الإجهاد (الميكانيكا)

في ميكانيكا الأوساط المتصلة ، يُعدّ الإجهاد كمية فيزيائية تصف القوى المؤثرة أثناء التشوه . فعلى سبيل المثال، يتعرض جسمٌ يُسحب، كشريط مطاطي مشدود، لإجهاد شد وقد يستطيل . بينما يتعرض جسمٌ يُضغط، كإسفنجة مجعدة، لإجهاد ضغط وقد ينكمش. [ ^{1 ] [ 2 ] كلما} زادت القوة وقلّت مساحة المقطع العرضي للجسم المؤثر عليه، زاد الإجهاد. يُقاس الإجهاد بوحدة القوة لكل وحدة مساحة، ووحداته في النظام الدولي للوحدات هي نيوتن لكل متر مربع (نيوتن/م² ⁾ أو باسكال (باسكال). ^{[ 1 ]}

يُعبّر الإجهاد عن القوى الداخلية التي تُؤثر بها جزيئات المادة المتصلة المتجاورة على بعضها البعض، بينما يُعبّر الانفعال عن مقدار التشوه النسبي للمادة. ^{[ 3 ]} على سبيل المثال، عندما يدعم قضيب رأسي صلب وزنًا علويًا ، يدفع كل جزيء في القضيب الجزيئات التي تقع أسفله مباشرةً. وعندما يكون سائل في وعاء مغلق تحت ضغط ، يتعرض كل جزيء فيه لضغط من جميع الجزيئات المحيطة به. وتدفع جدران الوعاء والسطح المُولّد للضغط (مثل المكبس) هذه الجزيئات في رد فعل (نيوتني) . هذه القوى الكلية هي في الواقع المحصلة النهائية لعدد كبير جدًا من القوى بين الجزيئية والتصادمات بين جزيئات تلك الجزيئات . يُرمز للإجهاد غالبًا بالحرف اليوناني الصغير سيجما ( σ ). ^{[ 3 ]}

قد ينشأ الإجهاد داخل المادة عبر آليات مختلفة، مثل الإجهاد الناتج عن قوى خارجية تؤثر على المادة نفسها (كالجاذبية ) أو على سطحها ( كقوى التلامس ، أو الضغط الخارجي، أو الاحتكاك ). أي إجهاد (تشوه) في مادة صلبة يُولّد إجهادًا مرنًا داخليًا ، يُشبه قوة رد فعل الزنبرك ، والذي يميل إلى إعادة المادة إلى حالتها الأصلية غير المشوهة. في السوائل والغازات ، لا تُولّد الإجهادات المرنة المستمرة إلا التشوهات التي تُغيّر الحجم. إذا تغيّر التشوه تدريجيًا مع مرور الوقت، فحتى في الموائع، عادةً ما يكون هناك إجهاد لزج يُعاكس هذا التغيير. يُجمع الإجهاد المرن واللزج عادةً تحت مُسمّى الإجهاد الميكانيكي .

قد يوجد إجهاد كبير حتى عندما يكون التشوه ضئيلاً أو معدوماً (وهو افتراض شائع عند نمذجة تدفق الماء). قد يوجد الإجهاد في غياب القوى الخارجية؛ هذا الإجهاد الداخلي مهم، على سبيل المثال، في الخرسانة مسبقة الإجهاد والزجاج المقسى . كما يمكن فرض الإجهاد على مادة ما دون تطبيق قوى محصلة ، على سبيل المثال عن طريق تغيرات في درجة الحرارة أو التركيب الكيميائي ، أو عن طريق المجالات الكهرومغناطيسية الخارجية (كما هو الحال في المواد الكهروإجهادية والمغناطيسية الانفعالية ).

قد تكون العلاقة بين الإجهاد الميكانيكي والانفعال ومعدل الانفعال معقدة للغاية، على الرغم من أن التقريب الخطي قد يكون كافيًا عمليًا إذا كانت الكميات صغيرة بما يكفي. الإجهاد الذي يتجاوز حدودًا معينة لقوة المادة سيؤدي إلى تشوه دائم (مثل التدفق اللدن ، والكسر ، والتجويف ) أو حتى تغيير بنيتها البلورية وتركيبها الكيميائي .

جسر من العصر الروماني في سويسرا . تتعرض الأقواس الحجرية في الجسر لإجهادات ضغط .

