أساس أحادي الحد

في الرياضيات، يُعرَّف الأساس الأحادي لحلقة كثيرات الحدود بأنه أساسها ( كفضاء متجهي أو وحدة حرة على حقل أو حلقة المعاملات ) الذي يتكون من جميع الأحاديات . تُشكِّل الأحاديات أساسًا لأن كل كثيرة حدود يمكن كتابتها بشكل فريد كتركيبة خطية منتهية من الأحاديات (وهذه نتيجة مباشرة لتعريف كثيرة الحدود).

الحلقة متعددة الحدود K [ x ] لكثيرات الحدود أحادية المتغير على حقل K هي فضاء متجهي K ، والذي $${\displaystyle 1,x,x^{2},x^{3},\ldots }$$ كأساس (لانهائي). ^{[ 1 ]} وبشكل أعم، إذا كانت K حلقة، فإن K [ x ] هي وحدة حرة لها نفس الأساس.

تشكل كثيرات الحدود من الدرجة d على الأكثر فضاءً متجهيًا (أو وحدة نمطية حرة في حالة حلقة المعاملات)، والذي يحتوي على$${\displaystyle \{1,x,x^{2},\ldots ,x^{d-1},x^{d}\}}$$كأساس.

الشكل المتعارف عليه لكثير الحدود هو تعبيره على هذا الأساس:$${\displaystyle a_{0}+a_{1}x+a_{2}x^{2}+\dots +a_{d}x^{d},}$$ أو باستخدام رمز سيجما المختصر : $${\displaystyle \sum _{i=0}^{d}a_{i}x^{i}.}$$

الأساس الأحادي مرتب ترتيبًا كليًا بطبيعته ، إما بدرجات متزايدة $${\displaystyle 1<x<x^{2}<\cdots ,}$$ أو بدرجات متناقصة $${\displaystyle 1>x>x^{2}>\cdots .}$$

في حالة وجود عدة متغيرات غير محددة${\displaystyle x_{1},\ldots ,x_{n},}$الحد الأحادي هو ناتج $${\displaystyle x_{1}^{d_{1}}x_{2}^{d_{2}}\cdots x_{n}^{d_{n}},}$$ حيث${\displaystyle d_{i}}$هي أعداد صحيحة غير سالبة . ^{[ 2 ]} كما${\displaystyle x_{i}^{0}=1,}$الأس الذي يساوي صفرًا يعني أن المتغير المقابل لا يظهر في الحد الأحادي؛ على وجه الخصوص${\displaystyle 1=x_{1}^{0}x_{2}^{0}\cdots x_{n}^{0}}$هو حدّ واحد.

على غرار حالة كثيرات الحدود أحادية المتغير، فإن كثيرات الحدود في${\displaystyle x_{1},\ldots ,x_{n}}$تشكل فضاءً متجهيًا (إذا كانت المعاملات تنتمي إلى حقل) أو وحدة نمطية حرة (إذا كانت المعاملات تنتمي إلى حلقة)، والتي تحتوي على مجموعة جميع أحاديات الحدود كأساس، وتسمى أساس أحاديات الحدود .

كثيرات الحدود المتجانسة من الدرجة${\displaystyle d}$تشكل فضاءً جزئياً يحتوي على أحاديات من الدرجة${\displaystyle d=d_{1}+\cdots +d_{n}}$كأساس. بُعد هذا الفضاء الجزئي هو عدد أحاديات الحدود من الدرجة${\displaystyle d}$، وهو $${\displaystyle {\binom {d+n-1}{d}}={\frac {n(n+1)\cdots (n+d-1)}{d!}},}$$ أين${\textstyle {\binom {d+n-1}{d}}}$هو معامل ذو حدين .

كثيرات الحدود من الدرجة الأكثر${\displaystyle d}$تشكل أيضًا فضاءً جزئيًا، يحتوي على أحاديات من الدرجة على الأكثر${\displaystyle d}$كأساس. عدد هذه الحدود الأحادية هو بُعد هذا الفضاء الجزئي، ويساوي ^{[ 3 ]}$${\displaystyle {\binom {d+n}{d}}={\binom {d+n}{n}}={\frac {(d+1)\cdots (d+n)}{n!}}.}$$

على عكس الحالة أحادية المتغير، لا يوجد ترتيب كلي طبيعي لقاعدة أحاديات الحدود في الحالة متعددة المتغيرات. بالنسبة للمسائل التي تتطلب اختيار ترتيب كلي، مثل حسابات قاعدة غروبنر ، ^{[ 4 ]} يتم عمومًا اختيار ترتيب أحاديات حدود مقبول - أي ترتيب كلي على مجموعة أحاديات الحدود بحيث $${\displaystyle m<n\iff mq<nq}$$ و$${\displaystyle 1\leq m}$$لكل حد أحادي${\displaystyle m,n,q.}$

تمثل معاملات متعددة الحدود (أو المتسلسلة اللانهائية) في أساس أحادي الحد السلوك المحلي بالقرب من نقطة الأصل في المستوى المركب ، وتتناسب مع قيم مشتقات الدالة المختلفة هناك (انظر متسلسلة تايلور ). عندما تكون المتسلسلة هي متسلسلة تايلور لدالة غير متعددة الحدود، فإنها تتقارب داخل قرص مركزه نقطة الأصل في المستوى المركب، ويكون نصف قطره أكبر ما يمكن بحيث تكون الدالة تحليلية داخل القرص.

تعتبر كثيرات الحدود في أساس أحادي الحد بشكل عام خيارات سيئة للتقييم العددي بعيدًا عن الأصل، وتكون قواعد كثيرات الحدود الأخرى أكثر ملاءمة لتمثيل كثير الحدود على فترة حقيقية محددة أو منطقة عشوائية في المستوى المركب.

• طريقة هورنر
• متتالية متعددة الحدود
• متعددة حدود نيوتن
• متعددة حدود لاغرانج
• متعددة حدود ليجندر
• شكل برنشتاين
• شكل تشيبيشيف
• مصفوفة فاندرموند

• كوكس، ديفيد أ .؛ ليتل، جون؛ أوشيا، دونال (1997). المُثُل، والأنواع، والخوارزميات: مقدمة في الهندسة الجبرية الحاسوبية والجبر التبادلي . سبرينغر. ISBN 0-387-94680-2.