الخلاصة

تستخدم الرموز الرياضية رمزًا يمثل بإيجاز مجموع العديد من الحدود المتشابهة: رمز المجموع .${\textstyle \sum }$، وهو شكل مكبر من الحرف اليوناني الكبير سيجما (σ) المنتصب . ^{[ 1 ]} ويُعرَّف هذا بأنه $${\displaystyle \sum _{i\mathop {=} m}^{n}a_{i}=a_{m}+a_{m+1}+a_{m+2}+\cdots +a_{n-1}+a_{n}}$$ حيث يُمثل i "مؤشر الجمع" أو "متغيرًا وهميًا"، ^{[ 2 ]} و _aᵢ متغير مُفهرس يُمثل كل حد من حدود المجموع؛ و m هو "الحد الأدنى للجمع"، و n هو "الحد الأعلى للجمع". تعني عبارة " i = m " أسفل رمز الجمع أن المؤشر i يبدأ مساويًا لـ m . ويزداد المؤشر i بمقدار واحد لكل حد لاحق، ويتوقف عند i = n . ^{[ ب ]} يُقرأ هذا على أنه "مجموع aᵢ _، من i = m إلى n ". ومع ذلك، قد تتضمن بعض الرموز المؤشر عند الحد الأعلى للجمع، أو تحذف المؤشر عند الحد الأدنى كما في${\textstyle \sum _{i=m}^{i=n}a_{i}}$أو${\textstyle \sum _{m}^{n}a_{i}}$على التوالي. ^{[ 3 ]} توجد صيغ مختلفة لترميز سيجما حيث يتم حذف نطاق الحدود، مما يشير إلى المتغير الوهمي فقط، مثل${\textstyle \sum _{i}a_{i}}$[ ^{4 ] إليك مثال يوضح} مجموع المربعات: $${\displaystyle \sum _{i=3}^{6}i^{2}=3^{2}+4^{2}+5^{2}+6^{2}=86.}$$ بشكل عام، في حين أنه يمكن استخدام أي متغير كمؤشر للجمع (شريطة ألا يحدث أي لبس)، فإن بعض المتغيرات الأكثر شيوعًا تتضمن أحرفًا مثل${\displaystyle i}$، ^{[ ج ]}${\displaystyle j}$،${\displaystyle k}$، و${\displaystyle n}$يُستخدم الأخير أيضًا غالبًا للحد الأعلى للمجموع. ^{[ 5 ]} بدلاً من ذلك، يُمكن حذف فهرس وحدود المجموع من تعريف المجموع إذا كان السياق واضحًا بما فيه الكفاية. ينطبق هذا بشكل خاص عندما يتراوح الفهرس من 1 إلى n . على سبيل المثال، يُمكن كتابة ما يلي:${\textstyle \sum a_{i}=\sum _{i=1}^{n}a_{i}}$[ ^{6 ]​}

تُستخدم تعميمات لهذا الترميز غالبًا، حيث يتم توفير شرط منطقي عشوائي، ويُقصد بالمجموع أن يتم حسابه على جميع القيم التي تحقق الشرط. على سبيل المثال،${\textstyle \sum _{0\leq k<100}f(k)}$ هي صيغة بديلة لـ ${\textstyle \sum _{k=0}^{99}f(k),}$مجموع${\displaystyle f(k)}$على مستوى جميع ( الأعداد الصحيحة )${\displaystyle k}$في النطاق المحدد. ^{[ 5 ]} وبالمثل،${\textstyle \sum _{x\mathop {\in } S}f(x)}$هو مجموع${\displaystyle f(x)}$على جميع العناصر${\displaystyle x}$في المجموعة${\displaystyle S}$، ^{[ 7 ] [ 8 ]} و${\textstyle \sum _{d\,|\,n}\;\mu (d)}$ هو مجموع${\displaystyle \mu (d)}$على جميع الأعداد الصحيحة الموجبة${\displaystyle d}$الفاصل${\displaystyle n}$. ^{[ د ]}