جسر الإنكا على نهر أبوريماك . يتعرض الحبل الموجود في الجسر لإجهادات شد .

عرف البشر الإجهاد داخل المواد منذ العصور القديمة. وحتى القرن السابع عشر، كان هذا الفهم بديهيًا وتجريبيًا إلى حد كبير، على الرغم من أن هذا لم يمنع تطوير تقنيات متقدمة نسبيًا مثل القوس المركب ونفخ الزجاج . ^{[ 4 ]}

على مدى عدة آلاف من السنين، تعلم المهندسون المعماريون والبناؤون على وجه الخصوص كيفية تجميع عوارض خشبية مصممة بعناية وكتل حجرية لتحمل ونقل وتوزيع الإجهاد بأكثر الطرق فعالية، باستخدام أجهزة بارعة مثل التيجان والأقواس والقباب والجمالونات والدعامات الطائرة للكاتدرائيات القوطية .

طوّر المعماريون القدماء والوسيطون بعض الأساليب الهندسية والصيغ البسيطة لحساب الأحجام المناسبة للأعمدة والجسور، لكن الفهم العلمي للإجهاد لم يصبح ممكنًا إلا بعد اختراع الأدوات اللازمة في القرنين السابع عشر والثامن عشر: المنهج التجريبي الدقيق لغاليليو غاليلي ، وإحداثيات رينيه ديكارت والهندسة التحليلية ، وقوانين نيوتن للحركة والاتزان وحساب التفاضل والتكامل . ^{[ 5 ]} وباستخدام هذه الأدوات، تمكّن أوغستين لويس كوشي من تقديم أول نموذج رياضي دقيق وعام لجسم مرن مشوّه، وذلك بإدخال مفهومي الإجهاد والانفعال. ^{[ 6 ]} لاحظ كوشي أن القوة المؤثرة على سطح وهمي هي دالة خطية لمتجهه العمودي؛ وعلاوة على ذلك، يجب أن تكون دالة متناظرة (بزخم كلي يساوي صفرًا). بدأ فهم الإجهاد في السوائل مع نيوتن، الذي قدّم صيغة تفاضلية لقوى الاحتكاك (إجهاد القص) في التدفق الصفائحي المتوازي .

يُعرَّف الإجهاد بأنه القوة المؤثرة على وحدة مساحة من حدود صغيرة، وذلك لجميع اتجاهات هذه الحدود. ^{[ 7 ]} وبما أنه مشتق من كمية فيزيائية (القوة) وكمية هندسية بحتة (المساحة)، فإن الإجهاد هو أيضاً كمية فيزيائية، مثل السرعة أو العزم أو الطاقة ، يمكن قياسها وتحليلها دون الحاجة إلى دراسة طبيعة المادة أو أسبابها الفيزيائية بشكل صريح.

انطلاقًا من المبادئ الأساسية لميكانيكا الأوساط المتصلة، يُعدّ الإجهاد مفهومًا عيانيًا . بمعنى آخر، يجب أن تكون الجسيمات التي تُؤخذ في الاعتبار عند تعريفه وتحليله صغيرة بما يكفي لتُعامل على أنها متجانسة في تركيبها وحالتها، ولكنها في الوقت نفسه كبيرة بما يكفي لتجاهل التأثيرات الكمومية والحركات التفصيلية للجزيئات. وبالتالي، فإن القوة بين جسيمين هي في الواقع متوسط ​​عدد كبير جدًا من القوى الذرية بين جزيئاتهما؛ ويُفترض أن الكميات الفيزيائية مثل الكتلة والسرعة والقوى التي تؤثر عبر كتلة الأجسام ثلاثية الأبعاد، كقوة الجاذبية، موزعة بسلاسة عليها. ^{[ 8 ] : 90-106.} وبحسب السياق، يمكن أيضًا افتراض أن الجسيمات كبيرة بما يكفي للسماح بحساب متوسط ​​الخصائص المجهرية الأخرى، مثل حبيبات قضيب معدني أو ألياف قطعة خشب .

