المجموعة الزائدية

البنية الجبرية → نظرية المجموعة نظرية المجموعة
المفاهيم الأساسية المجموعة الفرعية المجموعة الفرعية الطبيعية العمل الجماعي مجموعة الحاصل منتج (شبه) مباشر المجموع المباشر منتج مجاني منتج إكليل الزهور تشابهات المجموعات نواة صورة بسيط محدود لانهائي مستمر مضاعف مادة مضافة دوري أبيليان ثنائي السطوح عديم القدرة قابلة للحل مسرد نظرية المجموعة قائمة مواضيع نظرية المجموعة
المجموعات المحدودة المجموعة الدورية Z n المجموعة المتماثلة S n المجموعة المتناوبة أ ن Dihedral group Dn Quaternion group Q Cauchy's theorem Lagrange's theorem Sylow theorems Hall's theorem p-group Elementary abelian group Frobenius group Schur multiplier Classification of finite simple groups cyclic alternating Lie type sporadic
Discrete groups Lattices Integers (${\displaystyle \mathbb {Z} }$) Free group Modular groups PSL(2, ${\displaystyle \mathbb {Z} }$) SL(2, ${\displaystyle \mathbb {Z} }$) Arithmetic group Lattice Hyperbolic group
Topological and Lie groups Solenoid Circle General linear GL(n) Special linear SL(n) Orthogonal O(n) Euclidean E(n) Special orthogonal SO(n) Unitary U(n) Special unitary SU(n) Symplectic Sp(n) G2 F4 E6 E7 E8 Lorentz Poincaré Conformal Diffeomorphism Loop Infinite dimensional Lie group O(∞) SU(∞) Sp(∞)
Algebraic groups Linear algebraic group Reductive group Abelian variety Elliptic curve
v t e

في نظرية المجموعات ، وبشكل أكثر دقة في نظرية المجموعات الهندسية ، المجموعة الزائدية ، والمعروفة أيضًا باسم المجموعة الزائدية اللفظية أو مجموعة جروموف الزائدية ، هي مجموعة متولدة بشكل محدود ومجهزة بمقياس لفظي يلبي خصائص معينة مجردة من الهندسة الزائدية الكلاسيكية . تم تقديم مفهوم المجموعة الزائدية وتطويره بواسطة ميخائيل جروموف  (1987). جاء الإلهام من العديد من النظريات الرياضية الموجودة: الهندسة الزائدية ولكن أيضًا الطوبولوجيا منخفضة الأبعاد (خاصة نتائج ماكس ديهن فيما يتعلق بالمجموعة الأساسية لسطح ريمان الزائدي ، والظواهر الأكثر تعقيدًا في الطوبولوجيا ثلاثية الأبعاد )، ونظرية المجموعة التوليفية . في فصل مؤثر للغاية (أكثر من 1000 استشهاد ^[1] ) من عام 1987، اقترح جروموف برنامج بحث واسع النطاق. تنبع الأفكار والمواد الأساسية في نظرية المجموعات الزائدية أيضًا من أعمال جورج موستو ، وويليام ثورستون ، وجيمس دبليو كانون ، وإيلياهو ريبس ، والعديد من الآخرين.

ليكن مجموعة متولدة بشكل محدود، وليكن رسم كايلي الخاص بها بالنسبة لمجموعة محدودة من المولدات. المجموعة مزودة بمقياس الرسم البياني الخاص بها (حيث تكون الأضلاع بطول واحد والمسافة بين رأسين هي الحد الأدنى لعدد الأضلاع في مسار يربط بينهما) مما يحولها إلى فضاء طول . يقال بعد ذلك أن المجموعة زائدية إذا كانت فضاء زائدي بمعنى جروموف. باختصار، هذا يعني أنه يوجد بحيث يكون أي مثلث جيوديسي في - رقيقًا ، كما هو موضح في الشكل الموجود على اليمين (يقال بعد ذلك أن الفضاء زائدي). ${\displaystyle G}$${\displaystyle X}$${\displaystyle S}$${\displaystyle X}$${\displaystyle G}$${\displaystyle X}$${\displaystyle \delta >0}$${\displaystyle X}$${\displaystyle \delta }$${\displaystyle \delta }$

