مجموعة متعددة

في الرياضيات ، تُعدّ المجموعة المتعددة (أو الحقيبة ، أو mset ) تعديلًا لمفهوم المجموعة، فهي ^{، على} عكس المجموعة، ^تسمح بوجود نسخ متعددة لكل عنصر من عناصرها . يُطلق على عدد النسخ المتاحة لكل عنصر اسم تعدد ذلك العنصر في المجموعة المتعددة. ونتيجةً لذلك، يوجد عدد لا نهائي من المجموعات المتعددة التي تحتوي فقط على العنصرين a و b ، ولكنها تختلف في تعدد عناصرها.

• تحتوي المجموعة { a , b } على العنصرين a و b فقط ، ولكل منهما تعدد 1 عندما تُعتبر { a , b } مجموعة متعددة.
• في المجموعة المتعددة { a , a , b } ، يكون للعنصر a تعدد 2، ويكون للعنصر b تعدد 1.
• في المجموعة المتعددة { a , a , a , b , b , b } ، كل من a و b لهما تعددية 3.

تختلف هذه العناصر جميعها عند النظر إليها كمجموعات متعددة، على الرغم من أنها تمثل المجموعة نفسها، لأنها جميعًا تتكون من العناصر نفسها. وكما هو الحال مع المجموعات، وعلى عكس الصفوف ، فإن ترتيب العناصر لا يُؤثر في التمييز بين المجموعات المتعددة، لذا فإن { a , a , b } و { a , b , a } تُشيران إلى المجموعة المتعددة نفسها. وللتمييز بين المجموعات والمجموعات المتعددة، يُستخدم أحيانًا رمز يتضمن أقواسًا مربعة: يمكن الإشارة إلى المجموعة المتعددة { a , a , b } بالرمز [ a , a , b ] . ^{[ 2 ]}

عدد عناصر المجموعة المتعددة أو "حجمها" هو مجموع تكرارات جميع عناصرها. على سبيل المثال، في المجموعة المتعددة { a₁ , a₂ , b₁ , b₂ , b₃ , c₁ } ، تكون تكرارات العناصر a₁ و b₂ و c₃ على التوالي 2 و 3 و 1، وبالتالي فإن عدد عناصر هذه المجموعة المتعددة هو 6.

صاغ نيكولاس جوفيرت دي بروين مصطلح " المجموعة المتعددة" في سبعينيات القرن العشرين، وفقًا لدونالد كنوث . ^{[ 3 ] : 694.} مع ذلك، فإن مفهوم المجموعات المتعددة أقدم من صياغة مصطلح " المجموعة المتعددة" بعدة قرون. ينسب كنوث نفسه أول دراسة للمجموعات المتعددة إلى عالم الرياضيات الهندي بهاسكاراتشاريا ، الذي وصف تباديل المجموعات المتعددة حوالي عام 1150. وقد اقتُرحت أو استُخدمت أسماء أخرى لهذا المفهوم، منها : القائمة ، والحزمة ، والحقيبة ، والكومة ، والعينة ، والمجموعة الموزونة ، والمجموعة ، والجناح . ^{[ 3 ] : 694}

أرجع واين بليزارد مفهوم المجموعات المتعددة إلى أصول الأعداد، مُشيرًا إلى أنه "في العصور القديمة، كان العدد ن يُمثَّل غالبًا بمجموعة من ن من الخطوط أو علامات العد أو الوحدات". ^{[ 4 ]} ويمكن اعتبار هذه المجموعات وما شابهها من الأشياء مجموعات متعددة، لأن الخطوط أو علامات العد أو الوحدات تُعتبر غير قابلة للتمييز. وهذا يُظهر أن الناس استخدموا المجموعات المتعددة ضمنيًا حتى قبل ظهور الرياضيات.