كميًا، يُعبَّر عن الإجهاد بواسطة متجه شد كوشي T، المُعرَّف بأنه قوة الشد F بين أجزاء متجاورة من المادة عبر سطح فاصل وهمي S ، مقسومة على مساحة S. ^{[ 9 ] : 41-50.} في سائل ساكن، تكون القوة عمودية على السطح، وهي الضغط المعروف . أما في مادة صلبة ، أو في تدفق سائل لزج ، فقد لا تكون القوة F عمودية على S ؛ لذا يجب اعتبار الإجهاد عبر السطح كمية متجهة، وليست كمية قياسية. علاوة على ذلك، يعتمد الاتجاه والمقدار عمومًا على اتجاه S. وبالتالي، يجب وصف حالة الإجهاد للمادة بواسطة موتر ، يُسمى موتر إجهاد كوشي ؛ وهو دالة خطية تربط المتجه العمودي n للسطح S بمتجه الشد T عبر S. بالنسبة لأي نظام إحداثيات مُختار ، يمكن تمثيل موتر إجهاد كوشي كمصفوفة متناظرة من 3×3 أعداد حقيقية. حتى داخل جسم متجانس ، قد يختلف موتر الإجهاد من مكان لآخر، وقد يتغير بمرور الوقت؛ لذلك، فإن الإجهاد داخل المادة هو، بشكل عام، مجال موتر متغير مع الزمن .

بُعد الإجهاد هو بُعد الضغط ، ولذلك تُقاس إحداثياته ​​بنفس وحدات قياس الضغط: أي الباسكال (Pa، أي نيوتن لكل متر مربع ) في النظام الدولي ، أو الرطل لكل بوصة مربعة (psi) في النظام الإمبراطوري . ولأن الإجهادات الميكانيكية تتجاوز بسهولة مليون باسكال، فإن الميغاباسكال (MPa) هي وحدة شائعة لقياس الإجهاد.

قد ينجم الإجهاد في جسم مادي عن أسباب فيزيائية متعددة، تشمل المؤثرات الخارجية والعمليات الفيزيائية الداخلية. بعض هذه العوامل (مثل الجاذبية، وتغيرات درجة الحرارة والحالة ، والمجالات الكهرومغناطيسية) تؤثر على كتلة المادة، وتتغير باستمرار مع الموقع والزمن. بينما قد تُحدث عوامل أخرى (مثل الأحمال الخارجية والاحتكاك، والضغط المحيط، وقوى التلامس) إجهادات وقوى تتركز على أسطح أو خطوط أو نقاط معينة؛ وربما أيضًا على فترات زمنية قصيرة جدًا (كما في الدفعات الناتجة عن التصادمات). في المادة النشطة ، يُولّد الدفع الذاتي للجسيمات المجهرية توزيعات إجهاد كلية. ^{[ 11 ]} وبشكل عام، يُعبّر عن توزيع الإجهاد في الجسم بدالة متصلة جزئيًا للمكان والزمان.

على النقيض، يرتبط الإجهاد عادةً بتأثيرات متنوعة على المادة، بما في ذلك تغيرات في الخصائص الفيزيائية مثل الانكسار المزدوج والاستقطاب والنفاذية . يؤدي تطبيق الإجهاد بواسطة عامل خارجي عادةً إلى إحداث انفعال (تشوه) في المادة، حتى لو كان ضئيلاً جدًا بحيث لا يمكن رصده. في المواد الصلبة، يُولّد هذا الانفعال بدوره إجهادًا مرنًا داخليًا، يُشبه قوة رد فعل نابض مشدود ، مما يُعيد المادة إلى حالتها الأصلية غير المشوهة. أما المواد السائلة (السوائل والغازات والبلازما ) ، فبحكم تعريفها، لا تُقاوم إلا التشوهات التي تُغير حجمها. إذا تغير التشوه مع مرور الوقت، فعادةً ما يكون هناك إجهاد لزج يُقاوم هذا التغير حتى في السوائل. يمكن أن تكون هذه الإجهادات قصية أو عمودية. يُشرح الأصل الجزيئي للإجهادات القصية في السوائل في مقال اللزوجة . ويمكن الاطلاع على شرح مماثل للإجهادات اللزجة العمودية في دراسة شارما (2019). ^{[ 12 ]}

قد تكون العلاقة بين الإجهاد وآثاره وأسبابه، بما في ذلك التشوه ومعدل تغيره، معقدة للغاية (مع أن التقريب الخطي قد يكون كافيًا عمليًا إذا كانت الكميات صغيرة بما يكفي). الإجهاد الذي يتجاوز حدودًا معينة لقوة المادة سيؤدي إلى تشوه دائم (مثل التدفق اللدن ، والكسر ، والتجويف ) أو حتى تغيير بنيتها البلورية وتركيبها الكيميائي .

