منحنى B-spline غير موحد منطقي

المنحنيات الأساسية غير المنتظمة ( NURBS ) هي نموذج رياضي يستخدم المنحنيات الأساسية (B-splines) التي تُستخدم عادةً في رسومات الكمبيوتر لتمثيل المنحنيات والأسطح . وهي توفر مرونة ودقة كبيرتين للتعامل مع الأشكال التحليلية (المحددة بواسطة الصيغ الرياضية الشائعة ) والنمذجة . إنها نوع من نمذجة المنحنيات ، على عكس النمذجة متعددة الأضلاع أو النحت الرقمي . تُستخدم منحنيات NURBS عادةً في التصميم بمساعدة الكمبيوتر (CAD) والتصنيع (CAM) والهندسة (CAE). وهي جزء من العديد من المعايير على مستوى الصناعة، مثل IGES و STEP و ACIS و PHIGS . توجد أدوات لإنشاء وتحرير أسطح NURBS في حزم برامج الرسومات ثلاثية الأبعاد المختلفة ، والتقديم ، ^[1] والرسوم المتحركة .

يمكن التعامل معها بكفاءة بواسطة برامج الكمبيوتر مع السماح بالتفاعل البشري السهل. أسطح NURBS هي وظائف لمعلمتين يتم تعيينهما على سطح في مساحة ثلاثية الأبعاد . يتم تحديد شكل السطح من خلال نقاط التحكم . في شكل مضغوط، يمكن أن تمثل أسطح NURBS أشكالًا هندسية بسيطة . بالنسبة للأشكال العضوية المعقدة، تكون الخطوط المنحنية على شكل حرف T والأسطح الفرعية أكثر ملاءمة لأنها تقلل عدد نقاط التحكم إلى النصف مقارنة بأسطح NURBS.

بشكل عام، يعد تحرير منحنيات وأسطح NURBS أمرًا بديهيًا ويمكن التنبؤ به. ^{[ بحاجة لمصدر ]} تكون نقاط التحكم دائمًا متصلة مباشرة بالمنحنى أو السطح، أو تعمل كما لو كانت متصلة بشريط مطاطي. اعتمادًا على نوع واجهة المستخدم، يمكن تحرير منحنيات وأسطح NURBS عبر نقاط التحكم الخاصة بها (على غرار منحنيات بيزير ) أو عبر أدوات ذات مستوى أعلى مثل نمذجة الخطوط المنحنية والتحرير الهرمي .

قبل ظهور أجهزة الكمبيوتر، كانت التصاميم تُرسم يدويًا على الورق باستخدام أدوات الرسم المختلفة . فكانت المسطرة تُستخدم لرسم الخطوط المستقيمة، والبوصلة لرسم الدوائر، والمنقلة لرسم الزوايا. ولكن العديد من الأشكال، مثل المنحنى الحر لقوس السفينة، لم يكن من الممكن رسمها باستخدام هذه الأدوات.

على الرغم من إمكانية رسم مثل هذه المنحنيات يدويًا على لوحة الرسم، إلا أن بناة السفن كانوا يحتاجون غالبًا إلى نسخة بالحجم الطبيعي لا يمكن رسمها يدويًا. تم رسم مثل هذه الرسومات الكبيرة بمساعدة شرائح مرنة من الخشب، تسمى الشرائح. تم تثبيت الشرائح في مكانها عند عدد من النقاط المحددة مسبقًا، بواسطة "بط" من الرصاص، والتي سميت بهذا الاسم بسبب النتوء على شكل المنقار الذي ترتكز عليه الشرائح. بين البط، تسببت مرونة مادة الشرائح في جعل الشريط يأخذ الشكل الذي يقلل من طاقة الانحناء، وبالتالي خلق الشكل الأكثر سلاسة الذي يناسب القيود. يمكن تعديل الشكل عن طريق تحريك البط. ^{[2] [3]}

في عام 1946، بدأ علماء الرياضيات دراسة شكل المنحنى الخطي، واستنبطوا صيغة متعددة الحدود القطعية المعروفة باسم منحنى المنحنى الخطي أو دالة المنحنى الخطي. أعطى آي جيه شوينبيرج دالة المنحنى الخطي اسمها بعد تشابهها مع المنحنى الخطي الميكانيكي الذي يستخدمه الرسامون. ^[4]

مع إدخال أجهزة الكمبيوتر في عملية التصميم، تم التحقيق في الخصائص الفيزيائية لهذه المنحنيات بحيث يمكن نمذجتها بدقة رياضية وإعادة إنتاجها حيثما دعت الحاجة. تم إنجاز أعمال رائدة في فرنسا من قبل مهندس رينو بيير بيزير ، وعالم الفيزياء والرياضيات في سيتروين بول دي كاستيلجو . لقد عملوا بشكل متوازي تقريبًا مع بعضهم البعض، ولكن لأن بيزير نشر نتائج عمله، تم تسمية منحنيات بيزير باسمه، بينما يرتبط اسم دي كاستيلجو فقط بالخوارزميات ذات الصلة.

