صيغة انعكاس موبيوس

في الرياضيات ، تُعدّ صيغة موبيوس الكلاسيكية للانعكاس علاقة بين أزواج من الدوال الحسابية ، حيث تُعرَّف كل دالة من الأخرى عن طريق جمع القواسم . وقد أُدخلت هذه الصيغة إلى نظرية الأعداد عام 1832 على يد أوغست فرديناند موبيوس . ^{[ 1 ]}

ينطبق تعميم كبير لهذه الصيغة على الجمع على مجموعة مرتبة جزئياً محدودة محلياً بشكل تعسفي ، مع تطبيق صيغة موبيوس الكلاسيكية على مجموعة الأعداد الطبيعية المرتبة حسب قابلية القسمة: انظر جبر الوقوع .

تنص النسخة الكلاسيكية على أنه إذا كانت g و f دالتين حسابيتين تحققان

${\displaystyle g(n)=\sum _{d\mid n}f(d)\quad {\text{لكل عدد صحيح }}n\geq 1}$

ثم

${\displaystyle f(n)=\sum _{d\mid n}\mu (d)\,g\!\left({\frac {n}{d}}\right)\quad {\text{لكل عدد صحيح }}n\geq 1}$

حيث μ هي دالة موبيوس ، وتمتد المجاميع على جميع القواسم الموجبة d للعدد n (المشار إليها بـ${\displaystyle d\mid n}$(في الصيغ المذكورة أعلاه). في الواقع، يمكن تحديد الدالة الأصلية f ( n ) بمعرفة الدالة g ( n ) باستخدام صيغة الانعكاس. ويُقال إن المتتاليتين هما تحويلان موبيوس لبعضهما البعض.

تكون الصيغة صحيحة أيضًا إذا كانت f و g دالتين من الأعداد الصحيحة الموجبة إلى مجموعة أبيلية (تعتبر وحدة Z ).

بلغة التفافات ديريشليه ، يمكن كتابة الصيغة الأولى على النحو التالي

${\displaystyle g={\mathit {1}}*f}$

حيث يرمز ∗ إلى التفاف ديريشليه، و 1 هي الدالة الثابتة 1 ( n ) = 1. وتُكتب الصيغة الثانية على النحو التالي:

${\displaystyle f=\mu *g.}$

تم تقديم العديد من الأمثلة المحددة في المقالة المتعلقة بالدوال الضربية .

تستنتج النظرية من كون ∗ دالة (تبديلية و) تجميعية، و 1 ∗ μ = ε ، حيث ε هي دالة التطابق للالتفاف ديريشليه، وتأخذ القيم ε (1) = 1 ، ε ( n ) = 0 لجميع قيم n > 1. وبالتالي

${\displaystyle \mu *g=\mu *({\mathit {1}}*f)=(\mu *{\mathit {1}})*f=\varepsilon *f=f}$.

استبدال${\displaystyle f,g}$بواسطة${\displaystyle \ln f,\ln g}$، فنحصل على صيغة الضرب لصيغة انعكاس موبيوس:

${\displaystyle g(n)=\prod _{d|n}f(d)\iff f(n)=\prod _{d|n}g\left({\frac {n}{d}}\right)^{\mu (d)},\forall n\geq 1.}$

يترك

${\displaystyle a_{n}=\sum _{d\mid n}b_{d}}$

لهذا السبب.

${\displaystyle b_{n}=\sum _{d\mid n}\mu \left({\frac {n}{d}}\right)a_{d}}$

هذا هو تحويلها. وترتبط التحويلات ببعضها البعض عن طريق المتسلسلات: متسلسلة لامبرت

${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty}a_{n}x^{n}=\sum _{n=1}^{\infty }b_{n}{\frac {x^{n}}{1-x^{n}}}}$

ومتسلسلة ديريشليه :

${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }{\frac {a_{n}}{n^{s}}}=\zeta (s)\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {b_{n}}{n^{s}}}}$

حيث ζ ( s ) هي دالة زيتا لريمان .