أدت الاحتياجات العملية لهذا الهيكل إلى إعادة اكتشاف المجموعات المتعددة عدة مرات، وظهرت في الأدبيات بأسماء مختلفة. ^{[ 5 ] : 323} على سبيل المثال، كانت مهمة في لغات الذكاء الاصطناعي المبكرة ، مثل QA4، حيث أشير إليها باسم "الحقائب"، وهو مصطلح يُنسب إلى بيتر دويتش . ^{[ 6 ]} كما أُطلق على المجموعة المتعددة أسماء أخرى مثل: التجميع، والكومة، والحزمة، والعينة، والمجموعة الموزونة، ومجموعة التكرار، ومجموعة العناصر المتكررة نهائيًا. ^{[ 5 ] : 320 [ 7 ]}

على الرغم من استخدام المجموعات المتعددة ضمنيًا منذ العصور القديمة، إلا أن استكشافها الصريح لم يحدث إلا لاحقًا. تُنسب أول دراسة معروفة للمجموعات المتعددة إلى عالم الرياضيات الهندي بهاسكاراتشاريا حوالي عام 1150، الذي وصف تباديل المجموعات المتعددة. ^{[ 3 ] : 694.} يحتوي عمل ماريوس نيزوليوس (1498-1576) على إشارة مبكرة أخرى إلى مفهوم المجموعات المتعددة. ^{[ 8 ]} وجد أثناسيوس كيرشر عدد تباديل المجموعات المتعددة عندما يمكن تكرار عنصر واحد. ^{[ 9 ]} نشر جان بريستيه قاعدة عامة لتباديل المجموعات المتعددة عام 1675. ^{[ 10 ]} شرح جون واليس هذه القاعدة بمزيد من التفصيل عام 1685. ^{[ 11 ]}

ظهرت المجموعات المتعددة بشكل صريح في أعمال ريتشارد ديديكيند . ^{[ 12 ] [ 13 ]}

قام علماء رياضيات آخرون بصياغة مفهوم المجموعات المتعددة وبدأوا بدراستها كبنى رياضية دقيقة في القرن العشرين. على سبيل المثال، وصف هاسلر ويتني (1933) المجموعات المعممة ("المجموعات" التي يمكن أن تأخذ دوالها المميزة أي قيمة عددية صحيحة : موجبة أو سالبة أو صفر). ^{[ 5 ] : 326 [ 14 ] : 405.} درس مونرو (1987) فئة Mul للمجموعات المتعددة وتشاكلاتها ، مُعرّفًا المجموعة المتعددة بأنها مجموعة ذات علاقة تكافؤ بين عناصر "من النوع نفسه "، والتشاكل بين المجموعات المتعددة بأنه دالة تحترم الأنواع . كما قدّم مفهوم العدد المتعدد : دالة f ( x ) من مجموعة متعددة إلى الأعداد الطبيعية ، تُعطي تعددية العنصر x في المجموعة المتعددة. جادل مونرو بأن مفهومي المجموعة المتعددة والعدد المتعدد غالبًا ما يُخلطان عشوائيًا، على الرغم من فائدة كليهما. ^{[ 5 ] : 327-328 [ 15 ]}

من أبسط الأمثلة وأكثرها طبيعيةً مجموعة العوامل الأولية للعدد الطبيعي n . هنا، المجموعة الأساسية للعناصر هي مجموعة العوامل الأولية للعدد n . على سبيل المثال، العدد 120 له التحليل إلى عوامل أولية.$${\displaystyle 120=2^{3}3^{1}5^{1},}$$ مما يعطي المجموعة المتعددة {2، 2، 2، 3، 5} .

ومن الأمثلة ذات الصلة مجموعة حلول المعادلة الجبرية . فالمعادلة التربيعية ، على سبيل المثال، لها حلان. ومع ذلك، في بعض الحالات يكون كلاهما نفس العدد. وبالتالي، يمكن أن تكون مجموعة حلول المعادلة {3، 5} ، أو يمكن أن تكون {4، 4} . في الحالة الأخيرة، يكون لها حل من الرتبة 2. وبشكل أعم، تنص النظرية الأساسية للجبر على أن الحلول المركبة لمعادلة متعددة الحدود من الدرجة d تُشكل دائمًا مجموعة متعددة عناصرها d .