في البداية، كانت تقنية NURBS تُستخدم فقط في حزم CAD الخاصة بشركات السيارات. وفي وقت لاحق، أصبحت جزءًا من حزم الرسومات الحاسوبية القياسية.

تم توفير العرض التفاعلي في الوقت الفعلي لمنحنيات وأسطح NURBS لأول مرة تجاريًا على محطات عمل Silicon Graphics في عام 1989. في عام 1993، تم تطوير أول نموذج تفاعلي لـ NURBS لأجهزة الكمبيوتر، والذي يُدعى NöRBS، بواسطة CAS Berlin، وهي شركة ناشئة صغيرة تتعاون مع Technische Universität Berlin . ^{[ بحاجة لمصدر ]}

عادةً ما يتكون السطح قيد الإنشاء، مثل هيكل اليخت البخاري، من عدة أسطح NURBS تُعرف باسم رقع NURBS (أو الرقع فقط ). يجب تركيب هذه الرقع السطحية معًا بطريقة تجعل الحدود غير مرئية. يتم التعبير عن ذلك رياضيًا بمفهوم الاستمرارية الهندسية .

توجد أدوات ذات مستوى أعلى تستفيد من قدرة NURBS على إنشاء وتأسيس استمرارية هندسية لمستويات مختلفة:

• تظل الاستمرارية الموضعية (G ⁰ ) قائمة كلما تطابقت مواضع نهاية منحنيين أو سطحين. قد تلتقي المنحنيات أو الأسطح بزاوية، مما يؤدي إلى ظهور زاوية حادة أو حافة وتسبب في إبرازات مكسورة.
• تتطلب الاستمرارية المماسية (G¹) أن تكون متجهات النهاية للمنحنيات أو الأسطح متوازية وتشير إلى نفس الاتجاه، مما يستبعد الحواف الحادة. ولأن النقاط المضيئة التي تقع على حافة متصلة مماسية تكون متصلة دائمًا وبالتالي تبدو طبيعية، فإن هذا المستوى من الاستمرارية يمكن أن يكون كافيًا في كثير من الأحيان.
• تتطلب استمرارية الانحناء (G²) أيضًا أن تكون متجهات النهاية بنفس الطول ومعدل تغير الطول. لا تظهر النقاط البارزة التي تقع على حافة الانحناء المستمر أي تغيير، مما يتسبب في ظهور السطحين كسطح واحد. يمكن التعرف على هذا بصريًا على أنه "ناعم تمامًا". هذا المستوى من الاستمرارية مفيد جدًا في إنشاء النماذج التي تتطلب العديد من الرقع المكعبة الثنائية التي تشكل سطحًا مستمرًا واحدًا.

تشير الاستمرارية الهندسية بشكل أساسي إلى شكل السطح الناتج؛ ونظرًا لأن أسطح NURBS عبارة عن دوال، فمن الممكن أيضًا مناقشة مشتقات السطح فيما يتعلق بالمعلمات. يُعرف هذا باسم الاستمرارية البارامترية . تعني الاستمرارية البارامترية لدرجة معينة الاستمرارية الهندسية لتلك الدرجة.

إن الاستمرارية البارامترية من المستوى الأول والثاني (C ⁰ وC¹) متطابقة عمليًا مع الاستمرارية الموضعية والظاهرية (G ⁰ وG¹). ومع ذلك، تختلف الاستمرارية البارامترية من المستوى الثالث (C²) عن استمرارية الانحناء في أن معلماتها مستمرة أيضًا. في الممارسة العملية، يكون تحقيق استمرارية C² أسهل إذا تم استخدام خطوط B-splines المنتظمة.

