حزمة عادية

يترك${\displaystyle (M,g)}$ليكن متعدد الشعب الريماني ، و${\displaystyle S\subset M}$فضاء جزئي ريماني . عرّف، لـ${\displaystyle p\in S}$متجه${\displaystyle n\in \mathrm {T} _{p}M}$أن تكون طبيعياً${\displaystyle S}$حينما${\displaystyle g(n,v)=0}$للجميع${\displaystyle v\in \mathrm {T} _{p}S}$(لهذا السبب${\displaystyle n}$متعامد مع​${\displaystyle \mathrm {T} _{p}S}$). المجموعة${\displaystyle \mathrm {N} _{p}S}$من بين كل هذه${\displaystyle n}$ثم يُطلق عليه اسم الفضاء الطبيعي لـ${\displaystyle S}$في${\displaystyle p}$.

وكما يتم إنشاء الفضاء الكلي للحزمة المماسية لمتشعب من جميع الفضاءات المماسية للمتشعب، فإن الفضاء الكلي للحزمة العادية ^{[ 1 ]}${\displaystyle \mathrm {N} S}$ل${\displaystyle S}$يُعرَّف بأنه

${\displaystyle \mathrm {N} S:=\coprod _{p\in S}\mathrm {N} _{p}S}$.

تُعرَّف الحزمة المشتركة المعيارية بأنها الحزمة الثنائية للحزمة المعيارية. ويمكن تحقيقها بشكل طبيعي كحزمة فرعية من حزمة الظل المشترك (من${\displaystyle M}$).

بصورة أكثر تجريدًا، بالنظر إلى الانغماس${\displaystyle i:N\to M}$(على سبيل المثال، التضمين)، يمكن تعريف حزمة عادية من${\displaystyle N}$في${\displaystyle M}$، من خلال كل نقطة من${\displaystyle N}$، بأخذ فضاء القسمة للفضاء المماسي على${\displaystyle M}$بواسطة المساحة المماسية على${\displaystyle N}$بالنسبة لمتشعب ريماني، يمكن تحديد هذا الناتج مع المتمم المتعامد، ولكن بشكل عام لا يمكن ذلك (هذا الاختيار يكافئ مقطعًا من الإسقاط) .${\displaystyle p:V\to V/W}$).

وبالتالي فإن الحزمة العادية هي بشكل عام خارج قسمة الحزمة المماسية للفضاء المحيط${\displaystyle M}$يقتصر على الفضاء الفرعي${\displaystyle N}$.

بصورة رسمية، الحزمة العادية ^{[ 2 ]} إلى${\displaystyle N}$في${\displaystyle M}$هي حزمة خارج القسمة للحزمة المماسية على${\displaystyle M}$: يمتلك المرء تسلسلًا دقيقًا قصيرًا من حزم المتجهات على${\displaystyle N}$:

${\displaystyle 0\to \mathrm {T} N\to \mathrm {T} M\vert _{i(N)}\to \mathrm {T} _{M/N}:=\mathrm {T} M\vert _{i(N)}/\mathrm {T} N\to 0}$

أين${\displaystyle \mathrm {T} M\vert _{i(N)}}$هو تقييد الحزمة المماسية على ${\displaystyle M}$ل${\displaystyle N}$(بشكل صحيح، التراجع)${\displaystyle i^{*}\mathrm {T} M}$من حزمة المماس على${\displaystyle M}$إلى حزمة متجهة على${\displaystyle N}$عبر الخريطة${\displaystyle i}$ألياف الحزمة الطبيعية${\displaystyle \mathrm {T} _{M/N}{\overset {\pi }{\twoheadrightarrow }}N}$في${\displaystyle p\in N}$يُشار إليه باسم الفضاء الطبيعي عند${\displaystyle p}$(ل${\displaystyle N}$في${\displaystyle M}$).

لو${\displaystyle Y\subseteq X}$هي منطقة فرعية ملساء من منطقة متعددة الشعب${\displaystyle X}$يمكننا اختيار الإحداثيات المحلية${\displaystyle (x_{1},\dots ,x_{n})}$حول${\displaystyle p\in Y}$بحيث${\displaystyle Y}$يتم تعريفها محليًا بواسطة${\displaystyle x_{k+1}=\dots =x_{n}=0}$ثم مع هذا الاختيار للإحداثيات

${\displaystyle {\begin{aligned}\mathrm {T} _{p}X&=\mathbb {R} {\Big \lbrace }{\frac {\partial }{\partial x_{1}}}{\Big |}_{p},\dots ,{\frac {\partial }{\partial x_{k}}}{\Big |}_{p},\dots ,{\frac {\partial }{\partial x_{n}}}{\Big |}_{p}{\Big \rbrace }\\\mathrm {T} _{p}Y&=\mathbb {R} {\Big \lbrace }{\frac {\partial }{\partial x_{1}}}{\Big |}_{p},\dots ,{\frac {\partial }{\partial x_{k}}}{\Big |}_{p}{\Big \rbrace }\\{\mathrm {T} _{X/Y}}_{p}&=\mathbb {R} {\Big \lbrace }{\frac {\partial }{\partial x_{k+1}}}{\Big |}_{p},\dots ,{\frac {\partial }{\partial x_{n}}}{\Big |}_{p}{\Big \rbrace }\\\end{aligned}}}$

ويتم توليد الحزمة المثالية محليًا بواسطة${\displaystyle x_{k+1},\dots ,x_{n}}$لذلك يمكننا تعريف اقتران غير منحط

${\displaystyle (I_{Y}/I_{Y}^{\ 2})_{p}\times {\mathrm {T} _{X/Y}}_{p}\longrightarrow \mathbb {R} }$

وهذا يؤدي إلى تماثل الحزم${\displaystyle \mathrm {T} _{X/Y}\simeq (I_{Y}/I_{Y}^{\ 2})^{\vee }}$يمكننا إعادة صياغة هذه الحقيقة من خلال إدخال الحزمة المشتركة .${\displaystyle \mathrm {T} _{X/Y}^{*}}$مُعرَّفة عبر المتتالية التامة الطبيعية المشتركة

${\displaystyle 0\to \mathrm {T} _{X/Y}^{*}\rightarrowtail \Omega _{X}^{1}|_{Y}\twoheadrightarrow \Omega _{Y}^{1}\to 0}$،

ثم${\displaystyle \mathrm {T} _{X/Y}^{*}\simeq (I_{Y}/I_{Y}^{\ 2})}$أي أن مقاطع الحزمة المعيارية المشتركة هي متجهات الظل المشترك لـ${\displaystyle X}$يتلاشى${\displaystyle \mathrm {T} Y}$.

متى${\displaystyle Y=\lbrace p\rbrace }$إذا كانت نقطة ما، فإن الحزمة المثالية هي حزمة من الجراثيم الملساء التي تختفي عند${\displaystyle p}$ويختزل التشاكل إلى تعريف الفضاء المماسي بدلالة جراثيم الدوال الملساء على${\displaystyle X}$

${\displaystyle \mathrm {T} _{X/\lbrace p\rbrace }^{*}\simeq (\mathrm {T} _{p}X)^{\vee }\simeq {\frac {{\mathfrak {m}}_{p}}{{\mathfrak {m}}_{p}^{\ 2}}}}$.