حساب التفاضل والتكامل الأحادي للمسند

في المنطق ، يُعد حساب المسندات الأحادي (ويُسمى أيضًا منطق الرتبة الأولى الأحادي ) جزءًا من منطق الرتبة الأولى (ويُسمى أيضًا حساب المسندات ) حيث تكون جميع رموز العلاقات في التوقيع أحادية (أي أنها تأخذ وسيطًا واحدًا فقط)، ولا توجد رموز دوال. بعبارة أخرى، جميع الصيغ الذرية من الشكل التالي:${\displaystyle P(t)}$، أين${\displaystyle P}$هو رمز علاقة و${\displaystyle t}$هو مصطلح .

يختلف حساب المسند الأحادي عن حساب المسند القياسي، الذي يسمح برموز العلاقات التي تأخذ وسيطين أو أكثر. وعندما نرغب في التأكيد على أن حساب المسند القياسي ليس أحاديًا، فإننا نسميه " حساب المسند متعدد الوسائط ".

بدون رموز العلاقات متعددة الحدود ، يكون حساب المسند الأحادي أضعف من حساب المسند الكامل. بل إنه منطق قابل للتقرير . أي أنه توجد خوارزمية قرار تحدد ما إذا كانت صيغة معينة من حساب المسند الأحادي صحيحة منطقيًا (صحيحة لجميع المجالات غير الفارغة ). ^{[ 1 ] [ 2 ]} ومع ذلك، فإن إضافة رمز علاقة ثنائي واحد إلى المنطق الأحادي ينتج عنه منطق غير قابل للتقرير.

يُطلق على النظام الصوري الموصوف أعلاه أحيانًا اسم حساب المسند الأحادي البحت ، حيث تشير كلمة "بحت" إلى غياب رموز الدوال. إن السماح برموز الدوال الأحادية لا يُغير المنطق إلا بشكل سطحي ، بينما يؤدي السماح حتى برمز دالة ثنائي واحد إلى منطق غير قابل للتقرير.

يُتيح منطق الرتبة الثانية الأحادي استخدام محمولات ذات رتبة أعلى في الصيغ. مع ذلك، فهو لا يسمح إلا بتحديد نطاق التكميم من الرتبة الثانية على المجموعات. أي أنه يسمح بالقول: "لكل علاقة أحادية P ، لدينا..." أو "توجد علاقة أحادية P ، بحيث..."، ولكن لا يسمح بالقول: "لكل علاقة ثنائية Q ، لدينا..."، وهكذا.

لم تُدرك الحاجة إلى تجاوز المنطق الأحادي إلا بعد أعمال أوغسطس دي مورغان وتشارلز ساندرز بيرس في القرن التاسع عشر حول منطق العلاقات ، وكتاب فريجه "Begriffsschrift " عام 1879. قبل أعمال هؤلاء الثلاثة، كان يُنظر إلى منطق المصطلحات (المنطق القياسي) على نطاق واسع على أنه كافٍ للاستدلال الاستنتاجي الرسمي.

يمكن تمثيل جميع الاستدلالات في منطق المصطلحات في حساب المسند الأحادي. على سبيل المثال، الحجة

جميع الكلاب من الثدييات.

لا يوجد حيوان ثديي يُعتبر طائراً.

وبالتالي، لا يوجد كلب طائر.

يمكن التعبير عنها بلغة حساب التفاضل والتكامل الأحادي كما يلي

${\displaystyle [(\forall x\,D(x)\Rightarrow M(x))\land \neg (\exists y\,M(y)\land B(y))]\Rightarrow \neg (\exists z\,D(z)\land B(z))}$

أين${\displaystyle D}$،${\displaystyle M}$و${\displaystyle B}$تشير إلى صفات الوجود، على التوالي، كلب، وثديي، وطائر.

في المقابل، لا يُعد حساب المسند الأحادي أكثر تعبيرًا بشكل ملحوظ من منطق المصطلحات. كل صيغة في حساب المسند الأحادي تُكافئ صيغة لا تظهر فيها المُكمِّمات إلا في صيغ فرعية مغلقة من الشكل التالي:

${\displaystyle \forall x\,P_{1}(x)\lor \cdots \lor P_{n}(x)\lor \neg P'_{1}(x)\lor \cdots \lor \neg P'_{m}(x)}$

أو

${\displaystyle \exists x\,\neg P_{1}(x)\land \cdots \land \neg P_{n}(x)\land P'_{1}(x)\land \cdots \land P'_{m}(x),}$

تُعمم هذه الصيغ قليلاً الأحكام الأساسية التي تُؤخذ في الاعتبار في منطق المصطلحات. على سبيل المثال، يسمح هذا الشكل بعبارات مثل " كل حيوان ثديي إما أن يكون عاشباً أو لاحماً (أو كليهما) ".${\displaystyle \forall x\,M(x)\Rightarrow (H(x)\lor C(x))}$ومع ذلك، لا يزال من الممكن التعامل مع التفكير في مثل هذه التصريحات في إطار منطق المصطلحات، وإن لم يكن ذلك من خلال القياسات الأرسطية الكلاسيكية الـ 19 وحدها.

بافتراض صحة منطق القضايا ، فإن كل صيغة في حساب المسند الأحادي تعبر عن شيء يمكن صياغته بالمثل في منطق المصطلحات. من جهة أخرى، يخلص منظور حديث لمشكلة التعميم المتعدد في المنطق التقليدي إلى أن الكميات لا يمكن أن تتداخل بشكل مفيد إذا لم تكن هناك مسندات متعددة الحدود لربط المتغيرات المقيدة.