يتطلب تعريف استمرارية C ⁿ أن تكون المشتقة n للمنحنيات/الأسطح المتجاورة ( ) متساوية عند المفصل. ^[5] لاحظ أن المشتقات (الجزئية) للمنحنيات والأسطح هي متجهات لها اتجاه ومقدار؛ يجب أن يكون كلاهما متساويين. ${\displaystyle d^{n}C(u)/du^{n}}$

يمكن أن تكشف النقاط البارزة والانعكاسات عن التنعيم المثالي، وهو أمر من المستحيل عمليًا تحقيقه بدون أسطح NURBS التي تتمتع باستمرارية G² على الأقل. يتم استخدام نفس المبدأ كواحدة من طرق تقييم السطح حيث تُظهر صورة تتبع الأشعة أو الانعكاس لسطح به خطوط بيضاء تنعكس عليه حتى أصغر الانحرافات على سطح أو مجموعة من الأسطح. تشتق هذه الطريقة من النماذج الأولية للسيارات حيث يتم فحص جودة السطح من خلال التحقق من جودة انعكاسات سقف ضوء النيون على سطح السيارة. تُعرف هذه الطريقة أيضًا باسم "تحليل الحمار الوحشي".

يتم تعريف منحنى NURBS من خلال ترتيبه ومجموعة من نقاط التحكم المرجحة ومتجه العقدة. ^[6] منحنيات وأسطح NURBS هي تعميمات لكل من المنحنيات والأسطح B-splines ومنحنيات Bézier ، والفرق الأساسي هو ترجيح نقاط التحكم، مما يجعل منحنيات NURBS منطقية .

( تعتبر الخطوط المنحنية غير النسبية ، المعروفة أيضًا باسم الخطوط المنحنية البسيطة ، حالة/مجموعة فرعية خاصة من الخطوط المنحنية النسبية، حيث تكون كل نقطة تحكم عبارة عن إحداثيات غير متجانسة منتظمة [بدون "w"] بدلاً من إحداثيات متجانسة . [ ^7] وهذا يعادل وجود الوزن "1" في كل نقطة تحكم؛ تستخدم الخطوط المنحنية النسبية "w" لكل نقطة تحكم كوزن . ^[8] )

من خلال استخدام شبكة ثنائية الأبعاد من نقاط التحكم، يمكن إنشاء أسطح NURBS بما في ذلك الرقع المستوية وأقسام الكرات. يتم تحديد معلمات هذه الأسطح بمتغيرين (عادةً ما يُطلق عليهما s و t أو u و v ). ويمكن تمديد ذلك إلى أبعاد عشوائية لإنشاء تعيين NURBS . ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {R} ^{n}}$

تعتبر منحنيات وأسطح NURBS مفيدة لعدد من الأسباب:

• مجموعة NURBS لترتيب معين ثابتة تحت التحويلات الأفينية : ^[9] يمكن تطبيق عمليات مثل الدورات والترجمات على منحنيات وأسطح NURBS من خلال تطبيقها على نقاط التحكم الخاصة بها.
• إنهم يقدمون نموذجًا رياضيًا مشتركًا لكل من الأشكال التحليلية القياسية (على سبيل المثال، المخروطيات ) والأشكال الحرة.
• أنها توفر المرونة لتصميم مجموعة كبيرة ومتنوعة من الأشكال.
• إنها تقلل من استهلاك الذاكرة عند تخزين الأشكال (مقارنة بالطرق الأكثر بساطة).
• يمكن تقييمها بسرعة معقولة من خلال خوارزميات دقيقة ومستقرة عدديًا .

هنا، تتم مناقشة NURBS بشكل أساسي في بُعد واحد (المنحنيات)؛ ويمكن تعميمها على بُعدين (أسطح) أو حتى المزيد من الأبعاد.

يحدد ترتيب منحنى NURBS عدد نقاط التحكم القريبة التي تؤثر على أي نقطة معينة على المنحنى. يتم تمثيل المنحنى رياضيًا بواسطة كثير حدود من الدرجة الأولى أقل من ترتيب المنحنى. وبالتالي، تسمى المنحنيات من الدرجة الثانية (التي يتم تمثيلها بواسطة كثيرات حدود خطية) منحنيات خطية، وتسمى المنحنيات من الدرجة الثالثة منحنيات تربيعية، وتسمى المنحنيات من الدرجة الرابعة منحنيات مكعبة. يجب أن يكون عدد نقاط التحكم أكبر من أو يساوي ترتيب المنحنى.

في الممارسة العملية، تعد المنحنيات المكعبة هي الأكثر استخدامًا. تكون المنحنيات من الدرجة الخامسة والسادسة مفيدة في بعض الأحيان، وخاصة للحصول على مشتقات متصلة من الدرجة الأعلى، ولكن المنحنيات من الرتب الأعلى لا تُستخدم عمليًا أبدًا لأنها تؤدي إلى مشاكل عددية داخلية وتميل إلى طلب أوقات حسابية كبيرة بشكل غير متناسب.