في بعض الحالات، يمكن وصف الإجهاد داخل الجسم بشكل كافٍ برقم واحد، أو بمتجه واحد (رقم واتجاه). ومن بين هذه الحالات البسيطة للإجهاد ، والتي تُصادف غالبًا في التصميم الهندسي، الإجهاد العمودي أحادي المحور ، وإجهاد القص البسيط ، والإجهاد العمودي المتساوي الخواص . ^{[ 13 ]}

العمودي أحادي المحور

تتمثل إحدى الحالات الشائعة ذات نمط الإجهاد البسيط في تعرض قضيب مستقيم، مصنوع من مادة موحدة وله مقطع عرضي منتظم، لقوة شد متعاكسة في المقدار.${\displaystyle F}$على طول محوره. إذا كان النظام في حالة اتزان ولا يتغير مع الزمن، ويمكن إهمال وزن القضيب، فإن الجزء العلوي من القضيب يسحب الجزء السفلي بنفس القوة F عبر كل مقطع عرضي، مع استمرارية هذه القوة عبر كامل مساحة المقطع العرضي A. لذلك، يمكن التعبير عن الإجهاد σ في جميع أنحاء القضيب، عبر أي سطح أفقي، ببساطة بالرقم σ، الذي يُحسب ببساطة باستخدام مقدار تلك القوى F ومساحة المقطع العرضي A.$${\displaystyle \sigma ={\frac {F}{A}}}$$من جهة أخرى، إذا تخيلنا قطع القضيب طوليًا، موازيًا للمحور، فلن تكون هناك قوة (وبالتالي إجهاد) بين نصفيه عند القطع. يُسمى هذا النوع من الإجهاد بالإجهاد العمودي البسيط أو الإجهاد أحادي المحور؛ وتحديدًا، إجهاد الشد البسيط أحادي المحور، إلخ. ^{[ 13 ]} إذا كان الحمل ضغطًا على القضيب، بدلًا من شده، فإن التحليل يكون نفسه باستثناء أن القوة F والإجهاد${\displaystyle \sigma }$تغير الإشارة، ويسمى الإجهاد الناتج إجهاد الضغط.

يفترض هذا التحليل أن الإجهاد موزع بالتساوي على كامل المقطع العرضي. عمليًا، قد لا يكون هذا الافتراض صحيحًا، وذلك تبعًا لكيفية تثبيت القضيب عند الأطراف وطريقة تصنيعه. في هذه الحالة، تكون القيمة${\displaystyle \sigma }$يمثل F / A متوسط ​​الإجهاد فقط، ويُسمى الإجهاد الهندسي أو الإجهاد الاسمي . إذا كان طول القضيب L أكبر بكثير من قطره D ، ولم يكن به عيوب ظاهرة أو إجهاد داخلي ، فيمكن افتراض أن الإجهاد موزع بانتظام على أي مقطع عرضي يبعد أكثر من بضعة أضعاف D عن كلا الطرفين. (تُعرف هذه الملاحظة بمبدأ سان فينان ).

يحدث الإجهاد العمودي في العديد من الحالات الأخرى إلى جانب الشد والضغط المحوريين. فإذا ثُني قضيب مرن ذو مقطع عرضي منتظم ومتناظر في أحد مستويات تناظره، فإن إجهاد الانحناء الناتج سيظل عموديًا (عموديًا على المقطع العرضي)، ولكنه سيختلف عبر المقطع: سيخضع الجزء الخارجي لإجهاد شد، بينما سيخضع الجزء الداخلي لإجهاد ضغط. ومن أنواع الإجهاد العمودي الأخرى الإجهاد المحيطي الذي يحدث على جدران أنبوب أسطواني أو وعاء مملوء بسائل مضغوط.