بفرض دالة حسابية، يمكن للمرء توليد سلسلة ثنائية اللانهاية من الدوال الحسابية الأخرى عن طريق تطبيق عملية الجمع الأولى بشكل متكرر.

على سبيل المثال، إذا بدأ المرء بدالة أويلر φ ، وطبق عملية التحويل بشكل متكرر، فسيحصل على:

1. φ دالة الوتر
2. φ ∗ 1 = I ، حيث I ( n ) = n هي دالة التطابق
3. I ∗ 1 = σ ₁ = σ ، دالة المقسوم عليها

إذا كانت الدالة الابتدائية هي دالة موبيوس نفسها، فإن قائمة الدوال هي:

1. μ ، دالة موبيوس
2. μ ∗ 1 = ε حيث$${\displaystyle \varepsilon (n)={\begin{cases}1,&{\text{if }}n=1\\0,&{\text{if }}n>1\end{cases}}}$$هي دالة الوحدة
3. ε ∗ 1 = 1 ، الدالة الثابتة
4. 1 ∗ 1 = σ ₀ = d = τ ، حيث d = τ هو عدد قواسم n ، (انظر دالة القاسم ).

تمتد كلتا قائمتي الدوال هاتين إلى ما لا نهاية في كلا الاتجاهين. وتُمكّن صيغة موبيوس العكسية من اجتياز هاتين القائمتين عكسيًا.

على سبيل المثال، التسلسل الذي يبدأ بـ φ هو:

${\displaystyle f_{n}={\begin{cases}\underbrace {\mu *\ldots *\mu } _{-n{\text{ factors}}}*\varphi &{\text{if }}n<0\\[8px]\varphi &{\text{if }}n=0\\[8px]\varphi *\underbrace {{\mathit {1}}*\ldots *{\mathit {1}}} _{n{\text{ factors}}}&{\text{if }}n>0\end{cases}}}$

ربما يمكن فهم التسلسلات المولدة بسهولة أكبر من خلال النظر في سلسلة ديريشلي المقابلة : كل تطبيق متكرر للتحويل يتوافق مع الضرب بدالة زيتا لريمان .

صيغة معكوسة ذات صلة، أكثر فائدة في التوافقية ، هي كما يلي: لنفترض أن F ( x ) و G ( x ) دالتان مركبتان معرفتان على الفترة [ 1, ∞) بحيث

${\displaystyle G(x)=\sum _{1\leq n\leq x}F\left({\frac {x}{n}}\right)\quad {\mbox{ لجميع }}x\geq 1}$

ثم

${\displaystyle F(x)=\sum _{1\leq n\leq x}\mu (n)G\left({\frac {x}{n}}\right)\quad {\mbox{ لجميع }}x\geq 1.}$

هنا تمتد المجاميع على جميع الأعداد الصحيحة الموجبة n التي تقل عن أو تساوي x .

وهذا بدوره حالة خاصة من شكل أكثر عمومية. إذا كانت α ( n ) دالة حسابية تمتلك معكوس ديريشليه α⁻¹ ( n ) ^، فإنه إذا عرّفنا

${\displaystyle G(x)=\sum _{1\leq n\leq x}\alpha (n)F\left({\frac {x}{n}}\right)\quad {\mbox{ لجميع }}x\geq 1}$

ثم

${\displaystyle F(x)=\sum _{1\leq n\leq x}\alpha ^{-1}(n)G\left({\frac {x}{n}}\right)\quad {\mbox{ for all }}x\geq 1.}$

تنشأ الصيغة السابقة في الحالة الخاصة للدالة الثابتة α ( n ) = 1 ، والتي يكون معكوسها ديريشليه هو α ⁻¹ ( n ) = μ ( n ) .