تحدد نقاط التحكم شكل المنحنى. ^[10] عادةً، يتم حساب كل نقطة من المنحنى عن طريق أخذ مجموع مرجح لعدد من نقاط التحكم. يختلف وزن كل نقطة وفقًا للمعلمة الحاكمة. بالنسبة لمنحنى من الدرجة d، يكون وزن أي نقطة تحكم غير صفري فقط في فترات d + 1 من مساحة المعلمة. داخل تلك الفواصل، يتغير الوزن وفقًا لدالة حدودية ( دوال أساسية ) من الدرجة d. عند حدود الفواصل، تنتقل الدوال الأساسية بسلاسة إلى الصفر، حيث يتم تحديد السلاسة من خلال درجة الحدودية.

على سبيل المثال، الدالة الأساسية من الدرجة الأولى هي دالة مثلثية. ترتفع من الصفر إلى واحد، ثم تنخفض إلى الصفر مرة أخرى. وبينما ترتفع، تنخفض الدالة الأساسية لنقطة التحكم السابقة. وبهذه الطريقة، يتم استيفاء المنحنى بين النقطتين، والمنحنى الناتج هو مضلع، وهو متصل ، ولكن غير قابل للاشتقاق عند حدود الفاصل أو العقد. تحتوي كثيرات الحدود من الدرجة الأعلى على مشتقات متصلة أكثر. لاحظ أنه داخل الفاصل، تجعل الطبيعة المتعددة الحدود للدوال الأساسية وخطية البناء المنحنى سلسًا تمامًا، لذلك لا يمكن أن ينشأ انقطاع الاستمرارية إلا عند العقد.

في العديد من التطبيقات، فإن حقيقة أن نقطة تحكم واحدة تؤثر فقط على تلك الفواصل الزمنية التي تكون نشطة فيها هي خاصية مرغوبة للغاية، تُعرف باسم الدعم المحلي . في النمذجة، تسمح بتغيير جزء واحد من السطح مع الحفاظ على الأجزاء الأخرى دون تغيير.

إن إضافة المزيد من نقاط التحكم تسمح بتقريب أفضل لمنحنى معين، على الرغم من أنه لا يمكن تمثيل سوى فئة معينة من المنحنيات بدقة بعدد محدود من نقاط التحكم. تتميز منحنيات NURBS أيضًا بوزن قياسي لكل نقطة تحكم. يسمح هذا بمزيد من التحكم في شكل المنحنى دون زيادة عدد نقاط التحكم بشكل غير ملائم. على وجه الخصوص، يضيف أقسامًا مخروطية مثل الدوائر والقطع الناقص إلى مجموعة المنحنيات التي يمكن تمثيلها بدقة. يشير المصطلح "النسبية" في NURBS إلى هذه الأوزان.

يمكن أن يكون لنقاط التحكم أي بعد . تحدد النقاط أحادية البعد فقط دالة عددية للمعلمة. تُستخدم هذه عادةً في برامج معالجة الصور لضبط منحنيات السطوع واللون. تُستخدم نقاط التحكم ثلاثية الأبعاد بكثرة في النمذجة ثلاثية الأبعاد، حيث تُستخدم في المعنى اليومي لكلمة "نقطة"، وهو موقع في الفضاء ثلاثي الأبعاد. يمكن استخدام النقاط متعددة الأبعاد للتحكم في مجموعات من القيم التي تعتمد على الوقت، على سبيل المثال الإعدادات الموضعية والدورانية المختلفة لذراع الروبوت. أسطح NURBS هي مجرد تطبيق لهذا. كل "نقطة" تحكم هي في الواقع متجه كامل لنقاط التحكم، تحدد منحنى. تشترك هذه المنحنيات في درجتها وعدد نقاط التحكم، وتمتد على بُعد واحد من مساحة المعلمة. من خلال استيفاء متجهات التحكم هذه على البعد الآخر لمساحة المعلمة، يتم الحصول على مجموعة متصلة من المنحنيات، تحدد السطح.