قص

يحدث نوع آخر بسيط من الإجهاد عندما تُلصق طبقة متساوية السماكة من مادة مرنة، كالغراء أو المطاط، بإحكام بجسمين صلبين يتعرضان لقوى موازية للطبقة في اتجاهين متعاكسين؛ أو عندما يُقطع جزء من قضيب معدني لين بواسطة فكي أداة تشبه المقص . لنفترض أن F هي مقدار هذه القوى، و M هو المستوى المتوسط ​​لتلك الطبقة. كما هو الحال في الإجهاد العمودي، يجب أن يسحب جزء الطبقة على أحد جانبي M الجزء الآخر بنفس القوة F. بافتراض معرفة اتجاه القوى، يمكن التعبير عن الإجهاد عبر M ببساطة برقم واحد.${\displaystyle \tau }$، ويتم حسابها ببساطة باستخدام مقدار تلك القوى، F ومساحة المقطع العرضي ، A.$${\displaystyle \tau ={\frac {F}{A}}}$$بخلاف الإجهاد العمودي، يكون إجهاد القص البسيط هذا موازياً للمقطع العرضي المدروس، وليس عمودياً عليه. ^{[ 13 ]} بالنسبة لأي مستوى S عمودي على الطبقة، فإن محصلة القوى الداخلية المؤثرة على S ، وبالتالي الإجهاد، ستكون صفراً.

كما هو الحال في حالة القضيب المُحمّل محوريًا، قد لا يتوزع إجهاد القص بانتظام على الطبقة؛ لذا، وكما في السابق، فإن النسبة F / A ستكون مجرد متوسط ​​للإجهاد ("الاسمي"، "الهندسي"). غالبًا ما يكون هذا المتوسط ​​كافيًا للأغراض العملية. ^{[ 14 ] : 292} يُلاحظ إجهاد القص أيضًا عندما يتعرض قضيب أسطواني، مثل عمود، لعزوم متعاكسة عند طرفيه. في هذه الحالة، يكون إجهاد القص على كل مقطع عرضي موازيًا للمقطع، ولكنه مُوجّه بشكل مماس للمحور، ويزداد مع المسافة من المحور. يحدث إجهاد قص كبير في الصفيحة الوسطى ("الشبكة") للعوارض ذات المقطع I تحت أحمال الانحناء، نظرًا لأن الشبكة تُقيّد الصفائح الطرفية ("الشفاه").

متجانس الخواص

يحدث نوع آخر بسيط من الإجهاد عندما يتعرض الجسم المادي لضغط أو شد متساوٍ في جميع الاتجاهات. يحدث هذا، على سبيل المثال، في جزء من سائل أو غاز ساكن، سواء كان محصورًا في وعاء أو جزءًا من كتلة أكبر من السائل؛ أو داخل مكعب من مادة مرنة يتعرض للضغط أو السحب على جميع أوجهه الستة بقوى عمودية متساوية - بشرط، في كلتا الحالتين، أن تكون المادة متجانسة، وخالية من الإجهاد الداخلي، وأن يكون تأثير الجاذبية والقوى الخارجية الأخرى مهملًا.

في هذه الحالات، يكون الإجهاد على أي سطح داخلي افتراضي متساويًا في المقدار وموجهًا دائمًا بشكل عمودي على السطح بغض النظر عن اتجاهه. يُسمى هذا النوع من الإجهاد بالإجهاد العمودي المتساوي الخواص أو ببساطة متساوي الخواص ؛ وإذا كان ضغطًا، يُسمى بالضغط الهيدروستاتيكي أو ببساطة الضغط . لا تستطيع الغازات، بحكم تعريفها ، تحمل إجهادات الشد، ولكن بعض السوائل قد تتحمل كميات كبيرة جدًا من إجهاد الشد المتساوي الخواص في بعض الظروف. انظر أنبوب Z.

غالباً ما تتعرض الأجسام الميكانيكية لأكثر من نوع من الإجهاد في الوقت نفسه؛ وهذا ما يُسمى بالإجهاد المُركّب . في الإجهاد العمودي وإجهاد القص، تكون قيمة الإجهاد في أقصى حالاتها على الأسطح العمودية على اتجاه معين.${\displaystyle d}$، وصفر عبر أي أسطح موازية لـ${\displaystyle d}$عندما ينعدم إجهاد القص فقط على الأسطح العمودية على اتجاه معين، يُسمى الإجهاد ثنائي المحور ، ويمكن اعتباره مجموع إجهادين عموديين أو إجهادي قص. أما في الحالة الأكثر عمومية، والتي تُسمى الإجهاد ثلاثي المحاور ، فيكون الإجهاد غير صفري على جميع عناصر السطح.

