B-spline غير منتظم وعقلاني

تُحدد رتبة منحنى NURBS عدد نقاط التحكم القريبة التي تؤثر على أي نقطة معينة على المنحنى. يُمثل المنحنى رياضيًا بكثير حدود من الدرجة الأقل بواحد من رتبته. لذا، تُسمى المنحنيات من الدرجة الثانية (التي تُمثل بكثيرات حدود خطية) منحنيات خطية، والمنحنيات من الدرجة الثالثة منحنيات تربيعية، والمنحنيات من الدرجة الرابعة منحنيات تكعيبية. يجب أن يكون عدد نقاط التحكم أكبر من أو يساوي رتبة المنحنى.

في الواقع العملي، تُعد المنحنيات التكعيبية هي الأكثر استخدامًا. أما المنحنيات من الرتبة الخامسة والسادسة فهي مفيدة أحيانًا، خاصةً للحصول على مشتقات متصلة من الرتب العليا، ولكن من النادر جدًا استخدام المنحنيات من الرتب العليا لأنها تؤدي إلى مشاكل عددية داخلية وتتطلب عادةً أوقات حساب طويلة بشكل غير متناسب.

تُحدد نقاط التحكم شكل المنحنى. ^{[ 12 ]} عادةً، تُحسب كل نقطة من نقاط المنحنى بأخذ مجموع مرجح لعدد من نقاط التحكم. يختلف وزن كل نقطة تبعًا للمعامل المتحكم. بالنسبة لمنحنى من الدرجة d، يكون وزن أي نقطة تحكم غير صفري فقط في d+1 فترات من فضاء المعاملات . ضمن هذه الفترات، يتغير الوزن وفقًا لدالة متعددة الحدود ( دوال أساسية ) من الدرجة d. عند حدود الفترات، تتلاشى الدوال الأساسية تدريجيًا إلى الصفر، وتُحدد درجة هذه السلاسة بدرجة متعددة الحدود.

على سبيل المثال، دالة الأساس من الدرجة الأولى هي دالة مثلثية. ترتفع من الصفر إلى الواحد، ثم تنخفض إلى الصفر مرة أخرى. أثناء ارتفاعها، تنخفض دالة الأساس لنقطة التحكم السابقة. وبهذه الطريقة، يمتد المنحنى بين النقطتين، ويكون المنحنى الناتج مضلعًا متصلًا ، ولكنه غير قابل للتفاضل عند حدود الفترة، أو العقد. تتميز كثيرات الحدود ذات الدرجات الأعلى بمشتقات أكثر اتصالًا. تجدر الإشارة إلى أنه ضمن الفترة، تجعل طبيعة كثيرات الحدود لدوال الأساس وخطية البناء المنحنى أملسًا تمامًا، لذا لا يمكن أن يحدث عدم الاتصال إلا عند العقد.

في العديد من التطبيقات، تُعدّ خاصية تأثير نقطة تحكم واحدة فقط على الفترات التي تكون فيها نشطة خاصية مرغوبة للغاية، تُعرف بالدعم المحلي . في النمذجة، تسمح هذه الخاصية بتغيير جزء واحد من السطح مع الحفاظ على الأجزاء الأخرى دون تغيير.

تتيح إضافة المزيد من نقاط التحكم تقريبًا أفضل لمنحنى معين، مع العلم أن فئة معينة فقط من المنحنيات يمكن تمثيلها بدقة باستخدام عدد محدود من نقاط التحكم. تتميز منحنيات NURBS أيضًا بوزن قياسي لكل نقطة تحكم، مما يسمح بمزيد من التحكم في شكل المنحنى دون زيادة عدد نقاط التحكم بشكل مفرط. وعلى وجه الخصوص، يضيف هذا الوزن القطوع المخروطية، مثل الدوائر والأهليجات، إلى مجموعة المنحنيات التي يمكن تمثيلها بدقة. ويشير مصطلح " الوزن النسبي" في NURBS إلى هذه الأوزان.