يعتمد هذا التعريف مسبقًا على اختيار مجموعة توليد محدودة . ويترتب على عدم صحة هذا التعريف الحقيقتان التاليتان: ${\displaystyle S}$

• الرسوم البيانية لكايلي المقابلة لمجموعتين توليد محدودتين تكون دائمًا شبه متساوية القياس بالنسبة للأخرى؛
• أي فضاء جيوديسي شبه متساوي القياس بالنسبة لفضاء جروموف الزائدي الجيوديسي هو في حد ذاته فضاء جروموف الزائدي.

وبالتالي، يمكننا أن نتحدث بشكل مشروع عن مجموعة متولدة بشكل نهائي على أنها زائدية دون الإشارة إلى مجموعة مولدة. ومن ناحية أخرى، فإن الفضاء الذي يكون شبه متساوي القياس بالنسبة للفضاء الزائدي هو في حد ذاته زائدي بالنسبة للبعض ، ولكن الأخير يعتمد على الأصل وعلى شبه متساوي القياس، وبالتالي لا معنى للحديث عن كونه زائدي. ${\displaystyle G}$${\displaystyle \delta }$${\displaystyle \delta '}$${\displaystyle \delta '>0}$${\displaystyle \delta }$${\displaystyle G}$${\displaystyle \delta }$

تنص معضلة Švarc –Milnor ^[2] على أنه إذا كانت المجموعة تعمل بشكل غير مستمر بشكل صحيح وبحاصل مدمج (غالبًا ما يُطلق على هذا الفعل اسم هندسي ) على فضاء بطول مناسب ، فإنها تتولد بشكل نهائي، وأي رسم بياني لكايلي لـ يكون شبه متساوي القياس لـ . وبالتالي، تكون المجموعة (متولدة بشكل نهائي) زائدية إذا وفقط إذا كان لها فعل هندسي على فضاء زائدي مناسب. ${\displaystyle G}$${\displaystyle Y}$${\displaystyle G}$${\displaystyle Y}$

إذا كانت مجموعة فرعية ذات مؤشر منتهٍ (أي أن المجموعة منتهية)، فإن التضمين يحفز شبه تساوي القياس على رؤوس أي رسم بياني كايلي منتهٍ محليًا لـ في أي رسم بياني كايلي منتهٍ محليًا لـ . وبالتالي تكون زائدية إذا وفقط إذا كانت هي نفسها كذلك. وبشكل عام، إذا كانت مجموعتان متناسبتان ، فإن إحداهما تكون زائدية إذا وفقط إذا كانت الأخرى كذلك. ${\displaystyle G'\subset G}$${\displaystyle G/G'}$${\displaystyle G'}$${\displaystyle G}$${\displaystyle G'}$${\displaystyle G}$

أبسط الأمثلة على المجموعات الزائدية هي المجموعات المحدودة (التي تكون رسومها البيانية كايلي ذات قطر محدود، وبالتالي - زائدية يساوي هذا القطر). ${\displaystyle \delta }$${\displaystyle \delta }$

هناك مثال بسيط آخر يتم تقديمه من خلال المجموعة الدائرية اللانهائية : الرسم البياني لكايلي بالنسبة للمجموعة المولدة هو خط، لذا فإن جميع المثلثات عبارة عن قطع مستقيمة والرسم البياني هو زائدي. ويترتب على ذلك أن أي مجموعة دائرية تقريبًا (تحتوي على نسخة من مؤشر محدود) تكون زائدية أيضًا، على سبيل المثال المجموعة ثنائية السطوح اللانهائية . ${\displaystyle \mathbb {Z} }$${\displaystyle \mathbb {Z} }$${\displaystyle \{\pm 1\}}$${\displaystyle 0}$${\displaystyle \mathbb {Z} }$

غالبًا ما تسمى الأعضاء في هذه الفئة من المجموعات بالمجموعات الزائدية الأولية (المصطلح مقتبس من مصطلح الإجراءات على المستوى الزائدي).