يظهر تطبيق خاص لأول هذه التوسعات إذا كانت لدينا دالتان (ذات قيم مركبة) f ( n ) و g ( n ) معرفتان على الأعداد الصحيحة الموجبة، مع

${\displaystyle g(n)=\sum _{1\leq m\leq n}f\left(\left\lfloor {\frac {n}{m}}\right\rfloor \right)\quad {\mbox{ for all }}n\geq 1.}$

بتعريف F ( x ) = f ( ⌊x⌋ ) و G ( x ) = g ( ⌊x⌋ ) ، نستنتج أن

${\displaystyle f(n)=\sum _{1\leq m\leq n}\mu (m)g\left(\left\lfloor {\frac {n}{m}}\right\rfloor \right)\quad {\mbox{ for all }}n\geq 1.}$

من الأمثلة البسيطة على استخدام هذه الصيغة حساب عدد الكسور المختزلة 0 < a / b < 1 ، حيث a و b عددان أوليان فيما بينهما و b ≤ n . إذا رمزنا لهذا العدد بـ f ( n ) ، فإن g ( n ) هو العدد الإجمالي للكسور 0 < a / b < 1 حيث b ≤ n ، مع العلم أن a و b ليسا بالضرورة عددين أوليان فيما بينهما. ( وذلك لأن كل كسر a / b حيث gcd ( a , b ) = d و b ≤ n يمكن اختزاله إلى الكسر a / d / b / d حيث b / d ≤ n / d ، والعكس صحيح . ) هنا من السهل تحديد g ( n ) = n ( n - 1) / 2 ، لكن حساب f ( n ) أصعب.

صيغة عكسية أخرى هي (حيث نفترض أن المتسلسلات المعنية متقاربة تقاربًا مطلقًا ):

${\displaystyle g(x)=\sum _{m=1}^{\infty }{\frac {f(mx)}{m^{s}}}\quad {\mbox{ for all }}x\geq 1\quad \Longleftrightarrow \quad f(x)=\sum _{m=1}^{\infty }\mu (m){\frac {g(mx)}{m^{s}}}\quad {\mbox{ for all }}x\geq 1.}$

كما سبق، ينطبق هذا بشكل عام على الحالة التي تكون فيها α ( n ) دالة حسابية تمتلك معكوس ديريشليه α ⁻¹ ( n ) :

${\displaystyle g(x)=\sum _{m=1}^{\infty }\alpha (m){\frac {f(mx)}{m^{s}}}\quad {\mbox{ for all }}x\geq 1\quad \Longleftrightarrow \quad f(x)=\sum _{m=1}^{\infty }\alpha ^{-1}(m){\frac {g(mx)}{m^{s}}}\quad {\mbox{ for all }}x\geq 1.}$

على سبيل المثال، هناك برهان معروف يربط دالة زيتا لريمان بدالة زيتا الأولية ، ويستخدم الشكل القائم على المتسلسلة لانعكاس موبيوس في المعادلة السابقة عندما${\displaystyle s=1}$أي، من خلال تمثيل جداء أويلر لـ${\displaystyle \zeta (s)}$ل ${\displaystyle \Re (s)>1}$

${\displaystyle \log \zeta (s)=-\sum _{p\mathrm {\ prime} }\log \left(1-{\frac {1}{p^{s}}}\right)=\sum _{k\geq 1}{\frac {P(ks)}{k}}\iff P(s)=\sum _{k\geq 1}{\frac {\mu (k)}{k}}\log \zeta (ks),\Re (s)>1.}$

توجد هذه المتطابقات لأشكال بديلة لانعكاس موبيوس في ^{[ 2 ]} . وقد قام روتا ببناء نظرية أكثر عمومية لصيغ انعكاس موبيوس، والتي تم الاستشهاد بها جزئيًا في القسم التالي حول جبر الوقوع، في ^{[ 3 ] .}

بما أن انعكاس موبيوس ينطبق على أي زمرة تبديلية، فلا فرق إن كُتبت عملية الزمرة كجمع أو كضرب. وهذا يُنتج الصيغة التالية للانعكاس:

${\displaystyle {\mbox{if }}F(n)=\prod _{d|n}f(d),{\mbox{ then }}f(n)=\prod _{d|n}F\left({\frac {n}{d}}\right)^{\mu (d)}.}$

يمكن إثبات التعميم الأول على النحو التالي. نستخدم اصطلاح إيفرسون الذي ينص على أن [الشرط] هي دالة مؤشر للشرط، وتكون قيمتها 1 إذا كان الشرط صحيحًا و0 إذا كان خاطئًا. ونستخدم النتيجة التي

${\displaystyle \sum _{d|n}\mu (d)=\varepsilon (n),}$

إنه،${\displaystyle 1*\mu =\varepsilon }$، أين${\displaystyle \varepsilon }$هي دالة الوحدة .

لدينا ما يلي:

${\displaystyle {\begin{aligned}\sum _{1\leq n\leq x}\mu (n)g\left({\frac {x}{n}}\right)&=\sum _{1\leq n\leq x}\mu (n)\sum _{1\leq m\leq {\frac {x}{n}}}f\left({\frac {x}{mn}}\right)\\&=\sum _{1\leq n\leq x}\mu (n)\sum _{1\leq m\leq {\frac {x}{n}}}\sum _{1\leq r\leq x}[r=mn]f\left({\frac {x}{r}}\right)\\&=\sum _{1\leq r\leq x}f\left({\frac {x}{r}}\right)\sum _{1\leq n\leq x}\mu (n)\sum _{1\leq m\leq {\frac {x}{n}}}\left[m={\frac {r}{n}}\right]\qquad {\text{rearranging the summation order}}\\&=\sum _{1\leq r\leq x}f\left({\frac {x}{r}}\right)\sum _{n|r}\mu (n)\\&=\sum _{1\leq r\leq x}f\left({\frac {x}{r}}\right)\varepsilon (r)\\&=f(x)\qquad {\text{since }}\varepsilon (r)=0{\text{ except when }}r=1\end{aligned}}}$

إن البرهان في الحالة الأكثر عمومية حيث يحل α ( n ) محل 1 هو متطابق بشكل أساسي، وكذلك التعميم الثاني.

بالنسبة لمجموعة مرتبة جزئياً P ، وهي مجموعة مزودة بعلاقة ترتيب جزئي${\displaystyle \leq }$، تعريف دالة موبيوس${\displaystyle \mu }$من P بشكل متكرر بواسطة

${\displaystyle \mu (s,s)=1{\text{ for }}s\in P,\qquad \mu (s,u)=-\sum _{s\leq t<u}\mu (s,t),\quad {\text{ for }}s<u{\text{ in }}P.}$

(هنا يُفترض أن المجاميع منتهية.) ثم لـ${\displaystyle f,g:P\to K}$حيث K حلقة تبديلية ، لدينا

${\displaystyle g(t)=\sum _{s\leq t}f(s)\qquad {\text{ for all }}t\in P}$

إذا وفقط إذا

${\displaystyle f(t)=\sum _{s\leq t}g(s)\mu (s,t)\qquad {\text{ for all }}t\in P.}$

(انظر كتاب ستانلي في التعداد التوافقي ، المجلد 1، القسم 3.7.)