لا يمكن وصف الإجهادات المركبة بمتجه واحد. فحتى لو تعرض الجسم للإجهاد بنفس الطريقة في جميع أنحائه، فإن الإجهاد عبر أي سطح نظري سيعتمد على اتجاه ذلك السطح، بطريقة غير بديهية.

لاحظ كوشي أن متجه الإجهاد${\displaystyle T}$سيكون امتداد على سطح ما دائمًا دالة خطية لمتجه السطح العمودي${\displaystyle n}$، وهو متجه طوله وحدة واحدة وعمودي عليه. أي،${\displaystyle T={\boldsymbol {\sigma }}(n)}$، حيث الدالة${\displaystyle {\boldsymbol {\sigma }}}$يرضي $${\displaystyle {\boldsymbol {\sigma }}(\alpha u+\beta v)=\alpha {\boldsymbol {\sigma }}(u)+\beta {\boldsymbol {\sigma }}(v)}$$ لأي متجهات${\displaystyle u,v}$وأي أعداد حقيقية${\displaystyle \alpha ,\beta }$الوظيفة${\displaystyle {\boldsymbol {\sigma }}}$يصف موتر الإجهاد (كوشي) ، الذي يُطلق عليه الآن اسم موتر الإجهاد ، حالة الإجهاد لجسم مُعرَّض لإجهاد منتظم وصفًا كاملًا. (اليوم، يُطلق على أي ارتباط خطي بين كميتين متجهتين فيزيائيتين اسم موتر ، وهو ما يعكس استخدام كوشي الأصلي لوصف "التوترات" (الإجهادات) في المادة). في حساب الموترات ،${\displaystyle {\boldsymbol {\sigma }}}$يتم تصنيفها على أنها موتر من الدرجة الثانية من النوع (0,2) أو (1,1) حسب الاصطلاح.

كما هو الحال مع أي تحويل خطي بين متجهات، يمكن تمثيل موتر الإجهاد في أي نظام إحداثيات ديكارتية مختار بواسطة مصفوفة 3×3 من الأعداد الحقيقية. ويعتمد ذلك على ما إذا كانت الإحداثيات مرقمة أم لا.${\displaystyle x_{1},x_{2},x_{3}}$أو المسمى${\displaystyle x,y,z}$يمكن كتابة المصفوفة على النحو التالي: $${\displaystyle {\begin{bmatrix}\sigma _{11}&\sigma _{12}&\sigma _{13}\\\sigma _{21}&\sigma _{22}&\sigma _{23}\\\sigma _{31}&\sigma _{32}&\sigma _{33}\end{bmatrix}}}$$ أو $${\displaystyle {\begin{bmatrix}\sigma _{xx}&\sigma _{xy}&\sigma _{xz}\\\sigma _{yx}&\sigma _{yy}&\sigma _{yz}\\\sigma _{zx}&\sigma _{zy}&\sigma _{zz}\\\end{bmatrix}}}$$ متجه الإجهاد${\displaystyle T={\boldsymbol {\sigma }}(n)}$عبر سطح ذي متجه عمودي${\displaystyle n}$(وهو متجه متغير - "صف؛ أفقي" - ذو إحداثيات)${\displaystyle n_{1},n_{2},n_{3}}$ثم يكون حاصل ضرب المصفوفات${\displaystyle T=n\cdot {\boldsymbol {\sigma }}}$(حيث T في الفهرس العلوي هو عملية النقل ، ونتيجة لذلك نحصل على متجه متغاير (صف)) (انظر إلى موتر إجهاد كوشي )، أي $${\displaystyle {\begin{bmatrix}T_{1}&T_{2}&T_{3}\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}n_{1}&n_{2}&n_{3}\end{bmatrix}}\cdot {\begin{bmatrix}\sigma _{11}&\sigma _{21}&\sigma _{31}\\\sigma _{12}&\sigma _{22}&\sigma _{32}\\\sigma _{13}&\sigma _{23}&\sigma _{33}\end{bmatrix}}}$$