متجه العقدة هو عبارة عن سلسلة من قيم المعلمات التي تحدد أين وكيف تؤثر نقاط التحكم على منحنى NURBS. يكون عدد العقد دائمًا مساويًا لعدد نقاط التحكم بالإضافة إلى درجة المنحنى بالإضافة إلى واحد (أي عدد نقاط التحكم بالإضافة إلى ترتيب المنحنى). يقسم متجه العقدة المساحة المعلمية في الفواصل المذكورة سابقًا، والتي يشار إليها عادةً باسم امتدادات العقدة . في كل مرة تدخل فيها قيمة المعلمة امتداد عقدة جديد، تصبح نقطة تحكم جديدة نشطة، بينما يتم تجاهل نقطة تحكم قديمة. ويترتب على ذلك أن القيم في متجه العقدة يجب أن تكون بترتيب غير تنازلي، لذا فإن (0، 0، 1، 2، 3، 3) صالحة بينما (0، 0، 2، 1، 3، 3) ليست كذلك.

يمكن أن يكون للعقد المتتالية نفس القيمة. هذا يحدد بعد ذلك مدى عقدة بطول صفر، مما يعني أنه يتم تنشيط نقطتي تحكم في نفس الوقت (وبالطبع يتم إلغاء تنشيط نقطتي تحكم). هذا له تأثير على استمرارية المنحنى الناتج أو مشتقاته الأعلى؛ على سبيل المثال، يسمح بإنشاء زوايا في منحنى NURBS سلس بخلاف ذلك. يُشار أحيانًا إلى عدد من العقد المتزامنة على أنها عقدة ذات تعدد معين . تُعرف العقد ذات التعدد اثنين أو ثلاثة بالعقد المزدوجة أو الثلاثية. يقتصر تعدد العقدة على درجة المنحنى؛ حيث أن التعدد الأعلى من شأنه أن يقسم المنحنى إلى أجزاء منفصلة وسيترك نقاط التحكم غير مستخدمة. بالنسبة لـ NURBS من الدرجة الأولى، يتم إقران كل عقدة بنقطة تحكم.

يبدأ متجه العقدة عادةً بعقدة لها تعدد يساوي الترتيب. وهذا أمر منطقي، لأنه ينشط نقاط التحكم التي تؤثر على امتداد العقدة الأولى. وعلى نحو مماثل، ينتهي متجه العقدة عادةً بعقدة لها هذا التعدد. تبدأ المنحنيات التي تحتوي على متجهات عقدة كهذه وتنتهي في نقطة تحكم.

تتحكم قيم العقد في التعيين بين معلمة الإدخال وقيمة NURBS المقابلة. على سبيل المثال، إذا وصفت NURBS مسارًا عبر الفضاء بمرور الوقت، تتحكم العقد في الوقت الذي تستمر فيه الوظيفة بعد نقاط التحكم. ومع ذلك، لأغراض تمثيل الأشكال، فإن نسب الفرق بين قيم العقد فقط هي المهمة؛ في هذه الحالة، تنتج متجهات العقد (0، 0، 1، 2، 3، 3) و(0، 0، 2، 4، 6، 6) نفس المنحنى. تؤثر مواضع قيم العقد على تعيين مساحة المعلمة إلى مساحة المنحنى. يتم عادةً تقديم منحنى NURBS من خلال الخطوة بخطوة ثابتة عبر نطاق المعلمة. من خلال تغيير أطوال امتداد العقدة، يمكن استخدام المزيد من نقاط العينة في المناطق حيث يكون الانحناء مرتفعًا. استخدام آخر هو في المواقف حيث تكون قيمة المعلمة ذات أهمية مادية، على سبيل المثال إذا كانت المعلمة هي الوقت ويصف المنحنى حركة ذراع الروبوت. ثم تترجم أطوال امتداد العقدة إلى سرعة وتسارع، وهما أمران ضروريان للوصول إلى الوضع الصحيح لمنع تلف ذراع الروبوت أو بيئته. هذه المرونة في رسم الخرائط هي ما تشير إليه عبارة "غير موحد" في NURBS.

إن العقد ضرورية فقط للحسابات الداخلية، وعادةً ما لا تكون مفيدة لمستخدمي برامج النمذجة. لذلك، لا تجعل العديد من تطبيقات النمذجة العقد قابلة للتعديل أو حتى مرئية. عادةً ما يكون من الممكن إنشاء متجهات عقد معقولة من خلال النظر إلى التباين في نقاط التحكم. تسمح الإصدارات الأحدث من برنامج NURBS (على سبيل المثال، Autodesk Maya و Rhinoceros 3D ) بالتحرير التفاعلي لمواضع العقد، ولكن هذا أقل سهولة بشكل كبير من تحرير نقاط التحكم.