يمكن أن تتخذ نقاط التحكم أي بُعد . تُعرّف النقاط أحادية البُعد دالةً عدديةً للمعامل، وتُستخدم عادةً في برامج معالجة الصور لضبط منحنيات السطوع واللون. أما نقاط التحكم ثلاثية الأبعاد، فتُستخدم بكثرة في النمذجة ثلاثية الأبعاد، حيث تُستخدم بالمعنى المتعارف عليه لكلمة "نقطة"، أي موقع في الفضاء ثلاثي الأبعاد. ويمكن استخدام النقاط متعددة الأبعاد للتحكم في مجموعات من القيم المتغيرة مع الزمن، مثل إعدادات الموضع والدوران المختلفة لذراع روبوت. وتُعد أسطح NURBS تطبيقًا عمليًا لهذا المفهوم. فكل "نقطة" تحكم هي في الواقع متجه كامل من نقاط التحكم، يُحدد منحنى. وتتشارك هذه المنحنيات في درجتها وعدد نقاط التحكم، وتغطي بُعدًا واحدًا من فضاء المعاملات. ومن خلال استيفاء متجهات التحكم هذه على البُعد الآخر من فضاء المعاملات، نحصل على مجموعة متصلة من المنحنيات، تُحدد السطح.

متجه العقد هو سلسلة من قيم المعاملات التي تحدد مكان وكيفية تأثير نقاط التحكم على منحنى NURBS. عدد العقد يساوي دائمًا عدد نقاط التحكم مضافًا إليه درجة المنحنى زائد واحد (أي عدد نقاط التحكم مضافًا إليه رتبة المنحنى). يقسم متجه العقد الفضاء البارامتري إلى الفترات المذكورة سابقًا، والتي تُعرف عادةً باسم نطاقات العقد . في كل مرة تدخل فيها قيمة المعامل نطاق عقد جديد، تُفعَّل نقطة تحكم جديدة، بينما تُهمل نقطة التحكم القديمة. وبناءً على ذلك، يجب أن تكون قيم متجه العقد مرتبة ترتيبًا تصاعديًا، لذا فإن (0، 0، 1، 2، 3، 3) صالحة بينما (0، 0، 2، 1، 3، 3) غير صالحة.

يمكن أن تتساوى قيمة العقد المتتالية. وهذا يُعرّف امتدادًا للعقدة بطول صفر، ما يعني تفعيل نقطتي تحكم في الوقت نفسه (وبالطبع تعطيل نقطتي تحكم أخريين). يؤثر هذا على استمرارية المنحنى الناتج أو مشتقاته العليا؛ فعلى سبيل المثال، يسمح بإنشاء زوايا في منحنى NURBS أملس. يُشار أحيانًا إلى عدد من العقد المتطابقة بعقدة ذات تعددية معينة . تُعرف العقد ذات التعددية اثنين أو ثلاثة بالعقد المزدوجة أو الثلاثية. تقتصر تعددية العقدة على درجة المنحنى؛ لأن التعددية الأعلى ستقسم المنحنى إلى أجزاء منفصلة وستترك نقاط تحكم غير مستخدمة. بالنسبة لمنحنى NURBS من الدرجة الأولى، تقترن كل عقدة بنقطة تحكم.

يبدأ متجه العقدة عادةً بعقدة ذات تعدد يساوي رتبتها. وهذا منطقي، إذ يُفعّل نقاط التحكم المؤثرة على امتداد العقدة الأولى. وبالمثل، ينتهي متجه العقدة عادةً بعقدة من نفس التعدد. تبدأ المنحنيات ذات متجهات العقد هذه وتنتهي عند نقطة تحكم.