ليكن مجموعة منتهية وليكن المجموعة الحرة ذات المجموعة المولدة . إذن، فإن الرسم البياني لكايلي لـ بالنسبة إلى هو شجرة منتهية محليًا وبالتالي فضاء زائدي صفري. وبالتالي تكون مجموعة زائدية. ${\displaystyle S=\{a_{1},\ldots ,a_{n}\}}$${\displaystyle F}$${\displaystyle S}$${\displaystyle F}$${\displaystyle S}$${\displaystyle F}$

وبشكل عام، نرى أن أي مجموعة تعمل بشكل متقطع على شجرة محدودة محليًا (في هذا السياق، يعني هذا بالضبط أن المثبتات في للرؤوس محدودة) تكون زائدية. والواقع أن هذا يتبع من حقيقة أن لها شجرة فرعية ثابتة تعمل عليها بمعامل مدمج، ومعضلة سفارك-ميلنور. والحقيقة أن مثل هذه المجموعات حرة تقريبًا (أي تحتوي على مجموعة فرعية حرة متولدة بشكل محدود ذات مؤشر محدود)، وهو ما يعطي دليلاً آخر على زائديتها. ${\displaystyle G}$${\displaystyle G}$${\displaystyle G}$

من الأمثلة المثيرة للاهتمام المجموعة المعيارية : فهي تعمل على الشجرة المعطاة بواسطة الهيكل 1 للفسيفساء المرتبطة بالمستوى الزائدي ولها مجموعة فرعية حرة ذات مؤشر محدود (على مولدين) ذات مؤشر 6 (على سبيل المثال، مجموعة المصفوفات التي يتم فيها اختزالها إلى الوحدة modulo 2 هي مثل هذه المجموعة). لاحظ ميزة مثيرة للاهتمام في هذا المثال: فهي تعمل بشكل صحيح بشكل متقطع على فضاء زائدي ( المستوى الزائدي ) ولكن الفعل ليس مضغوطًا (وليس في الواقع متساوي القياس تقريبًا للمستوى الزائدي). ${\displaystyle G=\mathrm {SL} _{2}(\mathbb {Z} )}$${\displaystyle G}$${\displaystyle G}$

بتعميم مثال المجموعة المعيارية، فإن المجموعة الفوشيانية هي مجموعة تقبل فعلًا غير متصل بشكل صحيح على المستوى الزائدي (أو على نحو مكافئ، مجموعة فرعية منفصلة من ). والمستوى الزائدي هو فضاء زائدي -، ومن ثم فإن مبرهنة سفارك-ميلنور تخبرنا أن المجموعات الفوشيانية المدمجة هي زائدية. ${\displaystyle \mathrm {SL} _{2}(\mathbb {R} )}$${\displaystyle \delta }$

ومن الأمثلة على ذلك المجموعات الأساسية للأسطح المغلقة ذات الخاصية أويلر السالبة . والواقع أن هذه الأسطح يمكن الحصول عليها كحاصلات للمستوى الزائدي، كما هو مستتر في نظرية التوحيد بوانكاريه-كوبي .

عائلة أخرى من الأمثلة على المجموعات الفوشيهية المدمجة هي مجموعات المثلث : كلها باستثناء عدد محدود منها تكون زائدية.

وبتعميم مثال الأسطح المغلقة، فإن المجموعات الأساسية للمتعددات الريمانية المدمجة ذات الانحناء المقطعي السلبي الصارم تكون زائدية. على سبيل المثال، الشبكات المدمجة في المجموعة المتعامدة أو الموحدة التي تحتفظ بشكل التوقيع تكون زائدية. ${\displaystyle (n,1)}$

يتم تقديم تعميم آخر من خلال المجموعات التي تقبل إجراءً هندسيًا على فضاء CAT(k) ، عندما يكون أي عدد سالب. ^[3] توجد أمثلة غير قابلة للقياس لأي من الإنشاءات السابقة (على سبيل المثال المجموعات التي تعمل هندسيًا على المباني الزائدية ). ${\displaystyle k}$

إن المجموعات التي تحتوي على عروض تقديمية تلبي شروط الإلغاء الصغيرة هي مجموعات زائدية. وهذا يعطي مصدرًا لأمثلة ليس لها أصل هندسي مثل الأمثلة المذكورة أعلاه. في الواقع، كان أحد الدوافع وراء التطوير الأولي للمجموعات الزائدية هو تقديم تفسير أكثر هندسية للإلغاء الصغير.