تُشار عادةً إلى وظائف الأساس B-spline المستخدمة في بناء منحنيات NURBS على أنها ، حيث يتوافق مع نقطة التحكم -th، ويتوافق مع درجة وظيفة الأساس. ^[11] غالبًا ما يتم ترك اعتماد المعلمة، لذلك يمكننا كتابة . تعريف وظائف الأساس هذه متكرر في . وظائف الدرجة 0 هي وظائف ثابتة متقطعة . وهي واحدة على مدى العقدة المقابل وصفر في كل مكان آخر. في الواقع، هي استيفاء خطي لـ و . الدالتان الأخيرتان غير صفريتين لامتدادات العقدة، وتتداخلان لامتدادات العقدة. يتم حساب الدالة على أنها${\displaystyle N_{i,n}(u)}$${\displaystyle i}$${\displaystyle i}$${\displaystyle n}$${\displaystyle N_{i,n}}$${\displaystyle n}$${\displaystyle N_{i,0}}$ ${\displaystyle N_{i,n}}$${\displaystyle N_{i,n-1}}$${\displaystyle N_{i+1,n-1}}$${\displaystyle n}$${\displaystyle n-1}$${\displaystyle N_{i,n}}$

$${\displaystyle N_{i,n}=f_{i,n}N_{i,n-1}+g_{i+1,n}N_{i+1,n-1}}$$ ${\displaystyle f_{i}}$ترتفع خطيًا من الصفر إلى واحد على الفترة حيث تكون غير صفرية، بينما تنخفض من واحد إلى صفر على الفترة حيث تكون غير صفرية. كما ذكرنا سابقًا، هي دالة مثلثية، غير صفرية على مدى عقدتين ترتفع من الصفر إلى واحد على الأولى، وتنخفض إلى الصفر على مدى العقدة الثانية. الدوال الأساسية من الدرجة الأعلى تكون غير صفرية على مدى عقدة أكبر مقابلة ولها درجة أعلى وفقًا لذلك. إذا كانت المعلمة، و هي ^العقدة ، فيمكننا كتابة الدوال و على أنها و الدوال و تكون موجبة عندما تكون الدوال الأساسية المقابلة من الدرجة الأدنى غير صفرية. من خلال الاستدلال على n، يتبع ذلك أن الدوال الأساسية غير سالبة لجميع قيم و . وهذا يجعل حساب الدوال الأساسية مستقرًا عدديًا. ${\displaystyle N_{i,n-1}}$${\displaystyle g_{i+1}}$${\displaystyle N_{i+1,n-1}}$${\displaystyle N_{i,1}}$${\displaystyle u}$${\displaystyle k_{i}}$${\displaystyle i}$${\displaystyle f}$${\displaystyle g}$$${\displaystyle f_{i,n}(u)={\frac {u-k_{i}}{k_{i+n}-k_{i}}}}$$$${\displaystyle g_{i,n}(u)=1-f_{i,n}(u)={\frac {k_{i+n}-u}{k_{i+n}-k_{i}}}}$$${\displaystyle f}$${\displaystyle g}$${\displaystyle n}$${\displaystyle u}$

مرة أخرى، من خلال الاستقراء، يمكن إثبات أن مجموع الدوال الأساسية لقيمة معينة من المعلمة يساوي واحدًا. وهذا ما يُعرف بتقسيم خاصية الوحدة للدوال الأساسية.

تظهر الأشكال الدوال الأساسية الخطية والتربيعية للعقد {..., 0, 1, 2, 3, 4, 4.1, 5.1, 6.1, 7.1, ...}

إن امتداد إحدى العقد أقصر بشكل ملحوظ من العقد الأخرى. وعلى امتداد تلك العقدة، تكون الذروة في دالة الأساس التربيعية أكثر تميزًا، حيث تصل إلى ما يقرب من واحد. وعلى العكس من ذلك، تنخفض دوال الأساس المجاورة إلى الصفر بسرعة أكبر. وفي التفسير الهندسي، يعني هذا أن المنحنى يقترب من نقطة التحكم المقابلة عن كثب. وفي حالة العقدة المزدوجة، يصبح طول امتداد العقدة صفرًا وتصل الذروة إلى واحد تمامًا. لم تعد دالة الأساس قابلة للاشتقاق عند تلك النقطة. سيكون للمنحنى زاوية حادة إذا لم تكن نقاط التحكم المجاورة متوازية.