توجد أيضًا طرق لتعميم استخدام العديد من رموز سيجما. على سبيل المثال، يمكن كتابة الجمع المزدوج باستخدام رمزي سيجما مع متغيرات وهمية مختلفة.${\textstyle \sum _{i=\ell }^{n}\sum _{j=m}^{k}a_{i,j}}$بما أن نطاق ترميز سيجما متطابق، يمكن دمج ترميز سيجما المزدوج في ترميز واحد، لذا يُعاد كتابة المجموع المزدوج على النحو التالي:${\textstyle \sum _{i=m}^{n}\sum _{j=m}^{n}a_{i,j}=\sum _{i,j=m}^{n}a_{i,j}}$[ ^{9 ]​}

على المدىتُستخدم المتسلسلات المنتهية أحيانًا عند مناقشة المجموع المذكور أعلاه. وعلى عكسالمتسلسلات غير المنتهية، فإن الحد الأعلى لها يميل إلىاللانهاية.${\textstyle \sum _{i=m}^{\infty }a_{i}}$مما يؤدي إلى تقارب المتسلسلة إذا كانت هناك نتيجة للمجموع، أو تباعدها في غير ذلك. ويمكن التعبير عن الحد في رمز سيجما للمتسلسلة اللانهائية بشكل بديل على النحو التالي:${\textstyle \sum _{i\geq 0}a_{i}}$[ ^{9 ]​}

وبالمثل، تُستخدم رموز مماثلة لحاصل ضرب متتالية ، حيث${\textstyle \prod }$يُستخدم الحرف اليوناني الكبير باي (π )، وهو شكل مُكبّر من الحرف اليوناني الكبير باي (π) ، بدلاً من${\textstyle \sum }$[ ^{10 ]​}

من الممكن جمع أقل من عددين:

• إذا كان المجموع يحتوي على حد واحد${\displaystyle x}$إذن، يكون المجموع المحسوب هو${\displaystyle x}$.
• إذا لم يكن للمجموع حدود، فإن المجموع الناتج يساوي صفرًا ، لأن الصفر هو العنصر المحايد في عملية الجمع. وهذا ما يُعرف بالمجموع الفارغ .

تُستخدم هذه الحالات الشاذة عادةً فقط عندما تُعطي صيغة الجمع نتيجة شاذة في حالة خاصة. على سبيل المثال، إذا${\displaystyle n=m}$في التعريف أعلاه، يوجد حد واحد فقط في المجموع؛ إذا${\displaystyle n=m-1}$إذن، لا يوجد شيء.

يشير مصطلح "المجموع الجبري" إلى مجموع حدود قد تكون موجبة أو سالبة. تُجمع الحدود ذات الإشارات الموجبة، بينما تُطرح الحدود ذات الإشارات السالبة.

يعود أصل رمز الجمع إلى عام 1675 عندما اقترح غوتفريد فيلهلم لايبنتز ، في رسالة إلى هنري أولدنبورغ ، الرمز${\textstyle \int }$للدلالة على مجموع التفاضلات ( باللاتينية : calculus summatorius )، ومن هنا جاء شكل حرف S. ^{[ 11 ] [ 12 ] [ 13 ]} أُعيد تسمية هذا الرمز إلى التكامل لاحقًا في مناقشات مع يوهان برنولي . ^{[ 13 ]} في عام 1755، ورد رمز الجمع Σ في كتاب ليونارد أويلر " Institutiones calculi differentialis" . ^{[ 14 ] [ 15 ]} يستخدم أويلر هذا الرمز في تعابير مثل${\textstyle \sum (2wx+w^{2})=x^{2}}$وقد تم توثيق استخدام رمز سيجما لاحقًا من قبل علماء الرياضيات مثل لاغرانج ، الذين استخدموه للدلالة على${\textstyle \sum }$و${\textstyle \sum ^{n}}$في عام 1772. [14] [16] كما استخدم فورييه وجاكوبي ^{رمز سيجما في عام 1829 ،} [ 14 ] ^{لكن فورييه أدرج} حدودًا دنيا وعليا كما في${\textstyle \sum _{i=1}^{\infty }e^{-i^{2}t}\ldots }$[ ^{17 ] [ 18 ]} بالإضافة إلى رمز سيجما، تم توثيق الحرف الكبير S كرمز للمجموع في المتسلسلات عام 1823، والذي كان على ما يبدو واسع الانتشار ^{. [ 14 ]}