بمعنى ما، فإن "معظم" المجموعات المقدمة بشكل نهائي والتي لها علاقات تعريفية كبيرة تكون مبالغ فيها. للحصول على بيان كمي لما يعنيه هذا، راجع المجموعة العشوائية .

• أبسط مثال على مجموعة ليست زائدية هي المجموعة الإبيلية الحرة من الرتبة 2. في الواقع، إنها شبه متساوية القياس بالنسبة للمستوى الإقليدي الذي يُرى بسهولة أنه ليس زائديًا (على سبيل المثال بسبب وجود التجانس ).${\displaystyle \mathbb {Z} ^{2}}$
• بشكل عام، أي مجموعة تحتوي على مجموعة فرعية ليست زائدية. ^{[4] [5]} على وجه الخصوص، تندرج الشبكات في مجموعات لاي شبه البسيطة ذات الرتبة الأعلى والمجموعات الأساسية لمكملات العقد غير التافهة ضمن هذه الفئة وبالتالي فهي ليست زائدية. وهذا هو الحال أيضًا بالنسبة لتعيين مجموعات الفئات للأسطح الزائدية المغلقة.${\displaystyle \mathbb {Z} ^{2}}$ ${\displaystyle \pi _{1}(S^{3}\setminus K)}$
• تفشل مجموعات Baumslag –Solitar B ( m , n ) وأي مجموعة تحتوي على مجموعة فرعية متماثلة لبعض B ( m , n ) في أن تكون زائدية (نظرًا لأن B (1,1) = ، فإن هذا يعمم المثال السابق).${\displaystyle \mathbb {Z} ^{2}}$
• الشبكة غير المنتظمة في مجموعة لي البسيطة من الرتبة 1 تكون زائدية إذا وفقط إذا كانت المجموعة متجانسة مع (على نحو مكافئ، فإن الفضاء المتماثل المرتبط هو المستوى الزائدي). ومن الأمثلة على ذلك مجموعات العقد الزائدية . مثال آخر هو مجموعات بيانكي ، على سبيل المثال .${\displaystyle \mathrm {SL} _{2}(\mathbb {R} )}$ ${\displaystyle \mathrm {SL} _{2}({\sqrt {-1}})}$

• تلبي المجموعات الزائدية بديل تيتس : فهي إما قابلة للحل افتراضيًا (هذا الاحتمال لا يتحقق إلا من خلال المجموعات الزائدية الأولية) أو أنها تحتوي على مجموعة فرعية متشابهة مع مجموعة حرة غير أبيلية.
• المجموعات الزائدية غير الأولية ليست بسيطة بالمعنى القوي: إذا كانت زائدية غير أولية، فهناك مجموعة فرعية لا نهائية بحيث يكون كل منهما لانهائي.${\displaystyle G}$${\displaystyle H\triangleleft G}$${\displaystyle H}$${\displaystyle G/H}$
• ليس من المعروف ما إذا كانت هناك مجموعة زائدية ليست متناهية المتبقي .

• المجموعات الزائدية غير الأولية (غير النهائية وغير الدورية تقريبًا) لديها دائمًا معدل نمو أسي (وهذا نتيجة لبديل تيتس).
• تلبي المجموعات الزائدية متباينة خطية متساوية المحيط . ^[6]

• يتم تقديم المجموعات الزائدية دائمًا بشكل منتهٍ . في الواقع، يمكن للمرء أن ينشئ بشكل صريح مركبًا ( مركب ريبس ) قابل للانكماش والذي تعمل عليه المجموعة هندسيًا ^[7]، لذا فهو من النوع F _∞ . عندما تكون المجموعة خالية من الالتواء، يكون الفعل حرًا، مما يدل على أن المجموعة لها بعد متجانس محدود .
• في عام 2002، أظهر آي. مينييف أن المجموعات الزائدية هي بالضبط تلك المجموعات المولدة بشكل محدود حيث تكون خريطة المقارنة بين التماثل المحدود والتماثل العادي متماثلة في جميع الدرجات، أو ما يعادلها، في الدرجة 2. ^[8]

