمودي للوحدة على المستوى محل الاهتمام هو ${\displaystyle \mathbf {n} =n_{1}~\mathbf {e} _{1}+n_{2}~\mathbf {e} _{2}+n_{3}~\mathbf {e} _{3}}$ أين${\displaystyle \mathbf {e} _{i},~~i=1,2,3}$هي ثلاثة متجهات أساسية متعامدة ووحداتية. عندئذٍ يُعطى متجه الجر على المستوى بالعلاقة التالية: ${\displaystyle \mathbf {t} =n_{i}~\sigma _{ij}~\mathbf {e} _{j}~~~{\text{(repeated indices indicate summation)}}}$ مقدار متجه الجر يُعطى بالعلاقة التالية ${\displaystyle |\mathbf {t} |={\sqrt {(n_{j}~\sigma _{1j})^{2}+(n_{k}~\sigma _{2k})^{2}+(n_{l}~\sigma _{3l})^{2}}}~~~{\text{(repeated indices indicate summation)}}}$ ثم يُعطى مقدار الإجهاد العمودي على المستوى بالعلاقة التالية ${\displaystyle \sigma =\mathbf {t} \cdot \mathbf {n} =n_{i}~\sigma _{ij}~n_{j}~~{\text{(repeated indices indicate summation)}}}$ يُعطى مقدار إجهاد القص المُحلل على المستوى بالعلاقة التالية: $${\displaystyle \tau ={\sqrt {|\mathbf {t} |^{2}-\sigma ^{2}}}}$$ أما فيما يتعلق بالمكونات، فلدينا ${\displaystyle {\begin{aligned}\sigma &=n_{1}^{2}\sigma _{11}+n_{2}^{2}\sigma _{22}+n_{3}^{2}\sigma _{33}+2(n_{1}n_{2}\sigma _{12}+n_{2}n_{3}\sigma _{23}+n_{3}n_{1}\sigma _{31})\\\tau &={\sqrt {(n_{1}\sigma _{11}+n_{2}\sigma _{12}+n_{3}\sigma _{31})^{2}+(n_{1}\sigma _{12}+n_{2}\sigma _{22}+n_{3}\sigma _{23})^{2}+(n_{1}\sigma _{31}+n_{2}\sigma _{23}+n_{3}\sigma _{33})^{2}-\sigma ^{2}}}\end{aligned}}}$ إذا كانت الضغوط الرئيسية${\displaystyle \sigma _{1},\sigma _{2},\sigma _{3}}$تتم محاذاتها مع متجهات الأساس${\displaystyle \mathbf {e} _{1},\mathbf {e} _{2},\mathbf {e} _{3}}$ثم التعبيرات لـ${\displaystyle \sigma ,\tau }$نكون ${\displaystyle {\begin{aligned}\sigma &=n_{1}^{2}\sigma _{1}+n_{2}^{2}\sigma _{2}+n_{3}^{2}\sigma _{3}\\\tau &={\sqrt {(n_{1}\sigma _{1})^{2}+(n_{2}\sigma _{2})^{2}+(n_{3}\sigma _{3})^{2}-\sigma ^{2}}}\\&={\sqrt {n_{1}^{2}n_{2}^{2}(\sigma _{1}-\sigma _{2})^{2}+n_{2}^{2}n_{3}^{2}(\sigma _{2}-\sigma _{3})^{2}+n_{3}^{2}n_{1}^{2}(\sigma _{3}-\sigma _{1})^{2}}}\end{aligned}}}$

غالبًا ما يُعبَّر عن سطح فشل (خضوع) مور-كولوم بإحداثيات هايغ-ويسترجاد . على سبيل المثال، الدالة $${\displaystyle {\cfrac {\sigma _{1}-\sigma _{3}}{2}}={\cfrac {\sigma _{1}+\sigma _{3}}{2}}~\sin \phi +c\cos \phi }$$ يمكن التعبير عنها على النحو التالي

${\displaystyle \left[{\sqrt {3}}~\sin \left(\theta +{\cfrac {\pi }{3}}\right)+\sin \phi \cos \left(\theta +{\cfrac {\pi }{3}}\right)\right]\rho -{\sqrt {2}}\sin(\phi )\xi ={\sqrt {6}}c\cos \phi .}$

أو بدلاً من ذلك، من حيث الثوابت${\displaystyle p,q,r}$يمكننا الكتابة

${\displaystyle \left[{\cfrac {1}{{\sqrt {3}}~\cos \phi }}~\sin \left(\theta +{\cfrac {\pi }{3}}\right)+{\cfrac {1}{3}}\tan \phi ~\cos \left(\theta +{\cfrac {\pi }{3}}\right)\right]q-p~\tan \phi =c}$

أين$${\displaystyle \theta ={\cfrac {1}{3}}\arccos \left[\left({\cfrac {r}{q}}\right)^{3}\right]~.}$$