باستخدام تعريفات وظائف الأساس من الفقرة السابقة، يأخذ منحنى NURBS الشكل التالي: ^[11]${\displaystyle N_{i,n}}$ $${\displaystyle C(u)=\sum _{i=1}^{k}{\frac {N_{i,n}(u)w_{i}}{\sum _{j=1}^{k}N_{j,n}(u)w_{j}}}\mathbf {P} _{i}={\frac {\sum _{i=1}^{k}{N_{i,n}(u)w_{i}\mathbf {P} _{i}}}{\sum _{i=1}^{k}{N_{i,n}(u)w_{i}}}}}$$

في هذا، هو عدد نقاط التحكم و هي الأوزان المقابلة. المقام هو عامل تطبيع يتم تقييمه إلى واحد إذا كانت جميع الأوزان واحدة. يمكن ملاحظة ذلك من تقسيم خاصية الوحدة للوظائف الأساسية. من المعتاد كتابة هذا على النحو التالي حيث تُعرف الوظائف باسم وظائف الأساس النسبية . ${\displaystyle k}$${\displaystyle \mathbf {P} _{i}}$${\displaystyle w_{i}}$$${\displaystyle C(u)=\sum _{i=1}^{k}R_{i,n}(u)\mathbf {P} _{i}}$$$${\displaystyle R_{i,n}(u)={N_{i,n}(u)w_{i} \over \sum _{j=1}^{k}N_{j,n}(u)w_{j}}}$$

يتم الحصول على سطح NURBS باعتباره حاصل ضرب موتر لمنحنيين NURBS، وبالتالي باستخدام معامِلين مستقلين و (مع المؤشرات و على التوالي): ^[11] مع وظائف أساس منطقية. ${\displaystyle u}$${\displaystyle v}$${\displaystyle i}$${\displaystyle j}$ $${\displaystyle S(u,v)=\sum _{i=1}^{k}\sum _{j=1}^{l}R_{i,j}(u,v)\mathbf {P} _{i,j}}$$$${\displaystyle R_{i,j}(u,v)={\frac {N_{i,n}(u)N_{j,m}(v)w_{i,j}}{\مجموع _{p=1}^{k}\مجموع _{q=1}^{l}N_{p,n}(u)N_{q,m}(v)w_{p,q}}}}$$

يمكن تطبيق عدد من التحويلات على كائن NURBS. على سبيل المثال، إذا تم تعريف منحنى ما باستخدام درجة معينة ونقاط تحكم N، فيمكن التعبير عن نفس المنحنى باستخدام نفس الدرجة ونقاط تحكم N+1. في هذه العملية، يتغير موضع عدد من نقاط التحكم ويتم إدراج عقدة في متجه العقدة. تُستخدم هذه التلاعبات على نطاق واسع أثناء التصميم التفاعلي. عند إضافة نقطة تحكم، يجب أن يظل شكل المنحنى كما هو، مما يشكل نقطة البداية لمزيد من التعديلات. تتم مناقشة عدد من هذه العمليات أدناه. ^{[11] [12]}

كما يوحي المصطلح، فإن إدخال العقدة يُدخل عقدة في متجه العقدة. إذا كانت درجة المنحنى هي ، فسيتم استبدال نقاط التحكم بأخرى جديدة. يظل شكل المنحنى كما هو. ${\displaystyle n}$${\displaystyle n-1}$${\displaystyle n}$

يمكن إدخال العقدة عدة مرات، حتى الحد الأقصى لعدد العقد. يُشار إلى ذلك أحيانًا باسم تحسين العقدة ويمكن تحقيقه من خلال خوارزمية أكثر كفاءة من إدخال العقدة بشكل متكرر.

إزالة العقدة هي عكس إدخال العقدة. والغرض منها هو إزالة العقد ونقاط التحكم المرتبطة بها من أجل الحصول على تمثيل أكثر إحكاما. ومن الواضح أن هذا ليس ممكنا دائما مع الاحتفاظ بالشكل الدقيق للمنحنى. وفي الممارسة العملية، يتم استخدام التسامح في الدقة لتحديد ما إذا كان يمكن إزالة العقدة. وتستخدم هذه العملية للتنظيف بعد جلسة تفاعلية ربما تمت فيها إضافة نقاط التحكم يدويًا، أو بعد استيراد منحنى من تمثيل مختلف، حيث تؤدي عملية التحويل المباشرة إلى نقاط تحكم زائدة عن الحاجة.