العلاقة الخطية بين${\displaystyle T}$و${\displaystyle n}$ينبثق هذا من القوانين الأساسية لحفظ الزخم الخطي والتوازن الساكن للقوى، وبالتالي فهو دقيق رياضيًا لأي مادة وأي حالة إجهاد. تحقق مركبات موتر إجهاد كوشي عند كل نقطة في المادة معادلات التوازن ( معادلات كوشي للحركة عند تسارع صفري). علاوة على ذلك، فإن مبدأ حفظ الزخم الزاوي يعني أن موتر الإجهاد متناظر ، أي${\displaystyle \sigma _{12}=\sigma _{21}}$،${\displaystyle \sigma _{13}=\sigma _{31}}$، و${\displaystyle \sigma _{23}=\sigma _{32}}$لذلك، يمكن تحديد حالة الإجهاد للوسط عند أي نقطة ولحظة بستة معايير مستقلة فقط، بدلاً من تسعة. ويمكن كتابة هذه المعايير على النحو التالي: $${\displaystyle {\begin{bmatrix}\sigma _{x}&\tau _{xy}&\tau _{xz}\\\tau _{xy}&\sigma _{y}&\tau _{yz}\\\tau _{xz}&\tau _{yz}&\sigma _{z}\end{bmatrix}}}$$ حيث العناصر${\displaystyle \sigma _{x},\sigma _{y},\sigma _{z}}$تُسمى هذه الإجهادات بالإجهادات العمودية المتعامدة (بالنسبة لنظام الإحداثيات المُختار)، و${\displaystyle \tau _{xy},\tau _{xz},\tau _{yz}}$إجهادات القص المتعامدة .

أطباق رقيقة

غالباً ما تُصنع الأشياء التي يصنعها الإنسان من ألواح معدنية من مواد مختلفة، وذلك عبر عمليات لا تُغير من طبيعتها ثنائية الأبعاد، مثل القطع والحفر والثني الخفيف واللحام على طول الحواف. ويمكن تبسيط وصف الإجهاد في هذه الأجسام من خلال نمذجة أجزائها كسطوح ثنائية الأبعاد بدلاً من أجسام ثلاثية الأبعاد.

من هذا المنظور، يُعاد تعريف "الجسيم" على أنه رقعة متناهية الصغر من سطح الصفيحة، بحيث يصبح الحد الفاصل بين الجسيمات المتجاورة عنصرًا خطيًا متناهي الصغر؛ وكلاهما يمتد ضمنيًا في البعد الثالث، عموديًا على الصفيحة (مباشرةً عبرها). ثم يُعاد تعريف "الإجهاد" على أنه مقياس للقوى الداخلية بين "جسيمين" متجاورين عبر عنصرهما الخطي المشترك، مقسومًا على طول ذلك الخط. يمكن تجاهل بعض مكونات موتر الإجهاد، ولكن بما أن الجسيمات ليست متناهية الصغر في البعد الثالث، فلا يمكن تجاهل عزم الدوران الذي يُطبقه الجسيم على جيرانه. يُنمذج عزم الدوران هذا على أنه إجهاد انحناء يميل إلى تغيير انحناء الصفيحة. قد لا تنطبق هذه التبسيطات عند اللحامات، أو عند الانحناءات الحادة والتجاعيد (حيث يكون نصف قطر الانحناء مُقاربًا لسمك الصفيحة).

عوارض رفيعة

يمكن تبسيط تحليل الإجهاد بشكل كبير حتى بالنسبة للقضبان أو العوارض أو الأسلاك الرقيقة ذات التركيب والمقطع العرضي المنتظمين (أو المتغيرين بسلاسة) والتي تتعرض لانحناء والتواء معتدلين. بالنسبة لهذه الأجسام، يمكن الاقتصار على دراسة المقاطع العرضية العمودية على محور القضيب، وإعادة تعريف "الجسيم" على أنه قطعة من السلك ذات طول متناهي الصغر بين مقطعين عرضيين من هذا النوع. عندئذٍ، يُختزل الإجهاد العادي إلى كمية قياسية (شد أو ضغط القضيب)، ولكن يجب أيضًا مراعاة إجهاد الانحناء (الذي يحاول تغيير انحناء القضيب في اتجاه عمودي على محوره) وإجهاد الالتواء (الذي يحاول ليّ القضيب أو فكّ التواءه حول محوره).

يُعدّ تحليل الإجهاد فرعًا من فروع الفيزياء التطبيقية، يُعنى بتحديد التوزيع الداخلي للقوى في الأجسام الصلبة. وهو أداة أساسية في الهندسة لدراسة وتصميم المنشآت، كالأنفاق والسدود والأجزاء الميكانيكية والهياكل الإنشائية، تحت تأثير الأحمال المحددة أو المتوقعة. كما أنه ذو أهمية بالغة في العديد من التخصصات الأخرى؛ ففي الجيولوجيا، على سبيل المثال، لدراسة ظواهر مثل حركة الصفائح التكتونية والبراكين والانهيارات الثلجية ؛ وفي علم الأحياء، لفهم تشريح الكائنات الحية.