${\displaystyle \sum _{n=s}^{t}C\cdot f(n)=C\cdot \sum _{n=s}^{t}f(n)\quad }$( التوزيعية ) ^{[ 20 ]}

${\displaystyle \sum _{n=s}^{t}f(n)\pm \sum _{n=s}^{t}g(n)=\sum _{n=s}^{t}\left(f(n)\pm g(n)\right)\quad }$( التبديلية والتجميعية ) ^{[ 20 ]}​

${\displaystyle \sum _{n=s}^{t}f(n)=\sum _{n=s+p}^{t+p}f(n-p)\quad }$(إزاحة المؤشر)

${\displaystyle \sum _{n\in B}f(n)=\sum _{m\in A}f(\sigma (m)),\quad }$بالنسبة للتقابل σ من مجموعة منتهية A إلى مجموعة B (تغيير المؤشر)؛ هذا يعمم الصيغة السابقة.

${\displaystyle \sum _{n=s}^{t}f(n)=\sum _{n=s}^{j}f(n)+\sum _{n=j+1}^{t}f(n)\quad }$(تقسيم المجموع، باستخدام خاصية التجميع )

${\displaystyle \sum _{n=a}^{b}f(n)=\sum _{n=0}^{b}f(n)-\sum _{n=0}^{a-1}f(n)\quad }$(صيغة معدلة من الصيغة السابقة)

${\displaystyle \sum _{n=s}^{t}f(n)=\sum _{n=0}^{t-s}f(t-n)\quad }$(مجموع الحدود من الحد الأول إلى الحد الأخير يساوي مجموع الحدود من الحد الأخير إلى الحد الأول)

${\displaystyle \sum _{n=0}^{t}f(n)=\sum _{n=0}^{t}f(t-n)\quad }$(حالة خاصة من الصيغة المذكورة أعلاه)

${\displaystyle \sum _{i=k_{0}}^{k_{1}}\sum _{j=l_{0}}^{l_{1}}a_{i,j}=\sum _{j=l_{0}}^{l_{1}}\sum _{i=k_{0}}^{k_{1}}a_{i,j}\quad }$(التبديلية والتجميعية، مرة أخرى)

${\displaystyle \sum _{k\leq j\leq i\leq n}a_{i,j}=\sum _{i=k}^{n}\sum _{j=k}^{i}a_{i,j}=\sum _{j=k}^{n}\sum _{i=j}^{n}a_{i,j}=\sum _{j=0}^{n-k}\sum _{i=k}^{n-j}a_{i+j,i}\quad }$(تطبيق آخر لخاصيتي التبديل والتجميع)

${\displaystyle \sum _{n=2s}^{2t+1}f(n)=\sum _{n=s}^{t}f(2n)+\sum _{n=s}^{t}f(2n+1)\quad }$(تقسيم المجموع إلى أجزائه الفردية والزوجية ، بالنسبة للمؤشرات الزوجية )

${\displaystyle \sum _{n=2s+1}^{2t}f(n)=\sum _{n=s+1}^{t}f(2n)+\sum _{n=s+1}^{t}f(2n-1)\quad }$(تقسيم المجموع إلى أجزائه الفردية والزوجية، بالنسبة للمؤشرات الفردية)

${\displaystyle \sum _{n=s}^{t}\log _{b}f(n)=\log _{b}\prod _{n=s}^{t}f(n)\quad }$( لوغاريتم حاصل الضرب هو مجموع لوغاريتمات العوامل)

${\displaystyle C^{\sum \limits _{n=s}^{t}f(n)}=\prod _{n=s}^{t}C^{f(n)}\quad }$(الأس لمجموع ما هو حاصل ضرب الأس لحدود المجموع)

${\displaystyle \sum _{m=0}^{k}\sum _{n=0}^{m}f(m,n)=\sum _{m=0}^{k}\sum _{n=m}^{k}f(n,m),\quad }$لأي وظيفة${\textstyle f}$من${\textstyle \mathbb {Z} \times \mathbb {Z} }$.