تتحكم قيم العقد في عملية الربط بين مُدخلات المعامل وقيمة NURBS المُقابلة. على سبيل المثال، إذا كان NURBS يصف مسارًا عبر الفضاء مع مرور الوقت، فإن العقد تتحكم في الوقت الذي تستغرقه الدالة لتجاوز نقاط التحكم. ولكن لأغراض تمثيل الأشكال، فإن نسب الفرق بين قيم العقد هي فقط المهمة؛ في هذه الحالة، ينتج عن متجهي العقد (0، 0، 1، 2، 3، 3) و(0، 0، 2، 4، 6، 6) نفس المنحنى. تؤثر مواقع قيم العقد على عملية الربط بين فضاء المعاملات وفضاء المنحنى. عادةً ما يتم رسم منحنى NURBS بالتحرك بخطوة ثابتة عبر نطاق المعامل. من خلال تغيير أطوال امتداد العقد، يمكن استخدام المزيد من نقاط العينة في المناطق ذات الانحناء العالي. يُستخدم NURBS أيضًا في الحالات التي يكون فيها لقيمة المعامل دلالة فيزيائية، على سبيل المثال إذا كان المعامل هو الوقت ويصف المنحنى حركة ذراع روبوت. تُترجم أطوال امتدادات العقد إلى سرعة وتسارع، وهما عنصران أساسيان يجب ضبطهما بدقة لتجنب إلحاق الضرر بذراع الروبوت أو بيئته. هذه المرونة في عملية التخطيط هي ما يُشير إليه مصطلح "غير منتظم" في NURBS.

تُستخدم العُقد فقط في الحسابات الداخلية، وعادةً ما تكون غير مفيدة لمستخدمي برامج النمذجة. لذلك، لا تُتيح العديد من تطبيقات النمذجة إمكانية تعديل العُقد أو حتى رؤيتها. يُمكن عادةً تحديد متجهات عُقد مناسبة من خلال النظر إلى التباين في نقاط التحكم. تسمح الإصدارات الأحدث من برامج NURBS (مثل Autodesk Maya و Rhinoceros 3D ) بالتعديل التفاعلي لمواقع العُقد، ولكن هذه الطريقة أقل سهولةً في الاستخدام من تعديل نقاط التحكم.

تُعرف دوال الأساس B-spline المستخدمة في إنشاء منحنيات NURBS عادةً باسم${\displaystyle N_{i,n}(u)}$، حيث${\displaystyle i}$يتوافق مع${\displaystyle i}$نقطة التحكم رقم -، و${\displaystyle n}$يتوافق مع درجة دالة الأساس. ^{[ 13 ]} غالبًا ما يتم إغفال اعتماد المعامل، لذلك يمكننا كتابة${\displaystyle N_{i,n}}$تعريف هذه الدوال الأساسية هو تعريف تكراري في${\displaystyle n}$الدوال من الدرجة صفر${\displaystyle N_{i,0}}$هي دوال ثابتة جزئياً . تساوي واحداً على امتداد العقدة المقابلة وصفراً في أي مكان آخر. عملياً،${\displaystyle N_{i,n}}$هو استيفاء خطي لـ${\displaystyle N_{i,n-1}}$و${\displaystyle N_{i+1,n-1}}$الدالتان الأخيرتان لا تساويان الصفر بالنسبة لـ${\displaystyle n}$تمتد العقد، متداخلة لـ${\displaystyle n-1}$امتدادات العقد. الوظيفة${\displaystyle N_{i,n}}$يتم حسابها على النحو التالي