دالة موبيوس الحسابية الكلاسيكية هي حالة خاصة من المجموعة الجزئية المرتبة P للأعداد الصحيحة الموجبة المرتبة حسب قابلية القسمة : أي، بالنسبة للأعداد الصحيحة الموجبة s و t، نُعرّف الترتيب الجزئي${\displaystyle s\preccurlyeq t}$بمعنى أن s قاسم لـ t . على مجموعة القوى${\displaystyle {\mathcal {P}}(S)}$من مجموعة${\displaystyle S}$، بترتيب من${\displaystyle \subseteq }$(احتواء المجموعة)، تعيد نظرية موبيوس العكسية إنتاج مبدأ الإدراج والاستبعاد ، وعلى المجموعة${\displaystyle \mathbb {N} }$الأعداد الطبيعية بترتيبها القياسي (الكلي) حسب${\displaystyle \leq }$تتطابق هذه النظرية مع نسخة منفصلة من النظرية الأساسية في حساب التفاضل والتكامل (انظر كتاب ستانلي في التعداد التوافقي ، المجلد 1، القسم 3.8). في مختلف العلوم، يمكن صياغة العديد من مقاييس التفاعل على شكل انعكاسات موبيوس على مجموعات جزئية مرتبة مختلفة. ومن الأمثلة على ذلك قيم شابلي في نظرية الألعاب ، وتفاعلات الإنتروبيا القصوى في الميكانيكا الإحصائية ، والتفاعل الجيني في علم الوراثة، ومعلومات التفاعل ، والارتباط الكلي ، وتحليل المعلومات الجزئية من نظرية المعلومات . ^{[ 4 ]}

صاغ كلٌّ من وايسنر (1935) وفيليب هول (1936) صيغة انعكاس موبيوس العامة [للمجموعات المرتبة جزئيًا] لأول مرة بشكل مستقل؛ وقد استلهم كلاهما من مسائل نظرية الزمر. ويبدو أن أيًا منهما لم يكن على دراية بالآثار التوافقية لعمله، ولم يطور أيٌّ منهما نظرية دوال موبيوس. وفي ورقة بحثية أساسية حول دوال موبيوس، بيّن روتا أهمية هذه النظرية في الرياضيات التوافقية، وقدم لها شرحًا معمقًا. وأشار إلى العلاقة بين مواضيع مثل الإدراج والاستبعاد، وانعكاس موبيوس الكلاسيكي في نظرية الأعداد، ومسائل التلوين، والتدفقات في الشبكات. ومنذ ذلك الحين، وتحت تأثير روتا الكبير، أصبحت نظرية انعكاس موبيوس والمواضيع ذات الصلة مجالًا نشطًا في التوافقية. ^{[ 5 ]}

• تسلسل فاري
• مبدأ الإدراج والاستبعاد

• أبوستول، توم م. (1976)، مقدمة في نظرية الأعداد التحليلية ، نصوص جامعية في الرياضيات، نيويورك-هايدلبرغ: سبرينغر-فيرلاغ، ISBN 978-0-387-90163-3، MR 0434929 ، Zbl 0335.10001  
• بيندر، إدوارد أ.؛ غولدمان، ج.  ر. (1975)، "حول تطبيقات عكس موبيوس في التحليل التوافقي" ، المجلة الأمريكية للرياضيات الشهرية ، 82 (8): 789-803 ، doi : 10.2307/2319793 ، JSTOR 2319793 
• أيرلندا، ك.؛ روزن، م. (2010)، مقدمة كلاسيكية لنظرية الأعداد الحديثة ، نصوص الدراسات العليا في الرياضيات (الكتاب 84) (  الطبعة الثانية)، سبرينغر-فيرلاغ، ISBN 978-1-4419-3094-1
• كونغ، جوزيف ب.س. (2001) [1994]، "انعكاس موبيوس" ، موسوعة الرياضيات ، دار نشر EMS
• موبيوس، AF (1832)، “Über eine besondere Art von Umkehrung der Reihen.” , Journal für die reine und angewandte Mathematik , 9 : 105– 123
• ستانلي، ريتشارد ب. (1997)، التوافقية العددية ، المجلد  1، مطبعة جامعة كامبريدج، رقم ISBN 0-521-55309-1
• ستانلي، ريتشارد ب. (1999)، التوافقية العددية ، المجلد  2، مطبعة جامعة كامبريدج، ISBN 0-521-56069-1

• فايستين، إريك دبليو. “تحويل موبيوس” . عالم الرياضيات .