• تحتوي المجموعات الزائدية على مشكلة كلامية قابلة للحل . وهي ثنائية الآلية وتلقائية . ^[9] في الواقع، فهي آلية جيوديسية بقوة ، أي أن هناك بنية آلية على المجموعة، حيث تكون اللغة التي يقبلها متقبل الكلمة هي مجموعة كل الكلمات الجيوديسية.
• لقد ثبت في عام 2010 أن المجموعات الزائدية لها مشكلة تماثل مميزة قابلة للحل . ^[10] ومن الجدير بالذكر أن هذا يعني أن مشكلة التماثل، ومشاكل المدار (وخاصة مشكلة الاقتران) ومشكلة وايتهايد كلها قابلة للحل.
• أظهر كانون وسوينسون أن المجموعات الزائدية ذات الكرة المكونة من 2 في اللانهاية لها قاعدة تقسيم طبيعية . ^[11] وهذا مرتبط بتخمين كانون .

المجموعات الزائدية النسبية هي فئة تعمم المجموعات الزائدية. تقريبًا جدًا ^[12] تكون زائدية بالنسبة لمجموعة من المجموعات الفرعية إذا كانت تسمح بتأثير متقطع بشكل صحيح ( ليس بالضرورة مدمجًا ) على فضاء زائدي مناسب "لطيف" على حدود و بحيث تكون المثبتات في من النقاط على الحدود مجموعات فرعية في . هذا أمر مثير للاهتمام عندما لا يكون كل من و تأثير on أوليين (على وجه الخصوص لا نهائي: على سبيل المثال كل مجموعة زائدية بالنسبة لنفسها من خلال تأثيرها على نقطة واحدة!). ${\displaystyle G}$${\displaystyle {\mathcal {G}}}$${\displaystyle X}$${\displaystyle X}$${\displaystyle G}$${\displaystyle {\mathcal {G}}}$${\displaystyle X}$${\displaystyle G}$${\displaystyle X}$${\displaystyle X}$

تتضمن الأمثلة المثيرة للاهتمام في هذه الفئة على وجه الخصوص الشبكات غير المنتظمة في مجموعات لي شبه البسيطة من الرتبة 1 ، على سبيل المثال المجموعات الأساسية للمتعددات الزائدية غير المضغوطة ذات الحجم المحدود. الأمثلة غير المنتظمة هي الشبكات في مجموعات لي ذات الرتبة الأعلى ومجموعات فئة التعيين.

هناك مفهوم أكثر عمومية وهو مفهوم المجموعة الزائدية غير الأسطوانية. ^[13] إن عدم أسطوانية فعل مجموعة في فضاء متري هو إضعاف لعدم الاستمرارية المناسبة للفعل. ^[14]${\displaystyle G}$${\displaystyle X}$

يقال عن المجموعة أنها زائدية لا أسطوانية إذا كانت تسمح بتأثير أسطواني لا أولي على فضاء جروموف الزائدي ( ليس بالضرورة صحيحًا ). يتضمن هذا المفهوم تعيين مجموعات الفئات من خلال تأثيراتها على مجمعات المنحنيات . الشبكات في مجموعات لاي ذات الرتبة الأعلى ليست زائدية لا أسطوانية (ما زالت!).

في اتجاه آخر، يمكننا إضعاف الافتراض المتعلق بالانحناء في الأمثلة أعلاه: مجموعة CAT(0) هي مجموعة تسمح بتأثير هندسي على فضاء CAT(0) . وهذا يشمل المجموعات البلورية الإقليدية والشبكات المنتظمة في مجموعات لاي ذات الرتبة الأعلى.