تُعدّ القيم الذاتية للمصفوفة حالةً خاصةً مما سبق ، حيث يُعرَّف تعددها عادةً بتعددها كجذور لكثير الحدود المميز . مع ذلك، يُعرَّف نوعان آخران من التعدد للقيم الذاتية، وهما تعددها كجذور لكثير الحدود الأدنى، والتعدد الهندسي، الذي يُعرَّف بأنه بُعد نواة المصفوفة A − λI ( حيث λ قيمة ذاتية للمصفوفة A ) . تُحدِّد هذه التعددات الثلاثة ثلاث مجموعات متعددة من القيم الذاتية، والتي قد تكون جميعها مختلفة: لتكن A مصفوفةً من الرتبة n × n في الصيغة الطبيعية لجوردان ولها قيمة ذاتية واحدة. تعددها هو n ، وتعددها كجذر لكثير الحدود الأدنى هو حجم أكبر كتلة جوردان، وتعددها الهندسي هو عدد كتل جوردان.

يمكن تعريف المجموعة المتعددة رسميًا على أنها زوج مرتب ( U , m ) حيث U هي مجموعة تسمى الكون أو المجموعة الأساسية ، و${\displaystyle m\colon U\to \mathbb {N} }$هي دالة من U إلى الأعداد الصحيحة غير السالبة . ^{[ 7 ]} القيمة ⁠${\displaystyle m(a)}$لعنصر​​${\displaystyle a\in U}$يُطلق عليهاسم تعددية​${\displaystyle a}$في المجموعة المتعددة ويتم تفسيرها على أنها عدد مرات ظهور${\displaystyle a}$في المجموعة المتعددة.

الدعم أو الجذر أو الحامل لمجموعة متعددة هو مجموعة جزئية من${\displaystyle U}$تتكون من العناصر${\displaystyle a\in U}$بحيث​​${\displaystyle m(a)>0}$[ ^{7 ]} المجموعة المتعددة المنتهية هي مجموعة متعددة ذات نطاق منتهٍ . يُعرّف معظم المؤلفين المجموعات المتعددة بأنها مجموعات متعددة منتهية. وهذا هو الحال في هذه المقالة، حيث أن جميع المجموعات المتعددة، ما لم يُذكر خلاف ذلك، هي مجموعات متعددة ^منتهية .

يُعرّف بعض المؤلفين ^{[ 16 ]} المجموعات المتعددة بقيد إضافي هو${\displaystyle m(a)>0}$لكل​​${\displaystyle a}$أو ، بصورة مكافئة، يكون الدعم مساوياً للمجموعة الأساسية. كما دُرست المجموعات المتعددة ذات التعددية اللانهائية؛ ^{[ 17 ]} وهي غير مُدرجة في هذه المقالة.يُعرّف بعض المؤلفين المجموعة المتعددة بدلالة مجموعة فهارس محدودة .${\displaystyle I}$ودالة​​${\displaystyle f\colon I\rightarrow U}$حيث تعددية العنصر${\displaystyle a\in U}$هو​​${\displaystyle |f^{-1}(a)|}$عدد عناصر​${\displaystyle I}$التي يتم ربطها بـ${\displaystyle a}$بواسطة​​${\displaystyle f}$⁠ .

يمكن تمثيل المجموعات المتعددة كمجموعات، مع تكرار بعض العناصر. على سبيل المثال، المجموعة المتعددة ذات الدعم ⁠${\displaystyle \{a,b\}}$ودالة التعدد بحيث${\displaystyle m(a)=2,\;m(b)=1}$يمكن تمثيلها بالصيغة { a , a , b } . أما الصيغة الأكثر اختصارًا، في حالة التعددية العالية، فهي${\displaystyle \{(a,2),(b,1)\}}$لنفس المجموعة المتعددة.