اشتقاق الصيغ البديلة لدالة إنتاج مور-كولوم

يمكننا التعبير عن دالة العائد $${\displaystyle {\cfrac {\sigma _{1}-\sigma _{3}}{2}}={\cfrac {\sigma _{1}+\sigma _{3}}{2}}~\sin \phi +c\cos \phi }$$ مثل ${\displaystyle \sigma _{1}~{\cfrac {(1-\sin \phi )}{2~c~\cos \phi }}-\sigma _{3}~{\cfrac {(1+\sin \phi )}{2~c~\cos \phi }}=1~.}$ ترتبط ثوابت هايغ-ويسترغارد بالإجهادات الرئيسية من خلال ${\displaystyle \sigma _{1}={\cfrac {1}{\sqrt {3}}}~\xi +{\sqrt {\cfrac {2}{3}}}~\rho ~\cos \theta ~;~~\sigma _{3}={\cfrac {1}{\sqrt {3}}}~\xi +{\sqrt {\cfrac {2}{3}}}~\rho ~\cos \left(\theta +{\cfrac {2\pi }{3}}\right)~.}$ وبتعويض هذه المعادلة في صيغة دالة إنتاجية مور-كولوم، نحصل على ${\displaystyle -{\sqrt {2}}~\xi ~\sin \phi +\rho [\cos \theta -\cos(\theta +2\pi /3)]-\rho \sin \phi [\cos \theta +\cos(\theta +2\pi /3)]={\sqrt {6}}~c~\cos \phi }$ باستخدام المتطابقات المثلثية لمجموع وفرق جيوب التمام وإعادة الترتيب، نحصل على تعبير دالة إنتاج مور-كولوم بدلالة${\displaystyle \xi ,\rho ,\theta }$. يمكننا التعبير عن دالة العائد بدلالة${\displaystyle p,q}$باستخدام العلاقات $${\displaystyle \xi ={\sqrt {3}}~p~;~~\rho ={\sqrt {\cfrac {2}{3}}}~q}$$ واستبدال مباشر.

يُستخدم سطح خضوع مور-كولوم غالبًا لنمذجة التدفق اللدن للمواد الجيولوجية (وغيرها من المواد المتماسكة الاحتكاكية). تُظهر العديد من هذه المواد سلوكًا تمدديًا تحت حالات إجهاد ثلاثي المحاور، وهو ما لا يشمله نموذج مور-كولوم. كذلك، نظرًا لوجود زوايا في سطح الخضوع، قد يكون من غير العملي استخدام نموذج مور-كولوم الأصلي لتحديد اتجاه التدفق اللدن (في نظرية التدفق اللدن ).

يتمثل أحد الأساليب الشائعة في استخدام جهد تدفق بلاستيكي غير مرتبط وسلس. ومن أمثلة هذا الجهد الدالة$${\displaystyle g:={\sqrt {(\alpha c_{\mathrm {y} }\tan \psi )^{2}+G^{2}(\phi ,\theta )~q^{2}}}-p\tan \phi }$$

أين${\displaystyle \alpha }$هو مُعامل،${\displaystyle c_{\mathrm {y} }}$قيمة${\displaystyle c}$عندما يكون الانفعال البلاستيكي صفراً (ويسمى أيضاً إجهاد الخضوع التماسك الأولي )،${\displaystyle \psi }$هي الزاوية التي يصنعها سطح الخضوع في المستوى الرندولي عند القيم العالية لـ${\displaystyle p}$(وتسمى هذه الزاوية أيضًا زاوية التمدد )، و${\displaystyle G(\phi ,\theta )}$هي دالة مناسبة وسلسة أيضًا في مستوى الإجهاد الانحرافي.

تم إدراج قيم التماسك (أو ما يسمى بقوة التماسك ) وزاوية الاحتكاك للصخور وبعض أنواع التربة الشائعة في الجداول أدناه.

زاوية الاحتكاك الداخلي (${\displaystyle \phi }$) لبعض المواد

مادة	زاوية الاحتكاك بالدرجات
صخر	30 درجة
رمل	30 درجة إلى45 درجة
حصى	35 درجة
الطمي	26 درجة إلى35 درجة
فخار	20 درجة
رمال مفككة	30 درجة إلى35 درجة
رمل متوسط	40 درجة
رمال كثيفة	35 درجة إلى45 درجة
حصى رملي	>34 درجة إلى48 درجة

• المرونة ثلاثية الأبعاد
• معيار هوك-براون للفشل
• قانون بايرلي
• ضغط التربة الجانبي
• إجهاد فون ميزس
• العائد (الهندسة)
• معيار دراكر براغر للإنتاجية - نسخة سلسة من معيار ماكجرو-كريك للإنتاجية
• إحداثيات اللوم
• معيار إنتاجية بيجوني-بيكولروز