يمكن دائمًا تمثيل منحنى NURBS بدرجة معينة بمنحنى NURBS بدرجة أعلى. يُستخدم هذا كثيرًا عند الجمع بين منحنيات NURBS المنفصلة، ​​على سبيل المثال، عند إنشاء سطح NURBS للتدخل بين مجموعة من منحنيات NURBS أو عند توحيد المنحنيات المتجاورة. في هذه العملية، يجب إحضار المنحنيات المختلفة إلى نفس الدرجة، وعادةً ما تكون أقصى درجة لمجموعة المنحنيات. تُعرف هذه العملية باسم ارتفاع الدرجة .

الخاصية الأكثر أهمية في الهندسة التفاضلية هي الانحناء . فهو يصف الخصائص المحلية (الحواف والزوايا وما إلى ذلك) والعلاقات بين المشتقة الأولى والثانية، وبالتالي، الشكل الدقيق للمنحنى. بعد تحديد المشتقات، من السهل حسابها أو تقريبها كطول قوس من المشتقة الثانية . إن الحساب المباشر للانحناء بهذه المعادلات هو الميزة الكبيرة للمنحنيات المعلمة مقابل تمثيلاتها المتعددة الأضلاع. ${\displaystyle \kappa }$${\displaystyle \kappa ={\frac {|r'(t)\times r''(t)|}{|r'(t)|^{3}}}}$${\displaystyle \kappa =|r''(s_{o})|}$${\displaystyle \kappa }$

قد تقترب المنحنيات غير النسبية أو منحنيات بيزير من الدائرة، لكنها لا تستطيع تمثيلها بدقة. يمكن للمنحنيات النسبية أن تمثل أي مقطع مخروطي—بما في ذلك الدائرة—بدقة. هذا التمثيل ليس فريدًا، لكن هناك احتمال واحد يظهر أدناه:

س	ي	ز	وزن
1	0	0	1
1	1	0	${\displaystyle \scriptstyle {\frac {\sqrt {2}}{2}}}$
0	1	0	1
-1	1	0	${\displaystyle \scriptstyle {\frac {\sqrt {2}}{2}}}$
-1	0	0	1
-1	-1	0	${\displaystyle \scriptstyle {\frac {\sqrt {2}}{2}}}$
0	-1	0	1
1	-1	0	${\displaystyle \scriptstyle {\frac {\sqrt {2}}{2}}}$
1	0	0	1

الترتيب هو ثلاثة، لأن الدائرة عبارة عن منحنى تربيعي وترتيب المنحنى أكبر بمقدار واحد من درجة أجزائه المتعددة الحدود. متجه العقدة هو . تتكون الدائرة من أربع دوائر أرباع، مرتبطة ببعضها البعض بعقد مزدوجة. على الرغم من أن العقد المزدوجة في منحنى NURBS من الدرجة الثالثة من شأنها أن تؤدي عادةً إلى فقدان الاستمرارية في المشتقة الأولى، إلا أن نقاط التحكم موضوعة بطريقة تجعل المشتقة الأولى متصلة. في الواقع، المنحنى قابل للاشتقاق بلا حدود في كل مكان، كما يجب أن يكون إذا كان يمثل دائرة بالضبط. ${\displaystyle \{0,0,0,\pi /2,\pi /2,\pi ,\pi ,3\pi /2,3\pi /2,2\pi ,2\pi ,2\pi \}\,}$

يمثل المنحنى دائرة بالضبط، لكنه غير محدد بدقة في طول قوس الدائرة. وهذا يعني، على سبيل المثال، أن النقطة عند لا تقع عند (باستثناء نقطة البداية والوسط والنهاية لكل ربع دائرة، لأن التمثيل متماثل). سيكون هذا مستحيلًا، لأن إحداثي x للدائرة سيوفر تعبيرًا دقيقًا متعدد الحدود منطقيًا لـ ، وهو أمر مستحيل. تدور الدائرة دورة كاملة عندما ينتقل معاملها من 0 إلى ، ولكن هذا فقط لأن متجه العقدة تم اختياره بشكل تعسفي كمضاعفات لـ . ${\displaystyle t}$${\displaystyle (\sin(t),\cos(t))}$${\displaystyle \cos(t)}$${\displaystyle t}$${\displaystyle 2\pi }$${\displaystyle \pi /2}$

• خدد
• سطح بيزير
• خوارزمية دي بور
• شبكة مثلثية
• سحابة النقاط
• الحركة العقلانية
• التحليل الهندسي المتساوي

• شرح واضح لـ NURBS لغير المتخصصين
• حول المنحنيات B-Splines غير المنتظمة – NURBS
• TinySpline: مكتبة C مفتوحة المصدر مع روابط لمختلف اللغات