لو${\displaystyle A=\{a_{1},\ldots ,a_{n}\},}$مجموعة متعددة مع دعم مضمن في${\displaystyle A}$غالباً ما يتم تمثيلها على النحو التالي $${\displaystyle a_{1}^{m(a_{1})}\cdots a_{n}^{m(a_{n})},}$$ والتي يمكن تطبيق قواعد حساب المجاهيل عليها ؛ أي أنه يمكن حذف الأسس 1 والعوامل ذات الأس 0، ولا تعتمد المجموعة المتعددة على ترتيب العوامل. وهذا يسمح بتوسيع الترميز ليشمل مجموعات أساسية لانهائية كما $${\displaystyle \prod _{a\in U}a^{m(a)}.}$$تتمثل إحدى مزايا الترميز في أنه يسمح باستخدام الترميز دون معرفة الدعم الدقيق. على سبيل المثال، العوامل الأولية لعدد طبيعي${\displaystyle n}$⁠ تشكيل مجموعة متعددة بحيث $${\displaystyle n=\prod _{p\;{\text{prime}}}p^{m(p)}=2^{m(2)}3^{m(3)}5^{m(5)}\cdots .}$$

تُختار عناصر المجموعة المتعددة عمومًا من مجموعة ثابتة U ، تُسمى أحيانًا الكون ، والتي غالبًا ما تكون مجموعة الأعداد الطبيعية . يُقال إن عنصرًا من U لا ينتمي إلى مجموعة متعددة معينة له تعددية تساوي صفرًا في هذه المجموعة المتعددة. هذا يُوسّع دالة التعددية للمجموعة المتعددة إلى دالة من U إلى المجموعة${\displaystyle \mathbb {N} }$من الأعداد الصحيحة غير السالبة. وهذا يُعرّف تطابقًا واحدًا لواحد بين هذه الدوال والمجموعات المتعددة التي تحتوي عناصرها على U.

تُعرف دالة التعددية الموسعة هذه عادةً بدالة التعددية ، وهي كافية لتعريف المجموعات المتعددة عندما يكون الكون الذي يحتوي على العناصر ثابتًا. تُعد دالة التعددية هذه تعميمًا لدالة المؤشر لمجموعة جزئية ، وتشترك معها في بعض الخصائص.

دعم المجموعة المتعددة${\displaystyle A}$في الكون U، تكون المجموعة الأساسية للمجموعة المتعددة، ^{[ 7 ]} والتي يمكن تمثيلها بواسطة${\displaystyle A^{*}}$, ^{[ 7 ]}${\displaystyle \operatorname {S} _{A}}$، ^{[ 18 ]} أو${\displaystyle \operatorname {Supp} (A)}$باستخدام دالة التعددية${\displaystyle m}$يتميز بأنه $${\displaystyle \operatorname {Supp} (A):=\{x\in U\mid m_{A}(x)>0\}.}$$

تكون المجموعة المتعددة منتهية إذا كان دعمها منتهيًا، أو بصورة مكافئة، إذا كان عدد عناصرها $${\displaystyle |A|=\sum _{x\in \operatorname {Supp} (A)}m_{A}(x)=\sum _{x\in U}m_{A}(x)}$$ هي مجموعة محدودة. المجموعة المتعددة الفارغة هي المجموعة المتعددة الوحيدة ذات الدعم الفارغ (المجموعة الأساسية)، وبالتالي يكون عدد عناصرها 0.

يمكن توسيع العمليات المعتادة على المجموعات لتشمل المجموعات المتعددة باستخدام دالة التعددية، على غرار استخدام دالة المؤشر للمجموعات الجزئية. فيما يلي، A و B مجموعتان متعددتان في فضاء شامل U ، بدوال تعددية خاصة بهما.${\displaystyle m_{A}}$و${\displaystyle m_{B}.}$

• الاحتواء: المجموعة أ محصورة في المجموعة ب ، ويرمز لها بـ أ ⊆ ب ، إذا$${\displaystyle m_{A}(x)\leq m_{B}(x)\quad \forall x\in U.}$$
• الاتحاد : الاتحاد (يسمى، في بعض السياقات، المضاعف المشترك الأكبر أو الأصغر ) لـ A و B هو المجموعة المتعددة C مع دالة التعددية ^{[ 13 ]}$${\displaystyle m_{C}(x)=\max(m_{A}(x),m_{B}(x))\quad \forall x\in U.}$$
• التقاطع: تقاطع المجموعتين A و B (ويُسمى في بعض السياقات القاسم المشترك الأدنى أو الأكبر ) هو المجموعة المتعددة C ذات دالة التعددية$${\displaystyle m_{C}(x)=\min(m_{A}(x),m_{B}(x))\quad \forall x\in U.}$$
• المجموع: مجموع A و B هو المجموعة المتعددة C ذات دالة التعددية$${\displaystyle m_{C}(x)=m_{A}(x)+m_{B}(x)\quad \forall x\in U.}$$يمكن اعتبارها تعميمًا للاتحاد المنفصل للمجموعات. وهي تُعرّف بنية أحادية تبديلية على المجموعات المتعددة المنتهية في فضاء مُعطى. هذه الأحادية هي أحادية تبديلية حرة ، مع اعتبار الفضاء أساسًا لها.
• الفرق : الفرق بين A و B هو المجموعة المتعددة C ذات دالة التعددية$${\displaystyle m_{C}(x)=\max(m_{A}(x)-m_{B}(x),0)\quad \forall x\in U.}$$