ليس من المعروف ما إذا كانت هناك مجموعة زائدية ليست CAT(0). ^[15]

• بريدسون، مارتن ر . هيفليجر، أندريه (1999). الفضاءات المترية ذات الانحناء غير الموجب . Grundlehren der Mathematischen Wissenschaften [المبادئ الأساسية للعلوم الرياضية]. المجلد. 319. برلين: سبرينغر-فيرلاغ. دوى :10.1007/978-3-662-12494-9. رقم ISBN 3-540-64324-9. السيد  1744486.

• بوديتش، بريان (2006). دورة في نظرية المجموعة الهندسية (PDF) . مذكرات مجلة العلوم والرياضيات. المجلد 16. طوكيو: الجمعية الرياضية اليابانية . doi :10.1142/e003. ISBN 4-931469-35-3. السيد  2243589.

• بوديتش، بريان (2012). "المجموعات الزائدية النسبية" (PDF) . المجلة الدولية للجبر والحوسبة . 22 (3): 1250016، 66 صفحة. doi :10.1142/S0218196712500166. MR  2922380. S2CID  261118194.

• كانون، جيمس دبليو ؛ سوينسون، إريك إل. (1998). "التعرف على المجموعات المنفصلة ذات الانحناء الثابت في البعد 3". معاملات الجمعية الرياضية الأمريكية . 350 (2): 809-849. doi : 10.1090/S0002-9947-98-02107-2 . MR  1458317.
• تشارني، روث (1992). "مجموعات آرتين من النوع المحدود ثنائية الآلية". مجلة الرياضيات . 292 (4): 671-683. doi :10.1007/BF01444642. MR  1157320. S2CID  120654588.
• دهماني، فرانسوا؛ جيرارديل، فينسينت (2011). "مشكلة التماثل لجميع المجموعات الزائدية". التحليل الهندسي والوظيفي . 21 (2): 223-300. arXiv : 1002.2590 . doi : 10.1007/s00039-011-0120-0. S2CID  115165062.
• الأماكن القريبة : دي لا هاربي، بيير، محرران. (1990). Sur les groupes Hyperboliques d'après Mikhael Gromov [ المجموعات الزائدية في نظرية ميخائيل جروموف ]. التقدم في الرياضيات (باللغة الفرنسية). المجلد. 83. بوسطن، ماساتشوستس: Birkhäuser Boston, Inc. دوى :10.1007/978-1-4684-9167-8. رقم ISBN 0-8176-3508-4. السيد  1086648.
• جروموف، ميخائيل (1987). "المجموعات الزائدية". في جيرستن، ستيف م. (المحرر). مقالات في نظرية المجموعات . منشورات معهد أبحاث العلوم الرياضية. المجلد 8. نيويورك: سبرينغر. ص. 75-263. doi :10.1007/978-1-4613-9586-7_3. ISBN 0-387-96618-8. السيد  0919829.
• مينييف، إيغور (2002). "علم التماثل المحدود يميز المجموعات الزائدية". مجلة الرياضيات الفصلية . 53 (1): 59-73. doi :10.1093/qjmath/53.1.59. MR  1887-670.
• أوسين، دينيس (2016). "المجموعات الزائدية الأسطوانية". معاملات الجمعية الرياضية الأمريكية . 368 (2): 851-888. arXiv : 1304.1246 . doi :10.1090/tran/6343. MR  3430352. S2CID  21624534.

• كورنيرت، ميشيل. ديلزانت، توماس. بابادوبولوس، أثاناسي (1990). Géométrie et théorie des groupes : les groupes overboliques de Gromov [ هندسة ونظرية المجموعات: مجموعات Gromov الزائدية ]. ملاحظات محاضرة في الرياضيات (باللغة الفرنسية). المجلد. 1441. برلين: سبرينغر-فيرلاغ. دوى :10.1007/BFb0084913. رقم ISBN 3-540-52977-2. السيد  1075994.
• كورنايرت، ميشيل؛ بابادوبولوس، أثاناسي (1993). الديناميكيات الرمزية والمجموعات الزائدية . محاضرات في الرياضيات. المجلد 1539. برلين: سبرينغر فيرلاغ. doi :10.1007/BFb0092577. ISBN 3-540-56499-3. السيد  1222644.
• "فضاء جروموف الزائدي"، موسوعة الرياضيات ، EMS Press ، 2001 [1994]