$${\displaystyle N_{i,n}=f_{i,n}N_{i,n-1}+g_{i+1,n}N_{i+1,n-1}}$$${\displaystyle f_{i}}$يرتفع خطيًا من الصفر إلى الواحد على الفترة حيث${\displaystyle N_{i,n-1}}$غير صفري، بينما${\displaystyle g_{i+1}}$يتناقص من واحد إلى صفر على الفترة حيث${\displaystyle N_{i+1,n-1}}$هي قيمة غير صفرية. كما ذكرنا سابقاً،${\displaystyle N_{i,1}}$هي دالة مثلثية، لا تساوي الصفر على مدى عقدتين، حيث ترتفع من الصفر إلى الواحد على مدى العقدة الأولى، وتنخفض إلى الصفر على مدى العقدة الثانية. دوال الأساس ذات الرتب الأعلى لا تساوي الصفر على مدى عدد أكبر من العقد، ولها درجات أعلى تبعًا لذلك.${\displaystyle u}$هو المعامل، و${\displaystyle k_{i}}$هو${\displaystyle i}$^{العقدة رقم 1} ، يمكننا كتابة الدوال${\displaystyle f}$و${\displaystyle g}$مثل $${\displaystyle f_{i,n}(u)={\frac {u-k_{i}}{k_{i+n}-k_{i}}}}$$ و $${\displaystyle g_{i,n}(u)=1-f_{i,n}(u)={\frac {k_{i+n}-u}{k_{i+n}-k_{i}}}}$$ الوظائف${\displaystyle f}$و${\displaystyle g}$تكون موجبة عندما تكون دوال الأساس المقابلة ذات الرتبة الأدنى غير صفرية. وبالاستقراء على n، يتبين أن دوال الأساس غير سالبة لجميع قيم n.${\displaystyle n}$و${\displaystyle u}$وهذا يجعل حساب الدوال الأساسية مستقرًا عدديًا.

وباستخدام الاستقراء الرياضي مرة أخرى، يمكن إثبات أن مجموع دوال الأساس لقيمة معينة للمعامل يساوي واحدًا. وهذا ما يُعرف بخاصية تجزئة الوحدة لدوال الأساس.

تُظهر الأشكال الدوال الأساسية الخطية والتربيعية للعقد {..., 0, 1, 2, 3, 4, 4.1, 5.1, 6.1, 7.1, ...}

يكون امتداد إحدى العقد أقصر بكثير من غيرها. عند هذا الامتداد، تكون ذروة دالة الأساس التربيعية أكثر وضوحًا، حيث تقترب من الواحد. في المقابل، تتلاشى دوال الأساس المجاورة بسرعة أكبر. في التفسير الهندسي، يعني هذا أن المنحنى يقترب من نقطة التحكم المقابلة بدقة. في حالة العقدة المزدوجة، يصبح طول امتداد العقدة صفرًا، وتصل الذروة إلى الواحد تمامًا. تصبح دالة الأساس غير قابلة للتفاضل عند هذه النقطة. سيكون للمنحنى زاوية حادة إذا لم تكن نقاط التحكم المتجاورة على استقامة واحدة.

باستخدام تعريفات الدوال الأساسية${\displaystyle N_{i,n}}$من الفقرة السابقة، يأخذ منحنى NURBS الشكل التالي: ^{[ 13 ]}$${\displaystyle C(u)=\sum _{i=1}^{k}{\frac {N_{i,n}(u)w_{i}}{\sum _{j=1}^{k}N_{j,n}(u)w_{j}}}\mathbf {P} _{i}={\frac {\sum _ {i = 1} ^ {k} {N_ {i، n} (u) w_ {i} \ mathbf {P} _ {i}}} {\ sum _ {i = 1} ^ {k} {N_ {i، n} (u) w_ {i}}}}}$$

في هذا،${\displaystyle k}$عدد نقاط التحكم${\displaystyle \mathbf {P} _{i}}$و${\displaystyle w_{i}}$تمثل هذه الأوزان المقابلة. المقام هو عامل توحيد يساوي واحدًا إذا كانت جميع الأوزان تساوي واحدًا. يمكن ملاحظة ذلك من خلال خاصية تجزئة الوحدة لدوال الأساس. من المعتاد كتابة ذلك على النحو التالي: $${\displaystyle C(u)=\sum _{i=1}^{k}R_{i,n}(u)\mathbf {P} _{i}}$$ حيث الوظائف $${\displaystyle R_{i,n}(u)={N_{i,n}(u)w_{i} \over \sum _{j=1}^{k}N_{j,n}(u)w_{j}}}$$ تُعرف باسم دوال الأساس العقلانية .