تكون مجموعتان متعددتان منفصلتين إذا كانت دعامتيهما مجموعتين منفصلتين . وهذا يكافئ القول بأن تقاطعهما هو المجموعة المتعددة الفارغة أو أن مجموعهما يساوي اتحادهما.

يوجد مبدأ الإدراج والاستبعاد للمجموعات المتعددة المحدودة (على غرار المبدأ الخاص بالمجموعات )، والذي ينص على أن الاتحاد المحدود للمجموعات المتعددة المحدودة هو الفرق بين مجموعتين من المجموعات المتعددة: في المجموع الأول نأخذ في الاعتبار جميع التقاطعات الممكنة لعدد فردي من المجموعات المتعددة المعطاة، بينما في المجموع الثاني نأخذ في الاعتبار جميع التقاطعات الممكنة لعدد زوجي من المجموعات المتعددة المعطاة.

المجموعات الجزئية المنتهية لمجموعة ما${\displaystyle U}$هي بالضبط المجموعات المتعددة ذات المجموعة الأساسية${\displaystyle U}$، بحيث​${\displaystyle m(a)\leq 1}$لكل​​${\displaystyle a\in U}$⁠ .

يُطلق على عدد المجموعات المتعددة ذات العدد k ، والتي تُؤخذ عناصرها من مجموعة منتهية ذات عدد n ، أحيانًا اسم معامل المجموعة المتعددة أو عدد المجموعات المتعددة . ويكتب بعض المؤلفين هذا العدد على النحو التالي:${\displaystyle \textstyle \left(\!\!{n \choose k}\!\!\right)}$، وهو رمز يُقصد به أن يُشابه رمز معاملات ذات الحدين ؛ ويُستخدم على سبيل المثال في (ستانلي، 1997)، ويمكن نطقه " n multichoose k " ليُشابه " n choose k " لـ${\displaystyle {\tbinom {n}{k}}.}$كما هو الحال في التوزيع ذي الحدين الذي يتضمن معاملات ذات الحدين، يوجد توزيع ذو الحدين السالب الذي تظهر فيه معاملات المجموعات المتعددة. يجب عدم الخلط بين معاملات المجموعات المتعددة ومعاملات الحدود المتعددة التي تظهر في نظرية الحدود المتعددة .

يمكن التعبير عن قيمة معاملات المجموعة المتعددة بشكل صريح على النحو التالي: $${\displaystyle \left(\!\!{n \choose k}\!\!\right)={n+k-1 \choose k}={\frac {(n+k-1)!}{k!\,(n-1)!}}={n(n+1)(n+2)\cdots (n+k-1) \over k!},}$$ حيث يُعبَّر عن التعبير الثاني كمعامل ذي حدين؛ ^{[ أ ]} في الواقع، يتجنب العديد من المؤلفين استخدام الترميز المنفصل ويكتبون معاملات ذات حدين فقط. لذا، فإن عدد هذه المجموعات المتعددة هو نفسه عدد المجموعات الجزئية ذات العدد k من مجموعة ذات عدد n + k − 1. ويمكن التأكيد على التشابه مع معاملات ذات حدين بكتابة البسط في التعبير أعلاه كقوة مضروبية متزايدة.$${\displaystyle \left(\!\!{n \choose k}\!\!\right)={n^{\overline {k}} \over k!},}$$ لمطابقة تعبير معاملات ذات الحدين باستخدام قوة عاملية متناقصة: $${\displaystyle {n \choose k}={n^{\underline {k}} \over k!}.}$$