طُرق

يمكن إجراء تحليل الإجهاد تجريبيًا، بتطبيق أحمال على القطعة الأصلية أو نموذج مصغر، وقياس الإجهادات الناتجة، باستخدام أي من الطرق المتاحة. يُستخدم هذا النهج غالبًا في شهادات السلامة والمراقبة. يُحلل معظم الإجهاد باستخدام الطرق الرياضية، خاصةً أثناء التصميم. يمكن صياغة مسألة تحليل الإجهاد الأساسية باستخدام معادلات أويلر للحركة للأجسام المتصلة (وهي نتيجة لقوانين نيوتن لحفظ الزخم الخطي والزخم الزاوي ) ومبدأ أويلر-كوشي للإجهاد ، بالإضافة إلى المعادلات التكوينية المناسبة. وبذلك نحصل على نظام من المعادلات التفاضلية الجزئية يتضمن حقل موتر الإجهاد وحقل موتر الانفعال ، كدوال مجهولة يجب تحديدها. تظهر قوى الجسم الخارجية كحد مستقل ("الطرف الأيمن") في المعادلات التفاضلية، بينما تظهر القوى المركزة كشروط حدودية. لذا، فإن مسألة تحليل الإجهاد الأساسية هي مسألة قيمة حدية .

يعتمد تحليل الإجهاد في الهياكل المرنة على نظرية المرونة ونظرية الانفعال المتناهي الصغر . عندما تُسبب الأحمال المُطبقة تشوهًا دائمًا، يجب استخدام معادلات تأسيسية أكثر تعقيدًا، قادرة على مراعاة العمليات الفيزيائية المُتضمنة ( التدفق اللدن ، والكسر ، وتغير الطور ، إلخ). عادةً ما تُصمم الهياكل الهندسية بحيث تكون أقصى الإجهادات المتوقعة ضمن نطاق المرونة الخطية (تعميم قانون هوك للأوساط المتصلة)؛ أي أن التشوهات الناتجة عن الإجهادات الداخلية ترتبط بها خطيًا. في هذه الحالة، تكون المعادلات التفاضلية التي تُحدد موتر الإجهاد خطية، مما يُسهل حل المسألة. أولًا، سيكون الإجهاد عند أي نقطة دالة خطية للأحمال أيضًا. بالنسبة للإجهادات الصغيرة بما يكفي، يُمكن عادةً افتراض أن الأنظمة غير الخطية خطية.

يُبسط تحليل الإجهاد عندما تسمح الأبعاد الفيزيائية وتوزيع الأحمال بمعاملة الهيكل ككيان أحادي أو ثنائي الأبعاد. ففي تحليل الجمالونات، على سبيل المثال، يُمكن افتراض أن مجال الإجهاد منتظم ومحوري على كل عنصر. عندئذٍ، تُختزل المعادلات التفاضلية إلى مجموعة محدودة من المعادلات (عادةً ما تكون خطية) ذات عدد محدود من المجاهيل. وفي سياقات أخرى، يُمكن اختزال المسألة ثلاثية الأبعاد إلى مسألة ثنائية الأبعاد، و/أو استبدال موترات الإجهاد والانفعال العامة بنماذج أبسط مثل الشد/الضغط أحادي المحور، والقص البسيط، وما إلى ذلك.

مع ذلك، في الحالات ثنائية أو ثلاثية الأبعاد، يجب حل مسألة معادلة تفاضلية جزئية. يمكن الحصول على حلول تحليلية أو مغلقة للمعادلات التفاضلية عندما تكون الهندسة والعلاقات التكوينية والشروط الحدية بسيطة بما يكفي. وإلا، يجب اللجوء عمومًا إلى التقريبات العددية مثل طريقة العناصر المحدودة ، وطريقة الفروق المحدودة ، وطريقة العناصر الحدية .

وتشمل مقاييس الإجهاد المفيدة الأخرى موترات الإجهاد الأولى والثانية لبيولا-كيرشوف ، وموتر الإجهاد بيوت ، وموتر الإجهاد كيرشوف .