يتم الحصول على سطح NURBS كحاصل ضرب موتر لمنحنيين NURBS، وبالتالي باستخدام معيارين مستقلين${\displaystyle u}$و${\displaystyle v}$(مع الفهارس)${\displaystyle i}$و${\displaystyle j}$على التوالي): ^{[ 13 ]}$${\displaystyle S(u,v)=\sum _{i=1}^{k}\sum _{j=1}^{l}R_{i,j}(u,v)\mathbf {P} _{i,j}}$$ مع $${\displaystyle R_{i,j}(u,v)={\frac {N_{i,n}(u)N_{j,m}(v)w_{i,j}}{\sum _{p=1}^{k}\sum _{q=1}^{l}N_{p,n}(u)N_{q,m}(v)w_{p,q}}}}$$ كدوال أساسية نسبية.

كما يوحي المصطلح، فإن إدخال العقدة يُدخل عقدة في متجه العقدة. إذا كانت درجة المنحنى هي${\displaystyle n}$، ثم${\displaystyle n-1}$يتم استبدال نقاط التحكم بـ${\displaystyle n}$جديدة. يبقى شكل المنحنى كما هو.

يمكن إدخال العقدة عدة مرات، حتى الحد الأقصى لعدد مرات إدخالها. ويُشار إلى ذلك أحيانًا بتحسين العقدة ، ويمكن تحقيقه بواسطة خوارزمية أكثر كفاءة من إدخال العقدة بشكل متكرر.

إزالة العقد هي عكس إضافتها. تهدف إلى إزالة العقد ونقاط التحكم المرتبطة بها للحصول على تمثيل أكثر إيجازًا. من الواضح أن هذا ليس ممكنًا دائمًا مع الحفاظ على الشكل الدقيق للمنحنى. عمليًا، يُستخدم هامش خطأ في الدقة لتحديد إمكانية إزالة العقدة. تُستخدم هذه العملية للتنظيف بعد جلسة تفاعلية قد تُضاف فيها نقاط التحكم يدويًا، أو بعد استيراد منحنى من تمثيل مختلف، حيث تؤدي عملية التحويل المباشرة إلى نقاط تحكم زائدة.

يمكن دائمًا تمثيل منحنى NURBS ذي درجة معينة بمنحنى NURBS ذي درجة أعلى. يُستخدم هذا الأسلوب بكثرة عند دمج منحنيات NURBS منفصلة، ​​على سبيل المثال، عند إنشاء سطح NURBS عن طريق استيفاء مجموعة من منحنيات NURBS أو عند توحيد منحنيات متجاورة. في هذه العملية، يجب توحيد درجة المنحنيات المختلفة، وعادةً ما تكون أعلى درجة لمجموعة المنحنيات. تُعرف هذه العملية باسم رفع الدرجة .

أهم خاصية في الهندسة التفاضلية هي الانحناء${\displaystyle \kappa }$يصف هذا النموذج الخصائص المحلية (الحواف، الزوايا، إلخ) والعلاقات بين المشتقة الأولى والثانية، وبالتالي، الشكل الدقيق للمنحنى. بعد تحديد المشتقات، يصبح من السهل حساب${\displaystyle \kappa ={\frac {|r'(t)\times r''(t)|}{|r'(t)|^{3}}}}$أو تقريبها بطول القوس من المشتقة الثانية${\displaystyle \kappa =|r''(s_{o})|}$الحساب المباشر للانحناء${\displaystyle \kappa }$تكمن الميزة الكبيرة للمنحنيات ذات المعلمات في هذه المعادلات مقارنة بتمثيلاتها المضلعة.