على سبيل المثال، هناك${\displaystyle \textstyle 4=\left(\!{\binom {2}{3}}\!\right)}$مجموعات متعددة العناصر ذات عدد عناصر 3، عناصرها مأخوذة من المجموعة الثنائية {1، 2} ، وهي {1، 1، 1} ، {1، 1، 2} ، {1، 2، 2} ، و {2، 2، 2} . وهناك أيضًا${\displaystyle \textstyle 4={\binom {4}{3}}}$⁠ مجموعات فرعية ذات عدد عناصر 3 في المجموعة المكونة من أربعة عناصر {1، 2، 3، 4} ، وهي {1، 2، 3} ، {1، 2، 4} ، {1، 3، 4} ، و {2، 3، 4} .

إحدى الطرق البسيطة لإثبات تساوي معاملات المجموعات المتعددة ومعاملات ذات الحدين المذكورة أعلاه تتضمن تمثيل المجموعات المتعددة بالطريقة التالية. أولاً، لننظر في ترميز المجموعات المتعددة الذي يمثل { a , a , a , a , a , b , b , c , c , c , d , d , d , d , d , d } (6 a s , 2 b s, 3 c s , 7 d s) على هذا الشكل :

 • • • • • • | • • | • • • | • • • • • •​                    

هذه مجموعة متعددة العناصر ذات عدد عناصر k = 18، تتكون من عناصر مجموعة ذات عدد عناصر n = 4. عدد الأحرف المستخدمة في هذه الصيغة، بما في ذلك النقاط والخطوط العمودية، هو 18 + 4 - 1. عدد الخطوط العمودية هو 4 - 1. بالتالي، فإن عدد المجموعات المتعددة العناصر ذات عدد عناصر 18 هو عدد طرق ترتيب الخطوط العمودية (4 - 1) بين الأحرف (18 + 4 - 1)، وهو عدد المجموعات الجزئية ذات عدد عناصر 4 - 1 من مجموعة ذات عدد عناصر 18 + 4 - 1. وبالمثل، هو عدد طرق ترتيب النقاط الـ 18 بين الأحرف (18 + 4 - 1) ، وهو عدد المجموعات الجزئية ذات عدد عناصر 18 من مجموعة ذات عدد عناصر 18 + 4 - 1 . $${\displaystyle {4+18-1 \choose 4-1}={4+18-1 \choose 18}=1330,}$$ وهكذا تكون قيمة معامل المجموعة المتعددة ومكافئاته: $${\displaystyle {\begin{aligned}\left(\!\!{4 \choose 18}\!\!\right)&={21 \choose 18}={\frac {21!}{18!\,3!}}={21 \choose 3},\\[1ex]&={\frac {{\color {red}{\mathfrak {4\cdot 5\cdot 6\cdot 7\cdot 8\cdot 9\cdot 10\cdot 11\cdot 12\cdot 13\cdot 14\cdot 15\cdot 16\cdot 17\cdot 18}}}\cdot \mathbf {19\cdot 20\cdot 21} }{\mathbf {1\cdot 2\cdot 3} \cdot {\color {red}{\mathfrak {4\cdot 5\cdot 6\cdot 7\cdot 8\cdot 9\cdot 10\cdot 11\cdot 12\cdot 13\cdot 14\cdot 15\cdot 16\cdot 17\cdot 18}}}}},\\[1ex]&={\frac {1\cdot 2\cdot 3\cdot 4\cdot 5\cdots 16\cdot 17\cdot 18\;\mathbf {\cdot \;19\cdot 20\cdot 21} }{\,1\cdot 2\cdot 3\cdot 4\cdot 5\cdots 16\cdot 17\cdot 18\;\mathbf {\cdot \;1\cdot 2\cdot 3\quad } }},\\[1ex]&={\frac {19\cdot 20\cdot 21}{1\cdot 2\cdot 3}}.\end{aligned}}}$$