${\displaystyle \sum _{i=1}^{n}c=nc\quad }$لكل c لا يعتمد على i

${\displaystyle \sum _{i=0}^{n}i=\sum _{i=1}^{n}i={\frac {n(n+1)}{2}}\qquad }$(مجموع أبسط متتابعة حسابية ، تتكون من أول n عدد طبيعي.) ^{[ 19 ] : 52}

${\displaystyle \sum _{i=1}^{n}(2i-1)=n^{2}\qquad }$(مجموع أول عدد فردي طبيعي)

${\displaystyle \sum _{i=0}^{n}2i=n(n+1)\qquad }$(مجموع أول عددين زوجيين طبيعيين)

${\displaystyle \sum _{i=1}^{n}\log i=\log(n!)\qquad }$(مجموع اللوغاريتمات هو لوغاريتم حاصل ضربها)

${\displaystyle \sum _{i=0}^{n}i^{2}=\sum _{i=1}^{n}i^{2}={\frac {n(n+1)(2n+1)}{6}}={\frac {n^{3}}{3}}+{\frac {n^{2}}{2}}+{\frac {n}{6}}\qquad }$(مجموع المربعات الأولى ، انظر العدد الهرمي المربع .) ^{[ 19 ] : 52}

${\displaystyle \sum _{i=0}^{n}i^{3}={\biggl (}\sum _{i=0}^{n}i{\biggr )}^{2}=\left({\frac {n(n+1)}{2}}\right)^{2}={\frac {n^{4}}{4}}+{\frac {n^{3}}{2}}+{\frac {n^{2}}{4}}\qquad }$( نظرية نيقوماخوس ) ^{[ 19 ] : 52}

وبشكل أعم، لدينا صيغة فولهاوبر لـ${\displaystyle p>1}$

${\displaystyle \sum _{k=1}^{n}k^{p}={\frac {n^{p+1}}{p+1}}+{\frac {1}{2}}n^{p}+\sum _{k=2}^{p}{\binom {p}{k}}{\frac {B_{k}}{p-k+1}}\,n^{p-k+1},}$

أين${\displaystyle B_{k}}$يرمز إلى عدد برنولي ، و${\displaystyle {\binom {p}{k}}}$هو معامل ذو حدين .

في عمليات الجمع التالية، يُفترض أن قيمة a تختلف عن 1.

${\displaystyle \sum _{i=0}^{n-1}a^{i}={\frac {1-a^{n}}{1-a}}}$(مجموع متتابعة هندسية )

${\displaystyle \sum _{i=0}^{n-1}{\frac {1}{2^{i}}}=2-{\frac {1}{2^{n-1}}}}$(حالة خاصة عندما تكون قيمة a = 1/2 )

${\displaystyle \sum _{i=0}^{n-1}ia^{i}={\frac {a-na^{n}+(n-1)a^{n+1}}{(1-a)^{2}}}}$( أ مضروبة في مشتقة المتتابعة الهندسية بالنسبة إلى أ )

${\displaystyle {\begin{aligned}\sum _{i=0}^{n-1}\left(b+id\right)a^{i}&=b\sum _{i=0}^{n-1}a^{i}+d\sum _{i=0}^{n-1}ia^{i}\\&=b\left({\frac {1-a^{n}}{1-a}}\right)+d\left({\frac {a-na^{n}+(n-1)a^{n+1}}{(1-a)^{2}}}\right)\\&={\frac {b(1-a^{n})-(n-1)da^{n}}{1-a}}+{\frac {da(1-a^{n-1})}{(1-a)^{2}}}\end{aligned}}}$

(مجموع متتالية حسابية هندسية )

توجد العديد من متطابقات الجمع التي تتضمن معاملات ذات الحدين (يُخصص فصل كامل من كتاب الرياضيات الملموسة للتقنيات الأساسية فقط). وفيما يلي بعض من أبسطها.

${\displaystyle \sum _{i=1}^{n}{\frac {1}{i}}=H_{n}\quad }$( الرقم التوافقي النوني )

${\displaystyle \sum _{i=1}^{n}{\frac {1}{i^{k}}}=H_{n}^{(k)}\quad }$( عدد توافقي معمّم )