انطلاقاً من العلاقة بين معاملات ذات الحدين ومعاملات المجموعات المتعددة، يتبين أن عدد المجموعات المتعددة ذات العدد k في مجموعة ذات عدد n يمكن كتابته على النحو التالي$${\displaystyle \left(\!\!{n \choose k}\!\!\right)=(-1)^{k}{-n \choose k}.}$$ بالإضافة إلى ذلك، $${\displaystyle \left(\!\!{n \choose k}\!\!\right)=\left(\!\!{k+1 \choose n-1}\!\!\right).}$$

تُستخدم المجموعات المتعددة في تطبيقات متنوعة. ^{[ 7 ]} وهي تُصبح أساسية في علم التوافيق . ^{[ 19 ] [ 20 ] [ 21 ] [ 22 ]} كما أصبحت أداة مهمة في نظرية قواعد البيانات العلائقية ، التي غالبًا ما تستخدم مفهوم " حقيبة المرادفات" . ^{[ 23 ] [ 24 ] [ 25 ]} على سبيل المثال، تُستخدم المجموعات المتعددة بكثرة لتنفيذ العلاقات في أنظمة قواعد البيانات. على وجه الخصوص، يعمل الجدول (بدون مفتاح أساسي) كمجموعة متعددة، لأنه يمكن أن يحتوي على سجلات متطابقة متعددة. وبالمثل، يتعامل SQL مع المجموعات المتعددة ويعيد سجلات متطابقة. على سبيل المثال، لنفترض الاستعلام "SELECT name FROM Student". في حالة وجود سجلات متعددة باسم "Sara" في جدول الطلاب، فسيتم عرضها جميعًا. هذا يعني أن نتيجة استعلام SQL هي مجموعة متعددة؛ فلو كانت النتيجة مجموعة عادية، لكانت السجلات المتكررة في مجموعة النتائج قد حُذفت. ومن التطبيقات الأخرى للمجموعات المتعددة نمذجة الرسوم البيانية المتعددة . في الرسوم البيانية المتعددة، يمكن أن توجد عدة حواف بين أي رأسين معطيين . ولذلك، فإن الكيان الذي يحدد هذه الحواف هو مجموعة متعددة، وليس مجموعة.

توجد تطبيقات أخرى أيضًا. على سبيل المثال، استخدم ريتشارد رادو المجموعات المتعددة كأداة لدراسة خصائص عائلات المجموعات. كتب: "لا يأخذ مفهوم المجموعة في الحسبان تكرار أي عنصر من عناصرها، ومع ذلك فإن هذا النوع من المعلومات هو ما يكون ذا أهمية في كثير من الأحيان. يكفي أن نفكر في مجموعة جذور متعددة الحدود f ( x ) أو طيف المؤثر الخطي ." ^{[ 5 ] : 328-329}

تم تقديم تعميمات مختلفة للمجموعات المتعددة، ودراستها وتطبيقها لحل المشكلات.

• المجموعات المتعددة الموقعة (التي يمكن أن تكون فيها تعددية العنصر أي عدد صحيح ) ^{[ 26 ]}
• المجموعات المتعددة ذات القيم الحقيقية (حيث يمكن أن تكون تعددية العنصر أي عدد حقيقي ) ^{[ 27 ]}
• المجموعات المتعددة الضبابية ^{[ 28 ]}
• المجموعات المتعددة التقريبية ^{[ 29 ]}
• المجموعات الهجينة ^{[ 30 ]}
• المجموعات المتعددة التي تكون تعددية عناصرها أي دالة خطوة حقيقية القيمة ^{[ 31 ]}
• المجموعات المتعددة الناعمة ^{[ 32 ]}
• المجموعات المتعددة الضبابية الناعمة ^{[ 33 ]}
• المجموعات المسماة (توحيد جميع تعميمات المجموعات) ^{[ 34 ] [ 35 ] [ 36 ] [ 37 ]}

• التكرار (الإحصاء) كمؤشر على التعددية
• المجموعات شبهية
• نظرية المجموعات
• نموذج حقيبة الكلمات
• مواد تعليمية متعلقة بتقسيم المجموعات المتعددة على موقع ويكيفيرسيتي